第2章 系统的数学模型及传递函数

u(t)
R-L-C无源电路网络
L
R
di(t) d 2q(t) u(t) L dt L dt2
ui(t)
i(t) C
uo(t)
R-L-C无源电路网络
20
ui
(t)
Ri (t )
L
d dt
i(t)
1 C
i(t)dt
uo
(t)
1 C
i(t)dt
ui(t)
L
R
i(t) C uo(t)
R-L-C无源电路网络
6
• 实际的系统通常是非线性的，线性只在一定的工 作范围内成立。
• 判别系统的数学模型微分方程是否是非线性的， 可视其中的函数及其各阶导数，如出现高于一次 的项，或者导数项的系数是输出变量的函数，则 此微分方程是非线性的。（P11）
• 非线性微分方程的求解很困难。在一定条件下， 可以近似地转化为线性微分方程，可以使系统的 动态特性的分析大为简化。实践证明，这样做能 够圆满地解决许多工程问题，有很大的实际意义。
5. 系统传递函数只表示系统输入量与输出量的数学关系(描述系统 的外部特性)，而没有表示系统中间变量之间的关系(描述系统的内 部特性)。在现代控制理论中，可采用状态空间描述法来对系统的动 态特性进行描述。
34
y(t) k c m f(t)
••
•
m y(t) c y(t) ky(t) f (t)
输出 b
输出
输出
0
输入
0
输入
0
输入
a 饱和（放大器）
死区（电机）
间隙（齿轮）
A.饱和：如运算放大器当输入大于一定值时，输出被限制在 ±15V，达到饱和。
B.传动间隙：齿轮及丝杠螺母副组成的机床进给传动系统， 有传动间隙，在输入与输出间有滞环关系。P11图2-1
C.死区：有输入无输出，如负开口的液压伺服阀。P11图2-2 D.摩擦力：干摩擦力与速度方向相反，P12图2-3、图2-4
1 5s
6 s
0
1 6
A2
1 s(s
3) s
2
1 2
A3
1 s(s
2)
s
3
1 3
B1
(s
5)xo (0) s3
xo (0) s
2
3xo (0)
xo (0)
B2
(s
5)xo (0) s2
xo (0) s
3
2xo (0)
xo (0)
30
所以：
X o (s)
1 6 s
1 2
s2
✓ 系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构 及其参数。
25
常用拉氏变换表
26
应用拉氏变换解线性微分方程
➢ 求解步骤 将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程； 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式； 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。
原函数 （微分方程的解） 拉氏反变换
32
零初始条件： §2-3 传递函数
1. 输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工
作状态，即t < 0 时，输出量及其各阶导数也 均为0；
因为组成系统的元部件或 多或少存在惯性，所以G(s) 的分母次数大于等于分子 次数，即n≥m。若m>n,我 们就说这是物理不可实现 的系统。
33
问题：传递函数 是否有量纲？
xo
(t)
d2
d
m dt2 xo (t) C dt xo (t) Kxo (t) fi (t)
式中，m、C、K通常均为常数，故机械平移系统可
以由二阶常系数微分方程描述。
显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶
次等于系统中独立储能元件(惯性质量、弹簧)的数1量6 。
机械旋转系统
i(t) 0
11
课本P13 图2-5
(P14式2-10）
12
§2-2 系统的微分方程
1.
（P14）
（P27，负载效应）
13
2. 典型元部件所遵循的物理定律：
➢机械系统
机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为
质量、弹簧和阻尼三个要素：
✓ 质量
fm(t)
x (t) v (t)
m 参考点
fm (t)
m
d dt
• 传递函数是一个复变函数，一般具有零点、极 点。根据复变函数知识，凡能使复变函数为0 的点均称为零点；凡能使复变函数为趋于∞的 点均称为极点。
象函数
解 代 数 方 程
微分方程
拉氏变换
象函数的 代数方程
27
拉氏变换法求解线性微分方程的过程
➢ 实例 设系统微分方程为：
d
2 xo (t) dt 2
5
dxo (t) dt
6xo
(t)
xi
(t)
若xi (t) =1(t)，初始条件分别为x'o(0)、xo(0)，
试求xo(t)。
解：对微分方程左边进行拉氏变换：
Ko (t)
Ki (t)
J —旋转体转动惯量；K —扭转刚度系数；
C —粘性阻尼系数
18
➢ 电气系统 电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。
✓ 电阻
i(t)
R
u(t)
u(t) Ri(t) R dq dt
✓ 电容
i(t)
C
u(t)
u(t)
1 C
i(t
)dt
=1 q C
19
✓ 电感 i(t) L
✓ 从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而 物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中 进行实验模拟的基础；
✓ 通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统 中所包含的独立储能元（惯性质量、弹性要素、电感、电容、 液感、液容等）的个数；因为系统每增加一个独立储能元，其 内部就多一层能量（信息）的交换。
v(t)
m
d2 dt 2
x(t)
✓ 弹簧
x1(t) v1(t)
fK(t)
K
x2(t)
v2(t)
fK (t) Kx1(t) x2 (t) Kx(t)
K
t
v1
(t
)
v2
(t
)dt
t
fK(t)
K v(t)dt
14
✓ 阻尼
v1(t)
v2(t)
x1(t)
x2(t)
fC(t)
fC(t)
C
弹簧－阻尼系统 fi(t)
1 3
s3
3xo (0) xo (0) s2
2xo (0) xo (0) s3
查拉氏变换表得：
xo
(t)
1 6
1 2
e2t
1 3
e3t
3xo (0) xo (0) e2t 2xo (0) xo (0) e3t
当初始条件为零时：
(t 0)
xo (t)
1 6
1 2
e2t
1 3
e3t t
0)
31
由上述实例可见： 应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始
条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式 中，因此，不需要根据初始条件求积分常数 的值就可得到微分方程的全解。 如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏 变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。 系统响应可分为两部分：零状态响应和零输 入响应
o(t) 0
TK(t)
K
J TC(t)
柔性轴 齿轮
粘性液体 C
J —旋转体转动惯量；K —扭转刚度系数；C —粘性阻尼系数
17
TK (t) Ki (t) o (t)
TC
(t)
C
d dt
o
(t
)
J
d2 dt 2
o (t)
TK
(t) TC (t)
J
d2 dt 2
o (t)
C
d dt
o (t)
x0
1 d2y 2! dx2
(x x0 )2
x0
忽略二次以上的各项，上式可以写成
y kx 其中：
y y y0
dy k
dx x0
x x x 0
这就是非线性元件的线性化数学模型
9
• 上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。 y0 = f (x0)称为系统的静态方程；
• 增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移到系统 或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工 作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的
L
d
2 xo (t dt 2
)
s2
X
o
(
s)
sxo
(0)
xo
(0)
L5
dxo (t dt
)
5sX
o
(s)
5xo
(0)
28
L6xo (t) 6X o (s)
即：
L
d
2 xo (t dt 2
)
5
dxo (t) dt
6xo
(t
)
(s2 5s 6) Xo (s) (s 5)xo (0) xo (0)
fi(t)
fi(t)
机械平移系统
m
m
fm(t) 静止（平衡）工作点作为
0
0 零点，以消除重力的影响
K
xo(t)
xo(t)
C
fK(t) fC(t)
fi (t) fC (t) fK fK (t) Kxo (t)
(t)
m
d2 dt 2
xo (t)
机械平移系统及其力学模型
fC
(t)
C
d dt
初始条件均为零。
• 对多变量系统，如：y =f(x1,x2)，同样可采用泰勒
级数展开获得线性化的增量方程。
y
f (x10,
x20 )
f x1
x1 x10 x2 x20
( x1
x10 )
f x2
( x2
x1 x10 x2 x20
x20 )
增量方程： y y0 y K1x1 K2x2
静态方程：
• 本质非线性性质：在工作点附近存在不连续直线、 跳跃、折线、非单值关系等等。
7
5. 非线性系统的线性化
8
A(x0,y0)平衡点，函数在平衡点处 连续可微，则可将函数在平衡点附近 展开成台劳级数：
y
y=f(x)
y0 A(x0,y0)
0 x0
x
饱和（放大器）
y
f (x)
y0
dy dx
(x x0 )
三、如何建立数学模型？ 1、提出合理的假设，忽略次要因素，抓住本质。 2、建立恰当的数学描述 3、非线性环节的处理
2
四、实际工程应用中建立模型的一般步骤 1、把各部件尽可能地作线性化处理； 2、建立线性化的系统模型（近似模型）； 3、求系统的近似特性； 4、建立更复杂的模型，得到更精确的特性。
五、古典控制理论中控制系统模型描述方法
1、微分方程
2、传递函数
六、建立控制系统数学模型的一般方法
1、机理分析法
2、实验辩识法
3
§2-1 系统的数学模型 1数. 学模型应能反映系统内 在的本质特征，同时应对 模型的简洁性和精确性进 行折衷考虑。
2.
4
3. 意线义性：在与•线非如性果线系方统性程中的系，系根统数据为叠常加数原，理则，为如线果性
有几个外作定用常同系时统加；于系统，则可以将它们分
别处理，依•次如求果出方各程个的外系作数用是单时独间加t的入函时数系，统
则为线性时变系统； 的响应，然后将它们叠加。此外每个外作用在
(线性时不变系统)
数值上都可只取单位值。从而简化了系统的分 析和设计。
“叠加 性”、 “均匀性”
5
4. 机械系统常见非线性特性
•
••
f kxc x m x
3)整理可得：•• •来自m x c x kx f
22
例2-2：列写下图所示电网络的微分方程 解：1)系统的输入与输出 输入为u1,输出为u2 2)列写原始微分方程
3)消除中间变量，并整理：
23
4. 相似原理
24
➢ 小结
✓ 物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以 抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研 究（信息方法） 。
y0 f (x10 , x20 )
其中：
f
K , 1
x1
x1 x10 x2 x20
f
K x 2
10
2
x1 x10 x2 x20
注意：以上几种方法只适用于一些非线性
程度较低的系统，对于某些严重的非线性 (本质非线性性质)，如：
0
0
继电特性
饱和特性
不能作线性化处理，一般用相平面法及描 述函数法进行分析。
机械工程控制基础
第二章 系统的数学模型及传递函数
郑海明
Tuesday, April 06, 2021
1
控制系统数学模型概述
一、为什么要建立控制系统的数学模型？ 1、是定量分析、计算机仿真、系统设计的需要 2、是寻找一个较好的控制规律的需要
二、什么是控制系统的数学模型？ 描述控制系统中各变量之间相互关系的数学表达式
对方程右边进行拉氏变换：
Lxi
(t)
X i (s)
L1(t)
1 s
从而：
(s2
5s
6)
X
o
(s)
(s
5) xo
(0)
xo
(0)
1 s
X
o
(s)
s(s2
1 5s
6)
(s
5)xo (0) xo s2 5s 6
(0)
A1 A2 A3 B1 B2
s s2 s3 s2 s3
29
A1
s2
fC (t) Cv1(t) v2 (t) Cv(t)
C dx1(t) dx2 (t)
dt
dt
C dx(t) dt
0
xo(t) fi (t) fC (t) fK (t)
K
C
C
d dt
xo (t) Kxo (t)
fi (t)
系统运动方程为一阶常系
弹簧-阻尼系统 数微分方程。
15
Gs
Y s F s
m
s2
1
cs
k
___a
x(t) y(t) k cm
••
••
m y(t) c[x(t) y(t)] k[x(t) y(t)]
••
•
•
m y(t) c y(t) ky(t) c x(t) kx(t)
Gs
Y s X s
m
cs k s2 cs
k
___b
35
2. 传递函数的零点、极点和放大系数
LC
d2 dt 2
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
uo
(t)
ui
(t)
一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微分方程。 若L=0，则系统简化为：
RC
d dt
uo
(t
)
uo
(t
)
ui
(t
)
21
3.例2-1：列写下图所示机械系统的微分方程 解：1)明确系统的输入与输出