集合概念和表示方法讲义

集合

一．集合的概念：

集合没有确切定义，是一个基本概念。对其描述：某些具有共同属性的对象集在一起就成为一个集合。符号表示为{}，表示的意思为全体。这些对象我们称之为元素。

集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，

集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。如a、b、c、p、q…… 例如A={1,3,a,c,a+b}

注意：（1）集合是数学中原始的、不定义的概念，只作描述.

（2）集合是一个“整体.

（3）构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的

例如：指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。

（1）我国的直辖市；（2）五中高一（1）班全体学生；（3）较大的数

（4）young 中的字母；（5）大于100的数；（6）小于0的正数。

【典例分析】：

1.下列各组对象中，不能组成集合的是（）

A 所有的正六边形B《数学》必修1中的所有习题

C 所有的数学容易题

D 所有的有理数

2.由下列对象组成的集体属于集合的是（）

（1）不超过π的正整数；

（2）高一数学课本中所有的难题；

（3）中国的大城市

（4）平方后等于自身的数；

（5）某校高一（2）班中考成绩在500分以上的学生.

A.（1）（2）（3）

B.（3）（4）（5）

C.（1）（4）（5）

D. （1）（2）（4）

二．元素的特性

a、确定性（有一个确定的衡量标准）

b、互异性（集合里的元素都不一样）

c、无序性（没有顺序）

（确定性）

例题1：下列各组对象能否构成一个集合

（1）著名的数学家

（2）某校2006年在校的所有高个子同学

（3）不超过10的非负数

（4）方程240

x-=在实数范围内的解

（5）2的近似值的全体

例题2：下列各对象不能够成集合的是（）

A 某校大于50岁的教师

B 某校30岁的教师

C 某校的年轻教师

D 某校的女教师

（互异性）

例题3：已知集合S 中的元素是a,b,c,其中a,b,c 为△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）

A. 锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.等腰三角形

例题4：若-3∈{a-3,2a-1,a 2+4},求实数a 的值，并求此时的实数集。

（集合三要素）

例题5:a 、b ∈R,集合{1，a+b ，a}={0，a

b ，b}，则b-a= 三．几种集合的命名

自然数集：N ；

正整数集：N*或N+；

整 数 集：Z ；

有理数集：Q ；

实 数 集：R 。

（应用，三角函数，数列）

四．集合的分类

有限集：含有有限个元素的集合；

无限集：含有无限个元素的集合；

空 集：不包含任何元素的集合叫做空集，用∅表示；

（区分∅、{ ∅}、{ 0 }）解题的陷阱，一定要记得空集

例1.下面集合是有限集还是无限集？

（1）不超过10的非负偶数的集合；

（2）大于10的所有自然数组成的集合；

（3）方程x 2-4=0的解集

（4）在平面上到两定点A 、B 距离相等的点的集合

五．元素与集合之间的关系与运算

集合和元素之间的关系是属于（∈）和不属于（∉）

【典例分析】：

1 用符号∈或∉填空：

（1）0__N*； 2__Z ； (-1)0__N*；

（2）{x x <； {}0x x >；

2+5__{x|x≤2+3}；

（3）3____2{x|x=n +1,n N*}∈； 5____2{x|x=n +1,n N*}∈ （4）(-1,1) _____{y|y=x 2}； （-1,1）____{（x ，y ）|y=x 2}

2 非空集合M 中的元素只能是1，2，3，4，5中的某些数，若a ∈M,则（6-a ）∈M,试求符合条件的M 的个数。

3 设A={a},则下列各式中正确的是（ ）

A.0∈A

B.a ∉A

C.a ∈A

D.a=A

4 方程组⎩⎨⎧=-=+9

,1y x y x 的解集是（ ）

A.(5,4)

B.{5,-4}

C.{(-5,4)}

D.{(5,-4)}

六．集合的表示方法

1、列举法：把元素一一列举在大括号内的表示方法；

注 意：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。

说明：1、书写时，元素与元素之间用逗号分开；

2、一般不必考虑元素之间的顺序；

3、集合中的元素可以为数，点，代数式、文字等；

4、列举法可表示有限元素集，也可以表示无限元素集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法

表示。

5、对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为{}1,2,3,4,5,......

例1、用列举法表示下列集合：：

（1）小于10的所有自然数组成的集合；

（2）方程x 2

= x 的所有实数根组成的集合；

（3）我国现有的直辖市。.

例1 解答：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A ，那么 A = {0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.

由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合A 可以有不同的列举法. 例如： A = {9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}.

（2）设方程x 2

= x 的所有实数根组成的集合为B ，那么B = {0，1}.

变式练习

用列举法表示下列集合：

⑴x 2－4的一次因式组成的集合. ⑵{y ｜y ＝－x 2－2x ＋3，x ∈R,y ∈N }.

⑶方程x 2＋6x ＋9＝0的解集. ⑷{20以内的质数}.

⑸{（x ，y ）｜x 2＋y 2＝1，x ∈Z ,y ∈Z}. ⑹{大于0小于3的整数}.