武汉大学2011工程硕士数值分析考试复习题

1、 设()0f x =有根，且'0(),m f x M x <≤≤-∞<<+∞，试证明由1()k k k x x f x λ+=-产生的序列{}k x 对任意的0x 和02M λ<<均收敛。

2、 对3*(),0()x x x x x φφ=+=为的一个不动点，验证10()0k k x x x φ+=≠对不收敛，但改用steffen 方法

却收敛。

3、设*x 是()0f x =的根，且()()'''*0,f x f x x ≠在领域上连续，试证明：Newton 迭代序列{}n x 满足

''*12'*12()

lim ()

2()k k k k k x x f x x x f x -→∞---=-

1、 给定方程组的雅可比迭代矩阵为022101220J B ⎡⎤

⎢⎥=--⎢⎥

⎢⎥--⎣⎦

，试证明雅可比迭代收敛而高斯迭代不收敛。

2、设二阶方程组为12630321x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪

-⎝⎭⎝⎭

⎝⎭，取(0)

00x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （1）用最快速下降法迭代两次求近似解(2)x ；

（2）用共轭梯度法迭代两次求近似解(2)x ； （3）与精确解进行比较分析。

3、 设方程组AX=B 系数矩阵A 非奇异，条件数cond （A ），设A 有扰动A δ，且11A A δ-<，分

析解的扰动X δ的相对变化X

X

δ。

1、设2()[,],()()0f x c a b f a f b ⊂==且，试证明：

2

''()max ()max ()8

a x

b a x b b a f x f x ≤≤≤≤-≤

2、 试证明两点三次Hermite 插值余项(4)2231()

()()()4!

k k f R x x x x x ξ+=

--，并求此分段三次Hermite 插值的误差限。

3、已知2(),()[,]f x x f x a b =求在上的分段线性插值函数()h I x ，并估计误差。

1、试确定数值积分公式()()(

)2

b

a

a b

f x dx b a f +=-⎰的余项。

2、试确定求积系数A 1、A 2及节点x 1、x 2使如下求积公式为高斯型：

11220

()()()x I e f x dx A f x A f x +∞

-==+⎰

3、设有计算积分1

0()I f =⎰

的数值积分公式1()()(1))5I f af bf R f =++ （1）求a 、b ，使上式有尽可能高的代数精度；

（2）若[]3()0,1f x C ∈，给出该求积公式的截断误差。