(完整word版)垂直平分线的性质与判定练习题

垂直平分线专项练习30题(有答案)ok

垂直平分线专项练习30题(有答案)ok垂直平分线专项练习30题（有答案）1．如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，DE⊥AB于点D，交BC于点E，AC=AD=BD，请你猜想∠C的度数并证明．2．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC 于点M，求证：BN=CM．3．如图，在△ABC中，D是BC的垂直平分线DH上一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC交AC的延长线于E，且BF=CE．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=80°，求∠DCB的度数．4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=52°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求∠DBC的度数．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E．求证：BC垂直且平分DE．6．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F．求证：∠BAF=∠ACF．7．如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P．（1）求证：PA=PB=PC；（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，AC=5cm，求BD的长．9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF，求证：∠CAF=∠B．10．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）∠EAD=∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC=∠B．11．如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF 的理由．12．如图所示，在△ABC中，AB=AC=16cm，D为AB的中点，DE⊥AB交AC于E，△BCE的周长为26cm，求BC的长．13．如图，在△ABC中，EN，DM分别是AB，AC边的垂直平分线，BC=8cm．求△AED的周长．14．如图，在△ABC中，0E，OF分别是AB，AC的中垂线，∠ABO=20°，∠ABC=45°，求∠BAC和∠ACB的度数．15．如图所示，△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点E，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G，则BF=CG吗？说明理由．16．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？17．如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．（1）求∠PAQ的度数；（2）如图2，△ABC中，AB＞AC，且90°＜∠BAC＜180°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．①若∠BAC=130°，则∠PAQ=_________°，若∠BAC=α，则∠PAQ用含有α的代数式表示为_________；②当∠BAC=_________°时，能使得PA⊥AQ；③若BC=10cm，则△PAQ的周长为_________cm．18．如图，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，△EBC的周长是24cm，求BC 的长度．19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=32，AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点E、D．（1）若△DBC的周长为56，求BC的长；（2）若BC=21，求△DBC的周长．20．在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE 的周长为6cm．（1）求BC的长；（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．21．如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：AD垂直平分EF．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．23．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于P、Q．（1）若BC=10，求△APQ周长是多少？（2）若∠BAC=110°，求∠PAQ的度数是多少？24．已知，如图，AD是BC的垂直平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：（1）∠ABD=∠ACD；（2）DE=DF．25．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF．求证：AD垂直平分EF．26．如图，△ABC中，E是BC边上的中点，DE⊥BC于E，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，BM=CN 试证明：点D在∠BAC的平分线上．27．如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．28．如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE=CF．29．已知，如图，DE为△ABC的边AB的垂直平分线，CD为△ABC的外角平分线，与DE交于D，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，求证：AN=BM．30．如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=4，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，过点D作DE⊥AB 于点E，DF⊥AC（或AC的延长线）于点D．（1）求证：BE=CF；（2）求AE的长．参考答案：1．解：∠C=90°．证明：如图，连接AE，在Rt△AED和Rt△BED中，，∴△AED≌△BED（HL），∴∠DAE=∠B，又∵∠BAC=2∠B，∴∠DAE=∠CAE，在△AED和△BED中，，∴△ACE≌△ADE，∴∠C=∠ADE=90°．2．证明：连接PB，PC，∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，∵P在BC的垂直平分线上，∴PC=PB，在Rt△PMC和Rt△PNB中，∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），∴BN=CM．3．（1）证明：如图，连接BD，∵DH垂直平分BC，∴BD=CD，在Rt△BDF和Rt△CDE中，，∵DF⊥AB于F，DE⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴∠CDE=∠BDF，∴∠BDC=∠EDF，∵∠BAC=80°，∴∠EDF=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∴∠BDC=100°，∵BD=CD，∴∠DCB=（180°﹣100°）=50°4．解：∵AB=AC，∠A=52°，∴∠ABC=∠ACB==64°，∵AB的垂直平分线MN，∴AD=BD，∠A=∠ABD=52°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=64°﹣52°=12°5．证明：在△ADC中，∠DAH+∠ADH=90°，∠ACH+∠ADH=90°，∴∠DAH=∠DCA，∵∠BAC=90°，BE∥AC，∴∠CAD=∠ABE=90°．又∵AB=CA，∴在△ABE与△CAD中，∴△ABE≌△CAD（ASA），∴AD=BE，又∵AD=BD，∴BD=BE，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，故∠ABC=45°．∵BE∥AC，∴∠EBD=90°，∠EBF=90°﹣45°=45°，∴△DBP≌△EBP（SAS），∴DP=EP，即可得出BC垂直且平分DE6．证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2，∵FE是AD的垂直平分线，∴FA=FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），∴∠FAD=∠FDA（等边对等角），∵∠BAF=∠FAD+∠1，∠ACF=∠FDA+∠2，∴∠BAF=∠ACF7．证明：（1）∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，∴PA=PB，PB=PC．∴PA=PB=PC．还可得出结论：①三角形三边的垂直平分线相交于一点．②这个点与三顶点距离相等8．解：因为CE垂直平分AD，所以AC=CD=5cm．所以∠ACE=∠ECD．因为CD平分∠ECB，所以∠ECD=∠DCB．因为∠ACB=90°，所以∠ACE=∠ECD=∠DCB=30°．所以∠A=90°﹣∠ACE=60°．所以∠B=90°﹣∠A=30°．所以∠DCB=∠B．所以BD=CD=5cm9．证明：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∠ADF=∠DAF，∵∠ADF=∠B+∠BAD，∠DAF=∠CAF+∠CAD，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CAF=∠B10．解：（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴AE=DE，∴∠EAD=∠EDA；（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵AD是∠BAC平分线，∴∠FAD=∠CAD，∴∠FDA=∠CAD，∴DF∥AC；（3）∵∠EAC=∠EAD﹣∠CAD，∠B=∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD=∠CAD，∠EAD=∠EDA，∴∠EAC=∠B11．解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF12．解：∵点D中AB的中点，DE⊥AB，∴DE是AB的中垂线，∴AE=BE，∴△BCE的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=26，∴BC=26﹣AC=26﹣16=10cm13．解：∵EN，DM分别是AB，AC边的垂直平分线，∴BE=AE，CD=AD，14．解：连接AO并延长，交BC于点D，∵0E，OF分别是AB，AC的中垂线，∴OB=OA，OC=OA，∴OC=OB，∠ABO=∠BAO=20°，∠CBO=∠BCO，∠CAO=∠ACO，∵∠ABC=45°，∴∠CBO=∠BCO=25°，∴∠BOC=180°﹣∠CBO﹣∠BCO=130°，∵∠BOD=∠ABO+∠BAO，∴∠BOD=40°，∠COD=90°．∵∠COD=∠CAO+∠ACO，∴∠CAO=45°，∴∠BAC=∠BAO+∠CAO=65°，∠ACB=∠BCO+∠ACO=70°15．解：BF=CG；理由如下：因为点E在BC的垂直平分线上，所以BE=CE．因为点E在∠BAC的角平分线上，且EF⊥AB，EG⊥AC，所以EF=EG，在Rt△EFB和Rt△EGC中，因为BE=CE，EF=EG，所以Rt△EFB≌Rt△EGC（HL）．所以BF=CG16．解：∵BC边的垂直平分线DE，∴BE=CE=5，∵BE+CE+BC=18，∴BC=18﹣5﹣5=8，答：BC的长是817．解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=130°﹣50°=80°；（2）①∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=130°﹣50°=80°；∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=α，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣α，∴∠BAP+∠CAQ=180°﹣α，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=α﹣（180°﹣α）=2α﹣180°；②当∠PAQ=90°，即2α﹣180°=90°时，PA⊥AQ，解得：α=135°，∴当∠BAC=135°时，能使得PA⊥AQ；③∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∵BC=10cm，即BP+PQ+CQ=AP+PQ+AQ=10cm，∴△PAQ的周长为10cm．故答案为：①80，2α﹣180°；②135；③1018．解：在△ABE中，∵D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，∴AE=BE；在△ABC中，∵AB=AC=14cm，AC=AE+EC，又∵CE+BE+BC=24cm，∴BC=10cm19．解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴AD+CD=BD+CD=AC，∵△DBC的周长为56，AC=32，∴BC=56﹣32=24；（2）∵AD=BD，AC=32，∴AD+CD=BD+CD=AC=32，∵BC=21，∴△DBC的周长=BD+CD+BC=32+21=53．故答案为：24；5320．解：（1）∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线，∴AD=BD，AE=CE，∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE=6cm，∴BC=6cm；（2）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，∴OA=OC=OB，∵△OBC的周长为16cm，即OC+OB+BC=16，∴OC+OB=16﹣6=10，∴OC=5，∴OA=OC=OB=5．21．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，∴∠EDA=180°﹣∠AED﹣∠EAD，∠FDA=180°﹣∠AFD﹣∠FAD，∴∠EDA=∠FDA，∵DE=DF（已证），∴DG垂直平分EF（三线合一），即AD垂直平分EF．22．证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠FAC=∠B23．解：（1）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，∴AP=BP，AQ=CQ，∴△APQ周长=AP+PQ+AQ=BP+PQ+QC=BC，∵BC=10，∴△APQ周长=10；（2）∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，∵AP=BP，AQ=CQ（已证），∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∴∠PAQ=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ=∠BAC﹣∠B﹣∠C=110°﹣70°=40°24．证明：（1）∵AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC，BD=CD，∴∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，∴∠ABD=∠ACD；（2）∵AB=AC，AD是BC的垂直平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF25．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（HL），∴AE=AF，又∵AD平分∠BAC，∴AD垂直平分EF26．证明：如图，连接BD、CD，∵DE⊥BC，E是BC边上的中点，∴BD=CD，在△BDM和△CDN中，，∴△BDM≌△CDN（HL），∴DM=DN，又∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上．27．解：∵DE为AB的中垂线，∴AE=BE，∵FG是AC的中垂线，∴AG=GC，△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，所以△AEG的周长为BC的长度即7．故答案为：728．解：连接DB．∵点D在BC的垂直平分线上，∴DB=DC；∵D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF；∵∠DFC=∠DEB=90°，在Rt△DCF和Rt△DBE中，，∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），∴CF=BE（全等三角形的对应边相等）．29．证明：∵DE为△ABC的边AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵CD为△ABC的外角平分线，与DE交于D，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，∴DN=DM，在Rt△ADN和Rt△BDM中，，∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL），∴AN=BM．30．（1）证明：连结BD，CD．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠BED=∠AFD=90°，DE=DF．∵DE垂直平分BC，∴DB=DC．在Rt△DEB和Rt△DFC中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴BE=CF；（2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．∴AE=AF．∵AB=AE+BE，∴AB=AF+EB，∴AB=AC+CF+EB．∵AB=8，AC=4，∴8=4+CF+EB，∴CF+EB=4，∴2EB=4，∴EB=2．∴AE=8﹣2=6．答：AE的长为6．。

垂直平分线的性质(人教版)(含答案).docx

垂直平分线的性质（人教版）一、单选题（共12道，每道8分）1. F列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB,过P作直线MN, 则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个B.2个C.3个D.4个答案：A解题思路：①正确，线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等，这是线段垂直平分线的性质；②错误，混淆了线段垂直平分线性质，垂直平分线是一条直线，没有端点；③错误，经过线段中点的直线有无数条；④错误，反例如图所示：点P在线段.45外且刃是过点P的任一条直线，显然胚V不是AB的垂直平分线，过点P作直线P0丄川D则PQ是线段AB的垂直平分线；⑤错误，中垂线是过线段中点且垂直于线段的一条直线，而线段的中点只有一个.综上，只有一个命题是正确的.故选A.难度：三颗星知识点：垂直平分线的性质2•下列说法：①P是线段AB上的一点，直线/经过点P且'丄AB,则2是线段AB的垂直平分线;②直线2经过线段AB的中点，贝“是线段AB的垂直平分线；③若AP=PB,且直线2垂直于线段AB,贝M是线段AB的垂直平分线；④经过线段AB的川点P且垂直于AB的直线？是线段AB的垂直平分线. 其中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个答案：A解题思路：①错误，过线段的中点且垂直于这条线段的直线，是线段的垂直平分线，而点尸是任一点；②错误，过线段中点的直线有无数条，故直线/不一定是线段的垂直平分线；③错误，若AP=PB、则点P在线段，毎的垂直平分线上，但线段AB的垂线有无数条，只有过点P的直线/是线段AB的垂直平分线；④正确，线段垂直平分线的定义.综上，有一个说法是正确的，故选A.试题难度：三颗星知识点：垂直平分线的性质3.如图，在AABC中，DE是线段AB的垂直平分线，交BC于点D,交AB于点E,连接AD, 下列结论一定成立的是（）A.ED=CDB.ZDAC=ZBc.ZC > 2ZB D.Z B+ZADE=90°答案：D解题思路：如图，T DE是线段AB的垂直平分线・・・AE=BE,乙AED=ZBED=92在公ADE和中AE = BE< ZAED = ZB EDED=ED/. /XADE^/XBDE (SAS)/.Z DAE=Z BT ZD4E+厶DE=90。

专题垂直平分线的性质(含答案)

专题垂直平分线得性质一.解答题(共12小题)1.如图,AB＝AC,∠A＝40°,AB得垂直平分线MN交AC于点D,求∠DBC得度数.2.如图,在△ABC中,∠B＝30°,边AB得垂直平分线分别交AB、BC于D、E两点,连接AE,若AE平分∠BAC,求∠C得度数.3.如图,在Rt△ABC中,∠B＝90°,ED就是AC得垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E.已知∠BAE＝10°,求∠C得度数.4.如图所示,在△ABC中,MP与NQ分别垂直平分AB与AC,MP分别交AB、BC于M、P两点,NQ分别交AC、BC于N、Q两点,连接AP、AQ.(1)若△APQ得周长为18,求BC得长;(2)若∠BAC＝110°,求∠P AQ得度数.5.如图,△ABC中,边AB、AC得垂直平分线ED、GF分别交AB、AC于点E、G,交BC于点D、F,连接AD,AF,若∠DAF＝40°,求∠BAC得度数.6.如图,在△ABC中,∠C＝90°,边AB得垂直平分线DE交AC于D.CA＝16cm,BC＝8cm,求DC得长度;7.如图,在△ABC中,BC边得垂直平分线交AC边于点D,连接BD.(1)如图CE＝4,△BDC得周长为18,求BD得长.(2)求∠ADM＝60°,∠ABD＝20°,求∠A得度数.8.如图,在△ABC中,∠C＝90°,DE为AB得垂直平分线,DE交AC于点D,连接BD.若∠ABD＝2∠CBD,求∠A得度数.9.如图,△ABC中,AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且BD＝DE.(1)若∠BAE＝40°,求∠C得度数;(2)若△ABC周长13cm,AC＝6cm,求DC长.10.如图,在△ABC中,边AB、AC得垂直平分线分别交BC于D、E.(1)若BC＝10,则△ADE周长就是多少？为什么？(2)若∠BAC＝128°,则∠DAE得度数就是多少？为什么？11.在△ABC中,DE垂直平分AB,分别交AB、BC于点D、E,MN垂直平分AC,分别交AC、BC于点M、N,连接AE,AN.(1)如图1,若∠BAC＝100°,求∠EAN得度数;(2)如图2,若∠BAC＝70°,求∠EAN得度数;专题垂直平分线得性质参考答案与试题解析一.解答题(共12小题)1.【解答】解:∵AB＝AC,∴∠ABC＝∠ACB＝＝70°,∵MN得垂直平分AB,∴DA＝DB,∴∠A＝∠ABD＝40°,∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°.故答案为:30°.2.【解答】解:∵DE就是线段AB得垂直平分线,∠B＝30°,∴∠BAE＝∠B＝30°,∵AE平分∠BAC,∴∠EAC＝∠BAE＝30°,即∠BAC＝60°,∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°.3.【解答】解:∵∠B＝90°,∠BAE＝10°,∴∠BEA＝80°.∵ED就是AC得垂直平分线,∴AE＝EC,∴∠C＝∠EAC.∵∠BEA＝∠C+∠EAC,∴∠C＝40°.4.(【解答】解:(1)∵MP与NQ分别垂直平分AB与AC,∴P A＝PB,QA＝QC,∵△APQ得周长为18,∴AP+PQ+AQ＝BP+PQ+QC＝18,∴BC＝18;(2)∵∠BAC＝110°,∴∠B+∠C＝70°,∵P A＝PB,QA＝QC,∴∠P AB＝∠B,∠QAC＝∠C,∴∠P AB+∠QAC＝∠B+∠C＝70°,∴∠P AQ＝40°.5.【解答】解:在△ADF中,∵∠DAF＝40°,∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣40°＝140°,∵边AB、AC得垂直平分线ED、GF分别交AB、AC于点E、G,∴AD＝BD,AF＝CF,∴∠BAD＝∠B,∠CAF＝∠C,∴∠ADF＝∠BAD+∠B＝2∠B,∠AFD＝∠CAF+∠C＝2∠C,∴2∠B+2∠C＝∠ADF+∠AFD＝140°,∴∠B+∠C＝70°,∴∠BAC＝180°﹣(∠B+∠C)＝110°.6.【解答】解:(1)∵DE垂直平分线段AB,∴DA＝DB,设CD＝x,则AD＝BD＝(16﹣x)cm,在Rt△BDC中,∵BD2＝CD2+BC2,∴(16﹣x)2＝x2+82,∴x＝6,∴CD＝6cm.7.【解答】解:(1)∵MN垂直平分BC,∴DC＝BD,CE＝EB,又∵EC＝4,∴BE＝4,又∵△BDC得周长＝18,∴BD+DC＝10,∴BD＝5;(2)∵∠ADM＝60°,∴∠CDN＝60°,又∵MN垂直平分BC,∴∠DNC＝90°,∴∠C＝30°,又∵∠C＝∠DBC＝30°,∠ABD＝20°,∴∠ABC＝50°,∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝100°.8.【解答】解:∵DE为AB得垂直平分线,∴∠A＝∠ABD,又∵∠ABD＝2∠CBD,∴∠A＝∠ABD＝2∠CBD,设∠A＝α,则∠ABD＝α,∠CBD＝α,又∵∠C＝90°,∴∠A+∠ABC＝90°,即α+α+α＝90°,解得α＝36°,∴∠A＝36°.9.【解答】解:(1)∵AD垂直平分BE,EF垂直平分AC,∴AB＝AE＝EC,∴∠C＝∠CAE,∵∠BAE＝40°,∴∠AED＝70°,∴∠C＝∠AED＝35°;(2)∵△ABC周长13cm,AC＝6cm,∴AB+BE+EC＝7cm,即2DE+2EC＝7cm,∴DE+EC＝DC＝3、5cm.10.【解答】解:(1)C△ADE＝10.(1分)∵AB、AC得垂直平分线分别交BC于D、E,∴AD＝BD,AE＝CE.(3分)C△ADE＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝10.(4分) (2)∠DAE＝76°.(5分)∵AB、AC得垂直平分线分别交BC于D、E,∴AD＝BD,AE＝CE.∴∠B＝∠BAD,∠C＝∠CAE.∵∠BAC＝128°,∴∠B+∠C＝52°.(7分)∴∠DAE＝∠BAC﹣(∠BAD+∠CAE)＝∠BAC﹣(∠B+∠C)＝76°.(8分)11.【解答】解:(1)∵DE垂直平分AB,∴AE＝BE,∴∠BAE＝∠B,同理可得:∠CAN＝∠C,∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN,＝∠BAC﹣(∠B+∠C),在△ABC中,∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°,∴∠EAN＝∠BAC﹣(∠BAE+∠CAN)＝100°﹣80°＝20°;(2)∵DE垂直平分AB,∴AE＝BE,∴∠BAE＝∠B,同理可得:∠CAN＝∠C,∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC,＝(∠B+∠C)﹣∠BAC,在△ABC中,∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝110°,∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC＝110°﹣70°＝40°;。

垂直平分线专项练习30题有答案ok

垂直平分线专项练习30题(有答案)ok垂直平分线专项练习30题(有答案)1 如图，在△ ABC中，/ BAC=2 / B, DE丄AB于点D，交BC于点E, AC=AD=BD，请你猜想/ C的度数并证2.如图，在厶ABC中，/ BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P,过点P分别作PN丄AB于N, PM丄AC 于点M，求证：BN=CM .3.如图，在厶ABC中，D是BC的垂直平分线DH上一点，DF丄AB于F, DE丄AC交AC的延长线于E,且BF=CE .(1)求证：AD平分/ BAC ;(2)若/ BAC=80，求/ DCB 的度数./ A=52 °，AB的垂直平分线MN交AC于点D .求/ DBC的度数.8如图，在Rt △ ABC 中，/ ACB=90° , D 、E 是边AB 上两点，且CE 所在直线垂直平分线段AC=5cm ，求 BD 的长. AD , CD 平分/ BCE ,9.如图，在厶ABC 中，AD 平分/ BAC , AD 的垂直平分线 EF 交BC 的延长线于点 F ,连接 AF ,求证：/ CAF= / B . 5.如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB=45°，/ BAC=90° , AB=AC ，点 D 是 AB 的中点，AF 丄CD 于 H 交 BC 于 F , BE // AC 交AF 的延长线于 E .求证：BC 垂直且平分 DE .6.已知△ ABC 中，AD 是/ BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交 BC 的延长线于F . 求证：/ BAF= / ACF .7.如图，△ ABC 中，边AB 、BC 的垂直平分线交于点 P .(1) 求证：PA=PB=PC ;(2) 点P 是否也在边AC 的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论?AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E.求证:10.如图，在△ ABC中，AD是/ BAC平分线,(1)/ EAD= / EDA ;(2)DF // AC ;11.如图所示，AD是厶ABC中/ BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F,试说明/ BAF= / ACF 的理由.12 .如图所示，在△ ABC中，AB=AC=16cm , D为AB的中点,DE丄AB交AC于E, △ BCE的周长为26cm,求BC=8cm .求△ AED的周长.14.如图，在△ ABC中，0E , OF分别是AB , AC 的中垂线，/ ABO=20°，/ ABC=45°，求/ BAC 和/ ACB 的度BC的长.AC边的垂直平分线,15.如图所示，△ ABC中，/ BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点E, EF丄AB , EG丄AC ,垂足分别为F、G,则BF=CG 吗？说明理由.16.在厶ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E, BE=5 , △ BCE的周长为18即BE+CE+BC=18 , 求BC的长？17.如图1, △ ABC中，AB=AC，/ BAC=130°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q .(1)求/ PAQ的度数；(2)如图2, △ ABC中，AB >AC，且90°<Z BAC V 180° 边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q.①若/ BAC=130，则/ PAQ= ______________ °若/ BAC a，则/ PAQ用含有a的代数式表示为 ____________________②当/ BAC= __________ 。

垂直平分线的性质与判定练习题

1/3垂直平分线（一）的性质·练习1、如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 2、如图，在Rt ABC△中，90ACB D E ∠=，，分别为AC AB ，的中点，连DE CE ，．下列结论中不一定正确的是（）A ．ED BC ∥B ．ED AC ⊥C ．ACE BCE ∠=∠D ．AE CE =3、△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交直线BC 于D ，若∠BAD －∠DAC=22.5°，则∠B 等于（）A.37.5°B.67.5°C.37.5°或67.5°D.无法确定4、如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长是12 cm ，AC=5cm ，则AB+BD+AD= cm ；AB+BD+DC= cm ；△ABC 的周长是 cm 。

4题 5题5、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为D ，交BC 于E ，BE=5，则AE=__________，∠AEC=__________，AC=__________ 。

6、在△ABC 中，∠C ＝90°，用直尺和圆规在AC 上作点P ，使P 到A 、B 的距离相等（保留作图痕迹，不写作法和证明）．7、如右图，在△ABC 中，AB=AC ， BC=12，∠BAC =120°，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ， AC 的垂直平分线交BC 边于点N 。

(1) 求△AEN 的周长。

(2) 求∠EAN 的度数。

(3) 判断△AEN 的形状。

ABCDE MN2/38、如图，已知AOB ∠和AOB ∠内两点M 、N 画一点P 使它到AOB ∠的两边距离相等，且到点M 和N 的距离相等。

线段垂直平分线的性质和判定(分层作业)(解析版)

13.1.2线段垂直平分线的性质和判定夯实基础篇一、单选题：1．如图，△AB C中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC 的周长是（）A．8B．10C．12D．14【答案】B【知识点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】设边AB的垂直平分线交AB于点E，∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△BDC的周长=DB+BC+CD，∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.故答案为：B.【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键.2．如图，在△AB C中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠AC B．若BE=2，则AE的长为（）AB．1C D．2【答案】B【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵在△AB C中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE=2，∴BE=CE=2，∴∠B=∠DCE=30°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°．在Rt△CAE中，∵∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，∴AE=12CE=1．故选B．【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE=2，故可得出∠B=∠DCE=30°，再由角平分线定义得出∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，利用三角形内角和定理求出∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°，然后在Rt△CAE中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AE=12CE=1．3．如图所示，在△AB C中，∠ACB=90°，分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连结CD，BE.下列结论中，错误的是()A．AD=CD B．BE>CDC．∠BEC=∠BDC D．BE平分∠CBD【答案】D【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：由作图可得，DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，AD=BD，∴点D为AB的中点.∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD为Rt△ABC的边AB上的中线，∴CD=AD=BD，故A选项正确；∵DE⊥AB，∴Rt△ADE中，AE＞A D.∵AE＞AD。

垂直平分线专项练习30题(有答案)ok

垂直平分线专项练习30题(有答案)ok垂直平分线专项练习30题（有答案）1．如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，DE⊥AB于点D，交BC于点E，AC=AD=BD，请你猜想∠C的度数并证明．2．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC 于点M，求证：BN=CM．3．如图，在△ABC中，D是BC的垂直平分线DH上一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC交AC的延长线于E，且BF=CE．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=80°，求∠DCB的度数．4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=52°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求∠DBC的度数．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E．求证：BC垂直且平分DE．6．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F．求证：∠BAF=∠ACF．7．如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P．（1）求证：PA=PB=PC；（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，AC=5cm，求BD的长．9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF，求证：∠CAF=∠B．10．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）∠EAD=∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC=∠B．11．如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF 的理由．12．如图所示，在△ABC中，AB=AC=16cm，D为AB的中点，DE⊥AB交AC于E，△BCE的周长为26cm，求BC的长．13．如图，在△ABC中，EN，DM分别是AB，AC边的垂直平分线，BC=8cm．求△AED的周长．14．如图，在△ABC中，0E，OF分别是AB，AC的中垂线，∠ABO=20°，∠ABC=45°，求∠BAC和∠ACB的度数．15．如图所示，△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点E，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G，则BF=CG吗？说明理由．16．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？17．如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．（1）求∠PAQ的度数；（2）如图2，△ABC中，AB＞AC，且90°＜∠BAC＜180°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．①若∠BAC=130°，则∠PAQ=_________°，若∠BAC=α，则∠PAQ用含有α的代数式表示为_________；②当∠BAC=_________°时，能使得PA⊥AQ；③若BC=10cm，则△PAQ的周长为_________cm．18．如图，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，△EBC的周长是24cm，求BC 的长度．19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=32，AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点E、D．（1）若△DBC的周长为56，求BC的长；（2）若BC=21，求△DBC的周长．20．在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE 的周长为6cm．（1）求BC的长；（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．21．如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：AD垂直平分EF．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．23．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于P、Q．（1）若BC=10，求△APQ周长是多少？（2）若∠BAC=110°，求∠PAQ的度数是多少？24．已知，如图，AD是BC的垂直平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：（1）∠ABD=∠ACD；（2）DE=DF．25．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF．求证：AD垂直平分EF．26．如图，△ABC中，E是BC边上的中点，DE⊥BC于E，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，BM=CN 试证明：点D在∠BAC的平分线上．27．如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．28．如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE=CF．29．已知，如图，DE为△ABC的边AB的垂直平分线，CD为△ABC的外角平分线，与DE交于D，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，求证：AN=BM．30．如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=4，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，过点D作DE⊥AB 于点E，DF⊥AC（或AC的延长线）于点D．（1）求证：BE=CF；（2）求AE的长．参考答案：1．解：∠C=90°．证明：如图，连接AE，在Rt△AED和Rt△BED中，，∴△AED≌△BED（HL），∴∠DAE=∠B，又∵∠BAC=2∠B，∴∠DAE=∠CAE，在△AED和△BED中，，∴△ACE≌△ADE，∴∠C=∠ADE=90°．2．证明：连接PB，PC，∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，∵P在BC的垂直平分线上，∴PC=PB，在Rt△PMC和Rt△PNB中，∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），∴BN=CM．3．（1）证明：如图，连接BD，∵DH垂直平分BC，∴BD=CD，在Rt△BDF和Rt△CDE中，，∵DF⊥AB于F，DE⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴∠CDE=∠BDF，∴∠BDC=∠EDF，∵∠BAC=80°，∴∠EDF=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∴∠BDC=100°，∵BD=CD，∴∠DCB=（180°﹣100°）=50°4．解：∵AB=AC，∠A=52°，∴∠ABC=∠ACB==64°，∵AB的垂直平分线MN，∴AD=BD，∠A=∠ABD=52°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=64°﹣52°=12°5．证明：在△ADC中，∠DAH+∠ADH=90°，∠ACH+∠ADH=90°，∴∠DAH=∠DCA，∵∠BAC=90°，BE∥AC，∴∠CAD=∠ABE=90°．又∵AB=CA，∴在△ABE与△CAD中，∴△ABE≌△CAD（ASA），∴AD=BE，又∵AD=BD，∴BD=BE，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，故∠ABC=45°．∵BE∥AC，∴∠EBD=90°，∠EBF=90°﹣45°=45°，∴△DBP≌△EBP（SAS），∴DP=EP，即可得出BC垂直且平分DE6．证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2，∵FE是AD的垂直平分线，∴FA=FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），∴∠FAD=∠FDA（等边对等角），∵∠BAF=∠FAD+∠1，∠ACF=∠FDA+∠2，∴∠BAF=∠ACF7．证明：（1）∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，∴PA=PB，PB=PC．∴PA=PB=PC．还可得出结论：①三角形三边的垂直平分线相交于一点．②这个点与三顶点距离相等8．解：因为CE垂直平分AD，所以AC=CD=5cm．所以∠ACE=∠ECD．因为CD平分∠ECB，所以∠ECD=∠DCB．因为∠ACB=90°，所以∠ACE=∠ECD=∠DCB=30°．所以∠A=90°﹣∠ACE=60°．所以∠B=90°﹣∠A=30°．所以∠DCB=∠B．所以BD=CD=5cm9．证明：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∠ADF=∠DAF，∵∠ADF=∠B+∠BAD，∠DAF=∠CAF+∠CAD，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CAF=∠B10．解：（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴AE=DE，∴∠EAD=∠EDA；（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵AD是∠BAC平分线，∴∠FAD=∠CAD，∴∠FDA=∠CAD，∴DF∥AC；（3）∵∠EAC=∠EAD﹣∠CAD，∠B=∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD=∠CAD，∠EAD=∠EDA，∴∠EAC=∠B11．解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF12．解：∵点D中AB的中点，DE⊥AB，∴DE是AB的中垂线，∴AE=BE，∴△BCE的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=26，∴BC=26﹣AC=26﹣16=10cm13．解：∵EN，DM分别是AB，AC边的垂直平分线，∴BE=AE，CD=AD，14．解：连接AO并延长，交BC于点D，∵0E，OF分别是AB，AC的中垂线，∴OB=OA，OC=OA，∴OC=OB，∠ABO=∠BAO=20°，∠CBO=∠BCO，∠CAO=∠ACO，∵∠ABC=45°，∴∠CBO=∠BCO=25°，∴∠BOC=180°﹣∠CBO﹣∠BCO=130°，∵∠BOD=∠ABO+∠BAO，∴∠BOD=40°，∠COD=90°．∵∠COD=∠CAO+∠ACO，∴∠CAO=45°，∴∠BAC=∠BAO+∠CAO=65°，∠ACB=∠BCO+∠ACO=70°15．解：BF=CG；理由如下：因为点E在BC的垂直平分线上，所以BE=CE．因为点E在∠BAC的角平分线上，且EF⊥AB，EG⊥AC，所以EF=EG，在Rt△EFB和Rt△EGC中，因为BE=CE，EF=EG，所以Rt△EFB≌Rt△EGC（HL）．所以BF=CG16．解：∵BC边的垂直平分线DE，∴BE=CE=5，∵BE+CE+BC=18，∴BC=18﹣5﹣5=8，答：BC的长是817．解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=130°﹣50°=80°；（2）①∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=130°﹣50°=80°；∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=α，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣α，∴∠BAP+∠CAQ=180°﹣α，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=α﹣（180°﹣α）=2α﹣180°；②当∠PAQ=90°，即2α﹣180°=90°时，PA⊥AQ，解得：α=135°，∴当∠BAC=135°时，能使得PA⊥AQ；③∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∵BC=10cm，即BP+PQ+CQ=AP+PQ+AQ=10cm，∴△PAQ的周长为10cm．故答案为：①80，2α﹣180°；②135；③1018．解：在△ABE中，∵D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，∴AE=BE；在△ABC中，∵AB=AC=14cm，AC=AE+EC，又∵CE+BE+BC=24cm，∴BC=10cm19．解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴AD+CD=BD+CD=AC，∵△DBC的周长为56，AC=32，∴BC=56﹣32=24；（2）∵AD=BD，AC=32，∴AD+CD=BD+CD=AC=32，∵BC=21，∴△DBC的周长=BD+CD+BC=32+21=53．故答案为：24；5320．解：（1）∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线，∴AD=BD，AE=CE，∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE=6cm，∴BC=6cm；（2）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，∴OA=OC=OB，∵△OBC的周长为16cm，即OC+OB+BC=16，∴OC+OB=16﹣6=10，∴OC=5，∴OA=OC=OB=5．21．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，∴∠EDA=180°﹣∠AED﹣∠EAD，∠FDA=180°﹣∠AFD﹣∠FAD，∴∠EDA=∠FDA，∵DE=DF（已证），∴DG垂直平分EF（三线合一），即AD垂直平分EF．22．证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠FAC=∠B23．解：（1）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，∴AP=BP，AQ=CQ，∴△APQ周长=AP+PQ+AQ=BP+PQ+QC=BC，∵BC=10，∴△APQ周长=10；（2）∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，∵AP=BP，AQ=CQ（已证），∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∴∠PAQ=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ=∠BAC﹣∠B﹣∠C=110°﹣70°=40°24．证明：（1）∵AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC，BD=CD，∴∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，∴∠ABD=∠ACD；（2）∵AB=AC，AD是BC的垂直平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF25．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（HL），∴AE=AF，又∵AD平分∠BAC，∴AD垂直平分EF26．证明：如图，连接BD、CD，∵DE⊥BC，E是BC边上的中点，∴BD=CD，在△BDM和△CDN中，，∴△BDM≌△CDN（HL），∴DM=DN，又∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上．27．解：∵DE为AB的中垂线，∴AE=BE，∵FG是AC的中垂线，∴AG=GC，△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，所以△AEG的周长为BC的长度即7．故答案为：728．解：连接DB．∵点D在BC的垂直平分线上，∴DB=DC；∵D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF；∵∠DFC=∠DEB=90°，在Rt△DCF和Rt△DBE中，，∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），∴CF=BE（全等三角形的对应边相等）．29．证明：∵DE为△ABC的边AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵CD为△ABC的外角平分线，与DE交于D，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，∴DN=DM，在Rt△ADN和Rt△BDM中，，∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL），∴AN=BM．30．（1）证明：连结BD，CD．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠BED=∠AFD=90°，DE=DF．∵DE垂直平分BC，∴DB=DC．在Rt△DEB和Rt△DFC中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴BE=CF；（2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．∴AE=AF．∵AB=AE+BE，∴AB=AF+EB，∴AB=AC+CF+EB．∵AB=8，AC=4，∴8=4+CF+EB，∴CF+EB=4，∴2EB=4，∴EB=2．∴AE=8﹣2=6．答：AE的长为6．。

《垂直平分线》练习题(含答案)

1题A B E C 2题D A B C 3题D AB EC 4题A B C O 5题D A BE C 11题D A B E C O 12题D A B E C 13题D A B E C 14题D A B E C 15题D A B E C6题D A BE C 8题D A B E C 7题D A B E C 10题'9题《垂直平分线》练习题1.如图，△ABC 的边AB 的垂直平分线交AC 于点E,若AE=23，则BE= 。

2.如图，△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点D, △ABC 和△DBC 的周长分别为60㎝和38㎝，则△ABC 的腰长为，底边长为。

3.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CB 的垂直平分线DE 交AB 于点D,垂足为E ，①若∠B=20°，则∠ADC 的度数为；②若△ADC 的周长为14，AC=4，则AB= ；③若AB=8㎝，则CD= 。

4.如图，△ABC 中，∠A=52°，AB 、AC 的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 的度数为。

5.如图，∠ABC=50°，AD 垂直平分线段BC ，交BC 于点D ，∠ABC 的角平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，则∠AEC 的度数为。

6.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，垂足为E ，△ABD 的周长为12㎝，AC=5㎝，则△ABC 的周长为。

7.如图，△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，垂足为D, ∠EBC ∶∠EBA=1∶2，则∠A 的度数为。

8.如图，平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=5，AC 的垂直平分线交AD 与点E,则△CDE 的周长为。

9.如图，某广告公司为一厂家设计的商标图案，AD 垂直平分线段BC ，E 、F 都在线段AD 上，若AB=5，BC=6，则图中阴影部分面积为。

10.如图，△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=90°，D 为BC 的中点，且它关于AC 的对称点D ’,则 BD ’= 。

专题04 线段的垂直平分线(七大题型+跟踪训练)(解析版)

专题04线段的垂直平分线（七大题型+跟踪训练）A．13A ．31︒B ．62︒【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．【解析】解：∵在ABC 中，∠∴,BD DC BE CE ==，在DBE 和DCE △中，BD CD BE CE DE DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()DBE DCE SSS ≌，∴31DBE C ∠=∠=︒，∴223162ABC DBE ∠=∠=⨯︒=︒，∴180180316287A C ABC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故选：C【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和全等三角形的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．4．如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交AC 于点D ．若10cm AC =，7cm BD =，求CD 的长．【答案】3cm【分析】根据垂直平分线的性质得到BD AD =，再做差即可．【解析】DE 垂直平分线AB ，AD BD ∴=，CD AC AD AC BD ∴=-=-，又10cm AC = ，7cm BD =，1073cm CD ∴=-=．【点睛】本题考查利用垂直平分线性质进行边长计算，须注意线段位置，正确的计算是解题的关键．5．如图，ABC 中，=AB AC ，=50A ∠︒，AB 的垂直平分线DE 分别交AC 、AB 于点D 、E ．求CBD ∠的度数．【答案】15︒【分析】根据等腰三角形的性质求出==65ABC C ∠∠︒，根据线段垂直平分线的性质得到AD BD =，得到答案．【解析】解： =AB AC ，=50A ∠︒，∴==65ABC C ∠∠︒，DE 垂直平分AB ，∴AD BD =，∴==50ABD A ∠∠︒，∴==6550=15CBD ABC ABD ∠∠-∠︒-︒︒【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．题型2：线段垂直平分线的性质的应用6．如图，A ，B ，C 表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（）A ．AC ，BC 两边高线的交点处B ．AC ，BC 两边中线的交点处C ．AC ，BC 两边垂直平分线的交点处D ．∠A ，∠B 两内角平分线的交点处【答案】C 【分析】要求到三个小区的距离相等，首先思考到A 小区、C 小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AC 的垂直平分线上，同理到B 小区、C 小区的距离相等的点在线段BC 的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．【解析】解：A ，B ，C 表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在AC ，BC 两边垂直平分线的交点处．故选：C ．【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线定理的逆定理：到一条线段的两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键．7．如图，DE 是△ABC 中AC 边上的垂直平分线，如果BC ＝8cm ，AB ＝10cm ，则△EBC 的周长为（）A ．16cmB ．18cmC ．26cmD ．28cm【答案】B 【分析】由DE 是△ABC 中AC 边上的垂直平分线，可得AE =CE ，继而可得△EBC 的周长=BC +AB ．【解析】解：∵DE 是△ABC 中AC 边上的垂直平分线，∴AE =CE ，∵BC =8cm ，AB =10cm ，∴△EBC 的周长为：BC +BE +CE =BC +BE +AE =BC +AB =8+10=18（cm ）．故选：B ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质．注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．8．如图，在ABC 中，PM 、QN 分别是线段AB 、AC 的垂直平分线，若100BC =，则APQ △的周长是（）A ．120B ．50C ．100D ．90【答案】C 【分析】利用垂直平分线的性质得PA PB =，QA QC =，等量代换即可求解．【解析】解：∵PM 、QN 分别是线段AB 、AC 的垂直平分线，∴PA PB =，QA QC =，∴APQ △的周长100PQ QA PA PQ QC PB BC =++=++==．故选C ．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．9．如图，DE 为ABC 中AC 边的中垂线，8,10BC AB ==，则EBC 的周长是（）A ．16B ．【答案】B 【分析】利用线垂直平分线的性质得【解析】∵DE 是ABC ∆中∴10AE BE CE BE +=+=∴EBC ∆的周长BE CE =+故选：B ．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质；利用线段进行等量代换，把线段进行等效转移是正确解答本题的关键．题型3：线段垂直平分线—尺规作图10．如图，在ABC 中，分别以点MN ，交BC 于点D ，交AB 的长等于（）A ．3B ．∴△ACD 的周长=CD +AD +AC =4+10=14，故选：D ．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和作法，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．12．小明在纸上画出线段AB 及它的中点O ，再过点O 画出与AB 垂直的直线CD ，沿直线CD 将纸对折．发现OA 与OB 重合，则直线CD 称为线段AB 的__________．【答案】垂直平分线/中垂线【分析】根据线段垂直平分线的定义，即可得到直线CD 称为线段AB 的垂直平分线．【解析】解：∵沿直线CD 将纸对折．发现OA 与OB 重合∴OA OB=∵点O 画出与AB 垂直的直线CD∴AB CD⊥∴直线CD 称为线段AB 的垂直平分线故答案为：垂直平分线【点睛】本题考查了线段垂直平分线定义，理解线段垂直平分线的定义是解题的关键．题型4：线段垂直平分线的判定13．在ABC 中，AB AC =，OB OC =，点A 到BC 的距离是6，O 到BC 的距离是4，则AO 等于__________．【答案】2或10【分析】根据AB AC OB OC ==，可判断点A O 、都在BC 的垂直平分线上，然后分两种情况讨论：①当点O 在ABC 的内部时，②当点O 在ABC 的外部时，分别计算AO 即可．【解析】解：∵AB AC OB OC ==，，∴点A O 、都在BC 的垂直平分线上，由题意知，分两种情况：①当点O 在ABC 的内部时，642AO =-=；②当点O 在ABC 的外部时，6410AO =+=；故答案为：2或10．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的基本性质．解本题的关键在于分类讨论．14．如图，在ABC 中，BD AC ⊥，垂足为D ，PQ 是BC 边的垂直平分线，交BC 于点Q ，交AC 于点P ，AD PD =．若ABC 的周长是28cm ，6cm CQ =，则+AB AD 的长是_______．【答案】8cm /8厘米【分析】先根据垂直平分线的性质得到AB PB =，CP PB =，212cm BC CQ ==，再求出=16cm AB AC +，=16cm AB AP BP ++，即可求出=8cm AB AD +．【解析】解：∵BD AC ⊥，AD PD =，∴BD 是线段AP 的垂直平分线，∴AB PB =，∵PQ 是BC 边的垂直平分线，∴CP PB =，212cm BC CQ ==，∴=AB PB PC =，∵ABC 的周长是28cm ，∴28cm AB AC BC ++=，∴=2812=16cm AB AC +-，即==16cm AB AP PC AB AP BP ++++，∵AB PB =，AD PD =，∴=8cm AB AD +．故答案为：8cm【点睛】本题考查了线段垂直平分线的定义和性质，熟知线段垂直平分线的性质和定义，结合题意进行线段的转化是解题关键．15．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ．A ．AB 垂直平分CDB ．CD 垂直平分ABC ．AB 与CD 互相垂直平分D ．CD 平分∠ACB【答案】A 【分析】由AC ＝AD ，BC ＝BD ，可得点A 在CD 的垂直平分线上，点B 在CD 的垂直平分线上，又由两点确定一条直线，可得AB 是CD 的垂直平分线．【解析】解：∵AC ＝AD ，BC ＝BD ，∴点A 在CD 的垂直平分线上，点B 在CD 的垂直平分线上，∴AB 是CD 的垂直平分线．即AB 垂直平分CD ．故选：A【点睛】本题考查了垂直平分线的判定定理，熟悉垂直平分线的判定定理是解题的关键．17．已知：如图，AB AC =，DB DC =，点E 在AD 上．求证：EB EC =．【答案】见解析【分析】先根据线段垂直平分线的判定定理说明AE 是线段BC 的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质定理得出答案．【解析】证明：如图，连接BC ，∵AB AC =，∴点A 是线段BC 垂直平分线上的点．∵DB DC =，∴点D 是线段BC 垂直平分线上的点，∴AE 是线段BC 垂直平分线，∴EB EC =．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理和逆定理，灵活的应用定理是解题的关键．18．如图，如图，AD 为三角形ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，连接EF 交AD 于点O ．(1)若BE DE =，60BAC ∠=︒，求CDF ∠的度数；(2)写出AD 与EF 的关系，并说明理由．【答案】(1)15︒(2)AD EF ⊥．理由如下【分析】（1）根据三角形内角和可得,C ∠再利用内角和即可得出CDF ∠；（2）证得点A 、D 在线段EF 的垂直平分线上．【解析】（1）解：∵DE AB⊥90BED ∴∠=︒∵BE DE=45B ∴∠=︒∵60BAC ∠=︒180456075C ∴∠=︒-︒-︒=︒∵DF AC⊥90DFC ∴∠=︒∴15CDF ∠=︒（2）解：AD EF ⊥．理由如下：AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，DE DF ∴=．D ∴在线段EF 的垂直平分线上．DE AB ∵⊥，DF AC ⊥，90AED AFD ∴∠=∠=︒，在Rt ADE 和Rt ADF 中，AD AD DE DF=⎧⎨=⎩，()Rt Rt HL ADE ADF ∴ ≌．AE AF ∴=．又EAD FAD ∠=∠ ，AO AO =，AEO AFO ∴ ≌，EO FO ∴=，90AOE AOF ∠=∠=︒，AD ∴是线段EF 的垂直平分线．EF AD ∴⊥．【点睛】本题考查了全等三角形的证明，角平分线的性质．找到Rt AED 和Rt ADF ，通过两个三角形全等，找到各量之间的关系，即可证明．题型6：轴对称中的光线反射问题19．如图，光线自点P 射入，经镜面EF 反射后经过的点是（）A．A点B．B点C．C点D．D点【答案】B【分析】利用轴对称变换的性质判断即可．【解析】解：如图，过点P，点B的射线交于一点O，故选：B．【点睛】本题考查轴对称变换的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．如图，两平面镜α、β的夹角θ∠，入射光线AO平行于β，入射到α上，经两次反射后的出射光线CB ∠等于（）平行于α，则θA．30︒B．45︒C．60︒D．90︒【答案】C【分析】利用反射的性质得到入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角，再利用平行的性质把相应的角转移到一个三角形中求解．【解析】如图，由题意得，∠1=∠θ=∠3，由镜面成像原理可知，∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2=∠θ=∠4，∴∠θ=60°，故选C．【点睛】本题考查了镜面对称问题，需注意利用反射的性质、平行的性质把相应的角转移到一个三角形中求解是正确解答本题的关键．21．光线以如图所示的角度α照射到平面镜工上，然后在平面镜I ，Ⅱ之间来回反射．若50α∠=︒，60β∠=︒，则γ∠等于()A ．80︒B ．70︒C ．60︒D ．50︒【答案】B 【分析】根据入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角将已知转化到三角形中，利用三角形的内角和是180︒求解．【解析】解：如图：由反射规律可知：1α∠=∠，3γ∠=∠，21802β∠=︒-∠，又∵123180∠+∠+∠=︒∴1802180βαγ︒-∠+∠+∠=︒，2βαγ∴∠=∠+∠即26050γ⨯︒=︒+∠1205070γ∴∠=︒-︒=︒．故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角是解题关键，注意隐含的180︒的关系的使用．题型7：线段的垂直平分线的性质与判定的综合解答题22．如图，在ABC ∆中，111ACB ∠=︒，AC 边上的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 边于点E ，连接CD ．(1)若15AB =，8BC =，求BCD ∆的周长；(2)若AD BC =，试求A ∠的度数．【答案】(1)23(2)23°【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得CD AD =，根据三角形的周长公式，可得答案；（2）根据线段垂直平分线的性质，可得CD AD =，根据等腰三角形的性质，可得B ∠与CDB ∠的关系，根据三角形外角的性质，可得CDB ∠与A ∠的关系，根据三角形内角和定理，可得答案．【解析】（1）解：DE 是AC 的垂直平分线，AD CD ∴=．BCD C BC BD CD BC BD AD BC AB ∆=++=++=+ ，又15AB = ，8BC =，23BCD C ∆∴=；（2）解：AD CD= A ACD ∴∠=∠，设A x ∠=，AD CB = ，CD CB ∴=，CDB CBD ∴∠=∠．CDB ∠ 是ACD ∆的外角，2CDB A ACD x ∴∠=∠+∠=，A ∠、B ∠、ACB ∠是三角形的内角，180A B ACB ∠+∠+∠=︒ ，2111180x x ∴++︒=︒，解得23x =︒23A ∴∠=︒．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，（1）利用线段垂直平分线的性质得出DC 与AD 的关系，把三角形的周长转化成AB BC +是解题关键，（2）利用等腰三角形的性质，三角形外角的性质得出B ∠与A∠的关系是解题关键．23．如图，在ABC 中，DE 垂直平分线段BC ，ACD 的周长为18，且4AB AC -=，求AB 、AC 的长各为多少？【答案】11AB =；7AC =【分析】利用中垂线的性质得到ACD 的周长AC AB =+，再结合4AB AC -=，即可得解．【解析】解：∵DE 垂直平分线段BC ，∴DB DC =，又∵ACD 的周长为18，∴18AD DC CA ++=，∴18AD DB CA ++=，即：18AB AC +=，又∵4AB AC -=，∴4AB AC =+，∴418AC AC ++=，∴7AC =，∴7411=+=AB ．【点睛】本题考查中垂线的性质．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．24．如图在ABC 中，12AB AC ==，15BC =，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，垂足为E ．(1)求ABD △的周长；(2)若35B ∠=︒，求BAD ∠的度数．【答案】(1)27；(2)75BAD ∠=︒．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质易得到△ABD 的周长=AB +BC ；（2）根据等腰三角形的性质得到35C B CAD ∠=∠=∠=︒，根据三角形外角的性质求出ADB ∠，然后由三角形内角和定理求得BAD ∠的度数．【解析】（1）解：∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AD CD =，∵12AB AC ==，15BC =，∴ABD △的周长是：121527AB BD AD AB BD CD AB BC ++=++=+=+=；（2）解：如图，∵35AB AC B =∠=︒，，∴35B C ∠=∠=︒，又∵AD CD =，∴35DAC C ∠=∠=︒，∴353570ADB DAC C ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴180180357075BAD B ADB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．25．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交AC 于M ．(1)若∠B =65°，则∠NMA 的度数是______；(2)连接MB ，若AB =6cm ，△MBC 的周长是10cm.①求BC 的长；②在直线MN 上是否存在点D ，使由B 、C 、D 三点构成的△DBC 的周长值最小？若存在，标出点D 的位置并求△DBC 的周长最小值；若不存在，说明理由.【答案】(1)40°(2)①BC 的长为4cm ；②存在，标出点D 的位置见解析，△DBC 的周长最小值为10cm【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A 的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；（2）①根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案；②根据两点之间线段最短，可得D点与M点的关系，可得DB＋DC与AC的关系．（1）解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠A＝180°−2∠B，又∵MN垂直平分AB，∴∠NMA＝90°−∠A＝90°−（180°−2∠B）＝2∠B−90°＝40°，故答案为：40°；（2）如图：①∵MN垂直平分AB，∴MB＝MA，又∵△MBC的周长是10cm，∴AC＋BC＝10cm，∴BC＝4cm.②当点D与点M重合时，△DBC的周长最小，最小值是10cm.【点睛】本题考查了轴对称，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出DB＝DA．一、单选题AC ，则BC的长为（）1．如图所示，线段AB的垂直平分线CD与AB相交于点D，已知3A．4B．3C．2D．1．．．．3．如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，3cm AE =，ABD △的周长为13cm ，则ABC 的周长是（）．A ．13cmB ．16cmC ．19cmD ．22cm【答案】C 【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD =CD ，AC =2AE ，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．【解析】解：∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AD =CD ，AC =2AE =6cm ，又∵△ABD 的周长=AB +BD +AD =13cm ，∴AB +BD +CD =13cm ，即AB +BC =13cm ，∴△ABC 的周长=AB +BC +AC =13+6=19cm ．故选C ．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），进行线段的等量代换是正确解题关键．4．如图所示，直线l 是一条河的河岸，P ，Q 是河同侧的水产的生产基地，现从河岸某点M 处分别派出两辆水产车运送水产如下有四种运输方案，则运输路程合理且最短的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P 关于直线l 的对称点P '，连接Q P '交直线l 于点M ，作图即可.【解析】根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P 关于直线l 的对称点P '，连接Q P '交直线l 于点M ，利用两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质作图即可，故选：B ．【点睛】本题考查了“将军饮马”模型求最短路线题型，掌握两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质作图方法.5．如图，在四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD ，垂足为点E ，下列结论不一定成立的是（）A ．AB AD=B ．BCE DCE ∠=∠C ．BEC DEC △≌△D ．AB BD=【答案】D 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AB ＝AD ，BC ＝BD ，再对各选项进行逐一分析即可．【解析】解：∵AC 垂直平分BD ，∴,,AB AD BC CD BE DE ===，故A 正确，该选项不符合题意；在BEC 和DEC 中，,,,BC DC CE CE BE DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()BEC DEC SSS ≌，故C 正确，该选项不符合题意，；∴BCE DCE ∠=∠，故B 正确，该选项不符合题意；；AB 不一定等于BD ，故D 错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质和全等三角形的性质和判定，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．6．如图，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）．A ．在AC 、BC 两边高线的交点处B ．在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处C ．在AC 、BC 两边中线的交点处D ．在∠A 、∠B 两内角平分线的交点处【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．【解析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可知超市应建在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处，故选：B ．【点睛】本题考查线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，熟练掌握其性质是解题的关键．7．如图，AD BE ⊥，BD DE =，点E 在线段AC 的垂直平分线上，若6cm AB =，3cm BD =，则DC 的长为（）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到6AE AB ==，EA EC =，结合图形计算，得到答案．【解析】解：AD BE ⊥ ，BD DE =，6AE AB ∴==，点E 在线段AC 的垂直平分线上，EA EC ∴=，9()DC DE EC AB BD cm ∴=+=+=，故选：C ．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．A．只有①此时BE +EF 最小．∵AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC ＝50°，∴∠BAD ＝∠B ′AD ＝25°，∵BB ′⊥AD ，∴∠AGB ＝∠AGB ′＝90°，在△ABG 和△AB ′G 中，BAG B AG AG AG AGB AGB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠'=∠⎩'，∴△ABG ≌△AB ′G （ASA ），∴BG ＝B ′G ，AB ＝AB ′，∴AD 垂直平分BB ′，∴BE ＝BE ′，在△ABE ′和△AB ′E ′中，BE BE AE AE AB AB ''''⎧⎪=⎨⎪=⎩＝，∴△ABE ′≌△AB ′E ′（SSS ），∴∠AE ′B ＝AE ′B ′，∵AE ′B ′＝∠BAD +AF ′E ′＝25°+90°=115°，∴∠AE ′B ＝115°．即当BE +EF 的值最小时，∠AEB 的度数为115°．故选B ．【点睛】本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出BE +EF 取最小值时点E 的位置．二、填空题【答案】6【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线短两个端点的距离相等，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．【解析】解：∵DE 垂直平分∴4DB DA ==，又∵3BC CD =，∴334622BC BD ==⨯=，故答案为：6．12．如图，在ABC 中，【答案】22【分析】先根据垂直平分线的性质可得长等于+AB AC 即可解答．本题主要考查了垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解答本题的关键．【解析】解：∵DE 垂直平分∴BD DC =，∴ABD △的周长等于AB BD +故答案为：22．【答案】8【分析】先作辅助线HD HB=外角的性质及等腰三角形的性质和判定，可以得到【解析】解：如图，在线段BC则1==，HD HB，AH BC⊥∴垂直平分BD，AH∴==，ABC ADB6AB ADÐ=Ð，∠=∠ABC ACB2ADB ACB∴∠=∠，2，∠=∠+∠ADB CAD ACDCAD ACD ACD∴∠+∠=∠，2∴∠=∠，CAD ACDAD CD∴==，6∴=++=++BC HB HD CD11故答案为：8．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，作出【答案】5【分析】由三角形的周长求出出AB CE =，由此求出AB 【解析】解：∵ABC 周长为∴16610cm AB BC +=-=，∵AD BC BD DE ⊥=，，∴AD 是BE 的垂直平分线，∴AB AE=∵EF 垂直平分AC ，∴AE CE=∴AB CE=【答案】6【答案】5 4【分析】连接BD交AC于点O，作可得出四边形ABCD的面积，然后求出即可得出答案．【解析】连接BD交AC于点O，过点∵2AB AD ==，CB CD ==∴点A ，C 在BD 的垂直平分线上，即∵90DAB ∠=︒，∴222BD AB AD =+=，ABD S ∴1AO DO BO ===，∴222CO BC OB =-=，∴11222BCD S BD OC =⋅=⨯⨯ ∴四边形ABCD 的面积123+=．∵122BCD S BC DM =⋅= ，∴4455DM BC ==，∴22164BM BD DM =-=-∵线段DE 平分四边形ABCD 的面积，∴32CDE S =△，12BDE S = ，【答案】24EF <<【分析】延长ED 到M ，使DM ED =，连接,FM CM ，利用SAS 证明BED CMD ≌ ，得到6BE CM ==，再根据三线合一的逆定理得出EF FM =，最后根据三角形三边关系即可得解．【解析】解：延长ED 到M ，使DM ED =，连接,FM CM ，∵D 为BC 中点，∴BD CD =，在BED 和CMD △中，ED DM BDE CDM BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BED CMD ≌ ，∴1BE CM ==，DM ED =，∵DE DF ⊥，∴90FDE FDM ∠=∠=︒，又∵DM ED =，∴FE FM =，在CFM △中，1,3CM CF ==，∴CF CM FM CM CF -<<+，即24FM <<，∴24EF <<，故答案为：24EF <<．【答案】①④⑤【分析】由BD 是角平分线及BAF BFA ∠=∠，由AE FE =计算出45CDF ∠=︒，则可判定②错误；可判定①正确；由CG AB ∥AN 、AM ，过A 作AH BC ⊥合时，AM 最小，且最小值为故答案为：①④⑤．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，垂线段最短等知识，注意灵活运用这些知识．三、解答题19．如图，点E是△ABC的边AB的延长线上一点，∠BCE＝∠A＋∠ACB，求证：点E在BC的垂直平分线上．【答案】见解析【分析】由三角形的外角性质得到∠EBC=∠A+∠ACB，结合已知推出∠BCE=∠EBC，得到BE=CE，即可得到结论．【解析】证明：∵∠BCE=∠A+∠ACB，∠EBC=∠A+∠ACB，∴∠BCE=∠EBC，∴BE=CE，∴点E在BC的垂直平分线上．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，线段垂直平分线的判定，用到的知识点：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．20．如图,AD是△ADC中∠A的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,联结EF．求证：AD⊥EF【答案】见解析【分析】由角平分线的性质可知ED FD =，再利用三角形全等证明AE AF =，根据线段垂直平分线的判定定理可得结论.【解析】解：∵AD 是ADC ∆中A ∠的平分线，DE AB ⊥，DF AC⊥∴BAD CAD ∠=∠，ED FD=∵90AED AFD ∠=∠= ，AD AD =，ED FD=∴AED AFD∆≅∆AE AF∴=∴点A 、D 都在EF 的垂直平分线上∴AD EF⊥【点睛】本题综合考查了角平分线及线段的垂直平分线，熟练掌握角平分线的性质定理及线段垂直平分线的判定定理是解题的关键.21．如图，已知AB AC =，DB DC =，P 是AD 上一点.求证：ABP ACP ∠=∠.【答案】证明见解析.【分析】连接BC ，根据线段垂直平分线性质得出AD 是线段BC 的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出PB=PC ，再利用SSS 证明△ABP 与△ACP 全等，进而得出．【解析】证明：连接BCAB AC= ∴点A 在BC 的垂直平分线上，同理，点D 也在BC 的垂直平分线上，∵两点确定一条直线，∴直线AD 是线段BC 的垂直平分线，P 是AD 上一点，PB PC∴=又AB AC = ，AP AP =，ABP ACP∴∆≅∆ABP ACP ∴∠=∠.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．22．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE AE ⊥，延长AE 交BC 的延长线于点F ．(1)请判断FC 与AD 的数量关系，并说明理由；(2)若AB ＝6，AD ＝2，求BC 的长度．【答案】(1)FC =AD ，理由见解析(2)4【分析】（1）根据AD ∥BC 可知∠ADC =∠ECF ，再根据E 是CD 的中点可求出△ADE ≌△FCE ，根据全等三角形的性质即可解答；（2）根据全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质判断出AB =BF ，据此求解即可．【解析】（1）解：FC =AD ，理由如下：∵AD ∥BC （已知），∴∠ADC =∠ECF （两直线平行，内错角相等），∵E 是CD 的中点（已知），∴DE =EC （中点的定义）．在△ADE 与△FCE 中，ADC ECF DE EC AED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADE ≌△FCE （ASA ），∴FC =AD （全等三角形的性质）；（2）解：∵△ADE ≌△FCE ，∴AE =EF ，AD =CF （全等三角形的对应边相等），∵BE ⊥AE ，∴BE 是线段AF 的垂直平分线，∴AB =BF =BC +CF ，∴AB =BC +AD ，∵AB =6，AD =2，∴BC =4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．23．如图，ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒．(1)尺规作图：在线段BC 上找一点D ，使得DB DA =；（保留作图痕迹，不写作法）（2）证明：如图所示，连接∵AB AC =，120BAC ∠=︒，∴1801802BAC B C ︒-∠∠=∠==∵DE 垂直平分AB ，∴DB DA =，∴30DAB B ∠=∠=︒，∴120CAD BAC DAB ∠=∠-∠=∴2CD AD =，∴2CD BD =．24．如图，AB AC ⊥，AD AE ⊥(1)求证：AM AN =；(2)连接EC ，AO ，求证：AO 垂直平分EC ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先证得△≌△Rt ABC Rt ADE ，可得B D ∠=∠．再由AB AC ⊥，AD AE ⊥，．可证得ABM ADN △≌△，即可求证；（2）由（1）可知，AC AE =，ACB AED ∠=∠．可得BCE DEC ∠=∠，从而得到OE OC =，进而得到点O 在EC 的垂直平分线上．再由AE AC =，点A 也在EC 的垂直平分线上，即可求证．【解析】（1）证明：在Rt ABC 和Rt ADE △中，∵AB AD =，BC DE =，∴()Rt ABC Rt ADE HL ≌△△，∴B D ∠=∠．∵AB AC ⊥，AD AE ⊥，∴90BAM EAC DAN ∠=︒-∠=∠，∵AB AD =，∴()ABM ADN ASA ≌△△，∴AM AN =；（2）证明∶如图，由（1）可知，AC AE =，ACB AED ∠=∠．∴ACE AEC ∠=∠，∴ACE ACB AEC AED ∠-∠=∠-∠，即BCE DEC ∠=∠，∴OE OC =，∴点O 在EC 的垂直平分线上．又∵AE AC =，∴点A 也在EC 的垂直平分线上，∴AO 垂直平分EC ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定是解题的关键．25．如图，等腰直角ABC 中，90CAB ∠=︒，AC AB =，点E 为BC 上一点，BD AE ⊥于点M ，交AC 于点D ，AH CB ⊥于点H ，交BD 于点G ，连接DE ，MH ．(1)若BE BA =，求证：BD 垂直平分AE ；(2)若点E 在线段CH 上运动．①请判断CE 与AG 的数量关系，并说明理由；②求证：MH 平分EMB ∠．∴C BAG ∠=∠，在ACE △和BAG △中，EAD ABG AC BA C BAG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ACE BAG ≌，∴CE AG =；②作HN HM ⊥交BD 于点N ，∴90AHB MHN ∠=∠=︒，∴45∠=∠，∵790AGM ∠+∠=︒，690BGH ∠+∠=︒，且AGM BGH ∠=∠，∴67∠=∠，∵等腰直角ABC 中，AC AB =，AH CB ⊥，∴BH AH =，在AMH 和BNH 中，6754BH AH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA AMH BNH ≌，∴HM HN =，即MHN 是等腰直角三角形，∴45HMN ∠=︒，∵90BME ∠=︒∴MH 平分EMB ∠．26．如图，平面直角坐标系中，直线:AB y x b =-+交y 轴于点()0,4A ，交x 轴于点B ．(1)求直线AB 的表达式和点B 的坐标；(2)直线l 垂直平分OB 交AB 于点D ，交x 轴于点E ，点P 是直线上一动点，且在点D 的上方，设点P 的纵坐标为n ，①用含n 的代数式表示ABP 的面积，并求当8ABP S = 时，点P 的坐标；②在①的条件下，在坐标轴上，是否存在一点Q ，使得ABQ 与ABP 面积相等？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)直线AB 的表达式为4y x =-+，点B 的坐标为()4,0；(2)①24n -，点()2,6P ；②存在一点Q ，使得ABQ 与ABP 面积相等，且点Q 的坐标为()0,0或()8,0或()0,8．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）①由OB 的长度结合直线l 的垂直平分OB ，可求出OE ，BE 的长度，利用一次函数解析式求出点D 坐标，进而用含n 的式子表示点P 坐标，再利用面积公式即可求解；②分点Q 在x 轴和y 轴两种情况考虑，利用三角形面积即可求出点Q 坐标；本题考查了一次函数的图象及性质，垂直平分线的性质等，熟练掌握一次函数的图象及性质，垂直平分线的性质及其应用是解题的关键．【解析】（1）∵直线AB ：y x b =-+交y 轴于点()0,4A ，∴4b =，∴直线AB 的表达式为4y x =-+，当0y =时，4x =，∴点B 的坐标为()4,0，(1)如图1，当点D 是BC 的中点时，求证：BD CE =；(2)如图2，当点D 在线段BC 上移动时，过点D 作DF 终保持全等？若全等，请证明，若不全等，请说明你的理由．(3)若等边ABC 的边长为4，当BD a =时，求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)全等，证明见解析(3)4AE a=+【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质等知识：（1）由D 是等边三角形BC 边的中点可得BD CD =，再证明论；（2）由DF AC ∥可得60,BFD BAC BDF ∠=∠=︒∠=∠60,B BFD BDF ∠=∠=∠=︒,BD DF BF ==得出AF DC =知,AFD DCE ∠=∠再证明FAD CDE ∠=∠，进而再利用（3）由（2）知 ≌AFD DCE 得CE FD =，由DF BD =【解析】（1）证明：∵D 是等边三角形BC 边的中点，∴BD CD =，∵ABC 是等边三角形，∴603030,CDE BCA CED ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴,CDE CED ∠=∠∴,CD CE =∵,BD CD =∴BD CE =；（2）全等，证明如下：∵ABC 是等边三角形，∴60,BAC BCA B ∠=∠=∠=︒,AB BC AC ==∵DF AC ∥，∴60,60,BFD BAC BDF BCA ∠=∠=︒∠=∠=︒∴60,B BFD BDF ∠=∠=∠=︒∴,BD DF BF ==120,AFD ∠=︒∴,AF DC =∵60ACB ∠=︒，∴120,DCE ∠=︒∴120,AFD DCE ∠=∠=︒∵,AH HE =且,DH AE ⊥∴,AD DE =∴,DAE DEA ∠=∠又60,60,CDE CED FAD CAD ∠+∠=︒∠+∠=︒∵,CED CAD ∠=∠∴,FAD CDE ∠=∠在AFD △和DCE △中，AF DC AFD DCE FAD CDE =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA AFD DCE ≌；（3）解：由（2）知，,DF BD a ==且 ≌AFD DCE ，CE DF a ==，∴4AE AC CE a =+=+．。

八年级数学上册线段垂直平分线的性质专项练习含解析

线段垂直平分线的性质专项练习知识点1 线段垂直平分线的性质例1．如图，在ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，如果4AC=，那么ADCBC=，2的周长是（）A．8B．7C．6D．5变式2．如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E．若AC=8cm，△ABE的周长为15cm，则AB的长为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm3．在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线交BC边于点E.若∠B =15°，则∠CAE=______°．知识点2 线段垂直平分线的判定例4．下列说法错误的是（）A．E，D是线段AB的垂直平分线上的两点，则AD BD=，AE BE=B．若AD BD=，则直线DE是线段AB的垂直平分线=，AE BEC．若PA PB=，则点P在线段AB的垂直平分线上D．若PA PB=，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线变式5．如图，AC AD=，则下面说法正确的是（）=，BC BDA．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分ACB∠知识点3 作垂线例6．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，AB＞BC，分别以顶点A、B为圆心，大于1AB长2为半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N，作直线MN交边CB于点D．若AD＝5，CD＝3，则BC长是（）A．7B．8C．12D．13变式7．已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等.课堂练习8．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若∠BAC＝100°，则∠DAE＝_____．9．到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边上高的交点D．三边垂直平分线的交点10．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC ．（1）求∠ECD 的度数；（2）若CE ＝5，求BC 长．11．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：（1）FC ＝AD ；（2）AB ＝BC +AD ．12．如图，已知AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，垂足分别为点C 和点D ，AC 与BD 交于点O ，AC ＝BD ，点E 是AB 的中点，连接OE ．（1）求证：BC=AD ；（2）求证：线段OE 所在的直线是AB 的垂直平分线．13．如图所示，在Rt ABC △中，90B ︒∠=，分别以A 、C 为圆心，大于12AC 长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，与AC 交于点D ，与BC 交于点E ，连接AE ．（1）ADE ∠=________°．（2）AE________CE（填“>”、“<”或“=”）．（3）若3△的周长．AB=，5AC=，求ABE参考答案1．C【分析】由线段垂直平分线的性质得到AD BD=，据此结合三角形周长公式解题．【详解】AB的垂直平分线为DE，∴=，AD BDAC=，BC=，24∴的周长是246ADC++=++=+=+=，AC CD AD AC CD BD AC BC故选：C．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2．B【分析】由题意可知BE＝CE，因此AB＝15−EC−AE＝7cm．【详解】解：∵DE垂直平分线BC，∴BE＝CE，∵AB＋BE＋AE＝15cm，∴AB＋CE＋AE＝15cm，∵AC＝8cm，即CE＋AE＝8，∴AB＝7cm．故选：B．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，关键在于求出BE＝CE．3．60°【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AE=BE，所以∠B=∠EAB，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠AEC的度数，进而得出∠EAC的度数．【详解】∵DE是AB的垂直平分线，∴∠EAB=∠B，∵∠B=15°，∴∠EAB=15°，∴∠AEC=∠B+∠EAB=15°+15°=30°，∴∠EAC=90°-30°=60°，故答案为：60°．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握性质是解题的关键．4．D【分析】根据垂直平分线的性质和判定逐项判断即可．【详解】解:A、E是线段AB的垂直平分线上的点，=．故A正确，不符合题意；∴=，AD BDAE BE=，B、若AD BD∴在AB的垂直平分线上．D同理E在AB的垂直平分线上．∴直线DE是线段AB的垂直平分线．故B正确，不符合题意；C、若PA PB=，则点P在线段AB的垂直平分线上，故C正确，不符合题意；=，则点P在线段AB的垂直平分线上．但过点P的直线有无数条，不能确定D、若PA PB过点P的直线是线段AB的垂直平分线．故D错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质与判定，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质与判定，准确进行推理判断．5．A【分析】根据题意，由SSS 判定ABC ABD ≅，再结合全等三角形的性质解得=CAB DAB ∠∠，最后根据等腰三角形的性质解题即可．【详解】在ABC 与ABD △中，AC AD BC BD AB AB =⎧⎪=⎨⎪=⎩()ABC ABD SSS ∴≅=CAB DAB ∴∠∠又∵AC=AD∴AB 垂直平分CD （三线合一），故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质、线段垂直平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．6．B【分析】根据题意可以知道MN 为AB 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AD=BD=5，因此可以求出BC 的长度．【详解】解：∵顶点A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径作圆弧 ∴MN 为AB 的垂直平分线∴AD=BD=5∵BC=BD+CD∴BC=AD+CD=5+3=8故选B ．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的画法以及垂直平分线的性质，能够准确的将线段进行转化是解决本题的关键．【分析】作出线段MN 的垂直平分线和∠AOB 的平分线，其交点P 即为所求．【详解】解：如图所示：线段MN 的垂直平分线与∠AOB 的平分线的交点P 即为所求：【点睛】本题考查的是角平分线的性质、线段垂直平分线的性质的运用，熟练掌握尺规作图的方法是解答此题的关键．8．20°【分析】由垂直平分线的性质可知：B BAD C CAE ∠=∠∠=∠，，即得：DAE BAC B C ∠=∠-∠-∠，即(180)DAE BAC BAC ∠=∠-︒-∠，即求出20DAE ∠=︒．【详解】由垂直平分线的性质可知：B BAD C CAE ∠=∠∠=∠，，∵DAE BAC BAD CAE ∠=∠-∠-∠，∴DAE BAC B C ∠=∠-∠-∠，即()DAE BAC B C ∠=∠-∠+∠，∴(180)DAE BAC BAC ∠=∠-︒-∠，即100(180100)DAE ∠=︒-︒-︒，∴20DAE ∠=︒故答案为：20︒．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理．由垂直平分线的性质得出B BADC CAE ∠=∠∠=∠，是解答本题的关键．9．D【分析】根据到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可正确解答．解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上，∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点．故选D ．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定定理，掌握到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上是解答本题的关键．10．（1）∠ECD=36°；（2）BC 长是5．【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=CE ，然后根据等边对等角可得∠ECD=∠A ；（2）根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠B=∠ACB=72°，由外角和定理求出∠BEC ＝∠A+∠ECD ＝72°，继而得∠BEC=∠B ，推出BC=CE 即可．【详解】解：（1）∵DE 垂直平分AC ，∴CE ＝AE ，∴∠ECD ＝∠A ＝36°；（2）∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠B ＝∠ACB ＝72°，∴∠BEC ＝∠A+∠ECD ＝72°，∴∠BEC ＝∠B ，∴BC ＝EC ＝5．【点睛】本题考查了线段垂直平分线定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．11．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）先根据平行线的性质可得,F DAE ECF D ∠=∠∠=∠，再根据线段中点的定义可得CE DE =，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；（2）先根据三角形全等的性质可得FE AE=，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得AB FB=，然后根据线段的和差、等量代换即可得证．【详解】（1）//AD BC，,F DAE ECF D∴∠=∠∠=∠，点E是CD的中点，CE DE∴=，在CEF△和DEA△中，F DAEECF D CE DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CEF DEA AAS∴≅，FC AD∴=；（2）由（1）已证：CEF DEA≅，FE AE∴=，又BE AE⊥，BE∴是线段AF的垂直平分线，AB FB BC FC∴==+，由（1）可知，FC AD=，AB BC AD∴=+．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．12．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用HL定理可证得Rt△ADB≌Rt△BCA，由全等三角形的性质可得结论；（2）由（1）的结论，利用AAS定理，可得△ADO≌△BCO，利用全等三角形的性质可得AO=BO，据线段垂直平分线的判定可得到点O在AB的垂直平分线上，又点E是AB的中点，可得点E在AB的垂直平分线上，证得结论．【详解】证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠D＝∠C＝90°，∵AC ＝BD ，AB ＝BA ，∴Rt △ADB ≌Rt △BCA ，∴BC ＝AD ；（2）∵∠D ＝∠C ＝90°，∠AOD ＝∠BOC ，BC ＝AD ，∴△ADO ≌△BCO ，∴AO=BO ，∴点O 在AB 的垂直平分线上，∵点E 是AB 的中点，∴AE=BE ，∴点E 在AB 的垂直平分线上，∴线段OE 所在的直线是AB 的垂直平分线．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质和线段垂直平分线的判定，掌握到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．13．（1）90；（2）=；（3）7 【分析】（1）由作图知，MN 是线段AC 的垂直平分线，故可得出结论；（2）根据线段垂直平分线的性质可得出结论；（3）先根据勾股定理求出BC 的长，进而可得出结论．【详解】解：（1）由作图知，MN 是线段AC 的垂直平分线，∴ 90ADE ︒∠=．故答案为：90．（2）∵MN 是线段AC 的垂直平分线，∴AE=CE ，故答案为：=．（3）在Rt ABC △中，90B ︒∠=，3AB =，5AC =，4BC ∴=．AE CE =，ABE ∴的周长为：347++=++=+=+=．AB AE BE AB BE EC AB BC【点睛】本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，熟记性质是解此题的关键．。

初中数学线段的垂直平分线的性质练习题

初中数学线段的垂直平分线的性质练习题AC的长为半径作弧，两弧相交1. 如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12于M，N两点，作直线MN，交AC于点E，AE=3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长是( )A.16B.17C.18D.192. 已知锐角三角形△ABC中，∠A=65∘，点O是AB、AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是( )A.25∘B.30∘C.35∘D.40∘3. 如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB)为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．已知△CDE的面积比△CDB的面积小5，则△ADE的面积为（）A.5B.4C.3D.24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（）A.3 2B.76C.256D.25. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90∘，分别以点A，B为圆心，大于12AB为半径作弧，相交于点M，N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连结CD，下列结论错误的是（）A.MN是线段AB的中垂线B.CD=12ABC.∠A＝∠BEDD.∠ECD＝∠EDC6. 如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定7. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于12DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点C，若BG=1,AC=4，则△ACG的面积是（）A.1B.32C.2 D.528. 如图①、图②，在给定的一张矩形纸片上作一个正方形，甲、乙两人的作法如下：甲：以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交CD于点F，连接EF，则四边形AEFD即为所求；乙：作∠DAB的平分线，交CD于点M，同理作∠ADC的平分线，交AB于点N，连接MN，则四边形ADMN即为所求．对于以上两种作法，可以做出的判定是（）A.甲正确，乙错误B.甲、乙均正确C.乙正确，甲错误D.甲、乙均错误9. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，垂足为E，AE=2cm，△ABD的周长为9cm，则△ABC的周长为( )A.11cmB.13cmC.14cmD.15cm10. 下列命题是假命题的是( )A.n边形(n≥3)的外角和是360∘B.矩形的对角线互相平分且相等C.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等D.相等的角是对顶角11. 已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为50∘，则此等腰三角形的顶角为________.12. 如图：已知DE垂直平分AB，如果△BCD的周长是30，BC=12，则AC=________.13. 如图，在△ABC中，∠A＝35∘，∠B＝90∘，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD＝________度．14. 如图：△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为________．15. 已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F．若AB=8，AC=4，则AE=________．16. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①AD和EF互相垂直平分；②AE＝AF；③当∠BAC＝90∘时，AD＝EF；④DE是AB的垂直平分线．其中正确的是________（填序号）．17. 如图，在△ABC中，AB=8，AC=5，BC=12，DE垂直平分BC，点P是DE上的动点，则△APC周长的最小值是________．18. 如图，∠C=80∘，DE垂直平分AB于点E，交BC于点D，且∠CAD:∠CAB=1:3，则∠B=________．19. 如图，在△ABC中，AB+AC=7cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为________cm．20. 如图，△ABC中，∠C＝90∘，AC<BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结AD，若∠B＝37∘，求∠CAD的度数．21. 如图，已知锐角∠MPN，点A在射线PN上．（1）尺规作图：在射线PM上求作点B，使得BP＝BA；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在射线AN上截取AC＝PB，试判断∠BCP和∠MPN的数量关系，并说明理由．22. 作图与计算(1)已知：∠α，∠AOB求作：在图2中，以OA为一边，在∠AOB的内部作∠AOC=∠α（要求：直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在同一平面内，过点O分别引射线OA，OB，OC且∠AOB=65∘，∠BOC=30∘，求∠AOC的度数．参考答案与试题解析初中数学线段的垂直平分线的性质练习题一、选择题（本题共计 10 小题，每题 5 分，共计50分）1.【答案】D【考点】线段垂直平分线的性质【解析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．【解答】解：∵DE垂直平分线段AC，∴DA=DC，AE+EC=6，∵AB+AD+BD=13，∴AB+BD+DC=13，∴△ABC的周长是AB+BD+DC+AC=13+6=19.故选D.2.【答案】A【考点】线段垂直平分线的性质角平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意画图可知：设AB，AC与垂直平分线的交点分别为D，E，∴AD=BD，∠ADC=∠BDC=90∘∵DC为公共边，∴△ADC≅△BDC(SAS)，∴∠A=∠DBC=65∘∴∠DCB=90∘−65∘=25∘，故选A.3.【答案】A【考点】线段垂直平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】B【考点】勾股定理线段垂直平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：设CE=x，连接AE，如图所示，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE=BC+CE=3+x，∴在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2，即(3+x)2=42+x2，，解得x=76∴CE=7．6故选B.5.【答案】D【考点】线段垂直平分线的性质作图—基本作图【解析】利用基本作法对A进行判断；根据斜边上的中线性质对B进行判断；根据等角的余角相等可对C进行判断；利用等腰三角形的性质和∠ECD＝∠EDC可推出∠A＝60∘，由此可对D进行判断．【解答】由作法得MN垂直平分AB，所以A选项的结论正确；∵CD为斜边AB上的中线，∴CD=1AB，所以B选项的结论正确；2∵DE⊥AB，∴∠BDE＝90∘，∵∠B+∠BED＝90∘，而∠B+∠A＝90∘，∴∠A＝∠BED，所以C选项的结论正确；∵CD＝BD，∴∠B＝∠BCD，∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝2∠ECD，而∠EDC+∠ADC＝90∘，若∠ECD＝∠EDC，则∠ADC＝60∘，∠A＝60∘，而已知条件没有给定∠A＝60∘，所以D选项的说法错误．6.【答案】B【考点】线段垂直平分线的性质【解析】根据题意，画出图形，用线段垂直平分线的性质解答．【解答】解：如图，CA，CB的中点分别为D，E，CA，CB的垂直平分线OD，OE相交于点O，且点O落在AB边上，连接CO，∵OD是AC的垂直平分线，∴OC=OA.同理OC=OB，∴OA=OB=OC，∴A，B，C都落在以O为圆心，以AB为直径的圆周上，∴C是直角，即这个三角形是直角三角形.故选B．7.【答案】C【考点】作图—基本作图线段垂直平分线的性质角平分线的性质【解析】【解答】解：由作法得AG平分∠BAC，∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1，所以△ACG的面积=12×4×1=2．故选C.8.【答案】B【考点】正方形的判定与性质作图—复杂作图矩形的性质【解析】直接利用基本作图方法得出对应边以及对应角的关系，进而结合正方形的判定方法分析得出答案．【解答】由甲的作法可得：DF＝AD＝AE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB // DC，∠A＝90∘，∵DF=∥AE，∴四边形AEFD是平行四边形，∵∠A＝90∘，∴平行四边形AEFD是矩形，∵AD＝AE，∴矩形AEFD是正方形；故甲的作法正确；∵四边形ABCD是矩形，∠CDA＝∠DAB＝90∘，由乙的作法可得：∠ADN＝∠MDN＝∠DAM＝∠NAM＝45∘，则AD＝AN＝DM，在△MDA和△NAD中{∠MDA=∠DANAD=AD∠DAM=∠ADN，∴△MDA≅△NAD(AAS)，∴DM＝AN，∴DM=∥AN，∴四边形ANMD是平行四边形，∵∠DAB＝90∘，∴平行四边形ANMD是矩形，∵AD＝AN，∴矩形ANMD是正方形；故乙的作法正确．9.【答案】B【考点】线段垂直平分线的性质【解析】根据线段垂直平分线性质得出AD=DC，求出AC和AB+BC的长，即可求出答案. 【解答】解：∵ DE是AC的垂直平分线，AE=2cm，∴ AC=2AE=4cm，AD=DC，∵ △ABD的周长为9cm，∴ AB+BD+AD=9cm，∴ AB+BD+DC=AB+BC=9cm，∴ △ABC的周长为AB+BC+AC=9cm+4cm=13cm.故选B.10.【答案】D【考点】命题与定理多边形的外角和线段垂直平分线的性质矩形的性质【解析】根据多边形的外角和、线段垂直平分线的性质、对顶角和矩形的性质判断即可．【解答】解：A，n边形(n≥3)的外角和是360∘，该选项为真命题；B，矩形的对角线互相平分且相等，该选项为真命题；C，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，该选项为真命题；D，相等的角不一定是对顶角，该选项为假命题.故选D.二、填空题（本题共计 9 小题，每题 5 分，共计45分）11.【答案】40∘或140∘【考点】等腰三角形的性质线段垂直平分线的性质【解析】由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论．【解答】解：如图，当等腰三角形为锐角三角形时，∵∠ADE=50∘，∠AED=90∘，∴∠A=40∘；如图，当等腰三角形为钝角三角形时，∵∠ADE=50∘，∠DAE=40∘，∴∠BAC=180∘−40∘=140∘.综上所述，此等腰三角形的顶角为40∘或140∘.故答案为：40∘或140∘.12.【答案】18【考点】线段垂直平分线的性质【解析】根据等腰三角形的判定，可由∠ABC=∠C，得到AB=AC=6，再由线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，即可得到△BCD的周长．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴BD=AD，∵△BCD的周长是30，∴BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=30，又∵BC=12，∴AC=18.故答案为：18.13.【答案】20【考点】直角三角形的性质线段垂直平分线的性质【解析】根据直角三角形的性质可得∠ACB＝55∘，再利用线段垂直平分线的性质可得AD＝CD，根据等边对等角可得∠A＝∠ACD＝35∘，进而可得∠BCD的度数．【解答】∵∠A＝35∘，∠B＝90∘，∴∠ACB＝55∘，∵MN是线段AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD＝35∘，∴∠BCD＝20∘，14.【答案】19cm【考点】线段垂直平分线的性质【解析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD=CD，AC=2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，AC=2AE=6cm，又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm，∴AB+BD+CD=13cm，即AB+BC=13cm，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm．故答案为：19cm．15.【答案】6【考点】全等三角形的性质与判定线段垂直平分线的性质角平分线的性质【解析】首先连接PB，PC，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，易得PE=PF，PB=PC，继而证得△PBE≅△PCF，AE=AF，又由AB=8，AC=4，即可求得答案．【解答】解：连接PB，PC，如图，∵ 点P 在BC 的垂直平分线上，∴ PB =PC .∵ AP 平分∠BAC ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴ PE =PF ，∠PEB =∠PFC =90∘，∴ ∠APE =∠APF ，∴ AE =AF .在Rt △PBE 和Rt △PCF 中，{PB =PC,PE =PF,∴ Rt △PBE ≅Rt △PCF(HL)，∴ BE =CF .∵ AB =AE +BE ，AF =AC +CF ，∴ AB =AC +CF +BE .∵ AB =8，AC =4，∴ BE =CF =2，∴ AE =AC +CF =6．故答案为：6．16.【答案】②③【考点】角平分线的性质线段垂直平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答17.【答案】13【考点】线段垂直平分线的性质【解析】本题主要考查线段垂直平分线的性质.【解答】解：连结CD .∵ DE是线段BC的垂直平分线，∴ BD=CD，即BD+AD=CD+AD=AB，∵ AB=8，AC=5，∴当点P与点D重合时，△APC的周长最小，最小值为AB+AC=13，故答案为：13.18.【答案】40∘【考点】线段垂直平分线的性质三角形内角和定理【解析】设∠CAD=x，则∠DAB=2x．根据垂直平分线性质，∠B=∠DAB=2x．根据三角形内角和定理求解．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB．设∠CAD=x，则∠DAB=2x．∵∠C=80∘，∴3x+2x+80∘=180∘，x=20∘，∴2x=40∘．即∠B=40∘．故答案为40∘．19.【答案】7【考点】线段垂直平分线的性质【解析】本题考查线段垂直平分线的性质.【解答】解:∵ BC的垂直平分线交AC于D∴ BD=CD∵ AB+AC=7cm∴ AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB+AC=7cm故答案为：7.三、解答题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）20.【答案】如图所示，点D即为所求；在△ABC中，∵∠C＝90∘、∠B＝37∘，∴∠CAB＝53∘，由（1）知DA＝DB，∴∠B＝∠DAB＝37∘，则∠CAD＝∠CAB−∠DAB＝16∘．【考点】线段垂直平分线的性质作图—基本作图【解析】（1）根据“到A，B两点的距离相等”可知点D在线段AB的中垂线上，据此作AB中垂线与BC交点可得；（2）先根据直角三角形的性质得∠CAB＝53∘，再由DA＝DB知∠B＝∠DAB＝37∘，从而根据∠CAD＝∠CAB−∠DAB可得答案．【解答】如图所示，点D即为所求；在△ABC中，∵∠C＝90∘、∠B＝37∘，∴∠CAB＝53∘，由（1）知DA＝DB，∴∠B＝∠DAB＝37∘，则∠CAD＝∠CAB−∠DAB＝16∘．21.【答案】如图，点P即为所求．如图，点C即为所求．结论：∠MPN＝2∠BCP．理由：∵BP＝BA＝AC，∴∠MPN＝∠BAP，∠ABC＝∠ACB，∵∠BAP＝∠ABC+∠ACB，∴∠MPN＝2∠CBP．【考点】等腰三角形的性质作图—复杂作图线段垂直平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答22.【答案】解：(1)如图所示，∠AOC即为所求；(2)当OC在∠AOB的内部时，∠AOC=∠AOB−∠BOC=65∘−30∘=35∘；当OC在∠AOB的外部时，∠AOC=∠AOB+∠BOC=65∘+30∘=95∘；综上，∠AOC的度数为35∘或95∘．【考点】作图—复杂作图【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)如图所示，∠AOC即为所求；(2)当OC在∠AOB的内部时，∠AOC=∠AOB−∠BOC=65∘−30∘=35∘；当OC在∠AOB的外部时，∠AOC=∠AOB+∠BOC=65∘+30∘=95∘；综上，∠AOC的度数为35∘或95∘．。

八年级数学上册线段的垂直平分线的性质练习含答案

八年级数学上册线段的垂直平分线的性质练习一、单选题1．到三角形的三个顶点距离相等的点是（）． A ．三角形三条中线的交点B ．三角形三边垂直平分线的交点C ．三角形三条角平分线的交点D ．三角形三条高的交点2．如图，DE 为ABC 中AC 边的中垂线，8,10BC AB ==，则EBC 的周长是（）A ．16B ．18C ．26D ．283．下列条件中，不能判定直线CD 是线段AB (C ，D 不在线段AB 上)的垂直平分线的是（） A ．CA =CB ，DA =DBB ．CA =CB ，CD ⊥ABC ．CA =DA ，CB =DBD ．CA =CB ，CD 平分AB4．如图，直线PO 与AB 交于点O ，PA PB =，下列结论中正确的是（）A ．AO BO =B ．PO AB ⊥C ．PO 是AB 的垂直平分线D ．点P 在AB 的垂直平分线上5．如图，AD BE ⊥，BD DE =，点E 在线段AC 的垂直平分线上，若6cm AB =，3cm BD =，则DC 的长为（）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm6．如图，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）．A ．在 AC 、BC 两边高线的交点处B ．在 AC 、BC 两边垂直平分线的交点处 C ．在 AC 、BC 两边中线的交点处D ．在∠A 、∠B 两内角平分线的交点处二、填空题 7．如图，在ABC 中，10AB =，AD 垂直平分线段BC ，垂足为点D ，点E 是AC 的中点，则EC 的长为________．8．如图，在ABC 中，90,ACB DE ∠=︒是AB 的垂直平分线，:4:1CAE EAB ∠∠=，则B 的度数为_______．9．如图，撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作AB 、AC 和DB 、DC ，始终有,AB AC DB DC ==，请大家考虑一下伞杆AD 与B 、C 的连线BC 的位置关系为________．10．已知线段AB 及一点P ，PA=PB=3cm ，则点P 在__________上．11．如图，△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE=5cm ，△ABD 的周长为14cm ，则△ABC 的周长为________cm ．12．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，DE 是AB 的垂直平分线，且BC ＝8，AC ＝6，则△ACD 的周长为_____．三、解答题13．如图，求作一点P ，使PC PD =，并且点P 到AOB ∠两边的距离相等．14．如图，A ，B 表示两个仓库，要在A ，B 一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？15．已知：如图，AB 是线段CD 的垂直平分线，E ，F 是AB 上的两点．求证：ECF EDF ∠=∠．16．如图，甲､乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥．（1）天桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？注意：天桥必须与街道垂直．（2）天桥建在何处才能使甲､乙到天桥的距离相等？17．已知：如图，P 是AOB ∠平分线上的一点，,⊥⊥PC OA PD OB ，垂足分别为C ，D ．求证：（1）OC OD =；（2）OP 是CD 的垂直平分线．18．如图，小河边有两个村庄A 、B ．要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水．（1）若要使水厂到A 、B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？（2）若要使水厂到A 、B 村的水管最省料，应建在什么地方？（保留作图痕迹，不写作法）参考答案1．B 【解析】解：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等， ∴ 到三角形的三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点. 故选：B2．B【解析】∵DE 是ABC ∆中AC 边的垂直平分线，∴AE CE =，∴10AE BE CE BE +=+=，∴EBC ∆的周长81018BE CE BC =++=+=．故选：B ．3．C【解析】解：A 、CA =CB ，DA =DB ，可以判定直线CD 是线段AB (C ，D 不在线段AB 上)的垂直平分线，不符合题意；B 、CA =CB ，CD ⊥AB ，可以判定直线CD 是线段AB (C ，D 不在线段AB 上)的垂直平分线，不符合题意；C 、CA =DA ，CB =DB ，不能判定直线CD 是线段AB (C ，D 不在线段AB 上)的垂直平分线，符合题意；D 、CA =CB ，CD 平分AB ，可以判定直线CD 是线段AB (C ，D 不在线段AB 上)的垂直平分线，不符合题意．故选：C ．4．D【解析】解：因为直线PO 与AB 交于点O ，且P A =PB ，所以P 在线段AB 的垂直平分线上，故选：D ．5．C【解析】解：AD BE ⊥，BD DE =，6AE AB ∴==，点E 在线段AC 的垂直平分线上，EA EC ∴=，9()DC DE EC AB BD cm ∴=+=+=，故选：C ．6．B【解析】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可知超市应建在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处，故选：B ．7．5【解析】∵AD 垂直平分BC ，10AB =，∴10AC AB ==，∵点E 是AC 的中点， ∴152EC AC ==．故答案为：5．8．15°【解析】解：∵在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，∵DE 是AB 的垂直平分线∴∠B =∠BAE∵∠CAE ：∠EAB =4：1∴6∠B =90°∴∠B =15°故答案为:15°．9．垂直【解析】解：如图，连接BC 、AD ，∵,AB AC DB DC ==，∴点A 在线段BC 的垂直平分线上，点D 在线段BC 的垂直平分线上， ∴根据两点确定一条直线得出直线AD 是线段BC 的垂直平分线，故答案为：垂直．10．线段AB的垂直平分线【解析】因为PA=PB=3cm，所以P点一定在线段AB的垂直平分线上．故答案为：线段AB的垂直平分线．11．24【解析】∵DE是AC的垂直平分线∴AD=CD,AE=EC=5cm,∴AC=10cm∵△ABD的周长为14cm∴AB+BD+AD=14，△ABC的周长为AB+BC+AC= AB+ BD+ CD+AC= AB+BD+AD+AC=14+10=24cm. 12．14．【解析】∵DE是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+DB ＝AC+BC＝14．故答案为14．13．图见解析【解析】解：如下图所示，点P就是所求的点．14．见解析．【解析】解：连接AB，分别以A和B为圆心，以大于1AB为半径的两弧交于点E和F，2作直线EF，与河岸交于点C，如图，则码头应建在点C处．15．证明见解析【解析】证明：AB 是线段CD 的垂直平分线，E ，F 是AB 上的两点， ∴,EC ED FC FD ==，又EF EF =，∴EDF ECF △≌△（SSS ），∴ECF EDF ∠=∠．16．（1）见解析；（2）见解析【解析】解：（1）如图（1），将点A 沿竖直向下的方向平移，平移距离等于桥长，到达点1A ，连接1A B ，与街道靠近B 的一侧交于点1B ，过1B 点建桥即符合要求；（2）如图（2），作点B 关于街道的对称点2B ，连接2AB ，作2AB 的垂直平分线，与街道靠近A 的一侧相交于点2A ，过2A 点建桥即符合要求．17．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】解：（1）证明：∵P 是∠AOB 平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ， ∴PC =PD ，在Rt △POC 与Rt △POD 中，∵PC PD OP OP =⎧⎨=⎩，∴Rt △POC ≌Rt △POD （HL ）， ∴OC =OD ；（2）证明：∵P 是∠AOB 平分线上的一点，∴∠COP =∠DOP∵由（1）知，OC =OD ，∴在△COE 与△DOE 中，OC OD COP DOP OE OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△COE ≌△DOE ，∴CE =DE ，OE ⊥CD ，即OP 是CD 的垂直平分线．18．（1）答案见解析；（2）答案见解析．【解析】解：（1）作出AB 的中垂线与EF 的交点M ，交点M 即为厂址所在位置；（2）如图所示：作A 点关于直线EF 的对称点A′，再连接A′B 交EF 于点N ，点N 即为所求．。

考点06线段垂直平分线的性质和判定

考点06线段垂直平分线的性质和判定一.选择题（共io 小题）1. （2020重庆南开中学）如图，在AABC 中，DE 垂直平分,分别交BC 、AB 于£＞、E,连接CE, BF 平分ZABC ，交CE 于F ，若BE = AC.ZACE = \2\则Z£FB 的度数为A. 58° B ・ 63°【答案】B 【解析】二DE 垂直平分BC, 二 BE=EC, 二 BE=AC,ZCE=AC,二二ACE 是等腰三角形，ZZACE = 12°, ZZAEC =ZA=84%C. 67°D ・ 70°（）二BE=CE,ZZEBC = ZECB=丄二AEC=丄x84°=42%2 2ZBF 平分二ABC,二二EBF= - ZEBC=丄X42°=21\2 2二二EFB =二AEC-二EBF = 84。

一21°=63°,故答案为：B.2.（2020四川彭州期末）如图，在△ABC中，3C的垂直平分线分别交BC, AB于点D、E、BE = 1,则CE的长是（）A. 5 B・6 C・7 D・8【答案】C【解析】IDE是BC的垂宜平分线，二CE=BE=7,故选：C.3.（2020四川开江期末）如图，.9是ZBAC的平分线，EF垂直平分.3交BC的延长线于点F,若ZFAC = 55\则ZB的度数为（）FCDBA・ 45。

B. 50° C. 55°D・60°【答案】C【解析】解：二EF垂直平分AD.二AF=FD.二二FADYFDA,ZZFAC+ZCAD=ZB+ZDAB, 二AD是二BAC的平分线，二二CADYDAB,ZZFAC=ZB=55°,故选：C.4.（2020四川郸都期末）如图，在二仏C中，二C=31。

，二ABC的平分线加交2C于点D 如果％垂直平分BC,那么二4的度数为（）A. 31。

线段的垂直平分线性质与判定练习完整

A BCDE线段的垂直平分线性质与判定练习一、知识点1：线段垂直平分线的性质：例1如图，在ΔA B C 中，AB =AC =32，MN 是AB 的垂直平分线，且有BC =21，求ΔBCN的周长。

对应训练：1、如图，在ΔABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE =3cm ，ΔABD 的周长为13cm ，求ΔABC 的周长。

2、已知△ABC 中，AB =AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，△ABC 和△DBC 的周长分别是60cm 和38cm ，求△ABC 的腰长和底边的长3．如图7，△ABC 中，BA =BC ，∠B =120°，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，求证：AD =12DC ．4、△ABC 中，∠C =90°，∠A=15°,AB 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E,AD=3,则CD= ．二、知识2：线段垂直平分线的判别：例2、如图，四边形ABCD 是一只“风筝”的骨架，其中AB=AD,CB=CD(1) 小明观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形的两条对角线A C ⊥BD,垂足为E,并且BE=ED ，你同意小明的判断吗？请说明理由 (2) 设对角线AC=a,BD=b,请用含a,b 的式子表示四边形ABCD 的面积对应训练：如图，已知：AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上的一点，求证：BE=CE 。

ABCMND课堂检测：1、：∆ABC 是等腰三角形，ED 为腰AB 的垂直平分线，∆BCD 的周长为24cm ，∆ABC 腰长为14cm ，求底边BC 的长。

AEDB C2．：如图３，△ＡＢＣ中，ＡC ＝４，ＢＣ＝８，ＡＢ的垂直平分线交ＢＣ于Ｄ，Ｅ是垂足，且ＢＤ＝５，求△ＡＢＣ的面积。

3、：如图，△ＡＢＣ中，ＡＢ的中垂线交ＢＣ于Ｄ，ＡＣ的中垂线交ＢＣ于Ｅ，Ｍ、Ｎ为垂足，假设ＢＤ＝３，ＤＥ＝４，ＥＣ＝５，求证：∠Ｂ＝４５°4、，D 是直角∆ABC 斜边AC 的中点，ED AC ⊥于D 交BC 于E ，∠∠=EAB BAC ::25，求：∠ACB 的度数。

人教版八年级数学上册《线段的垂直平分线的性质与判定》练习试题

13.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时线段的垂直平分线的性质和判定一、选择题（共8小题）1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（）A．6B．5C．4D．32．如图，AC=AD，BC=BD，则有（）A．A B垂直平分CD B．C D垂直平分ABC．A B与C D互相垂直平分D．C D平分∠ACB3．下列说法中错误的是（）A．过“到线段两端点距离相等的点”的直线是线段的垂直平分线B．线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等C．线段有且只有一条垂直平分线D．线段的垂直平分线是一条直线4．到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高的交点D．三边中线的交点5．如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线交AD于E，连接EC；则∠AEC等于（）A．100°B．105°C．115°D．120°6．如图，△ABC中，AD是BC的中垂线，若BC=8，AD=6，则图中阴影部分的面积是（）A．48 B．24 C．12 D．67．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E，交AC于F，交AB于D，连接BF．若BC=6cm，BD=5cm，则△BCF的周长为（）A．16cm B．15cm C．20cm D．无法计算8．如图△ABC中，∠B=40°,AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C=( )A．28°B．25°C．22.5°D．20°第1题图第2题图第5题图D第6题图第7题图第8题图二、填空题（共10小题）9．到线段AB两个端点距离相等的点的轨迹是_________ ．10．如图，有A、B、C三个居民小区是位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个休闲广场，使广场到三个小区的距离相等，则广场应建在_________ ．11.在阿拉伯数字中，有且仅有一条对称轴的数字是____________.12、如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE= _________ 度．13、如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为_________ cm．14．如图，已知在△ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC于D，若△BDC的周长为16，则BC= _________ ．15．如图，在△ABC中，∠B=30°，直线CD垂直平分AB，则∠ACD的度数为_________ ．16．已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于_________ ．17．如图，AB=AC，AC的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，BC=6，△CDB的周长为15，则AC= _________ ．18．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD．则∠BCD=_________ 度．第10题图第12题图第13题图第14题图第15题图第16题图第17题图第18题图三、解答题（共5小题）19．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O．（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明．20．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，△BCE的周长为8cm，且AC﹣BC=2cm，求AB、BC的长．21.如图，已知：在ABC中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P. 求证：点P在AC的垂直平分线上.22．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：AD垂直平分EF．23．如图，已知∠C=∠D=90°，AC与BD交于O，AC=BD．（1）求证：BC=AD；（2）求证：点O在线段AB的垂直平分线上．13.1.2 线段的垂直平分线的性质一、选择题（共8小题）1．B 2．A 3．A 4．A 5．C 6．C 7．A 8．A二．填空题（共10小题）9. 线段AB的中垂线；10. 三边垂直平分线的交点处；11. 3；12. 50；3. 13 ；14. 6 15. 60°；16. 8 ；17. 9 ；18.35°三．解答题（共5小题）19.（1）解：图中有三对全等三角形：△AOB≌△AOD，△COB≌△COD，△ABC≌△ADC；（2）证明△ABC≌△AD C．证明：∵AC垂直平分BD，∴AB=AD，CB=CD（中垂线的性质），又∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC．20. 解：∵△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，∴AE=BE，∵△BCE的周长为8cm，即BE+CE+BC=8cm，∴AC+BC=8cm…①，∵AC﹣BC=2cm…②，①+②得，2AC=10cm，即AC=5cm，故AB=5cm；①﹣②得，2BC=6cm，BC=3cm．故AB=5cm、BC=3cm．21.证明：∵P在AB、BC的垂直平分线上∴AP=BP，BP=CP∴AP=CP，∴P点在AC的垂直平分线上.22.证：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，在Rt△AED和Rt△AFD中∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF，∵AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分EF（三线合一）23. 证明：（1）∵∠C=∠D=90°，∴在Rt△ACB和Rt△BDA中，，∴Rt△ACB≌Rt△BDA，∴AD=BC；（2）∵Rt△ACB≌Rt△BDA，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上．E D C A B 13.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时线段的垂直平分线的性质和判定1.选择题:⑴在锐角△ABC 内一点P 满足PA=PB=PC ，则点P 是△ABC( )A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点⑵△ABC 中，AC ＞BC ，边AB 的垂直平分线与AC 交于点D ，已知AC=5，BC=4，则△BCD 的周长是( )A.9B.8C.7D.6⑶平面内到不在同一条直线的三个点A 、B 、C 的距离相等的点有( )A.0个B.1个C.2个D.3个2.填空题:⑴如下图，△ABC 中，AB=AC=14cm ，D 是AB 的中点，DE ⊥AB 于D 交AC 于E ，△EBC 的周长是24cm ，则BC=_________．⑵互不平行的两条线段AB 、B A ''关于直线l 对称，AB 和B A ''所在直线交于点P ，下面结论：①AB=B A ''；②点P 在直线l 上；③若点A 、A '是对称点，则l 垂直平分线段A A '；④若点B 、B '是对称点，则PB=B P '，其中正确的有 (只填序号).D C AB E DC A B 3.△ABC 中，边AB 、AC 的垂直平分线交于点P.求证：点P 在BC 的垂直平分线上.4.如图，直线AD 是线段BC 的垂直平分线，求证：∠ABD=∠ACD.5.如图，△ABC 中∠ACB=90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，求证：直线AD 是CE 的垂直平分线．6.现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑.如图⑴，⑵所示.图(1) 图(2) 图(3) 图(4)观察图⑴，图⑵中涂黑部分构成的图案.它们具有如下特征:①都是轴对称图形②涂黑部分都是三个小正三角形.请在图⑶，图⑷内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征．参考答案1.⑴D；⑵A；⑶B.2.⑴10cm；⑵①②③④.3.证明PB=PC.4.证明△ABD≌△ACD(SSS).5.证明AE=AC，DE=DC.6.答案不唯一，只要符合要求，即可.第2课时线段的垂直平分线的有关作图1.如果O是线段AB的垂直平分线与AB的交点，那么 = .2.设MN是线段AB的垂直平分线，当点P在MN上运动时，PA，PB的长度都随之变化，但总保持 .3.如图14－27所示，OM是∠AOB的平分线，MA⊥OA，交OA于A，MB⊥OB，交OB于B，如果∠AO B=120°，则∠AMO= ，∠BMO= ，∠AMB= ，AM= ，理由是 .4.如图14－28所示，AB=AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB+D，交AC于E，求△BCE的周长.5.（1）下面每个网格内的两个图形（如图14－29所示）都是成轴对称的，请画出它们的对称轴；（2）如图14－30所示，以虚线为对称轴，画出图形的另一半；（3）画出如图14－31所示的图形关于直线l的对称图形.6.某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图14－32所示（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.（1）你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案；（2）阐述你设计的理由.7.欣赏下面对联，感悟轴对称在文学中的踪影.（1）秀山青雨青山秀，香柏古风古柏香；（2）雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天.观察上述对联，你也试一试，作出一幅类似的对联.参考答案1.OA OB2.PA=PB3.30° 30° 60° BM角的平分线上的点到角两边的距离相等4.解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB.∴BC+CE+BE=BC+CE+EA=BC+AC=12+7=19.∴△BCE的周长为19.5.略6.（1）仓库在线段MN的垂直平分线和∠AOB的平分线的交点上.（2）角的平分线的性质和线段垂直平分线的性质. 7.略。

垂直平分线练习题

垂直平分线练习题垂直平分线练习题垂直平分线是几何学中的一个重要概念，它在很多数学题目中经常被用到。

垂直平分线是指将一条线段垂直平分为两段相等的线段的直线。

在本文中，我们将探讨一些与垂直平分线相关的练习题，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

练习题一：垂直平分线的构造假设有一条线段AB，我们的目标是通过构造一条垂直平分线来将其平分为两段相等的线段。

请你描述一下如何进行这一构造。

解答：首先，我们需要绘制一条与线段AB垂直的直线。

可以使用直尺和铅笔来辅助作图。

接下来，在线段AB的两个端点上分别作两个等长的弧，这两个弧的半径可以任意选择。

然后，我们将直尺的一边放在其中一个端点上，另一边与另一个端点的弧交点相连，得到的直线就是垂直平分线。

练习题二：垂直平分线的性质垂直平分线具有一些重要的性质，下面我们来探讨其中的一些。

性质一：垂直平分线将线段分为两段相等的部分。

证明：由于垂直平分线将线段分为两个等长的弧，所以它也将线段分为两段相等的部分。

性质二：垂直平分线与线段的中垂线重合。

证明：设垂直平分线为CD，线段AB的中点为E。

由于CD与AB垂直且等分，所以CD与AE、BE都垂直。

而根据垂直平分线的定义，CD与AE、BE也相等。

因此，CD即为线段AB的中垂线。

练习题三：垂直平分线的应用垂直平分线在几何学中有着广泛的应用，下面我们来看一个实际问题。

问题：假设有一个正方形ABCD，以及一条通过点A和点C的直线l。

请你证明直线l是正方形ABCD的对角线，并找出它的垂直平分线。

解答：首先，我们知道正方形的对角线互相垂直且相等。

因此，我们只需要证明直线l与正方形的两条对边垂直，并且它们的长度相等。

设正方形的边长为a。

由于直线l通过点A和点C，所以它与正方形的边AB和边CD相交。

设交点分别为E和F。

我们可以通过计算证明AE=CF=a/2，从而证明直线l与正方形的两条对边相等。

接下来，我们需要证明直线l与正方形的两条对边垂直。

由于正方形的两条对边互相垂直，所以我们只需要证明直线l与边AB垂直即可。

线段的垂直平分线性质与判定练习完整

线段的垂直平分线性质与判定练习、知识点1:线段垂直平分线的性质:例1如图，在△ ABC 中，AB=AC=32, MN 是AB 的垂直平分线，且有 BC=21，求△ BCN的周长。

对应训练:1、如图，在△ ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线,2、已知△ ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交求厶ABC 的腰长和底边的长 3. 如图7，^ ABC 中，BA=BC ，Z B=120 °，AB 的垂直平分线交 AC 于点D ，求证:4、A ABC 中，/ C=90°，Z A=15° ,AB 的垂直平分线交 AC 于点D ，交AB 于点E,AD=3,则CD= _____________ 、知识2 :线段垂直平分线的判别： ___________________________________________________ 例2、如图，四边形 ABCD 是一只“风筝”的骨架，其中 AB=AD,CB=CD(1) 小明观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形的两条对角线AC 丄BD,垂足为E,并且BE=ED 你同意小明的判断吗？请说明理由(2) 设对角线AC=a,BD=b,请用含a,b 的式子表示四边形 ABCD 的面积对应训练：如图，已知：AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上的一点，求证：BE=CE 。

AC 于点D ，△ ABC 和厶DBC 的周长分别是 60cm 和38cm ，1 AD= DC . 2△AE=3cm,课堂检测:1、已知： ABC 是等腰三角形，ED 为腰AB 的垂直平分线， BCD 的周长为24cm , ABC 腰长为 14cm ,求底边 BC 的长。

2 .已知：如图3, △ABC 中，A C =4,BC=8,AB 的垂直平分线交EC 于D,E 是垂足，且BD=5，求 AABC 的面积。

3、已知：如图，AABC 中，AB 的中垂线交BC 于D,AC 的中垂线交BC 于E,M 、N 为垂足，若BD=3,DE=4,EC=5，求证: 4、已知，D 是直角 ABC 斜边AC 的中点，ED AC 于D 交BC 于E , ACB 的度数【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】EAB BAC 25，求: ZB = 45。

线段垂直平分线的性质定理和逆定理练习题

线段垂直平分线的性质定理及其逆定理练习题1. 如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线的性质得等腰三角形ADB，运用等腰三角形的性质得出尽量多的结论，与各选项进行比对，答案可得．解答：解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD．∴∠B=∠BAD，∠ADE=∠BDE．∴∠B+∠ADE=90°其它选项无法证明其是正确的．故选D点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．利用角的等量代换是正确解答本题的关键．2.如图：Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD：∠DAB=2：1，则∠B的度数为（）A．20° B．22.5° C．25° D．30°考点：线段垂直平分线的性质．分析：由DE是AB的垂直平分线，利用线段的垂直平分线的性质得∠B=∠BAD，结合∠CAD：∠DAB=2：1与直角三角形两锐角互余，可以得到答案．解答：解：在Rt△ABC中∵DE是AB的垂直平分线∴∠B=∠BAD∵∠CAD：∠DAB=2：1∴4∠B=90°∴∠B=22.5°故选B点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由已知条件得出4∠B=90°是正确解答本题的关键．3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC的中垂线交斜边AB于D，图中相等的线段有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组考点：线段垂直平分线的性质．分析：由已知条件易得CD=BD，CE=BE，还可得到∠B=∠BCD，找各自的余角，于是得到∠A=∠ACD，得到AD=CD，可得AD=BD答案可得．解答：解：∵BC的中垂线交斜边AB于D，CD=BD，CE=BE，∴∠B=∠BCD，又∠A+∠B=90°，∠BCD+∠ACD=90°∴∠A=∠ACD，∴AD=CD∴AD=BD共4组．故选D．点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．利用等角的余角相等是正确解答本题的关键．4.（2002•哈尔滨）如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条高的交点 D．三边中线的交点考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）可得到△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．解答：解：△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．故选A．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）．5. 线段AB外有两点C，D（在AB同侧）使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB=（）A．80° B．90° C．100° D．110°考点：线段垂直平分线的性质．分析：由已知条件易得CD的连线垂直平分AB，然后利用三角形外角的知识可得答案．解答：解：∵CA=CB，DA=DB，∴CD垂直平分AB且垂足为M．∵∠ADB=80°，∠CAD=10°，∴∠ACM=50°，∴∠ACB=100°．故选C点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等和三角形的外角等于不相邻的两内角和．由已知得到CD垂直平分AB是解答本题的关键．6. 如图，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在（）的垂直平分线上．A．AB B．AC C．BC D．不能确定考点：线段垂直平分线的性质．分析：由已知条件BC=BD+AD及图形知BC=BD+CD知AD=CD，根据线段垂直平分线的性质可判断出答案．解答：解：∵BC=BD+AD=BD+CD∴AD=CD∴点D在AC的垂直平分线上．故选B．点评：此题主要考查线段垂直平分线的性质的逆定理：和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．得到AD=CD是正确解答本题的关键．7.下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个考点：线段垂直平分线的性质．分析：仔细阅读各已知条件，结合线段垂直平分线定理及逆定理对每一个小问题进行判断，其中④是错误的，过点E的直线有无数条，有且仅有一条垂直平分线段AB，所以原说法是错误的．解答：解：根据线段垂直平分线的性质定理及逆定理，①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB，符合性质定理，是正确的；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB，符合逆定理，是正确的；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点，符合逆定理，是正确的；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB，不符合逆定理，是错误的；所以正确的是①②③三个．故选C．点评：此题主要考查线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．做题时要注意对每一个小题都要认真验证，不重不漏．8. 已知M，N是线段AB的垂直平分线上任意两点，则∠MAN和∠MBN之间的关系是．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据垂直平分线的性质转化为等腰三角形的问题，再进行两角大小的运算．解答：解：图1中，因为MN垂直平分AB所以MA=MB，NA=NB则∠MAO=∠MBO，∠NAO=∠NBO于是∠MAO+∠NAO=∠MBO+∠NBO即∠MAN=∠MBN．同理，图2中，∠MAO-∠NAO=∠MBO-∠NBO即∠MAN=∠MBN．点评：主要考查线段垂直平分线的性质和等边对等角，注意两种情况都要考虑是正确解答本题的关键．9. 如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数．考点：线段垂直平分线的性质．专题：探究型．分析：先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ABC及∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠ABD 的度数即可进行解答．解答：解：∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB702401802180=-=∠-=A ，∵MN 的垂直平分AB ，∴DA=DB ， ∴∠A=∠ABD=40°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°．故答案为：30°．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．10.如图， △ABC 中，边AB 的垂直平分线交AC 于E ，△ABC 和△BEC 的周长分别是24和14，则。

(完整word版)线段垂直平分线的性质定理及其逆定理习题精选及答案(一)

线段垂直平分线的性质定理及其逆定理习题精选（一) 1．线段的垂直平分线定理是，逆定理是。

2．如图，DE是AB的垂直平分线，D是垂足，DE交BC于E，BC＝32cm，AC＝18cm,则△AEC的周长为cm。

3．在△ABC中，∠BAC＝110°, AB、AC的垂直平分线交BC于D、E，则∠DAE＝ .4．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，∠CAD＝20°,则∠B ＝。

5．若三角形中两边的垂直平分线的交点正好在第三边上，则这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形6．一个三角形的三边中垂线交点在形外，那么这个三角形是（）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形7．已知如图,∠AOB＝40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA，MB⊥OB于B，则∠MAB的度数为 ( ）A．50° B．40° C．60° D．20°8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°,AB的垂直平分线与AC相交于点M，则BC与MB的比为 ( ) A．1︰3 B．1︰2 C。

2︰3 D. 3︰49．已知如图，AB＝AD,CB＝CD，求证：AC垂直平分BD。

10．已知如图,△ABC中，∠C＝90°，∠B=15°，AB的中垂线交BC于点D，若BD＝20cm，求AC的长。

11．如图△ABC中,∠C=90°，DE垂直平分AB,∠CAD︰∠BAD＝2︰3,求∠ADB的度数.12．如图，在等边△ABC中,∠B、∠C的平分线相交于O,BO、OC的垂直平分线分别交BC于E和F.求证BE＝EF＝FC。

13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点,E是BD的垂直平分线与AB的交点,DE交AC于F，求证：E在AF的垂直平分线上。

专题2.9线段垂直平分线的性质与判定大题专练

【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题2.9线段垂直平分线的性质与判定大题专练（重难点培优）【知识点1】利用线段垂直平分线的性质进行计算与证明1．（2021·江苏淮安·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别以点A、B为圆的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，求CD的长．心，大于12【答案】85【解析】【分析】连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题．【详解】解：连接AD．∵PQ垂直平分线段AB，∴DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，∴x2=32+（5-x）2，解得x=17，5∴CD =BC -DB =5-175=85，故答案为85．【点睛】本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．2．（2021·江苏盐城·八年级期中）如图，在△ABC 中，BC ＝10 cm ， AB 的垂直平分线交AB 于点D 、交AC 于点E ，△BCE 的周长等于22 cm ．(1)证明：BE +EC =AC ；(2)求AC 的长．【答案】(1)证明见解析(2)AC 的长为12【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质定理可得AE =BE ，等量代换可证结论；（2）由题意知BC +CE +BE =22cm ，可求BE +CE 的值，进而可得AC 的值．(1)证明：∵ DE 是线段AB 的垂直平分线∴AE =BE∵AE +EC =AC∴BE +EC =AC ．(2)解：∵△BCE 的周长为22cm ，∴BC +CE +BE =22cm∵BC =10cm∴BE+CE=12cm∴AC=BE+CE=12cm∴AC的长为12cm．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质定理．解题的关键在于熟练掌握垂直平分线的性质定理．3．（2022·江苏·九年级期中）如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，BC长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连接CD．大于12(1)则MN是BC的线．(2)若AB＝8，AC＝4，求△ACD的周长．【答案】(1)垂直平分；(2)△ACD的周长＝12【解析】【分析】（1）先证明△BMN≌△CMN，得出∠BMN=∠CMN，再利用等腰三角形的“三线合一”即可得出答案；（2）利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．(1)解：如图1，连接BM、CM、BN、CN，令MN与BC相交于点O，∵在△BMN和△CMN中，BM=BN,CM=CNMN=MN∴△BMN≌△CMN，∴∠BMN=∠CMN，∵BM=CM，∴直线MN是线段BC的垂直平分线，故答案为：垂直平分；(2)解：∵MN垂直平分线段BC，∴DC＝DB，∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+BD+AD＝AC+AB＝8+4＝12【点睛】本题考查尺规作图——作线段垂直平分线以及线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质定理．4．（2021·江苏镇江·八年级期中）使用直尺与圆规完成下面作图，（不写作法，保留作图痕迹，用水笔描黑）(1)在AB上找一点P使得P到AC和BC的距离相等；(2)在射线CP上找一点Q，使得QB＝QC；(3)若BC＝10，则点Q到边AC的距离为．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)5【解析】【分析】（1）作出∠C的角平分线交AC于P，点P即为所求；(2)作线段BC的垂直平分线，交CP于点Q，点Q即为所求；（3）如图：BC的垂直平分线交BC于E，过Q作QF⊥AC于F点，根据CP为∠ACB的平分线，得到QF=QE，根据垂直平分线的性质得到∠QEC=90°，也可以证∠QCE=∠CQE，所以得到CE=QE=5，再根据角平分线的性质得到QF=QE=5，即可求解；(1)作出∠C的角平分线，标出点P(2)作出BC的垂直平分线标出点Q(3)如图：BC的垂直平分线交BC于E，过Q作QF⊥AC于F点，∵QE为BC的垂直平分线，∴QE⊥BC，∠QEC=90°∵CP为∠ACB的平分线，∴QF =QE∴∠PCE =∠ACP =12∠ACB =45°，∵∠QEC =90°∴∠CQE =90°-∠QCE =90°-45°=45°，所以∠QCE =∠CQE所以CE =QE∵QE 为BC 的垂直平分线，∴BE =CE =12BC =12×10=5∴CE =QE =5所以QF =QE =5∴点Q 到边AC 的距离为5，故答案为：5【点睛】本题考查作图，应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质．5．（2021·江苏镇江·八年级期中）已知，如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝8，BC ＝10，DE 为边BC 的垂直平分线，与边BC 、AB 分别交于D 、E 两点．求AC 和AE 的长．【答案】AC ＝6，AE ＝74【解析】【分析】在Rt △ABC 中根据勾股定理直接求得AC 的长，连接AE ，根据垂直平分线的性质得到BE =CE ，设AE ＝x ，则BE ＝8-x ，在Rt △ACE 中根据AE 2＋AC 2＝CE 2列出等式解得即可．【详解】在Rt △ABC 中，∵AB2＋AC2＝BC2，∴82＋AC2＝102，∴AC＝6；连接CE，设AE＝x，则BE＝8-x，∵DE为边BC的垂直平分线，∴CE＝BE＝8-x，在Rt△ACE中，∠A＝90°∴AE2＋AC2＝CE2，x2＋36＝（8－x）2，，解得x＝74∴AE＝7．4【点睛】本题考查了勾股定理和垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上的一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．6．（2021·江苏盐城·八年级期中）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．（1）求证：∠A＝90°；（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长．【答案】（1）见解析；（2）AC=4【解析】【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，然后利用勾股定理逆定理可得结论；（2）首先确定BD的长，进而可得CD的长，再利用勾股定理进行计算即可．【详解】（1）证明：连接CD，∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，∴CD＝DB，∵BD2﹣DA2＝AC2，∴CD2﹣DA2＝AC2，∴CD2＝AD2+AC2，∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；（2）解：∵AB＝8，AD：BD＝3：5，∴AD＝3，BD＝5，∴DC＝5，4．∴AC【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．7．（2021·江苏无锡·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，AC的垂直平分线交AC、AD、AB于点E、F、G，连接CF，BF．（1）点F到△ABC的边_______和_______的距离相等．（2）若AF＝3，∠BAC＝45°，求∠BFC的度数和BC的长．【答案】（1）AB，AC（或AC，AB）；（2）∠BFC＝90°，BC＝【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到∠CAD＝∠BAD，然后根据角平分线的性质定理可得点F到△ABC 的边AB和AC的距离相等；（2）首先根据等腰三角形三线合一的性质得到AD垂直平分BC，然后根据垂直平分线的性质得到CF＝BF，然后由EG垂直平分AC，得到AF＝CF，进而得到AF＝CF＝BF＝3，根据等腰三角形等边对等角以及外角的性质得到∠CFD＝2∠CAD，∠BFD＝2∠BAD，即可求出∠BFC＝90°；在Rt△BFC中，根据勾股定理即可求出BC的长．【详解】解：（1）∵AB＝AC，D是BC中点，∴∠CAD＝∠BAD，∴点F到△ABC的边AB和AC的距离相等；故答案为：AB和AC（或AC和AB）；（2）∵AB＝AC，D是BC中点，∴AD垂直平分BC，∴CF＝BF，∵EG垂直平分AC，∴AF＝CF，∴AF＝CF＝BF＝3，∵AF＝CF，∴∠FAC＝∠FCA，∴∠CFD＝∠FAC+∠FCA＝2∠CAD，同理可得：∠BFD＝2∠BAD，∴∠BFC＝2∠CAD+2∠BAD＝2∠BAC＝90°，在Rt△BFC中，∠BFC＝90°，∴BC【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线性质定理和垂直平分线的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线性质定理和垂直平分线的性质以及勾股定理．8．（2021·江苏·无锡市江南中学八年级期中）如图，△ABC中，∠BAC＝105°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）求∠DAF的度数；（2）如果BC=8，求△DAF的周长．【答案】（1）30°；（2）8【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理可求∠B+∠C；根据垂直平分线性质，DA=BD，FA=FC，则∠EAD=∠B，∠FAC=∠C，得出∠DAF=∠BAC-∠EAD-∠FAC=110°-（∠B+∠C）求出即可．（2）由（1）中得出，AD=BD，AF=FC，即可得出△DAF的周长为BD+FC+DF=BC，即可得出答案．【详解】解：（1）设∠B=x，∠C=y．∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴105°+∠B+∠C=180°，∴x+y=75°．∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，∴DA=BD，FA=FC，∴∠EAD=∠B，∠FAC=∠C．∴∠DAF=∠BAC-（x+y）=105°-75°=30°．（2）∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，∴DA=BD，FA=FC，∴△DAF的周长=AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=8．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质．注意掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等定理的应用，注意数形结合思想与整体思想的应用．9．（2021·江苏南通·八年级期中）如图，已知点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．（1）求证：BD＝CE；（2）若点D在线段AB的垂直平分线上，BD＝DE，求∠B的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠B＝30°．【解析】【分析】（1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF＝CF，DF＝EF，相减后即可得到正确的结论．（2）证明DA＝DE＝AE，得出△ADE是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠ADE＝60°，由三角形外角的性质则可得出答案．【详解】（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AD＝AE．∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE．（2）解：∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴DA＝DB，∵DB＝DE，∴DA＝DE，∵AD＝EA，∴DA＝DE＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝60°，∵∠ADE是△ADB的外角，∴∠ADE＝∠B+∠BAD，∵DA＝DB，∴∠B＝∠BAD＝30°．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，垂直平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．10．（2021·江苏·盐城市大丰区实验初级中学八年级期中）如图，△ABC中，∠B＝90°，BC上一点D，BD=6，CD＝10（1）若AD平分∠BAC，求点D到AC边的距离；（2）若点D恰好在AC边的垂直平分线上，求AB的长．【答案】（1）6；（2）8【解析】【分析】（1）过点D作DH⊥AC于点H，根据角平分线的性质可得出结论；（2）根据D恰好在AC边的垂直平分线上得出AD=CD=10，在Rt△ABD中根据勾股定理即可得出AB的长．【详解】（1）过点D作DH⊥AC于点H，∵AD平分∠BAC，∠B=90°，∴DH=BD=6，即点D到AC边的距离是3；（2）∵点D恰好在AC边的垂直平分线上，∴AD=CD=10，在Rt△ABD中，∵AD=10，BD=6，=8．∴AB【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．11．（2019·江苏·南京市第一中学八年级期中）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：AD垂直平分EF．【答案】见解析【解析】【分析】证明△AED≌△AFD，可得AE=AF,DE=EF，进而可得AD垂直平分EF．【详解】证明：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴∠EAD =∠FAD,DE =EF又AD =AD∴ △AED≌△AFD∴ AE =AF∴ A,D 在EF 的垂直平分线上即AD 垂直平分EF ．【点睛】本题考查了角平分线的性质与定义，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，掌握垂直平分线的判定是解题的关键．12．（2021·江苏宿迁·八年级期中）已知：如图，在△ABC 中，AD 是高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点．（1）AB =6，AC =8，求四边形AEDF 的周长；（2）求证：EF ⊥AD ．【答案】（1）14；（2）见详解【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=AE=12AB ，DF=AF=12AC ，再根据四边形的周长的定义计算即可得解；（2）根据到到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上证明即可．【详解】（1）解：∵AD 是高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴DE=AE=12AB=12×6=3，DF=AF=12AC=12×8=4，∴四边形AEDF 的周长=AE+DE+DF+AF=3+3+4+4=14；（2）证明：∵DE=AE ，DF=AF ，∴EF垂直平分AD，即：EF⊥AD．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，熟记性质与线段垂直平分线的判定方法是解题得解．13．（2021·江苏扬州·八年级期中）如图，AB=AC，DB=DC，点E在AD上，判断EB与EC数量关系，并说明理由．【答案】EB=EC，理由见解析．【解析】【分析】根据垂直平分线的判定和性质解答即可．【详解】解：连接BC，∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上，又∵DB=DC，∴点D在BC的垂直平分线上，∵两点确定一点直线，∴点AD是BC的垂直平分线，∵点E在直线AD上，∴EB=EC．【点睛】本题考查了垂直平分线的判定和性质，熟知垂直平分线上任意一点到两顶点的距离相等是解本题的关键．14．（2020·江苏南通·八年级期中）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，使点B和点E在CD的同侧，CE与BD交于点F，连接BE．（1）根据题中给定的条件，补全图形；（2）求证：△ACD≌△BCD；（3）求证：BD垂直平分CE．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的定义作图连线即可；（2）根据等边三角形及等腰直角三角形的定义，利用SSS证明；（3）证明△BED≌△ACD，推出BE=BC，得到点B在CE的垂直平分线上，根据ED=CD，得到点D在CE 的垂直平分线上，即可得到结论．【详解】（1）解：补图如下：（2）证明：∵△ABD 和△DCE 是等边三角形，∴BD =AD ，ED =CD ，∠ADF =∠CDE =60°．∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC =BC ．在△ACD 和△BCD 中，AC =BC,AD =BD,CD =CD,∴△ACD ≌△BCD （SSS ）．（3）解：由（2）得△ACD ≌△BCD ，∴∠ADC =∠BDC =30°，∴∠BDE =60°-30°=30°．在△BED 和△ACD 中，BD =AD,∠BDE =∠ADC,ED =CD,∴△BED ≌△ACD （SAS ）．∴BE =AC ．∴BE =BC ．∴点B 在CE 的垂直平分线上．又ED =CD ，∴点D 在CE 的垂直平分线上．∴BD 垂直平分CE．【点睛】此题考查等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定定理，作图能力，掌握各知识点、逻辑推理能力是解题的关键．15．（2021·江苏常州·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD 上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．【答案】（1）△DEF是等边三角形，见解析；（2）CF=4【解析】【分析】（1）证明△ABD是等边三角形，可得∠ADB=60°，再由平行线的性质可得∠CED=∠EDF=∠DFE=60°，则结论得证；（2）连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，由△ABD是等边三角形，可得∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=12，由（1）中△EDF是等边三角形，可得EF=DE=4，可得CF的长．【详解】解：（1）△DEF是等边三角形．理由是：∵AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形．∴∠ABD=∠ADB=60°．∵CE∥AB，∴∠CED=∠A=60°，∠DFE=∠ABD=60°，∴∠CED=∠ADB=∠DFE，∴△DEF是等边三角形；（2）连接AC交BD于点O，∵AB=AD，CB=CD，∴AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD．∵AB=AD，∠BAD=60°，∴∠BAC=∠DAC=30°．∵CE∥AB，∴∠BAC=∠ACE=∠CAD=30°，∴AE=CE=8，∴DE=AD-AE=12-8=4．∵△DEF是等边三角形，∴EF=DE=4，∴CF=CE-EF=8-4=4．【点睛】本题考查了平行线的性质，线段垂直平分线的逆定理，等边三角形的性质和判定等知识，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．16．（2021·江苏南京·八年级期中）如图，∠ADB＝∠ADC，∠B＝∠C．（1）求证：AB＝AC；（2）连接BC ，求证：AD ⊥BC ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意证明△ADB ≌△ADC 即可证明AB ＝AC ；（2）连接BC ，由中垂线的逆定理证明即可．【详解】证明：（1）∵在△ADB 和△ADC 中，∠ADB =ADC ∠B =∠C AD =AD，∴△ADB ≌△ADC （AAS ），∴AB ＝AC ；（2）连接BC ，∵△ADB ≌△ADC ，∴AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴A 和D 都在线段BC 的垂直平分线上，∴AD 是线段BC 的垂直平分线，即AD ⊥BC ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质以及中垂线的逆定理，熟记相关定理是解题关键．17．（2019·江苏苏州·八年级期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝80°，点D 为△ABC 内一点，∠ABD ＝∠ACD ＝20°，E 为BD 延长线上的一点，且AB ＝AE．（1）求∠BAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）请判断AD，BD，DE之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）40°；（2）见解析；（3）DE＝AD＋BD，理由见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理和垂直平分线的判定可得∠ABC=∠ACB=50°，点A在线段BC的中垂线上，从而证出∠DBC=∠DCB，根据等角对等边可得DB=DC，得出AD垂直平分BC，再根据三线合一即可求出结论；（2）利用三角形内角和定理和外角的性质分别求出∠ADC和∠ADE，即可证出结论；（3）在DE上截取点F，使DF=AD，根据等边三角形的判定证出△ADF为等边三角形，从而得出∠AFD=60°，AD=AF，然后利用AAS证出△ABD≌△AEF，从而得出BD=EF，从而证出结论．【详解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝80°，∴∠ABC=∠ACB=1（180°－∠BAC）=50°，点A在线段BC的中垂线上2∵∠ABD＝∠ACD＝20°，∴∠DBC=∠ABC－∠ABD=∠ACB－∠ACD=∠DCB∴DB=DC∴点D在线段BC的中垂线上∴AD垂直平分BC∵AB=AC∴AD平分∠BAC∠BAC＝40°；∴∠BAD=∠CAD=12（2）∵∠BAD=∠CAD=40°，∠ABD＝∠ACD＝20°∴∠ADC=180°－∠CAD－∠ACD=120°，∠ADE=∠BAD＋∠ABD=60°∴∠ADC=2∠ADE∴DE平分∠ADC；（3）DE＝AD＋BD，理由如下：在DE上截取点F，使DF=AD∵∠ADE=60°∴△ADF为等边三角形∴∠AFD=60°，AD=AF∴∠ADB=180°－∠ADE=120°，∠AFE=180°－∠AFD=120°∴∠ADB=∠AFE∵AB＝AE∴∠ABE=∠E∴△ABD≌△AEF∴BD=EF∴DE=DF＋EF=AD＋BD【点睛】此题考查的是等腰三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、垂直平分线的判定和全等三角形的判定及性质，掌握等腰三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、垂直平分线的判定和全等三角形的判定及性质是解题关键．18．（2019·江苏徐州·八年级期中）如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）AB =6，AC =4，求四边形AEDF 的周长；（2）EF 与AD 有怎样的位置关系？证明你的结论．【答案】（1）10；（2）EF 垂直平分AD.【解析】【分析】（1）根据线段中点的性质、直角三角形的性质计算；（2）根据线段垂直平分线的判定定理得到E 、F 在线段AD 的垂直平分线上，得到答案．【详解】解：（1）∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴AE=12AB=3，AF=12AC=2，∵AD 是高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴DE=12AB=3，DF=12AC=2，∴四边形AEDF 的周长=AE+ED+DF+FA=10；（2）EF 垂直平分AD ．证明：∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵E 是AB 的中点，∴DE=AE ，同理：DF=AF ，∴E 、F 在线段AD 的垂直平分线上，∴EF 垂直平分AD.【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．【知识点3】有关线段垂直平分线的作图问题19．（2021·江苏淮安·八年级期中）如图，有点A 、B 、C 、D ，请用无刻度直尺和圆规画出一点P ，使PA ＝PB 且PC ＝PD （不写作法，请把作图痕迹用黑水笔描清楚）．【答案】作图见解析【解析】【分析】利用线段垂直平分线的性质结合尺规作图分别作出线段AB，CD的垂直平分线，进而得出答案．【详解】解：如图所示，点P即为所求：【点睛】此题主要考查了复杂作图，正确掌握线段垂直平分线的性质及尺规作图方法是解题关键．20．（2021·江苏·常州市清潭中学九年级期中）如图，A，B，C三点表示三个工厂，要建立一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置（不写作法，尺规作图）．【答案】见解析【解析】【分析】要使得供水站到三个厂的距离相等，即供水站要在线段AB、BC、AC的垂直平分线上，因此作出AB、BC、AC的垂直平分线，三者的交点P即为所求．【详解】解：如图所示：连接AB，AC，BC，以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两者分别交于M、N，连接M、N，则MN为线段AB的垂直平分线，同理作出线段AC，BC的线段垂直平分线，三者交点P即为所求．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握线段垂直平分线的性质．21．（2021·江苏扬州·八年级期中）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1．（1）如图1，画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；（2）如图2，在直线l上找一点P，使PB＝PC；（要求：用圆规和直尺作图）（3）如图2，连接PA、PC，计算四边形PABC的面积．（4）如图3，已知直线m是一条小河，有一牧马人准备从A处牵马去河边饮水，然后返回B处，马在何处饮水才能使所走的总路程最短，请在图中作出该点Q的位置．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形PABC的面积为15；（4）见解析．2【解析】【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，过BC中点D作DP⊥BC交直线l于点P，点P即为所求；（3）根据S四边形PABC＝S△ABC＋S△APC列式计算即可得解；（4）过直线m作A点的对称点A′，连接B A′,与m的交点即可点Q的位置．【详解】解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）如图所示，作BC的垂直平分线交直线l于点P，此时PB＝PC；（3）如图：S 四边形PABC ＝S △ABC ＋S △APC ＝12×5×2＋12×5×1＝152；（4）过直线m 作A 点的对称点A ′，连接B A ′,与m 的交点即可点Q 的位置，如图所示：；【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．22．（2020·江苏·宜兴市实验中学八年级期中）请利用直尺完成下列问题（1）如图（1）示，利用网格画图：①在BC上找一点P，使得P到AB和AC的距离相等；②在射线AP上找一点Q，使QB＝QC．（2）如图（2）已知在△ABC中，AB＜AC＜BC，D是AC中点，在BC上一点E，利用尺规作图作出直线DE，使直线DE平分△ABC周长（保留作图痕迹）．【答案】（1）①见解析，②见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）①P到AB和AC的距离相等，即点P在∠BAC的角平分线上，据此解题；②射线AP上一点Q，使QB＝QC，即点Q在线段BC的垂直平分线上，根据中位线性质，可得线段BC的中点O，再将线段OC（也可视为斜边为OC，直角边分别为2，3的小直角三角形）绕点O顺时针旋转90°，其所在的射线与射线AP的交点即是点Q；（2）作AC的垂直平分线，取线段AC的中点D，延长CB到F,使得BF=AB，作CF的中垂线，交BC于E，画直线DE即可解题．【详解】（1）①如图（1）所示，点P即为所求作的点；②如图（1）所示，点Q即为所求作的点；（2）如图所示：直线DE即为所作的直线．【点睛】本题考查尺规作图，涉及直线、射线、线段，角平分线、线段垂直平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．23．（2020·江苏·南京市第一中学八年级期中）如图，在ΔABC中，AB>AC．（1）用尺规作图法在AB上找一点P，使得PB=PC．（保留作图痕迹，不用写作法）；（2）在（1）的条件下，连接PC，若AB=6，AC=4，求ΔAPC的周长．【答案】（1）见解析；（2）10．【解析】【分析】（1）作线段BC的垂直平分线，交AB于点P,点P即为所求；（2）利用线段垂直平分线的性质得出△APC的周长为=AP+PB+AC= AB+AC，进而得出答案．【详解】解：（1）如下图所示：（2）连接PC如下图所示：由题易知CΔAPC=AP+PC+AC，并且由（1）知PB=PC所以CΔAPC=AP+PB+AC=AB+AC=6+4=10【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．（2020·江苏镇江·八年级期中）（1）请在下图中画出两个以AB为腰的等腰△ABC．（要求：1.锐角三角形，直角三角形各画一个；2.点C在格点上．）（2）如图所示，OD和EF是两条互相垂直的道路，A、B是某公司的两个销售点，公司要在C处修建一个货运站，使C到两条道路的距离相等，且到A．B两个销售点的距离相等，请作出点C的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形、直角三角形、锐角三角形的特点和网格特点，再根据勾股定理画出即可．（2）作∠DOE和∠DOF的角平分线，然后作线段AB的垂直平分线，与角平分线的交点为点C的位置，即可得到图形.【详解】（1）解：如图所示即为所求，（2）解：如图，C1、C2点即为所求：【点睛】本题考查了复杂作图，作垂直平分线，作角平分线，以及在网格中作等腰三角形等知识，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确的作出图形.。

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