高中数学知识点总结 计数原理

高中数学知识点总结计数原理

一、分类加法计数原理和分步乘法计数原理

1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理

【注意】区分分类与分步的依据在于“一次性”完成．若能“一次性”完成，则不需分步，只需分类；否则就分步处理．

2．两个计数原理的区别与联系

123,,,,{}n a a a a 的子集有2n 个，真子集有21n -个．

二、排列

1．排列的定义

一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 特别提醒

确定一个具体问题是否为排列问题的方法：

(1)首先要保证元素的无重复性，即是从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个不同的元素，否则不是排列问题．

(2)其次要保证元素的有序性，即安排这m 个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列．而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．

2．解决排列应用问题的步骤：

(1)分清问题是否与元素的顺序有关，若与顺序有关则是排列问题．

(2)注意对元素或位置有无特殊要求．

(3)借助排列数公式计算． 特别提醒

当问题的正面分类较多或计算较复杂，而问题的反面分类较少或计算更简便时往往使用“间接法”．含“至多”、“至少”类词语的排列(组合)问题，是需要分类问题，常用间接法(即排除法)解答．这时可以先不考虑特殊元素(位置)，而列出所有元素的全排列数，从中再减去不满足特殊元素(位置)要求的排列数，即排除法．

3．排列数、排列数公式

从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m

n 表示.

特别提醒

排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指“按照一定的顺序排成一列”，它是具体的一件事，排列数是指“从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数.

三、组合

1．组合的定义

一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.

特别提醒

解答排列、组合综合问题的一般思路和注意点：

（1）一般思路：“先选后排”，也就是把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．

（2）注意点：①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，元素无序是组合问题，元素有序是排列问题．

②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法．

3．组合数的性质

性质1：C C m n m n n

-=. 性质1表明从n 个不同元素中取出m 个元素的组合，与剩下的n m -个元素的组合是一一对应关系.

性质2：11C C C m m m n n n

-+=+. 性质2表明从1n +个不同元素中任取m 个元素的组合，可以分为两类：第1类，取出的m 个元素中不含某个元素a 的组合，只需在除去元素a 的其余n 个元素中任取m 个即可，有C m

n 个组合；第2类，取出的m 个元素中含有某个元素a 的组合，

只需在除去a 的其余n 个元素中任取1m -个后再取出元素a 即可，有1C m n

-个组合.

四、二项式定理

1．二项式定理 011()C C C C ()n n n k n k k n n n n n n

a b a a b a b b n --*+=+++++∈L L N ，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式，共有n +1项，其中各项的系数C ({0,1,2,,})k

n k n ∈L 叫做二项式系数.

二项展开式中的C k n k k n a b -叫做二项展开式的通项，用1k T +表示，即通项为展开式的第

1k +项：1C k n k k k n

T a b -+=. 2．二项式系数的性质

（4）奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即

2131C C C C 2

n n n n n -++=++=L L . 特别提醒

求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k,再将k 的值代回通项求解,注意k的取值范围（0,1,2,,

L）.

k n

（1）第m项：：此时k+1=m,直接代入通项.

（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.

（3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.