2017年中考数学专题复习八：几何证明题

2017年中考数学专题复习八：几何证明题

专题八：几何证明题

【问题解析】

几何证明题重在训练学生应用数学语言合情推理能力，几何证明题和计算题在中考中占有重要地位．根据新的课程标准，对几何证明题证明的方法技巧上要降低，繁琐性、难度方面要降低．但是注重考查学生的基础把握推理能力，所以几何证明题是目前常考的题型．

【热点探究】

类型一：关于三角形的综合证明题

【例题1】（2016·四川南充）已知△ABN 和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．

（1）求证：BD=CE；

（2）求证：∠M=∠N．

【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等即可

（2016·山东省菏泽市·3分）如图，△ACB 和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．

（1）如图1，若

∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°

①求证：AD=BE；

②求∠AEB的度数．

（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．

类型二：关于四边形的综合证明题

【例题2】（2016·山东省滨州市·10分）如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．

（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；

（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值．

【考点】平行四边形的判定与性质；角平分线的性质．

【分析】（1）结论四边形EBGD是菱形．只要证明BE=ED=DG=GB即可．

（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC 交BD于点H，此时HG+HC最小，在RT△EMC中，求出EM、MC即可解决问题．

【解答】解：（1）四边形EBGD是菱形．

理由：∵EG垂直平分BD，

∴EB=ED，GB=GD，

∴∠EBD=∠EDB，

∵∠EBD=∠DBC，

∴∠EDF=∠GBF，

在△EFD和△GFB中，

，

∴△EFD≌△GFB，

∴ED=BG，

∴BE=ED=DG=GB，

∴四边形EBGD是菱形．

（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC 交BD于点H，此时HG+HC最小，

在RT△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=2，

∴EM=BE=，

∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，

∴EM∥DN，EM=DN=，MN=DE=2，

在RT△DNC中，∵∠DNC=90°，∠DCN=45°，∴∠NDC=∠NCD=45°，

∴DN=NC=，

∴MC=3，

在RT△EMC中，∵∠EMC=90°，

EM=．MC=3，

∴EC===10．

∵HG+HC=EH+HC=EC，

∴HG+HC的最小值为10．

【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称找到点H的位置，属于中考常考题型．【同步练】

（2016·山东省济宁市·3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB 至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．（1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；

（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．

类型三：关于圆的综合证明题

【例题3】（2016·山东潍坊）正方形ABCD 内接于⊙O，如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：（1）四边形EBFD是矩形；

（2）DG=BE．

【考点】正方形的性质；矩形的判定；圆周角定理．

【分析】（1）直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出

∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，

∠EDF=90°，进而得出答案；

（2）直接利用正方形的性质的度数是90°，进而得出BE=DF，则BE=DG．

【解答】证明：（1）∵正方形ABCD内接于⊙O，

∴∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，又∵DF∥BE，

∴∠EDF+∠BED=180°，

∴∠EDF=90°，

∴四边形EBFD是矩形；

（2））∵正方形ABCD内接于⊙O，

∴的度数是90°，

∴∠AFD=45°，

又∵∠GDF=90°，

∴∠DGF=∠DFC=45°，

∴DG=DF，

又∵在矩形EBFD中，BE=D

【同步练】

（枣庄市 2015 中考 -24）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求证：BC2=CD•2OE；

（3）若cos∠BAD=3

，BE=6，求OE的长．

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类型四：关于相似三角形的证明问题

【例题4】（2016·黑龙江齐齐哈尔·8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．

（1）求证：△ACD∽△BFD；

（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．

【考点】相似三角形的判定与性质．

【分析】（1）由∠C+∠DBF=90°，

∠C+∠DAC=90°，推出∠DBF=∠DAC，由此即可证明．

（2）先证明AD=BD，由△ACD∽△BFD，得==1，即可解决问题．

【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，

∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，

∴∠DBF=∠DAC，