第六章-定积分习题(期末)

1
0
0
= 1 x2dx
3
(2 x)dx
0
1
=
x3 3
1 0
2
x
1 2
3
x
2
1
1 3
b
b
【例5】设 f ( x)为连续函数，求a f ( x)dx a f (a b x)dx
解: 令t a b x , 则dt dx ,当 x a 时, t b; 当 x b 时, t a.
a
f ( x)dx 2
a
f ( x)dx,
0
f ( x)是偶函数
二、积分上限函数与牛顿—莱布尼兹公式
1．积分上限函数：设函数 f ( x)在区间a,b 上连续，则称
x
F ( x) a f (t)dt
2．积分上限函数的微分 dx
(1) dx a f (t)dt f ( x)
(2) d (x) f (t)dt f (( x) ( x).
0
2．无界函数的反常积分
b
b
设 a为 f ( x)的瑕点, 则
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
ta t
设b 为 f ( x)的瑕点,则
b
t
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
tb a
设 c (a c b)为 f ( x)的瑕点，则有
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
2
sin
x
2
2
2
注：当定积分的被积函数中包含绝对值符号时，必须设法将
其去掉，并且要特别注意被积函数的符号．
x 1, x 1
【例3】设
f
(
x)
1 2
x2,
x
1
,求
2
f ( x)dx
0
解:
2
f ( x)dx
1
( x 1)dx
2 1 x2dx
0
0
12
=
x2 2
1 x
0
1 6
x
3
2 1
8 3
x2 , x 1
【例4】设
f
(
x)
2
x,
1
x
,
求
2
f ( x 1)dx
1
分析：利用变量代换将 f ( x 1) 在 1,2上的定积分 化为 f (t )在0, 3上的定积分再计算。
解:设 t x 1 ,则 dt dx
2
3
3
f ( x 1)dx f (t)dt f ( x)dx
b
m(b a) a f ( x)dx M (b a)
⑨定积分中值定理：如果函数 f ( x) 在闭区间a,b 上连续,
则至少存在一点 (a,b) ,使下式成立：
b
a f ( x)dx f ( )(b a)
⑩奇偶对称性：若 f ( x)在 a, a上连续，则
a
0，
f ( x)是奇函数
该积分的瑕点。
解：
2 dx
1 dx
2 dx
0 1 x2 0 1 x2 1 1 x2
因为
1 dx
01 x2
ln
1 1
x 10 x 0
故该积分发散．
注：由于定积分与瑕积分的表达式没有区别，在计算积分时 要特别注意。
常见的错误做法：
2 dx 1 x 2
0
1
x2
ln
1
x
0
ln 3.
错误在于将反常积分误认为定积分。
21 u1
21 1 u du
=2u
ln(1
u)2 1
2
1
ln
2 3
【例8】计算定积分 a x 2 a 2 x 2 dx (a 0) 0
解: 令x a sin t, 则 dx a cos t.
当 x 0时, t 0; 当x a 时, t .
2
a x2 0
a2 x2 dx 2 a2 sin2 t a cos t a cos tdt 0
旋转体的体积，即
dVx (12 sin2 x)dx
（3）求定积分：绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积表示为
dA ( y2 y1 )dx [ x ( x 2 2x)]dx ( x 2 3x)dx
（3） 求定积分：所求的几何图形的面积表示为
A 3 ( x2 3x)dx 0
计算上面的积分得： A
3
(
x2
3 x )dx
9.
0
2
【例5】设由曲线
y
sin x (0
x
)，y
2
1
及x
0围成
如图所示。 如果取 x为积分变量, 则x [0, 3]. x [0, 3],
设区间[ x, x dx]所对应的曲边梯形面积为A, 则面积元
素 dA就是在 [ x, x dx] 上以“以直代曲”所形成的矩形面积。
解：(1) 确定积分变量和积分区间：
由于曲线 x y 0 和 y x 2 2x
“以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须
是无穷小量之间的代替。将局部[ x, x dx] [a, b]上所对
应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成
定积分 b f ( x)dx ． a
2. 在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤： ①选取适当的坐标系；
②确定积分变量和变化范围；
a4
2
sin2 t cos2 tdt
a4
2 sin2 2tdt
0
40
a4
2
1
cos
4t
dt
40 2
a4 8
t
1 4
sin
4t
2 0
a4
16
1
【例9】计算定积分0 x arctan xdx
解:
1
1
x2
x arctan xdx arctan xd( )
0
0
2
x2 2
arctan
然后利用牛顿—莱布尼兹公式计算，即
b
a f ( x)dx F (b) F (a)
1．换元积分法
b
b
（1）凑微分法：a f ( ( x)) ( x)dx a f ( ( x))d( ( x))
（2）变量置换法：函数 x (t)满足条件：
( ) a, ( ) b
b
x (t )
的交点为(0, 0)和 (3, 3),
取 x为积分变量, 则 x [0, 3].
（2）求微元：任取 x [0, 3], [x, x dx] [0, 3].
如果将图形上方直线的纵坐标记为 y2 x ,
将图形下方抛物线的纵坐标记为 y1 x 2 2x,
那么，dA就是区间[ x, x dx]所对应的矩形的面积。因此
f ( x)dx f (t) (t)dt
a
2．分部积分法：
b
udv
a
uv
b a
b
vdu
a
四、反常积分
1．无穷限的反常积分
t
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
t a
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
t t
0
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
⑤区间长：
b
1dx b a
a
⑥保号性：如果在区间a, b
上,
f
(x)
0
，则
b a
f
( x)dx
0
⑦单调性：如果在区间a,b 上, f ( x) g( x) 则
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx
⑧估值定理：设M 和 m 分别是函数 f ( x)在区间a, b 上的
最大值和最小值，则
平面图形A绕x 轴,y 轴旋转而成的旋转体的体积。
分析：此题为求解旋转体体积的问题，绕 x轴旋转时，
取 x为积分变量; 绕y 轴旋转时, 取 y 为积分变量。
对 x [0, ] 或对 y [0,1], 设区间 [ x, x dx]
2
或 [ y, y dy]所对应的曲边梯形为S, 是以直代曲
所形成的矩形为 S1, 则绕 x 轴、y轴旋转而成的旋
1
1
x2 dx 1
ln xd( ) x
1 x
ln
x
1
1 1 x2 dx
lim
x
ln x x
1 x
1
0 lim 1 1 1 x x
【例18】求积分
2 dx 01 x2
分析：被积函数
1
1 x
2
在积分区间0
,2
上不是连续的，
牛顿—莱布尼兹公式失效．这是一个反常积分。x 1
在应用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分时，必须注 意其使用条件，即被积函数在积分区间内必须连续．
定积分应用
一、定积分应用的类型
几何应用
平面图形的面积 特殊立体的体积
旋转体的体积
平行截面面积为 已知立体的体积
二、构造微元的基本思想及解题步骤
1. 构造微元的基本思想 无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。 元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、
③在[x, x dx]上求出微元解析式（积分式）。
④把所求的量表示成定积分
b a
f
( x)dx.
三、典型例题
1. 几何应用 定积分的几何应用包括求平面图形的面积、特殊立体的
体积。解决这些问题的关键是确定面积元 素、体积元素。
【例1】求由 x y 0, y x2 2x 所围成图形的面积。
分析：在直角坐标系下,由给定曲线所围成的几何图形
转体的体积微元dV就是矩形S1分别绕x 轴、y 轴
旋转而成的体积.
解: (一) 求 x 绕轴旋转而成的旋转体的体积
（1）确定积分变量和积分区间：绕 x 轴旋转如图, 取 x 为积分变量,则 x [0, ].
2
（2）求微元：对 x [0, ],
2
[x, x dx] [0, ],
2
旋转体体积元素 dVx 是[x, x dx]对应的矩形绕 x 轴所得的
则
b
a
a f (a b x)dx b f (t )(dt )
b
b
a f (t)dt a f ( x)dx
故
b
b
a f ( x)dx a f (a b x)dx 0
【例7】求定积分 4 dx
1 1 x
解:设 x u ,则 x u2 , dx 2udu.
4 dx
2 2udu
1 1 x 1 1 u
dx a
(3) d (x) f (t)dt f ( x)( x) f ( x) ( x)
dx ( x)
3．牛顿—莱布尼兹公式：若函数 F ( x)为连续函数 f ( x)
在区间a,b 上的个原函数，则
b
a f ( x)dx F (b) F (a)
三、定积分的计算方法
求定积分的总体原则：先求被积函数 f ( x) 的原函数 F ( x) ,
t
b
lim f ( x)dx lim f ( x)dx
tc a
tc t
五、典型例题
【例1】设 f ( x)在 a,b上有连续导数，且 f ( x)是 f ( x) 在 a,b上的一个原函数, f (a) b, f (b) a , 求
b
a f ( x)dx
解： 由于 f ( x)在a,b 上连续, 且 f ( x) 是 f ( x)在 a,b
1 x
0
1 0
x2 2
1 1 x2
dx
1 1
1
82
0 (1 1 x2 )dx
1 x arctan x1
82
0
1 (1 ) 1
82 4 42
3
【例10】求定积分
4 3
(1
arctan
x)
1 cos 2xdx
4
分析：由于积分区间为对称区间，可考虑被积函数是否
具有奇偶性或部分具有奇偶性．
3
3
解: 原式
4 3
1 cos 2xdx
4 3
arctan
x
1 cos 2xdx
4
4
3
3
4 3
1 cos 2xdx 2
4 0
4
3
2 4 2 cos x dx 0
1 cos 2xdx
2
2
2 cos xdx 2
0
2
4
(
cos
x)dx
4
22
2
【例11】设 u
上的一个原函数，故
b f ( x)dx f ( x) b f (b) f (a) a b
a
a
【例2】求定积分
1 cos 2xdx
0
解： 1 cos 2xdx 2cos2 xdx
0
0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2 0 cos x dx
2 2 cos xdx 0
2 cos xdx
2
2 sin x 2 0
x3 x2
dt ,
1 t4
求 du dx
x3 dt
解：因为 u
x2 1 t4
0 dt
x3 dt
x2 1 t4 0 1 t4
x2 dt
x3 dt
0 1 t4 0 1 t4
所以
du 3x2
2x
dx 1 x12 1 x8
【例17】求反常积分
ln x 1 x2 dx
解：
ln x
则 f ( x) 在a,b 上可积.
4．定积分的性质
①反号性：
b
a
f
( x)dx
a
b
f ( x)dx
②与积分变量无关性：
b a
f
( x)dx
b
a
f
(t )dt
③线性性质：b a
(k1
f
(
x
)
k2
g(
x))dx
k1
b
a f ( x)dx k2
b
g( x)dx
a
b
c
b
④区间可加性: a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
第六章 定积分习题课
一、定积分的概念与性质
1．定积分的定义：
b
n
a
f ( x)dx lim 0 i1
f (i )xi
定积分定义的四要素：分割；近似；求和；取极限
2．定积分的几何意义：
y
曲边梯形的面积
b
A a f ( x)dx
y f (x)
用图表示:
0a
bx
3．可积的充分条件
① 若f ( x)在区间a,b 上连续，则 f ( x) 在a,b 上可积. ② 若 f ( x) 在区间a,b 上有界，且只有限个间断点，