晶体的对称性和分类
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2. 对称操作的变换矩阵
从数学角度来看,晶体的点对称操作实质上是对 晶体进行一定的几何变换,它使得晶体中的某一 点 r ( x , y , z ) r / ( x / , y / , z / ) A r ( x , y , z )
写成矩阵形式，则有
x x a11 a12 a13x yya21 a22 a23y z z a31 a32 a33z
晶体只能具有有限个数的宏观对称操作或对称元素， 对称元素的组合也是一定的，这称为晶体的宏观对称 性破缺
对于旋转对称操作(rotational symmetry operation)来 说，由于晶体周期性的限制，转角θ只能是2π/n，n=1、 2、3、4和6。
如果一个晶体绕某轴旋转2π/n及其倍数不变，称该轴为 n次（或n度）旋转轴。
绕固定轴的转动(rotation about an axis)、中 心反演(inversion through a point)和镜面反映 (Reflection across a plane)是晶体中的三种基本 的点对称操作。相应的对称元素有:对称轴、对 称中心、对称面。
一个晶体的对称操作愈多,就表明它的对称性愈高. 但 是,由于晶体的宏观对称性是受到微观周期性的制约和 影响,所以,晶体的宏观对称元素不是任意的.
AT A E
两点间的距离不变,即 x2y2 z2x2y2 z2
用矩阵表示即 rTrr/Tr/
r /(x /,y /,z /) A r (x ,y ,z )
r T r r / T r / ( A r ) T ( A r ) r T A T A r
得证.
以上证明显示,如果晶体在某正交变换下不变,就 称这个正交变换是晶体的一个点对称操作.
如果,晶体有对称中心,则中心反演也是对称操 作. 对原点的反演使得 (x, y, z) → (-x, -y, -z)，即：
x x
y
y
z z
x 1 0 0 x
y
0
1
0
y
z 0 0 1 z
1 0 0
A
0
1
0
0 0 1
A 1
(3) 镜面反映(Reflection across a plane)
晶体中允许的转动对称轴只能是1、2、3、4和6次轴， 称为晶体的对称性定律
晶体的对称性定律的证明 B
A
如图,A为格点,B为离A最近的 格点之一,则与 平A 行B 的格点
a
a
之间的距离一定是 数倍。
三维晶体的点对称操作通常总可以表示为绕某 一轴的旋转、对某中心的反演和它们的组合.
点对称操作对应的变换矩阵A的具体形式
（1）绕某一轴的旋转(rotation about an axis) 比如：绕x轴的旋转，设转角为θ，则有：
x x
y
y
cos
z
sin
z
y
sin
z
cos
x 1 0 0 x
y0 cos siny z 0 sin cos z
所以，绕x轴旋转的变换矩阵为：
1 0
0
Ax
0
cos
sin
0 sin cos
同理可得绕y轴和绕z轴的变换矩阵
cos 0 sin
Ay
0
1
0
sin 0 cos
cos sin 0
Az
sin
cos
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0
0
0 1
且矩阵行列式均为： A 1
（2）中心反演(inversion through a point)
晶体结构可以用布拉维格子或布拉维点阵来描 述,这样以来,晶体变为无限大的空间点阵.从而,晶 体具有了平移对称性,借助于点阵平移矢量,晶格 能够完全复位.我们把考虑平移后的对称性称为 晶体的微观对称性.
由于晶体的宏观对称操作不包含平移,所以宏 观对称操作时,晶体至少保持有一个点不动,相应 的对称操作又称为点对称操作.
晶体借以进行对称操作的轴、平面或点.称为对 称元素（简称对称素）.
这种对称性不仅表现在晶体的几何外形上,而且 反映在晶体的宏观物理性质中,称为晶体的宏观 对称性.
一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作
1. 概念解释 晶体的宏观对称性就是晶体外形所包围的点 阵结构的对称性.
晶体的宏观对称性来源于点阵结构的对称性， 相应的宏观对称操作是一种非平移对称操作。
第三节 晶体的对称性和分类
本节主要内容: 一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作 二、晶体的微观对称性和微观对称操作 三、群和晶体结构的分类
一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作
物体的性质在不同方向或位置上有规律地重复 出现的现象称为对称性
对称性的本质是指系统中的一些要素是等价 的，它可使复杂物理现象的描述变得简单、明 了。因为对称性越高的系统，需要独立表征的 系统要素就越少，因而描述起来就越简单，且 能大大简化某些计算工作量。
其中： r
x y
z
x
r
y
z
a11 a12 a13
A
a21
a22
a
23
a31 a32 a33
x x a11 a12 a13x yya21 a22 a23y z z a31 a32 a33z
A为变换矩阵,由于点对称操作不改变两点间的 距离,所以易证A是一个正交矩阵.亦即满足
我们这里要讨论的主要是晶体（晶格或点阵) 的对称性(symmetry of lattice).
晶体的对称性可以从晶体外形的规则性上反映 出来,如sc、bcc、fcc结构的立方晶体,绕晶胞的任 一基矢轴旋转π/2或π/2的整数倍的操作,都能使晶 体的外形保持不变,这就是晶体的对称性.
操作前后晶体保持自身重合的操作,称为对称 操作.
一个镜面反映对称操作(symmetry operation of
mirror image)意味着将点阵对应于某一个面进
行反射,点阵保持不变.这表明一系列格点对应于 这个反射面的位置是等价的,点阵具有镜面反射 对称性.如以xy面为镜面，则(x, y, z) →(x, y, -z)。 用矩阵形式表示，则有
x x
y
y
z z
x 1 0 0 x
y z
0 0
1 0
01
y z
1 0 0
A
0
1
0
0 0 1
A 1
当变换是纯转动时，矩阵的行列式等于+1；当 是空间反演或镜面反射时等于-1. 前一种对应物 体的实际运动，另一种不能靠物体的实际运动 来实现。 3. 宏观对称操作和宏观对称元素
从数学角度来看,晶体的点对称操作实质上是对 晶体进行一定的几何变换,它使得晶体中的某一 点 r ( x , y , z ) r / ( x / , y / , z / ) A r ( x , y , z )
写成矩阵形式，则有
x x a11 a12 a13x yya21 a22 a23y z z a31 a32 a33z
晶体只能具有有限个数的宏观对称操作或对称元素， 对称元素的组合也是一定的，这称为晶体的宏观对称 性破缺
对于旋转对称操作(rotational symmetry operation)来 说，由于晶体周期性的限制，转角θ只能是2π/n，n=1、 2、3、4和6。
如果一个晶体绕某轴旋转2π/n及其倍数不变，称该轴为 n次（或n度）旋转轴。
绕固定轴的转动(rotation about an axis)、中 心反演(inversion through a point)和镜面反映 (Reflection across a plane)是晶体中的三种基本 的点对称操作。相应的对称元素有:对称轴、对 称中心、对称面。
一个晶体的对称操作愈多,就表明它的对称性愈高. 但 是,由于晶体的宏观对称性是受到微观周期性的制约和 影响,所以,晶体的宏观对称元素不是任意的.
AT A E
两点间的距离不变,即 x2y2 z2x2y2 z2
用矩阵表示即 rTrr/Tr/
r /(x /,y /,z /) A r (x ,y ,z )
r T r r / T r / ( A r ) T ( A r ) r T A T A r
得证.
以上证明显示,如果晶体在某正交变换下不变,就 称这个正交变换是晶体的一个点对称操作.
如果,晶体有对称中心,则中心反演也是对称操 作. 对原点的反演使得 (x, y, z) → (-x, -y, -z)，即：
x x
y
y
z z
x 1 0 0 x
y
0
1
0
y
z 0 0 1 z
1 0 0
A
0
1
0
0 0 1
A 1
(3) 镜面反映(Reflection across a plane)
晶体中允许的转动对称轴只能是1、2、3、4和6次轴， 称为晶体的对称性定律
晶体的对称性定律的证明 B
A
如图,A为格点,B为离A最近的 格点之一,则与 平A 行B 的格点
a
a
之间的距离一定是 数倍。
三维晶体的点对称操作通常总可以表示为绕某 一轴的旋转、对某中心的反演和它们的组合.
点对称操作对应的变换矩阵A的具体形式
（1）绕某一轴的旋转(rotation about an axis) 比如：绕x轴的旋转，设转角为θ，则有：
x x
y
y
cos
z
sin
z
y
sin
z
cos
x 1 0 0 x
y0 cos siny z 0 sin cos z
所以，绕x轴旋转的变换矩阵为：
1 0
0
Ax
0
cos
sin
0 sin cos
同理可得绕y轴和绕z轴的变换矩阵
cos 0 sin
Ay
0
1
0
sin 0 cos
cos sin 0
Az
sin
cos
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0
0
0 1
且矩阵行列式均为： A 1
（2）中心反演(inversion through a point)
晶体结构可以用布拉维格子或布拉维点阵来描 述,这样以来,晶体变为无限大的空间点阵.从而,晶 体具有了平移对称性,借助于点阵平移矢量,晶格 能够完全复位.我们把考虑平移后的对称性称为 晶体的微观对称性.
由于晶体的宏观对称操作不包含平移,所以宏 观对称操作时,晶体至少保持有一个点不动,相应 的对称操作又称为点对称操作.
晶体借以进行对称操作的轴、平面或点.称为对 称元素（简称对称素）.
这种对称性不仅表现在晶体的几何外形上,而且 反映在晶体的宏观物理性质中,称为晶体的宏观 对称性.
一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作
1. 概念解释 晶体的宏观对称性就是晶体外形所包围的点 阵结构的对称性.
晶体的宏观对称性来源于点阵结构的对称性， 相应的宏观对称操作是一种非平移对称操作。
第三节 晶体的对称性和分类
本节主要内容: 一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作 二、晶体的微观对称性和微观对称操作 三、群和晶体结构的分类
一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作
物体的性质在不同方向或位置上有规律地重复 出现的现象称为对称性
对称性的本质是指系统中的一些要素是等价 的，它可使复杂物理现象的描述变得简单、明 了。因为对称性越高的系统，需要独立表征的 系统要素就越少，因而描述起来就越简单，且 能大大简化某些计算工作量。
其中： r
x y
z
x
r
y
z
a11 a12 a13
A
a21
a22
a
23
a31 a32 a33
x x a11 a12 a13x yya21 a22 a23y z z a31 a32 a33z
A为变换矩阵,由于点对称操作不改变两点间的 距离,所以易证A是一个正交矩阵.亦即满足
我们这里要讨论的主要是晶体（晶格或点阵) 的对称性(symmetry of lattice).
晶体的对称性可以从晶体外形的规则性上反映 出来,如sc、bcc、fcc结构的立方晶体,绕晶胞的任 一基矢轴旋转π/2或π/2的整数倍的操作,都能使晶 体的外形保持不变,这就是晶体的对称性.
操作前后晶体保持自身重合的操作,称为对称 操作.
一个镜面反映对称操作(symmetry operation of
mirror image)意味着将点阵对应于某一个面进
行反射,点阵保持不变.这表明一系列格点对应于 这个反射面的位置是等价的,点阵具有镜面反射 对称性.如以xy面为镜面，则(x, y, z) →(x, y, -z)。 用矩阵形式表示，则有
x x
y
y
z z
x 1 0 0 x
y z
0 0
1 0
01
y z
1 0 0
A
0
1
0
0 0 1
A 1
当变换是纯转动时，矩阵的行列式等于+1；当 是空间反演或镜面反射时等于-1. 前一种对应物 体的实际运动，另一种不能靠物体的实际运动 来实现。 3. 宏观对称操作和宏观对称元素