循环小数及周期

循环小数及周期

知识要点：

纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9.9的个数与循环节的位数相同。能约分的要约分。

混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。分母的头几位数是9，末几位是0.9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。

例1 计算：∙

∙∙∙∙∙∙∙+++++++98.087.076.065.054.043.032.021.0

解：将以上循环小数化成分数后： 原式＝

90

819071906190519041903190219011+++++++ ＝⨯90

1（11+21+31+41+51+61+71+81） ＝⨯90

192×8÷2 ＝445

4 例2 37

16写成循环小数后，小数点后500个数字之和是多少？ 解：3716＝999432＝∙∙234.0 又因为：500÷3＝166……2，所以这个循环小数小数点后500个数字之和是：166×（4＋3＋2）+4+3＝1501。

例3 分母是31的所有最简真分数的和是∙

61.0的多少倍？

解：分母是31的所有最简真分数的和为：

31

303129313312311++⋅⋅⋅+++ ＝⨯31

1（1＋2＋3＋……29＋30） ＝⨯31

131×30÷2 ＝15

∙61.0化成分数是

6190116=- 15÷6

1＝90 所以，分母是31的所有最简真分数的和是∙

61.0的90倍。

例4

13

2化成小数后，它小数部分前1000位数字偶位数字之和与奇位数字之和的差是多少？ 解：132化成小数是∙∙653841.0，又因为1000÷6＝166……4 所以它小数部分前1000位数字偶位数字之和与奇位数字之和的差是：

[（5+8+6）×166＋5＋8]－[（1+3+4）×166＋1＋3]

＝（5+8+6－1－3－4）×166＋5＋8－1－3

＝5×166＋9

＝839

例5 对循环小数∙∙720.0与∙

∙653841.0的乘积成绩取近似值，要求保留一百位小数。那么，这个近似小数的最后一个数字是几？

解：因为：∙∙720.0＝37199927=，∙∙653841.0＝13

2 132371⨯＝4812＝∙∙804150.0 又因为：100÷6＝16 (4)

所以，∙

∙804150.0这个小数的小数点后第100位上的数字是1，小数点后第101位上的数字是5。因此，这个近似小数的最后一个数字是2。

例6 在下面的除法竖式中，只知道一个数字3，且商是一个循环小数。那么被除数是多少？

解：因为：

从竖式中可以看出，除数只是两位数，所以它一定是27或37。

又因为：

即3×AB >100，所以AB ＝37。 因为CD 是两位数，且D 所代表的数字是0，所以，这个循环小数的循环节第3位一定是1或2，且EF 等于被除数。

讨论：（1）当这个循环小数的循环节第3位是1时，F 所代表的数字是3，则EF 可能是13、23或33，经检验，均不合题意。

（2）当这个循环小数的循环节第3位是2时，F 所代表的数字是6，则EF 可能是16、26或36，经检验，只有16符合题意。

所以：这个被除数是16。

例7 在∙∙=50.0296

d n 的等式中，n 表示一个自然数，d 是1～9中的一个数字，那么n 是多少？ 解：因为9990550.0d d =∙∙，所以999

05296d n =。 所以333

80537329605⨯=⨯⨯=d d n ……① 因为n 表示一个自然数，所以05d 应该能被27整除

考虑到尾数是05，很快可以得出d ＝4 所以，120278405=⨯=

n 。