随机信号通过线性系统分析

如果x(t)和h(t)绝对可积，即
y(t ) | x(t ) | d ,




| h(t ) | d
那么它们的傅立叶变换存在，即
X ( ) x(t )e jt dt

H ( ) h(t )e jt dt

0
h( ) E[ X (t )]d h( )mX (t )d
0 0


h(t ) mX (t )
3. 系统输入和输出之间的互相关函数 当系统的输出是输入随机信号作用于系统的结果 时，输出与输入将是相关的，其相关性由输入与输出之 间互相关函数描述。
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )] E[ X (t1 ) h(u ) X (t2 u )du]
0
h(u ) E[ X (t1 ) X (t2 u )]du h(u ) RX (t1 , t2 u )du
0 0


RX (t1 , t2 ) h(t2 )
若用卷积形式表示输入与输出的互相关函数及输出 的自相关函数为
RXY ( ) RX ( ) h( )
RYX ( ) RX ( ) h( ) RY ( ) RX ( ) h( ) h( )
RY ( ) RXY ( ) h( )
RY ( ) RYX ( ) h( )
同理
RYX (t1 , t2 ) RX (t1 , t2 ) h(t1 )
4. 系统输出的自相关函数 已知输入随机信号的自相关函数，求给定系统输 出端的自相关函数。
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
RY (t1 , t2 ) E[Y (t1 )Y (t2 )] E[ h(u ) X (t1 u )du h(v) X (t2 v)dv]
重点及其要求：

（1）掌握以下五条性质： 1.双侧宽或严平稳随机 信号通过线性系统后的输出仍是宽或严平稳的，且 输入与输出联合宽平稳；2.双侧宽遍历随机信号通 过线性系统后的输出仍是宽遍历的；3.高斯随机信 号通过线性系统后的输出仍然是高斯随机信号；4. 若线性系统的输入随机信号的带宽远大于系统的带 宽，则无论输入信号具有何种概率密度函数，系统 输出的概率密度函数皆近似于高斯分布；5.线性系 统输出的随机信号的相关时间与系统的带宽成反比。
（1）. 双侧随机信号 在这种情况下，系统相应在t=0时已处于平稳。假设X(t) 具有平稳性和遍历性，则在系统输出端可得到下列几条 重要结论。 1. 若输入X(t)是宽平稳的，则系统输出Y(t)也是宽平稳 的，且输入与输出联合宽平稳。
RXY (t1 , t2 ) h(u) RX (t2 t1 u)du h(u) RX ( u)du RXY ( )
y(t c) L[ x(t c)]
则称系统为时不变系统。
满足上两式的系统称为线性时不变系统。在无线电设 备中，常遇到的低频RC放大器、线性滤波器等都属于 这一系统。
4.1 线性系统的基本理论
（二）连续时不变线性系统
设x(t)是连续时不变线性系统的输入，则系统输出由卷 积积分得到
y(t ) h( ) x(t )d x( )h(t )d x(t ) h(t )
，则有
Y ( z) H ( z) X ( z)
H(z)与h(n)是一对拉氏变换对，即
H ( z)
h( n)
n
h( n) z

n
1 n 1 dz l H ( z) z 2j
式中l表示包含 H ( z ) z n1 所有极点的单位圆。
4.1 线性系统的基本理论
R
X (t )
~
C
RC电路
Y (t )
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
解： （1）有题意得： RX ( )
输出自相关函数为
RY ( ) h(u )du h(v) R X ( v u )dv
0 0
N0 (t ) 2 h(t ) bebtU (t )
第四章 随机信号通过线性系统的分析
主要内容：

随机信号通过线性系统的分析，是统计信号处理的 基础。本章介绍了计算线性系统（连续系统和离散系 统）输出二阶统计统计特性的两种基本方法－－－时 域中的卷积法和频域分析法；讨论了线性系统输出端 概率密度的计算问题；定义了系统的等效噪声带宽等 概念。
第四章 随机信号通过线性系统的分析
y(n)
k
h(k ) x(n k ) x(k )h(n k ) x(n) h(n)
k


如果x(n)和h(n)绝对可和，即
k
| x(k ) |
j

k
| h(k ) |

那么它们的离散傅立叶变换存在(T=1)，即
X (e ) H (e )
H (s) h(t )est dt

1 j h(t ) H ( s)e st ds 2j j
4.1 线性系统的基本理论
如果系统的单位冲激响应满足
h(t ) 0 当t 0时
那么该系统称为因果系统。所以实际运行的物理可实现 系统都是因果的。于是对于物理可实现的系统来说
如果系统的单位冲激响应满足
h(n) 0 当n 0时
那么该系统称为因果系统。所以实际运行的物理可实现 系统都是因果的。于是对于物理可实现的系统来说
y ( n) h( k ) x ( n k )
k 0
物理可实现的稳定系统的的极点都位于z平面的单位圆内。 以下分析讨论中，均限定系统是单输入单输出的、连续或离 散时不变的、线性的和物理可实现的稳定系统。
y(t ) h( ) x(t )d x( )h(t )d
0 t
物理可实现的稳定系统的传递函数H(s)之所有极点都位 于s平面左半面（不包含虚轴）。
4.1 线性系统的基本理论
（三）离散时不变线性系统
离散时不变线性系统输出y(n)与输入x(n)之间的关系是
第四章 随机信号通过线性系统的分析
（2）学会运用时域中的卷积法和频域分析法，计算平 稳随机信号激励下系统输出的二阶统计特性，计算 高斯随机信号激励下系统输出端的概率密度。 （3）会计算系统的等效噪声带宽。
4.1 线性系统的基本理论
（一）时不变线性系统
x(t )
L[]
y(t )
x(n)
图4.1 线性系统示意图
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
（一）时域分析方法
1.输出的表达式 如果现在输入为对应于随机信号X(t) 某个实验结果的一个样本函数x(t, )，由于样本函数 是确定性的时间函数，则有
y(t , ) h( ) x(t , )d
0
对于不同的，就可在系统输出端得到一族样本函数， 这族样本函数构成一个新的随机信号，记为Y(t),此时 可将上式写为
RY (t1 , t2 ) h(t1 ) RXY (t1 , t2 ) h(t2 ) RYX (t1 , t2 )
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
RX (t1 , t2 )
h(t 2 )
RXY (t1 , t2 )
h(t1 )
RY (t1 , t2 )
图4.2 输出输入二阶矩之间的关系
4.1 线性系统的基本理论
1 h(t ) 2



H ( )e jt d
设y(）是输出y(t)的傅立叶变换，则有
Y ( ) H ( ) X ()
通常上式中以 s j 代替j，可把上式写成拉氏 变换的形式，即 Y ( s) H ( s) X ( s) H(s)与h(t)是一对拉氏变换对，即
Y (t ) h( ) X (t )d h(t ) X (t )
0
积分在均方意义下存在。
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
2. 输出的均值 输出的均值。 已知输入随机信号的均值，求系统

mY (t ) E[Y (t )] E[ h( ) X (t )d ]
b 1 ( RC)
h(u )du
0


0
N N h(v) 0 ( v u )dv 0 2 2


0
h(u )h( u )du
因此对于白噪声输入情况，输出自相关函数正比于单位冲 击响应函数的卷积。于是有 当 0 时 N 0 bu b (u ) N 0b 2 b 2bu N b RY ( ) be be du e e du 0 e b 0 2 0 2 4
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
由于自相关函数的偶对称性，则当 0 时有
同理可证明
Y (t )Y (t ) RY ( )
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
例4.1 如下图的低通RC电路，已知输入X(t)是宽平稳的双侧 随机信号，自相关函数为 ( N0 2) (t ) 的白噪声，求： （1） 输出的自相关函数； （2）输出的平均功率 ；（3）输入 与输出的互相关函数 RXY ( )与RYX ( ) 。
j n
x ( n )e

jn
n
h(n)e jn
4.1 线性系统的基本理论
1 h( n) 2



H (e j )e jn d
设y(ej）是输出y(n)的傅立叶变换，则有
Y (e j ) H (e j ) X (e j )
若在上式中令 z e j
0 0
mY (t ) mX h( )d
0


RY (t1 , t2 )
0

0


0
h(u)h(v) RX (t2 t1 v u )dudv


0
h(u)h(v) RX ( v u )dudv RY ( )
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
0 0


0
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0
h(u )h(v) E[ X (t1 u ) X (t2 v)]dudv h(u )h(v) RX (t1 u, t2 v)dudv h(t1 ) h(t2 ) RX (t1 , t2 )
0
0
此外还能给出输出自相关函数 RY (t1 , t2 ) 与 RXY (t1 , t2 ) 及 RYX (t1 , t2 ) 之间的关系式，即
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
2. 若输入X(t)是严平稳的，则输出Y(t)也是严平稳的。
3. 若输入X(t)是宽遍历的，则输出Y(t)也是宽遍历性的。 证明：由X(t)的宽遍历性定义得
X (t ) mX
X (t ) X (t ) RX ( )
1 T 1 T Y (t ) lim Y (t )dt lim [ h(u ) X (t u )du]dt T 2T T T 2T T 0 1 T [lim X (t u )dt] h(u )du m X h(u )du mY 0 T 2T T 0
5. 系统输出的高阶矩
下面不加证明地给出输出n阶矩的一般表达式
E[Y (t1 )Y (t2 )Y (tn )] E[ X (t1 ) X (t2 ) X (tn )] h(t1 ) h(t2 ) h(tn )
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
（二）系统输出的平稳性及其统计特性计算
y (n)
离散和连续时间系统 双侧系统和单侧系统
4.1 线性系统的基本理论
若对于任意常数a和b、输入信号x1(t)和x2(t)，有
L[ax1 (t ) bx2 (t )] aL[ x1 (t )] bL[ x2 (t )]
则称系统为线性系统。 若输入信号x(t)时移c段时间，输出y(t)也只引起一 个相同的时移，即