中考几何探究题目选(四).

纯几何探究（四）

1．课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：

如图1，己知四边形ABCD 中，AC 平分DAB ∠,

︒=∠60DAB ,

B ∠与D ∠互补，求证：

AC AD AB 3=+．

小敏反复探索，不得其解．她想， 若将四边形ABCD 特殊化，看如何 解决该问题．

（1）特殊情况入手

添加条件：“D B

∠=∠”, 如图2，可证

AC AD AB 3=+．

（请你完成此证明）

（2）解决原来问题

受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3， 过C 点分别作AB 、AD 的垂线，垂足分别为E 、F ． （请你补全证明）

2. (本小题满分8分)

如图8-1，已知P 为正方形ABCD 的对角线AC 上一点(不与A 、C 重合)，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F .

(1) 求证：BP =DP ；

(2) 如图8-2，若四边形PECF 绕点C 按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP =DP ？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；

(3) 试选取正方形ABCD 的两个顶点，分别与四边形PECF 的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形

PECF 绕点C 按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .

图8-2

图

8-1

3、（北京课改B卷）我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称

这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：

（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；

（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．

4、（福建漳州卷）如图，

已知矩形3ABCD AB BC ==，，在BC 上取两点E F ，（E 在F 左边），以EF 为边作等边三角形PEF ，使顶点P 在AD 上，PE PF ，分别交AC 于点G H ，．

（1）求PEF △的边长；

（2）在不添加辅助线的情况下，当F 与C 不重合时，从图中找出一对相似三角形，并说明理由；

（3）若PEF △的边EF 在线段BC 上移动．试猜想：PH 与BE 有何数量关系？并证明你猜想的结论．

（第27题） B

5、（湖南常德卷）把两块全等的直角三角形ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，其中90ABC DEF ∠=∠=，

45C F ∠=∠=，4AB DE ==，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点O 旋转，

设射线DE 与射线AB 相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q ．

（1）如图1，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证APD CDQ △∽△．此

时，AP

CQ =· ． （2）将三角板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中

090α<<，问AP CQ ·的值是否改变？说明你的理由．

（3）在（2）的条件下，设CQ x =，两块三角板重叠面积为y ，求y 与x 的函数关系式．（图2，图3供解题用）

Ｂ

Ｅ

E 图1 图2

图3

6.(25T)(大连市14分)如图25－1，正方形ABCD 和正方形QMNP ，∠M =∠B ，M 是正方形ABCD 的对称中心，MN 交AB 于F ，QM 交AD 于E ． ⑴求证：ME = MF ．

⑵如图25－2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段ME 与线段MF 的关系，并加以证明．

⑶如图25－3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB = m BC ，其他条件不变，探索线段ME 与线段MF 的关系，并说明理由．

⑷根据前面的探索和图25－4，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题；若不能，请说明理由．

图25 - 4

图25 - 3

图25 - 2

图25 -1

N

7.问题解决

如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重

合），压平后得到折痕MN ．当

12CE CD =时，求AM

BN

的值．

类比归纳

在图（1）中，若

13CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若14CE CD =，则AM

BN 的值等于 ；若1CE CD n =（n 为整数），则AM

BN

的值等于 ．（用含n 的式子表示） 联系拓广

如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AM

BN 的值等于 ．（用含m n ，的式子表示）

..

方法指导：

为了求得AM BN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2

图（2）

A

B

C

D E

F M

8.（2009年江西省）25．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离； （2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.

①当点N 在线段AD 上时（如图2），P M N △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN

△的周长；若改变，请说明理由； ②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.

A D E

B

F C

图4（备用）

A

D E

B

F C

图5（备用）

A D E B

F C

图1 图2 A D E

B

F C P

N

M 图3 A D E

B

F

C

P

N

M （第25题）