无网格迦辽金法在固体力学中的应用研究
无网格伽辽金方法在钢筋混凝土梁开裂问题中的应用分析
Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ Ｎ ｅ ｗ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｉ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ Ｐ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｔ ｓ
建 筑 技 术
无网 格 伽辽金方 法在 钢筋混 凝土梁 开裂问 题中的 应用分 析
王难 烂
（ 武汉科技 大学理学院 ， 湖北 武汉 ４ ３ ０ ０ ６ ５ ）
三种 ，一种 是本 思想 简 单 ， 并 且 其 和真 实情 况 比较符 合 ，但 是 计算 过 程 中 比较 繁 琐 ， 并 且需 要 增加 新 的节 点和 单元 ， 计 算效 率 非 常 低 ；第二 种是 采 用 弥散 裂缝 的 方法 ， 该 方 法 使 用 简单 ， 易 于实 现 程 序 ， 目前 是 一 种 使 用 最 为广 泛 的方 法 ， 但是 ， 该方法 的 不 足是 很难 得 到单 条裂 缝 的宽 度 ， 裂缝 扩 展 方 向等相 关信 息 ； 第 三种 是 利用 断 裂力 学方法 ， 构造 一 个 包含 裂 缝 的单 元 ， 这 种 方 法 的优 势是 计算 结果 精 度 高 ， 但 是 随着 裂 缝 发展 的需 要 ， 要 不 断 的修 改单 元类 型 和放 置新 型 的包 含 裂缝 的单元 ， 因此 该方 法使 用起 来过 程也 非 常 繁琐 ， 并 且效 率低
ｌ概述
某个 边 界具 有相 交 的关 系 ， 则假 设 这个 节 Ｑｍａ ） 【 。
在现代建筑施工中， 混凝土是一种非 点 该边 界覆 盖 了 ， 则 无 需在 计算 该 高斯 积 （ ５ ） 如果 Ｑ ｍ ａ ｘ 大于 Ｑ， 则此 时 的裂 缝 常 重要 的建 筑材 料 ， 由于混 凝 土结构 在 通 分 点 。 深 度 比给定 的深 度要 大 ， 需 要重 新修 正 裂
无网格迦辽金法在固体力学中的应用研究
无网格迦辽金法在固体力学中的应用研究
王难烂 武汉科技大学理学院 ， 湖北武汉 430065 摘 要 随着我国计算力学的快速发展 ， 无网格方法已经成为固体力学计算领域中较为经典的方法 ， 已经得到了 诸多学者的关注 ， 诞生了很多优秀的算法。本文详细的介绍了无网格伽辽金方法的基本原理 ， 同时将其应用于尖端 裂纹应力计算 ， 对其核心问题加以研究 ， 包括为最小二乘近似引入扩展的基函数、处理不连续域的基本方法等。 关 键 词 固体力学 ； 无网格 ； 最小二乘 ； 基函数 中图分类号 O302 文献标识码 A 文章编号 1674-6708（2013）82-0103-02
0 引言
随着科学技术的不断发展和前进 ， 在计算力学领域中 ， 无 网格方法脱颖而出。由于无网格方法拥有超强的计算数值的生 命力 ， 摆脱了网格单元 ， 仅需详细的节点信息 ， 因此 ， 在工程 应用中倍受青睐 ， 特别是无网格方法可以以精度高、处理过程 简单等方法处理不连续问题。现在面临的最大问题是 ， 无网格 方法还只是在研究阶段 ， 渴望得到更大更深层次的研究。发展 比较早的边界元法和有限元法等数值方法 ， 虽然技术已经相对 成熟 ， 拥有了自己的商用软件 ， 但是在处理诸如形状优化问题、 非线性问题等复杂的工程问题时还是显得力不从心 ， 困难多多。 当前已经研发出一部分的网格自动生成器 ， 但是在处理复 杂的几何模型时 ， 计算成本投入非常昂贵 ， 使用的普及率低。 为了降低投入成本 ， 人们希望研究出一种脱离网格单元的数值 方法 ， 在探索研究的过程中 ， 无网格方法应运而生。无网格方 法备受关注的原因在于其所具有的最大优势—节点离散。根据 笔者多年的研究经验 ， 简单论述了无网格方法的成长史 ， 并详 细分析了当前无网格方法的具体应用情况和研究方法 ， 为无网 格方法的进一步发展尽自己的一点微薄之力。
随机无网格伽辽金法在疲劳断裂可靠性分析中的应用
ＹＵ ｎ Ｌｉ ｇ，ＸＩ Ｍ ａ — ｉ Ａ ｏ ｈｕ ，ＹＡＮＧ ｏ ｇ ｙ ｎ，ＺＨ ＡＩＳｈｅ ｘ ａ Ｈ ｎ —ａ — ｉ
（ ｏｌｇ ｆＳ ｉｎ ｅ Ｃ ｌ ｅｏ ｃｅ ｃ ，Ｙａ ｓ ａ ｉｅ ｓｔ ｅ ｎ ｈ ｎＵｎｖ ｒｉｙ，Ｑｉｈ ａ ｇ ａ ６ ０ ４ ｎ ｕ ｎ ｄ ｏ ０ ６ ０ ，Ｃｈｎ ） ｉａ
第 ２ ４卷 第 ５ 期
２１ ０ ０年 ９月
山 东 理 工 大 学 学 报（ 然 科 学 版） 自
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＳ ａ ｄ ｎ ｉ ｅ ｓ ｔ ｆＴｅ ｈ ｏ ｏ ｙ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｉｉｎ） ｏ ｒ ａ ｈ ｎ ｏ ｇ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ ｏ ｃ ｎ ｌ ｇ （ ｔ ｒ ｌ ｉｎ ｅ Ｅｄ ｔ ｏ Ｓ ｏ
ａ ｌ ｓｓ ｆ ｒ ａ ｃ ａ ｋ ｄ ｐ ａ ｅ ｗａ ｐ ｅ ｅ ｔ ｄ Ｃｏｍ ｐ ｒ ｄ ｏ ｓ ｏ ｈ ｓ ｉ ｉ ｔ ｌ ｍ ｅ ｔ ｍ ｅ ｈｏ ｎａ ｙ ｉ ｏ ｒ ｃ ｅ ｌ ｔ ｓ ｒ ｓ ｎ ｅ ． ａ ｅ ｔ ｔ ｃ ａ ｔｃ ｆｎｉｅ ｅ ｅ ｎ ｔ ｄ， ｔ ｉ ｈｓ ｍ ｅ ｈ ａ ｕｃ ｈ ｒ ｃ ｅ ｉｔｃ ｓｈｉ ｈ ｐｒ ｃｓ ｔ ｏｄ ｈ ｓ ｓ ｈ ｃ ａ ａ ｔ ｒｓ ｉｓ ａ ｇ ｅ ｉｅ。ｅ ｅ ｅ ｔｆ ｅ ｎ ａ ｔｃ ｖｅ ｇｅ ｅ ｌ ｍ ｎ —ｒ ｅ ａ ｄ ｆ ｓ ｏｎ ｒ ｎｃ ．
Ｋｅ ｒ ｓ：ｓ ｏｃ ａ ｔｃ ｅ ｅ ｅ —ｒ ｅ Ｇａ ｅ ｋｉ ｔ ｏ ｙ ｗｏ ｄ ｔ ｈ ｓ ｉ ｌｍ ｎｔｆ ｅ ｌｒ ｎ ｍｅ ｈ ｄ；ｒ ｎｄ ｍ ｉｌ ａ ｏ ｆｅｄ；ｆ ｔｇｕ ａ ｉ ｅ；ｆ ａ ｔ ｅ；ｒ ｌａ ｉｉｙ ｒ ｃ ｕｒ ｅ ｉ ｂ ｌｔ
无网格稳定配点法及其在弹性力学中的应用
第38卷第3期2021年6月Vol.38,No.3June2021计算力学学报Chinese JournM of ComputQtionM Meeh斸ticsDOI：10.7511棷1x2()21))1150()1无网格稳定配点法及其在弹性力学中的应用王莉华灣，刘义嘉，钟伟，钱志浩(同济大学航空航天与力学学院，上海200092)摘要：伽辽金型无网格法具有精度高、稳定性好的优点，但是实现高阶准确积分过程复杂，计算效率低暎配点型无网格法的计算效率高，但是其在求解复杂问题时往往会出现精度和稳定性较差的结果暎本文介绍一种新的无网格法-无网格稳定配点法，采用重构核近似作为近似函数，在规则子域内非常容易实现高阶准确积分，既保留了配点型无网格法效率高的特点，又具备伽辽金型无网格法精度高和稳定性好的特点，而且还兼具有限体积法满足局域离散方程守恒的特点。
通过弹性力学算例验证了该算法的优越性，未来可将其进一步应用于流体和流固耦合问题分析暎关键词：无网格稳定配点法；重构核近似；精度；稳定性；效率中图分类号：TU311.4；()343.1文献标志码：A文章编号：10074708(2()21)03-03()5-081引言无网格法［"］在数据输入时不需要提供单元连接信息，即节点之间不受网格结构限制，很大程度上节省了建模的时间和成本，而且可以在计算中根据需要改变节点的位置而不存在网格畸变问题，因此在大变形、高速碰撞、断裂破坏、金属成型以及微观粒子运动等复杂问题分析中具有明显优势，常应用到一些传统的数值计算方法(如有限元法和边界元法等)无法很好解决和尚未触及的领域。
常用的无网格法主要分为基于伽辽金法的弱形式和基于配点法的强形式两类。
伽辽金型无网格法主要包括扩散单元法dem［5］、无网格伽辽金法EFG［°］、重构核粒子法RKPM［7］、hp云团法［8］、单位分解法PUM［9］、无网格局部彼得洛夫-伽辽金法MLPG®］、径向点插值法RPIM［11］和光滑粒子伽辽金法SPG®］等。
无网格方法的研究应用与进展
第24卷第4期(总第109期)机械管理开发2009年8月Vol.24No．4(SUM No．109)MECHANICAL MANAGEMENT AND DEVELOPMENT Aug．20090引言有限元法（FEA）是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法，但FEA是基于网格的数值方法，在分析涉及特大变形（如加工成型、高速碰撞、流固耦合）、奇异性或裂纹动态扩展等问题时遇到了许多困难。
同时，复杂的三维结构的网格生成和重分也是相当困难和费时的。
近年来，无网格得到了迅速的发展，受到了国际力学界的高度重视。
与有限元的显著特点是无网格法不需要划分网格，只需要具体的节点信息，采用一种权函数（或核函数）有关的近似，用权函数表征节点信息。
克服了有限元对网格的依赖性，在涉及网格畸变、网格移动等问题中显示出明显的优势。
1无网格方法的概述无网格方法（Meshless Method）是为有效解决有限元法在数值模拟分析时网格带来的重大问题而产生的，其基本思想是将有限元法中的网格结构去除，完全用一系列的节点排列来代之，摆脱了网格的初始化和网格重构对问题的束缚，保证了求解的精度[1]。
是一种很有发展的数值模拟分析方法。
目前发展的无网格方法有：光滑质点流体动力学法（SPH）、无网格枷辽金法（EFGM）、无网格局部枷辽金法（MLPGM）、扩散单元法（DEM）、Hp－clouds无网格方法；有限点法（FPM）、无网格局部Petrov－Galerkin 方法（MLPG）、多尺度重构核粒子方法（MRKP）、小波粒子方法（WPM）、径向基函数法（RBF）、无网格有限元法（MPFEM）、边界积分方程的无网格方法等。
这些方法的基本思想都是在问题域内布置一系列的离散节点，然后采用一种与权函数或核函数有关的近似，使得某个域上的节点可以影响研究对象上的任何一点的力学特性，进而求得问题的解。
2无网格方法国内外研究的进展无网格法起源于20世纪70年代。
基于能量范数的EFG方法权函数影响半径的研究
基于能量范数的EFG方法权函数影响半径的研究贾亚茹; 付伟; 曹健【期刊名称】《《太原学院学报：自然科学版》》【年(卷),期】2018(036)004【总页数】6页(P31-36)【关键词】无单元伽辽金方法; 移动最小二乘法; 权函数; 影响半径; 误差的能量范数【作者】贾亚茹; 付伟; 曹健【作者单位】[1]太原科技大学应用科学学院山西太原030024【正文语种】中文【中图分类】O242无网格方法是近年来兴起的一种数值计算方法。
1994年,Belyschko等人[1]通过采用MLS法计算形函数,并利用Lagrange乘子法引入本质边界条件,提出了无单元伽辽金法(EFG),改进了之前Nayroles等[2]提出的弥散单元法(DEM),提高了算法质量,为无网格方法的发展迈出了关键一步,掀起了无网格方法研究的热潮。
使用MLS方法构造形函数时,所得到的最后的代数方程组有可能是病态的,导致得不到理想的数值解。
2013年,顾天奇、张雷等人[3]提出了改进的MLS方法,解决了这一问题。
2013年,张赞等人[4]提出了关于三维瞬态热传导问题的改进无网格伽辽金法。
2014年,王聚丰、程玉民等人[5]对插值型移动最小二乘法进行了误差估计,得出结论,如果多项式基函数的阶足够大且原始函数足够光滑,则逼近函数及其偏导数在影响域的最大半径上收敛到精确值。
2015年,孙凤欣等人[6]在n维空间内对插值型最小二乘法进行了误差估计,在王聚丰、程玉民等人的基础上提出了基于IMLS方法的插值无单元Galerkin(IEFG)方法。
2018年,蔡小杰等人[7]建立了弹塑性大变形问题的改进的无单元Galerkin方法,此方法是基于改进的移动最小二乘法建立形函数,根据弹塑性大变形问题的Galerkin弱形式建立离散方程,利用罚函数法施加位移边界条件,推导了弹塑性大变形问题的改进的无单元Galerkin方法的公式,采用Newton-Raphson迭代法进行求解。
无网格迦辽金法及其在固体力学中的应用
元的存在 ， 其存在许 多 固有 缺陷…． 使 在有 限单
元 法 思 想 的 基 础 上 ， 网 格 方 法 （ ｓ ｒｅ 无 Ｍｅｈ Ｆｅ
通常具有高阶连续性 ， 从而提高 了对应力场的求 解精度 ， 省去了大量 的后处理过程． 本文主要研究 无网格伽辽金法并将其运用于固体力学中．
ｏ ｕ ｉ ｓ ｉ ｌｔ ｘ ｅ ｍｅ ｔｌ ｓ ｌ ｓ ｏ ｔ Ｇ ｔ ｄ ｉ ａｒ ｏ ｄ ｔ ｈ ｎ ｌ ｒ ｂ ｅ ｎ ｓ ｌ ｔ ｎ ．Ｓ ｍｕ ａｉｎ ｅ ｐ ｒ ｎ ａ ｅ ｕ ｔ ｈ ｗ ｔ ａ Ｆ ｍｅ ｏ ｓｆｉ ｙ ｇ ｏ ａ ｄ ｅｐ ｏ ｌｍｓｉ ｏ ｏ ｉ ｒ ｓ ｈ Ｅ ｈ ｌ ｏ ｓ ｌ ｃ ａ ｉｓ ｏ ｉ ｍｅ ｈ ｎ ｃ ． ｄ Ｋｅ ｒ ｓ ｍｅ ｈ ｆ ｅ ｍｅ ｏ ；ＭＬ ｔ ｏ Ｅ Ｇ ｔ ｏ ； ａ ｔ ｅ ｅ ； ｏｉ ｃ ａ ｉ ｓ ｙ ｗｏ ｄ ： ｓ — ｅ ｔｄ ｒ ｈ Ｓ ｍｅ ｈ ｄ； Ｆ ｍｅ ｄ ｃ ｎ ｉ ｖ ｒ ｓ ｌ ｍｅ ｈ ｎ ｃ ｈ ｌ ｄ
２ 世纪 ５ Ｏ Ｏ年代 以来 ， 限元法 已经 成为工 有 程 分 析 和计 算 中不 可 缺少 的最 重 要 的工 具 之一 ，
目前 人们 已经 成 功 开 发 了 大 量 的有 限 元 商 业 软 件 ， 在工 程分 析 中得到 了广泛 应用 ． 而 由于单 并 然
过离散的节点构造近似场 函数． 节点之 间不受单 元的约束 ， 相互独立 ， 这使得无 网格法在解决涉及
Ｍ ｔ ｄ 舍弃了限制有限单元法发展的单元 ， ｅ ｏ） ｈ 只通
无网格——精选推荐
第一章绪论计算流体力学的发展现状计算流体力学(Computational Fluid Dynamics)是现代流体力学中的一个重要学科分支。
作为一门多学科交叉融合而形成的新兴学科，它是流体力学、计算数学和计算机科学相结合的产物。
随着计算机性能的飞速提高以及数值计算方法的不断发展，计算流体力学技术正在逐渐走向成熟。
计算流体力学经历了数值求解拉普拉斯方程、小扰动速势方程、全速势方程、Euler方程和Navier-Stokes方程等发展阶段。
20世纪80年代以前，由于受到计算机技术的限制，计算流体力学的数值模拟主要以求解拉普拉斯方程、小扰动速势方程、全速势方程为主，其中有代表性的是基于拉普拉斯方程的面源法以及有限差分法求解小扰动速势方程和全速势方程。
在随后的二十多年中，在计算机技术发展的推动和广大计算流体力学工作者的努力下，计算流体力学在求解Euler方程和Navier-Stokes方程以及数值模拟复杂流场方面都取得了重大突破。
在此期间，计算流体力学数值模拟的方法以有限差分法、有限体积法、有限元法为主。
随着诸如TVD格式、ENO格式、NND格式等高阶精度、高分辨率差分格式的提出，计算流体力学对激波、漩涡等复杂问题的模拟能力也有了很大的提高。
目前，计算流体力学工作者正致力于研究和发展更高精度(二阶以上)的计算格式和方法，以适应更精细、更复杂的流动研究和设计的需要。
计算流体力学研究的一个重要分支是计算网格的生成技术，它是计算流体力学走向工程实用阶段所必须面临的关键技术之一。
一般来讲，适合工程使用的网格生成技术应该具备以下特点:(1) 网格生成过程直观明了、简单易行、效率高、自动化程度好。
(2) 通用性、普适性好，对复杂外形、复杂流动的适应能力强。
(3) 网格几何灵活性好，尺度变化易于控制，网格自适应加密简便易行。
目前，已经成熟并走向工程实用中的计算网格有结构网格、非结构网格以及结构非结构的混合网格。
在结构网格方面，出现了代数生成网格法、解微分方程生成网格法、保角变换法等多种网格生成方法，网格类型也由单一的C型网格、0型网格、H型网格发展到嵌套网格和多块对接网格等。
无网格法在材料力学求解中的运用
ａ ｔ ｌ ａ ｂ编程 ， 求得 的形 函数 图像如 图 ２所示 。通 过形 函数结 果数 在 有限元 中， 形 函数是 通过 相邻 的两 个节 点来 构 造 ， 在径 向 ｍ 可以验证 这种形 函数具有紧支性 ， 满足 Ｋ ｒ ｏ ｎ ｅ ｃ ｋ ｅ ｒ 占函数性质。 基点插值 无网格法 中， 形 函数是通过 以计算 点为 中心 的区域 内的 据，
第３ ９卷 第 ８期 ２ ０ １ ３年 ３ 月 文章编号 ： １ ０ ０ ９ － ６ ８ ２ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ８ － ０ ０ ２ １ — ０ ３
山 西 建 筑
Ｓ ＨＡＮＸＩ ＡＲＣ ＨＩ Ｔ ＥＣ Ｔ ＵＲ Ｅ
Ｖ０ １ ． ３ ９ Ｎｏ ． ８
各个节点来共同构造 ， 属 于高 阶插值 函数 ， 比有限元 的形 函数有更 ２ 材料 力 学 问题 的无 网格法 求解 为 了求得二维 力学 问题 的解答 ， 除 了满 足本 构方 程 之外 ， 还 高 的精度 。对于含有 ｎ个节点的区域 ， 形函数 的表达式如下 ：
（ １ ） 需要满足 如下 的条件 ： 平衡方程 ： 式（ １ ） 中 为一个只与节点 的坐 标值 有关 的常数对 称矩 阵 ， ７‘ ｏ ｒ ＋ｂ ＝ ０ ， 在 ｎ中 其 中的矩阵元素 由径 向基 函数 和多项 式基 函数 组成 （ 也可 以没有
（ ）＝Ｈ（ ｘ ） Ｍ
（ ５ ）
Ｈ… 】 Ｈ帅 ■Ｈ
多项式 基函数 ） ， 对 于不 同的计 算点 就有 不 同的 日（ ） 和 （ ） 。
力边界条件 ：
】Ｈ 】 …
ｌ ２ ． ５ ｍ 以下部位 ， 观众厅 四周混凝 土剪 力墙 ， 及支 撑 中庭 钢 连桥 良好 的抗震性 能。
Ｒ １ （ ｒ ｚ ） Ｒ ２ （ ｒ ２ ）
无网格局部彼得洛夫伽辽金法在大变形问题中的应用
无网格局部彼得洛夫伽辽金法在大变形问题中的应用
标题1：“无网格局部彼得洛夫伽辽金法”的基本原理与特点分
析
无网格局部彼得洛夫伽辽金法是一种解决大变形问题的数值模拟方法，它采用了一种全新的非结构化网格的无网格技术，能够更为准确地反映材料的局部变形行为。
本文将从基本原理和特点两个方面进行分析。
首先是基本原理。
无网格局部彼得洛夫伽辽金法采用局部网格化技术，将边界和物质界面的情况用数学函数来表示，从而避免了网格的生成和更新。
该方法能够自动适应问题的几何形状和物理行为，轻松应对具有复杂几何形状和高度非线性材料行为的问题。
其次是特点分析。
该方法具有较高的精度和稳定性，在处理非线性、大变形材料问题时表现尤为突出。
由于其自适应的特点，它还能够大幅降低模拟流程的计算复杂度。
同时，由于无网格技术的应用，该方法的计算速度较传统有限元方法更快，能够处理更大的模型。
综上所述，无网格局部彼得洛夫伽辽金法的优势在于精度高、计算速度快、适用性广泛等利好，相信在未来的科技发展中，其将具有更为广泛的应用前景。
单个标题的毕业总结：本文结合无网格局部彼得洛夫伽辽金法的基本原理和特点进行了系统的分析，揭示了这种数值计算方
法的实际应用优势。
对于学习数值模拟的学者而言，无疑是一份极具参考价值的研究成果。
无单元伽辽金法及其在瞬态温度场中的应用研究
无单元伽辽金法及其在瞬态温度场中的应用研究无单元伽辽金法是一种用于分析复杂热物理系统的有效工程工具，严格求解了数值解据解法所不能实施的热传导问题。
由于对所计算问
题的绝对边界不限制，无单元加热金法在很多传热系统中得到广泛的
应用，并取得了良好的结果，特别是在瞬态温度场中的应用研究。
一、无单元伽辽金法
无单元伽辽金法是一种基于局部区域离散的一种方法，能够可靠、有
效的解决复杂的热传导问题。
大多数方法需要对所分析问题的绝对边
界进行限制，而伽辽金法不需要对边界进行限制，不仅减少了复杂度，也可以将热传导问题转化为一个正则化的绝热边界值问题。
二、瞬时温度场中的应用研究
实际上，无单元伽辽金法有着广泛的应用，特别是在瞬态温度场的研
究方面，一直获得良好的结果。
伽辽金法比实物温度场分析涉及更多
临界参数，大大方便了研究者对传热系统因素（如物体尺寸、层厚度等）之间的相互影响进行分析和预测。
另外，伽辽金法可以解决复杂热传导分析涉及的非平衡温度场和时变传热场等问题，特别在定性研究和耦合力学、化学过程中尤为有效。
根据不同的问题，多项式、指数等模型可以使用此法计算出温度场的衰减，以求解温度分布图和时变传热场等热学问题，给出传热过程的响应特性。
总之，无单元伽辽金法在解决瞬态温度场中复杂热传导问题中发挥着重要作用，在实际应用中取得了良好的结果。
未来，对无单元伽辽金法的应用研究仍有很大的潜力，以期获得更准确的数值模拟结果，获得更高效的工程技术解决方案。
无网格伽辽金法在裂纹扩展中的应用研究
西安理工大学学报 Ｊｕｎ ｌ ｆ ｉａｌ ｎ ｅｓｙｏ ｅｈ ｏ ｇ（０ ８ ｏ．４ Ｎ ． ｏ ｒａ ｏ ’ｌＵ ｉ ｒｔ ｆ ｃｎｌ ｙ ２０ ）Ｖ １ ｏ４ Ｘ ｖ ｉ Ｔ ｏ ２
文章编号 ： ０６４ １ （ ０８ ０ － ７ －４ １０ －７ ０ ２ ０ ）４０ ６０ ４
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ｓ ｌｅｔｅ ｐｏ ｌｍ ｆｃａ ｋ ｄｓ ｏ ｔ ｕ ｎ ｅ Ｊｉｔｇａ ｔｏ ｎ ｈ ｏ ｔｕ ｎｅ ａ ｔｏ ｒ ｍ． ｏｖ ｈ ｒｂ ｅ ｏ ｒｃ ｉｃ ｎｉ ａ ｃ ． － ｅ ｒｌｍｅｈ ｄ ａ ｄ ｔｅ ｃ ｎｏ ｒｉｔｇ ｌｍｅｈ ｄ ａｅ ｅ ｎ ｎ ｒ
有限元 法 （ Ｅ 是 数 值 方法 领 域 重要 里 程 碑 Ｆ Ｍ） 之一 ， 发展 已很成 熟 。但 在分 析裂纹 扩展 时 ， 到了 遇 网格 随裂纹 扩展需 要不 断重新 划分 的困难 。
式 中 ， 边界法 向单 位 向量 ， 是微 分 算 子 ，ｔ ｎ为 Ｖ ｔ为 ｏ 应力 张量 ， Ｈ为位 移 向量 ， ６为体 力 向量 ， ｉ为边 界面 力矢 量 ， 为边界位 移矢 量 。
中图分 类号 ：０ ４ ２２ 文 献标识 码 ： Ａ
Ｔｈ ｐｌ ｄ Ｓ ｕｄ ｆｔ ｅ ｅ ｅ ｌｒ ｎ ｅ Ａｐ ｉ ｔ ｙ ｏ ｈｅ Ｅｌｍ ｎｔＦｒ ｅ Ｇａ ｅ ｋｉ ｅ Ｍ ｅ ｈ ｄ ｔ ａ ｋ ｏ ｇ ｔｏ ｔ ｏ ｏ Ｃｒ ｃ Ｐｒ ｐａ ａ ｉ ｎ
10_无网格方法
a( x) A1 ( x) B( x)u (8)
把式(8)代入式(1)得近似函数为
u ( x, x) pT ( x) A1 ( x) B( x)u N T ( x, x)u (9)
U T RA T a d V T RB T a d 0
式中 RA a A a 和 RB a B a 为余量。 虽然 U 和V
T T T Tຫໍສະໝຸດ
为任意权函数，但在实际应用时，不可能也不需要取无穷多个权函数。 与试函数表达式类似，可以把权函数也写成已知基函数的组合，即
pT ( x) [1, x, y, x 2 , xy, y 2 ]
m6
m 10
基函数的个数 m 、 基函数中包含的完备多项式的最高阶数 n 和问题的维数 nDim 之间的关系为
m
(n 1)(n 2) (n nDim ) nDim !
(3)
在移动最小二乘近似的（MLS）中，坐标 ai ( x ) 的选取应该使近似位移
p ( x) [1, x, y, r cos , r sin , r sin sin , r cos sin ] 2 2 2 2
T
式中：r 为某点距裂纹尖端的距离， 为该点与裂纹尖端连线与裂纹线的夹角。
若把式(1)作为有限单元容许位移函数，则 p1 ( x) 1 可以保证单元容许位
求解方法。只要试函数是利用离散点来建立的，则由紧支试函
数加权余量法导出的各种近似方法都称为无网格方法。
紧支近似函数 紧支近似函数是定义在局部区域(支撑区域)中的函数，它只 在支撑域中有定义，而在支撑域外为零。在二维问题中，支撑 域一般为圆形或矩形，与求解域相比，支撑域是一个很小的区 域，并且是可以互相重叠。有限元网格表示的区域是不能彼此 重叠的。
固体力学中的无网格方法
• • • • • 无网格方法的概述 无网格方法的近似方案 不连续性近似 离散化实现 基本边界条件的实现
无网格方法的概述
无网格法是在建立问题域的系统代 数方程时，不需要利用预定义的网 格信息，或者只利用更容易生成的 更灵活、更自由的网格进行域离散 的方法。（刘桂荣，2009）
无网格方法的概述
最近几年，Duarte和Oden等人提出了单位分解法， 并且认识到基于移动最小二乘法的近似方法实际上是 单位分解法的一种特例，从而将这类近似方法加以扩 展；Liu等人也对此类方法做了大量的研究工作，并对 其收敛性给以证明。
无网格方法的概述
无网格法求解过 程（与FEM对比）
无网格方法的概述
无网格方法模拟裂纹扩展
无网格方法的近似方案
• 核函数近似方法 • 移动最小二乘近似(MLS) • 单位分解法
无网格方法的近似方案
核函数近似方法
核函数近似方法最初主要用于SPH方 法。它对函数u（x）利用核函数进行近 似 u ( x ) x y , h u ( y ) d x y , h 被称为核函数或权函数，h是紧 支集尺寸的一个度量。
无网格方法的概述
一条构造无网格方法的途径是采用 移动最小二乘法（moving least square approximation method，简记为MLS）进 行近似。Nayroles等人最早将移动最小二 乘近似用于Galerkin方法，并将之称为扩 散单元法（difflnse elernent methods，简 称DEM）。Belytschko等人提出了无单元 的Galerkin法（element free galerkin method，简称EFG）。这类方法具有较 好的协调性及稳定性。
计算固体力学(有限元以及无网格方法)
σz ≠ 0
E 1− µ2
平面应变问题的弹性矩阵只需将上页中的 E 换成
µ 换成 1 − µ 即可。 即可。
µ
1 E (1 − µ ) µ [D] = (1 + µ )(1 − 2µ ) 1 − µ 0
µ
1− µ 1 0
0 1 − 2µ 2(1 − µ ) 0
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.2 三角形常应变单元 3 单元中的应变和应力
{ε } = [ B ]{δ }e
i ( xi , yi )
y
vm
Hale Waihona Puke m ( xm , y m )
vi
um
vj
uj
ui
j(x j , y j )
由于[ 是常量， 由于[B]是常量，单元内各点应变分 量也都是常量， 量也都是常量，这是由于采用了线性位 移函数的缘故， 移函数的缘故，这种单元称为三角形常 应变单元。 应变单元。
2.2 三角形常应变单元 2 位移试函数
由于位移函数适用于单元中的任意 一点，所以代入3个节点的坐标后， 一点，所以代入3个节点的坐标后，得 出节点处位移函数为
ui = α1 + α 2 xi + α 3 yi
u j = α1 + α 2 x j + α 3 y j u m = α 1 + α 2 xm + α 3 y m
y
vm
m ( xm , y m )
vi
um
vj
uj
i ( xi , yi )
ui
j(x j , y j )
O
x
三角形单元
1 xi 1 ∆ = 1 xj 2 1 xm yi
Gauss-无网格Galerkin法解偏微分方程
Gauss-无网格Galerkin法解偏微分方程邓彩霞;彭磊;孟虹宇【摘要】在无网格Galerkin方法中,权函数的选取很重要,借助Gauss函数,使用截断Gauss函数作为权函数,并结合最小二乘逼近法,去解一维带控制的偏微分方程.数值算例表明该方法是可行的,且计算精确度有了明显的提高.【期刊名称】《哈尔滨理工大学学报》【年(卷),期】2013(018)006【总页数】3页(P114-116)【关键词】Gauss函数;无网格Galerkin法;最小二乘法【作者】邓彩霞;彭磊;孟虹宇【作者单位】哈尔滨理工大学应用科学学院,黑龙江哈尔滨 150080;哈尔滨理工大学应用科学学院,黑龙江哈尔滨 150080;哈尔滨理工大学应用科学学院,黑龙江哈尔滨 150080【正文语种】中文【中图分类】O1741994年，无网格Galerkin法(EFG)最早是由美国西北大学的 Belytschko［1］教授提出的，该方法被应用去解偏微分方程［2－3］．文［4］用该方法去研究带控制的偏微分方程．无网格伽辽金法是无网格法中的一种，且具有广泛的应用领域．该方法是直接使用没有连通性节点的集合去逼近解，由于缺乏节点的连通性，所以在一些问题上可以允许节点自由移动，例如，裂纹扩散和大变形．文［5］使用这个方法去研究三维稳定热传导．文［6］用此方法对两平行板之间的压缩流体进行了数值分析．文［7］在无网格伽辽金法中使用B样条函数去解偏微分方程．由于文［7］中的精确度还能有所提高，本文在此基础上对精确度作了进一步的研究．本文呈现了怎样使用高斯函数在无网格伽辽金法中去生成一个系数矩阵．主要是使用截断高斯函数作为无网格伽辽金法中的一个权函数去解一维带控的偏微分方程，而且求解过程中应用了拉格朗日乘子和最小二乘法，最后通过编程实现算法，对数值结果对比分析，其方法是较好的．一维带控制的偏微分方程给出:其中:u(x)表示位移量;E表示杨氏模量;边界条件是u(0)=0和ux(L)=0．选取高斯函数和截断高斯函数分别为在无网格伽辽金法中，在有意义的邻域上，用uh(x)去逼近u(x)，使用最小二乘法去逼近其中:aj(x)是非常数系数;pj(x)是多项式基函数;m是基的项数．aj(x)是二次函数J(x)通过取到最小值时给出的，其中J(x)函数形式为其中，ω(r)是非零的权函数和n是在有定义区域节点的项数．在这个情况下，一阶多项式可以作为一个基函数这里对式(5)中的J(x)中的a(x)求一次导，使a(x)取到最小值时，就会有:当使用拉格朗日乘子去实施基本的边界条件时，方程(1)的弱形式给出如下:数据结果比较如下:通过表1和表2可以看出，当文［7］使用B样条函数作为权函数时，误差仅达到10－1，当本文使用截断高斯函数作为权函数时，误差可达到10－2，且优于B样条函数作为权函数．在本文中，应用 MATLAB代码，其中 L=10，E=1．在无网格Galerkin法中引入截断高斯函数作为权函数，结合最小二乘法，经过编程成功的获得算法，并且得到了计算的数据，数据结果表明本文的方法是较好的，且优于线性B样条函数在无网格伽辽金法中作为权函数的使用．彭磊(1988—)，男，硕士研究生;孟虹宇(1987—)，女，硕士研究生．【相关文献】［1］BELYTSCHKO T，GU L，LU Y Y．Fracture and Crack Growth By Element-free Galerkin Methods［J］．Model Simulator Mater Engineering，1994，5(3):519 －534．［2］BELYTSCHKO T，GU L，Lu Y．Y．TABBARA M．Element-free Galerkin for Static and Dynamic Fracture［J］．Solids Structure，1995:2547－257．［3］BELYTSCHKO T，GU L，Lu Y．Y．Element-free Galerkin Methods ［J］．International Journal of Computational Methods Engineering，1994，37(9):229－256．［4］DOLLBOW J，BELYTSCHKO T．An Introduction to Programming the Meshless Element Free Galerkin Method［J］．Methods Engineering，1998，5(3):207－241．［5］SINGH I V，SANDEEP K，PRAKASH R．The Element Free Galerkin Method in three-dimensional Steady State Heat Conduction［J］．Compute Engineering，2002，3(4):291 －303．［6］SINGH A．SINGH I V．PRAKASH R．Numerical Analysis of fluid Squeezed Between two Parallel Plates by Meshless Method［J］．Compute Fluid，2007，36(9):1460 －1480．［7］SANDEEP T．KAMAL KUMAR K．Use of B-spline Function in Element Free Galerkin Method for Numerical Solution of Partial Differential Equation［J］．International Journal of Computational Methods，2009，3(6):349 －360．。
弹塑性大变形分析的一致性高阶无单元伽辽金法
弹塑性大变形分析的一致性高阶无单元伽辽金法段庆林; 庞志佳; 马今伟; 王冰冰【期刊名称】《《计算力学学报》》【年(卷),期】2019(036)004【总页数】6页(P471-476)【关键词】无网格/无单元; 弹塑性; 大变形; 数值积分; 非线性【作者】段庆林; 庞志佳; 马今伟; 王冰冰【作者单位】大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室大连116024【正文语种】中文【中图分类】O3021 引言有限元法是目前工程结构数值分析的主要方法，已有多种商用有限元分析软件得到广泛应用，如ANSYS和ABAQUS等。
然而，在分析大变形问题时，网格扭曲往往导致有限元方法精度降低、收敛放缓甚至无法得到收敛解[1]。
主要原因是由于有限元法的插值函数依赖于网格单元。
此外，有限元法也不便于建立高阶插值函数(需要构建高阶单元)。
而且，高阶单元更易发生网格扭曲，导致计算失败。
与有限元法不同，无网格法如无单元伽辽金法EFG(Element-free Galerkin method)[2]和再生核粒子法 RKPM(Reproducing Kernel Particle Method)[3]等仅需离散节点建立近似函数，不依赖于网格单元，在很大程度上缓解了网格扭曲导致的数值困难。
而且，建立高阶近似函数也十分方便，无需改变计算节点的分布来构建高阶单元。
然而，无网格法也存在不可忽略的缺点，其一为本质边界条件的准确施加，这方面已有很多研究工作[4,5]。
其中，Zhu等[6]提出的罚函数法简单有效且易于实现，因而本文采用该方法进行研究。
其二是缺乏高效准确的数值积分方法。
无网格法的形函数是非多项式的有理函数，导致弱形式的区域积分十分困难，传统的高斯积分计算效率低且精度不够，容易导致虚假的数值振荡。
针对该困难，已有多种行之有效的方法[7-10]，如稳定相容节点积分方法[7]等。
其中，段庆林等[8,9]基于胡-鹫三变量变分原理提出的一致性积分方法，大幅度减少了高阶无网格法所需的积分点数目，同时可精确通过各阶分片试验，显著改善无网格法的计算精度和效率，称为一致性无单元伽辽金法CEFG(Consistent Element-free Galerkin method)。
无网格方法在数值计算中的应用
无网格方法在数值计算中的应用无网格方法（Meshless methods）是一种近些年才开始被广泛研究和应用的数值计算方法。
相对于传统的基于网格的方法，无网格方法由于其独特的性质，在某些情况下能够获得更高的计算精度和更好的计算效率。
本文将介绍无网格方法在数值计算中的应用，并分析其优点和局限性。
一、无网格方法的基本原理和特性无网格方法是一种基于节点离散化的方法，比如最常用的有粒子法（Particle Method）和基于径向基函数（Radial Basis Function）的方法等。
相对于传统的有网格方法，无网格方法的基本原理是通过在求解域中构造离散节点集合来近似表示物理场，而不需要依赖于细分的网格结构。
这使得无网格方法在处理具有复杂几何形状和大变形的问题时更加灵活和高效。
无网格方法的特性主要表现在以下几个方面：1. 简化了网格生成过程：无网格方法不需要事先生成和细分网格，这对于具有复杂几何形状的问题尤为重要。
2. 自适应性：无网格方法能够根据问题的需求自适应地调整节点的位置和数量，以提高计算的准确性和效率。
3. 高自由度：无网格方法采用节点离散化，使得节点的数量可以自由调整，从而提供了更高自由度来描述物理场的细节和复杂性。
4. 弱依赖于规则结构：无网格方法不需要规则的网格结构，对于处理具有大变形的物体和边界条件时具有较强的适应性。
二、无网格方法在数值计算中的应用由于其独特的特性，无网格方法在多个领域中得到了广泛的应用。
下面将分别介绍其中几个领域的应用案例：1. 流体动力学无网格方法在流体动力学中的应用主要体现在求解Navier-Stokes方程和Laplace方程等流体方程组上。
相比于有网格方法，无网格方法能够更好地处理流动区域的变形和流体边界的移动。
同时，无网格方法还能够适应复杂的流动结构和边界条件的设定，如自由表面流动和多相流动等问题。
2. 固体力学无网格方法在固体力学中的应用主要涉及到弹性和塑性力学、断裂力学以及热力学等问题。
局部Petrov-Galerkin无网格法在断裂力学中的应用
Ｊｉｄ ａｕｄ Ｊｉ＝ ｔｄ ｑｕ．—ｆ Ｖ（ ） ｃｊ Ｖ ，Ｆ ： ｄ Ｊ ｒ ＦＪｉ ７ Ｖ ＋ＪＶ —ｔ Ｆ ｔ ＋ＪＶ ｃ ｄ ． （ｌ ｆ ， Ｙｄ ｌ ｖ ｉ Ｉｄ ｌ ｖ ｂ
， 二 ｅ Ｃ Ｃ
Ｖ 是 一 个 球 形 或 圆形 区 域 ， 般 要 求 ｕＶＤＶ， 实 际 的 操 作 过 程 一 在
特定取 ｖ为最小二乘法 的权函数 ｗ（ ， ｘ 这样 ｋ上 的积 分等于零 ， ）
离 散 方 法 ， 在规 则 局 部 积 分 ， 不 需 要 象 Ｇａ ｒｉ 一 样 在 整 体 积 只 而 ｌ ｋｎ法 ｅ
分， 因而 不 需 要 背 景 网 格 ， 一 种 真 正 的 无 网格 方法 。 是 本 文 使 用 移 动 最 小 二 乘 法 和 局部 Ｐ ｔ ｖ Ｇ ｌｒｉ 相 结 合 ， 于 ｅ ｏ— ａ ｋｎ法 ｒ ｅ 用 计算断裂力学问题。
４ 几 个 需 要 注 意 的 处 理 ．
（ ．） ３ ａ
【 摘 要】 介绍 了Ｐ ｔ ｖＧａ ｒｉ 网格法 ， ｅ ｏ— ｌ ｋｎ无 ｒ ｅ 叙述 了在断裂力学应用 中的几个问题 的解 决方法， 最后给 出了计算流程。 【 键 词 】 裂 力 学 ； 网格 法 ； 部 Ｐ ｔ ｖ Ｇ ｌｒｉ 关 断 无 局 ｅｒ — ａｅｋｎ法 ｏ
ｖ是 试 函数 ， 是 ａ Ｖ 中有 位 移 边 界 条 件 的 边 界 ， ｄ是 罚 因 子 ， Ｖ 中有 应 力 边 界 条 件 的边 界 ， 他边 界 表示 为 Ｌ， Ｏ ｓＦ Ｕ Ｕ 其 有 Ｖ＝ 无 网 格 方 法 相 对 与 传 统 的 网格 方 法 （ 限元 ， 界 元 ， 分 法 等 ） 是 ａ 有 边 差 ｓ对 而 言 ， 需 要 网格 信 息 ， 不 只需 要 节 点 的 信 息 即 可 。 在 断 裂 力 学 的 计 算 Ｌ， 上 式 使 用 积 分 公 式 化 为 ： 中 ， 别 是 涉 及 裂 纹 的 扩 展 和 演 化 过 程 的 模 拟 中 ， 格 方 法 （ 限 元 特 网 有 法 ） 裂 纹 扩 展 后 一 般 需 要 网格 重 构 ， 网格 法 由 于 没 有 网格 则 不 需 在 无 要 ， 使 得无 网格 法 很 有 优 势 。这 可 能 就 是 无 单 元 伽 辽 金 法 （ｌｍ ｎ— 这 ｅｅ ｅ ｔ
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无网格迦辽金法在固体力学中的应用研究摘要随着我国计算力学的快速发展，无网格方法已经成为固体力学计算领域中较为经典的方法，已经得到了诸多学者的关注，诞生了很多优秀的算法。
本文详细的介绍了无网格伽辽金方法的基本原理，同时将其应用于尖端裂纹应力计算，对其核心问题加以研究，包括为最小二乘近似引入扩展的基函数、处理不连续域的基本方法等。
关键词固体力学；无网格；最小二乘；基函数
中图分类号o302 文献标识码a 文章编号1674-6708（2013）82-0103-02
0 引言
随着科学技术的不断发展和前进，在计算力学领域中，无网格方法脱颖而出。
由于无网格方法拥有超强的计算数值的生命力，摆脱了网格单元，仅需详细的节点信息，因此，在工程应用中倍受青睐，特别是无网格方法可以以精度高、处理过程简单等方法处理不连续问题。
现在面临的最大问题是，无网格方法还只是在研究阶段，渴望得到更大更深层次的研究。
发展比较早的边界元法和有限元法等数值方法，虽然技术已经相对成熟，拥有了自己的商用软件，但是在处理诸如形状优化问题、非线性问题等复杂的工程问题时还是显得力不从心，困难多多。
当前已经研发出一部分的网格自动生成器，但是在处理复杂的几何模型时，计算成本投入非常昂贵，使用的普及率低。
为了降低
投入成本，人们希望研究出一种脱离网格单元的数值方法，在探索研究的过程中，无网格方法应运而生。
无网格方法备受关注的原因在于其所具有的最大优势—节点离散。
根据笔者多年的研究经验，简单论述了无网格方法的成长史，并详细分析了当前无网格方法的具体应用情况和研究方法，为无网格方法的进一步发展尽自己的一点微薄之力。
1 无网格伽辽金方法
最近几年出现了一种和有限元法及其相近的一种数值方法，它就是无网格伽辽金法[1]。
这种方法拥有后处理简单易行、精度高、收敛快、能够消除体积闭锁现象等优势。
无网格伽辽金法在构造形函数中使用了移动最小二乘法，并在能量泛函的弱变形式中得出控制方程，同时沿用了拉式乘子以达到其本证条件，最终得出偏微分方程的数值解[2]。
虽然优势多多，但是还存在比较明显的缺点，例如无网格伽辽金法不便于求解方程，求解速度慢，耗费的时间长等。
需要强点的一点是，无网格伽辽金法不是一个完全的无网格，他的位移函数虽然已经摆脱了网格，但是如果达到实现区域积分还是要依靠背景网格[3]。
为了有效的解决这个问题，面向对象的无网格伽辽金法由此被提出。
面向对象的无网格伽辽金法使用了schmidt 法，此方法可以帮助无网格伽辽金法形函数的基函数实现正交化，在提高了计算精度的同时也省去了形函数中矩阵求逆运算，发挥了一举两得的作用。
2 无网格迦辽金法在固体力学中的应用研究
目前，无网格伽辽金法已经在固体力学应用广泛，本文基于笔者多年的经验，详细的研究了无网格伽辽金法在计算裂纹问题时的应用原理。
3 结论
随着计算力学的快速发展，在未来时间内，无网格方法必将得到更多的关注，尤其是无网格伽辽金方法，在固体力学计算领域纵向研究领域得到诸多学者的更加广泛的应用研究和长远发展，使得固体力学计算数值方法更加精确。
参考文献
[1]庞作会，葛修润，郑宏，王水林.一种新的数值方法——无网格伽辽金法（efgm）[j].计算力学学报，1999（3）.
[2]孟闻远，赵妍，柴福鑫.无单元伽辽金法新形函数技术[j].兰州理工大学学报，2004（5）.
[3]司建辉，李九红，简政.非线性无网格伽辽金法的实现[j].武汉大学学报（理学版），2005（s2）.
[4]李卧东，王元汉，陈晓波.无网格法在断裂力学中的应用[j].岩石力学与工程学报，2001（4）.。