几何设计

摘要：

从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。在三维空间中，可以通过一空间曲线绕一固定轴旋转一周得到一空间曲面，也可以通过该种方法得到各种不同的空间立体图形。下面就利用mathematica来获取空间旋转曲面的参数方程并绘制出其几何图形。

关键字：

几何图形，旋转，参数方程，mathematica

课题一：

任给定一空间曲线的参数方程和一固定直线，将该曲线绕固定直线旋转得到一空间曲面，并给出该空间曲面的参数方程。 理论基础：

旋转曲面是我们熟悉的曲面，对于xoz 平面的曲线绕x 轴和z 轴旋转所得到的旋转面我们是可以很快得出它的的方程，进而画出它们的图形，如果一条空间曲线绕一条空间直线旋转一周，所得到的旋转面的参数方程如何求呢？下面就给出其理论证明。 命题：设空间曲线),(),(:b a t t r r C ∈=→

→

绕空间直线ck bj ai u L ++=:旋转θ所得到的曲面的

参数方程为⎪⎪

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛

--1..).(..111''

'z y x Rz Ry R Rz Ry z y x θ其中Rz 表示曲线绕z 轴旋转矩阵，Ry 表示曲线绕y 轴旋转矩阵，()θR 表示曲线绕z 轴旋转︒θ矩阵，第四个分量1为哑变量。 证明：

设曲面方程为),(),(:b a t t r r C ∈=→

→

，空间直线的方程为ck bj ai u L ++=:，则空间直线的方向

向量

为

}

,,{c b a u =→

，将方向

向量单位化得到

},

,

{

2

222

222

2

2

'

c

b a c

c

b a b

c

b a a u ++++++=→。

第一步：该向量在xoy 平面的投影与x 轴的夹角的正弦为2

2

sin b

a b +=

α，余弦为

2

2

cos b

a a +=

α。则该向量绕z 轴旋转︒α的矩阵为⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛-=10

0010000cos sin 00sin cos αα

αα

Rz ，又由右

手螺旋守则知该旋转为负方向，所以有⎪

⎪

⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-1.1100

0z y x Rz z y x 。 第二步：经过变换把空间向量旋转到zox 平面。由此可得到变换后的向量与z 轴的夹角的正弦为22sin b a +=β，余弦为c =βcos ，将该向量在绕

y

轴旋转 β其旋转矩阵为

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛--=10

00cos 0sin 00100sin 0cos αααα

Ry ，又由右手螺旋守则知该旋转为负方向，所以有⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-1.1000

1111

z y x Ry z y x 。 第三步：再将该向量绕z 轴旋转 θ，其旋转矩阵为⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛-=10

0010000cos sin 00sin cos )(θθ

θθ

θR ，所以有⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛1).(1111

222

z y x R z y x θ 第四步：再同过第一步和第四步的逆旋转就可以得到旋转后的曲面方程，所以有

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛

--1..1'222

11''

z y x Rz Ry z y x 综上所述就可以得到空间一曲线绕一固定空间直线旋转所得到的空间曲面方程的表达 式：

⎪⎪

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛--1..).(..111''

'z y x Rz Ry R Rz Ry z y x θ 此过程用mathematica 实现编程：

任取一空间曲线}1,sin ,,{t t t x =，旋转轴的方向向量为}1,1,1{=→

h 则有

h={1,1,1}

u=h/Norm[h]

x={t,t,Sin[t], 1}

sin α=u[[2]]/22]]2[[]]1[[u u +; cos α=u[[1]]/22]]2[[]]1[[u u +; sin β=22]]2[[]]1[[u u + cos β=u[[3]];

Rz={{cos α,-sin α,0 ,0},{sin α,cos α,0,0},{0,0,1,0},{0,0,0,1}}; Ry={{cos β,0,sin β,0 },{0,1,0,0},{-sin β,0,cos β,0},{0,0,0,1}}; R[θ_]:={{Cos[θ],-Sin[θ],0 ,0},{Sin[θ],Cos[θ],0,0},{0,0,1,0},{0,0,0,1}}

P=Rz.Ry.R[θ].Inverse[Ry].Inverse[Rz].x 得到空间旋转曲面的方程为： X=P[[1]]//Simplify Y=P[[2]]//Simplify Z=P[[3]]//Simplify

sin(t))

+ t 2+)cos( sin(t))-(t +)sin( sin(t) 3+

)sin(t 3(- 1/3)(t,θθθθ=x

sin(t))

+ t 2+)cos( sin(t))-(t +)sin( sin(t) 3-)sin(t 3( 1/3),(θθθθ=t y

sin(t))

t 2)cos( t)-(sin(t) (2 1/3),(++=θθt z