数学文化 数学中的有限与无限

的面积：划分，求和， f (i )xi i
矩形面积之和 ~ 曲边梯形面积； 越小，就越精确；再取极 限 0，就得到曲 边梯形的面积。
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在“无限”的情况下，加法结合律不 再成立。如
1 (1) 1 (1) 1 (1) [1 (1)] [1 (1)] [1 (1)] 0 1 [(1) 1] [(1) 1] [(1) 1] 1
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（2）有限级数一定有“和”。 √
3
3. 客满后又来了无数个旅游团，每个团
中都有一万个客人
12
34┅
↓↓↓ ↓┅
10001 20002 30003 40004 ┅
k
┅
↓┅
10001×k ┅
给出了一万个、又一万个的空房间
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二、无限与有限的区别和联系
1. 区别
1） 在无限集中，“部分可以等于全体” （这是无限的本质），而在有限的情况下， 部分总是小于全体。
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伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）， 意大利物理学家、天 文学家和哲学家，近 代实验科学的先驱者。
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2.） “有限”时成立的许多命题，对“无 限”不再成立 （1）实数加法的结合律 在“有限”的情况下，加法结合律 成立:
(a+b)+c = a+(b+c) ， a，b， c
2）锉刀锉一个光滑零件： 每一锉锉下去都是直的
（许多刀合在一起的效果又是光滑的）
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3） 不规则图形的面积：正方形的面积，长方形的
面积三角形的面积，多边形的面积，圆面积。 规则图形的面积→不规则图形的面积？
法Ⅰ.用方格套（想像成透明的）。方格越小，所得面 积越准
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法Ⅱ.首先转化成求曲边梯形的面积，（不规 则图形→若干个曲边梯形），再设法求曲边梯形
如：
； 自然数N，都 ，使
lnim时 a，n 。
k
n k an N 11
3）无穷级数 通过有限的步骤，求出无限次运算的
结果，如
4）递推公式

i 1

1
i

2
1
an an1 d ,
a1 = *
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3. 数学中的无限在生活中的反映
1）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的 （整体看又是圆的）
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当初的伽利略悖论，就是因为没有看到 “无限”的这一个特点而产生的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … n … ↕↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 … n2 …
[ 该两集合：有一一对应，于是推出两集合的 元素个数相等；但由“部分小于全体”，又推 出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。]
n
ai 是个确定的数
i 1
无穷级数一定有“和”。 ×


(1)i
则不是个确定的数。称为该
i 1
级数“发散”。反之称为“收敛”。
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2. 联系
在“有限”与“无限”间建立联系的手段，往 往很重要。
1）数学归纳法 通过有限的步骤，证明了命
题对无限个自然数均成立。
2）极限 通过有限的方法，描写无限的过程。
第十讲 有限与无限
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一 、“有无限个房间”的旅馆
1. “客满”后又来1位客人
1 2 3 4┅ k ┅ ↓ ↓ ↓ ↓┅↓ ┅ 2 3 4 5 ┅ k+1 ┅
空出了1号房间
2
2. 客满后又来了一个旅游团，旅游团 中有无穷个客人
12
3
↓↓ ↓
2
4
6
空下了奇数号房间
4┅ ↓┅ 8┅
k┅ ↓┅ 2k ┅