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1、边际概念及其数学极限思想

在经济学中，用平均和边际这两个概念來描述一个经济变量y对另一个经济变量x的变化.平均概念表示y在口变量x的某一个范围内的平均值.显然, 平均值随x 的范围不同而不同.边际概念表示当x的改变量Ax趋于0时，y 的相应改变量Ay与Ax比值Ay/Ax的变化，即当x在某一给定值附近有微小变化时，y的瞬时变化•经常用到的概念有边际成木、边际收入、边际利润、边际替代率等•如边际替代率是指在维持效用水平或满足程度不变的前提下，消费者增加一单位某种商品的消费时所放弃的另一种商品的消费数.

如图所示：

当右X]TO是，冇边际替代率

MRS12 = - 11m 冬/轨

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首先，根据边际替代率的定义，如果消费者增加VXj,单位商品的消费时所放弃的另一种商品的消费数是VX1，则边际替代率为

MRS = 一空仏X x

这是一个P点到q点的平均边际替代率.

然后，求极限（无限变化得精确值）•当AX]逐渐变小0吋，这是一个量变过程，但是量变达到一定界限，平均边际替代率问题向某点边际替代率飞跃发生质变，从而

MRS1? = 一lim AX2/AX t

由此可知，为了求出某一点的量（某一点的边际替代率），用在局部“以匀代非匀”求得这个量的近似值，然后再通过取极限的方法实现从近似到精确的过渡•在这里，

使“匀”与“非匀”转化的条件是取极限，不取极限就不能转化. 这是极限解决边际问题的基本思想方法.

例1:某企业每月生产X单位伸位:吨)产品的总成本C(X)伸位:千元)是产量X的函数C(x) = x2 - 10x4-20如果每吨产品销售价格为2万元,试求每月生产8吨、10吨、15吨、20吨时的边际利润.

解：根据题意，每月生产x吨产品的总收入函数R(x)二20x(千元)，则生产x 吨产品的利润为LOc] = R(x) 一C(x) = —x2 + 30x 一20

于是边际利润函数为Lc(x) = 30 - 2x

则每月生产8吨、10吨、15吨、20吨时的边际利润分别为:

Lc(a) = 14

L G(10) = 10

Lc(15) = 0

Lc(2a) = -10

上式表明，当月产量为8吨时,再增产1吨,利润将增加14千元;当10吨时，再增产1吨，利润增加10千元;当15吨时,再增产1吨,利润为0;为0吨时,再增产1 吨，利润不但不会增加，反而述要减少1万元.

罗素说：“纯粹数学完全由这样一类论断组成，假定某个命题对某些事物成立，则可推出另外某个命题对同样这些事物也成立。这里既不管第一•个命题是否确实成立，也不管使命题成立的那些事物究竟是什么，……只要我们的假定是关于一般的事物，而不是某些特殊的事物，那么我们的推理就构成为数学。这样，数学可以定义为这样一门科学，我们永远不知道其屮所说的是什么，也不知道所说的内容是否正确。”