正态分布 参考值
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正态分布参考值抽样误差
因为红细胞数过高或过低均为异常，故按双侧 估计95%参考值 x 1.96s 5.38 1.96 0.44 (4.52,6.24) 1012 / L 故该地成年男子红细胞数的95%参考值范围为 4.52 1012－6.24 1012 / L
百分位数法: 适用于偏态分布资料
例如白细胞数的95％参考值范围:因为白细胞数
25
20
15
10
5
0 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 红细胞计数（1012/L) 140名正常男子红细胞计数直方图
f(x)=(fi/n)
0.25
相 对 频 0.20 率
0.15
以频率为纵坐标
0.10
0.05
0.00
3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8
数值变量的参数估计
一、均数的抽样分布与抽样误差
抽样研究的目的就是要用样本信息来推断 总体特征。由于存在个体变异，样本均数 （X）往往不等于总体均数（），因此抽 样后各个样本均数也往往不等于总体均数， 且各个样本均数间也不一定都相等。这种 由抽样造成的样本均数与总体均数的差异 或各样本均数之间的差异称为抽样误差， 抽样误差是不可避免的。
红细胞计数（1012/L) 140名正常男子红细胞计数直方图
随着组段不断分细和观察人数的增多，直条顶端将逐渐接近于
一条光滑的曲线，如下图。这条曲线称为频率密度曲线，呈中
间高、两边低、左右对称，形状似座钟。类似于数学上的正态
分布曲线。
因为频率的总和等于1，故横轴上曲线下的面积等于1。
0.14 0.12
组中值 3.90 4.10 4.30 4.50 4.70 4.90 5.10 5.30 5.50 5.70 5.90
百分位数法: 适用于偏态分布资料
例如白细胞数的95％参考值范围:因为白细胞数
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0 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 红细胞计数（1012/L) 140名正常男子红细胞计数直方图
f(x)=(fi/n)
0.25
相 对 频 0.20 率
0.15
以频率为纵坐标
0.10
0.05
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3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8
数值变量的参数估计
一、均数的抽样分布与抽样误差
抽样研究的目的就是要用样本信息来推断 总体特征。由于存在个体变异，样本均数 （X）往往不等于总体均数（），因此抽 样后各个样本均数也往往不等于总体均数， 且各个样本均数间也不一定都相等。这种 由抽样造成的样本均数与总体均数的差异 或各样本均数之间的差异称为抽样误差， 抽样误差是不可避免的。
红细胞计数（1012/L) 140名正常男子红细胞计数直方图
随着组段不断分细和观察人数的增多，直条顶端将逐渐接近于
一条光滑的曲线，如下图。这条曲线称为频率密度曲线，呈中
间高、两边低、左右对称，形状似座钟。类似于数学上的正态
分布曲线。
因为频率的总和等于1，故横轴上曲线下的面积等于1。
0.14 0.12
组中值 3.90 4.10 4.30 4.50 4.70 4.90 5.10 5.30 5.50 5.70 5.90
正态分布参考值抽样误差
数值变量的参数估计
一、均数的抽样分布与抽样误差
抽样研究的目的就是要用样本信息来推断 总体特征。由于存在个体变异，样本均数 （X）往往不等于总体均数（），因此抽 样后各个样本均数也往往不等于总体均数， 且各个样本均数间也不一定都相等。这种 由抽样造成的样本均数与总体均数的差异 或各样本均数之间的差异称为抽样误差， 抽样误差是不可避免的。
100个样本均数频数分布直方图
样本均数的抽样分布具有以下特点：
1. 各样本均数未必等于总体均数；
2. 样本均数之间存在差异；
3. 样本均数的分布很有规律，围绕着总体 均数，中间多、两边少，左右基本对称， 也服从正态分布；
4. 样本均数的变异较之原变量的变异大大 缩小。
抽样，样 本量为n
总体均数为μ，标准差σ
频率密度 f(x)=(fi/n)/i
0.1
（i＝0.1）
0.08
0.06
0.04
0.02
0
3.8
4 4.2 4.4 4.6 4.8
5 5.2 5.4 5.6 5.8
这条所描述的分布，便近似于我们通常所说 的正态概率分布，简称正态分布。
正态分布是自然界最常见的一 种分布，例如，测量的误差、 人体的身高、体重、许多生化 指标的值（例如血压、血红蛋 白含量、红细胞数等等）等都 属于正态分布或近似正态分布。 还有些偏态资料可经数据转换 成正态或近似正态分布，例如 抗体滴度、血铅值等。
用 X 表示，或SE、SEM。
x
n
4.09 1.29(cm) 10
由于在实际抽样研究中往往未知，通
常用某一样本标准差s来替代，得标准误
的估计值 sX (通常也简称为标准误)，其计
算公式为：
正态分布与医学参考值范围
确定医学参考值范围的意义
1. 基于临床实践，从个体角度， 作为临床上判定正常与异常的 参考标准，即用于划分界限或 分类。
2. 基于预防医学实践，从人群角 度，可用来评价儿童的发育水 平，如制订不同年龄、性别儿 童某项发育指标的等级标准。
确定95%参考值范围示意图
二、制订医学参考值范围的注意事项
1. 确定同质的参照总体 一般选择“正常”人，主要是排除了对研究指标
例3-1 若X～
，试计算X 取值在区间
上的概率。
Standard normal distribution
例3-2 已知某地140名正常成年男子红细胞计数近似 服从正态分布， =4.78×1012/L， =0.38×1012/L。 ①该地正常成年男子红细胞计数在4.0×1012/L以下 者占该地正常成年男子总数的百分比；
服从正态分布， =4.78×1012/L， =0.38×1012/L， 估计该地正常成年男子红细胞计数95%参考值范围。 近似正态分布资料可按正态分布法处理，因红细胞 计数值过大或过小均为异常，故应估计双侧95%参 考值范围：
即该地正常成年男子红细胞计数的95%参考值范围 为4.04×1012/L～5.52×1012/L。
查附表1
，表明该地成年男子红
细胞计数低于 4×102/L 者约占该地正常成年男子总
数的2.02%
Standard normal distribution ② 红细胞计数在4.0×1012/L～5.5×1012/L者占该地
正常成年男子总数的百分比
=
表明红细胞计数在 4.0×1012/L ～ 5.5×1012/L者约占 该地正常成年男子总数的95.04%。
正态分布法要求资料服从或近似服从正态分布，优 点是结果比较稳定，在样本含量不是很大的情况下 仍然能够进行处理；若偏态分布资料经变量变换能 转换为正态分布或近似正态分布，仍可用正态分布 法。
1. 基于临床实践，从个体角度， 作为临床上判定正常与异常的 参考标准，即用于划分界限或 分类。
2. 基于预防医学实践，从人群角 度，可用来评价儿童的发育水 平，如制订不同年龄、性别儿 童某项发育指标的等级标准。
确定95%参考值范围示意图
二、制订医学参考值范围的注意事项
1. 确定同质的参照总体 一般选择“正常”人，主要是排除了对研究指标
例3-1 若X～
，试计算X 取值在区间
上的概率。
Standard normal distribution
例3-2 已知某地140名正常成年男子红细胞计数近似 服从正态分布， =4.78×1012/L， =0.38×1012/L。 ①该地正常成年男子红细胞计数在4.0×1012/L以下 者占该地正常成年男子总数的百分比；
服从正态分布， =4.78×1012/L， =0.38×1012/L， 估计该地正常成年男子红细胞计数95%参考值范围。 近似正态分布资料可按正态分布法处理，因红细胞 计数值过大或过小均为异常，故应估计双侧95%参 考值范围：
即该地正常成年男子红细胞计数的95%参考值范围 为4.04×1012/L～5.52×1012/L。
查附表1
，表明该地成年男子红
细胞计数低于 4×102/L 者约占该地正常成年男子总
数的2.02%
Standard normal distribution ② 红细胞计数在4.0×1012/L～5.5×1012/L者占该地
正常成年男子总数的百分比
=
表明红细胞计数在 4.0×1012/L ～ 5.5×1012/L者约占 该地正常成年男子总数的95.04%。
正态分布法要求资料服从或近似服从正态分布，优 点是结果比较稳定，在样本含量不是很大的情况下 仍然能够进行处理；若偏态分布资料经变量变换能 转换为正态分布或近似正态分布，仍可用正态分布 法。
正态分布与医学参考值范围
正态分布与医学参考值范围正态分布是统计学中一种非常重要的概率分布，也被称为高斯分布。
它的图像呈现出钟形曲线，对称地分布在均值附近。
在医学领域中，正态分布的应用非常广泛，特别是在确定医学参考值范围时起到了至关重要的作用。
本文将就正态分布与医学参考值范围进行探讨。
正态分布在医学参考值范围确定中的应用主要是基于以下原因：1. 数据收集的特点：医学实验往往需要收集大量的数据，包括身高、体重、血压、血糖等指标。
这些指标在人群中的分布往往符合正态分布。
通过对数据的收集和统计分析，可以获得数据的平均值和标准差，从而确定参考值范围。
2. 对异常值的处理：在医学实验中，常常会遇到一些异常值，例如极端高或者极端低的数据。
正态分布的特点在于异常值对结果的影响很小，因为正态分布对于极端值的权重较低，大部分的数据都集中在均值附近。
因此，正态分布在医学参考值的确定中能够较好地处理这些异常值。
3. 统计推断的基础：医学研究中常需进行统计推断，例如判断某个治疗方法是否有效，或者不同人群之间是否存在显著差异。
正态分布作为统计学中的基础分布，提供了一种有效的工具来进行统计推断。
通过对数据进行假设检验、置信区间估计等方法，可以对医学参考值范围进行准确的推断。
医学参考值范围在实际应用中的确定过程一般包括以下步骤：1. 数据收集与整理：收集与特定指标相关的数据，如血液数据、生化指标等。
然后对数据进行整理，排除异常值。
2. 数据的分布检验：通过对数据的正态性检验，判断数据是否符合正态分布。
常用的检验方法有 Shapiro-Wilk 检验、Lilliefors 检验等。
若数据不符合正态分布，可能需要进行数据转换或者使用非参数方法来进行分析。
3. 参数估计：对符合正态分布的数据，通过计算平均值和标准差来估计总体的参数。
平均值代表了数据的集中趋势，标准差代表了数据的离散程度。
4. 构建医学参考值范围：根据正态分布的性质，通常采用均值加减2倍标准差的方法来构建医学参考值范围。
正态分布和医学参考值范围1
4、制定正常值范围时，应根据指标的实际用途和特征来决定 取单或双侧正常值范围。 5.百分位数法应用广泛，计算较简单，故制定正常值范围时应 首选百分位数法。 6.近似正态分布资料以 X uS 法估计正常值范围，较百 分位数法稳定,受两端数据影响较小。
医学统计方法（试题分析）
二、选择题：
1、某资料的观察值呈正态分布，理论上有________的观察值落 在 x 1.96s 范围内。 a．68.27% b．90% c．95% d．99% e．45% 2、正态曲线下，从均数μ到μ+1.645σ的面积为 ________。 a．45% b．90% c．95% d．47.5% e．99% 3、标准正态分布是指_________正态分布。 a．μ=0 σ=1 b．μ=1 σ=0 c．μ=0 σ任意 d．μ任意 σ=1 e．以上都不对 X 1.960S X 1.645S 4、资料呈偏态分布，90%双侧正常值范围为_________。 a． x 1.96s b． x 1.64s c．P2.5～P97.5 d．P5～P95 e．0～P90
4）统一测量方法与条件，控制测量误差
测量方法与条件统一，是控制系统误差，测量误差，保证参 考值的可靠性与代表性的重要措施，如检验人员操作方法，熟 练程度相近，实验室条件一致，测试仪器型号相同这些要求应 该满足。
5）确定观察例数（样本含量）
在一般的情况下观察例数越多（抽取样本含量是够大）结果 越接近总体，如白细胞分类计数时，数的白细胞越多，分类计 数就越正确，变异程度较大指标，多一些观察例数是恰当的， 一般样本含量最好将在100例以上。
6、在正态分布资料中，95%的双侧正常值范围常用________ 表示。 a． X 1.960S b．P25～P97.5 X 2.58S d．P5～∞ c． e．P5～P95 7.用百分位数法确定正常值范围，适用于_________资料。 a．分布不对称或不知分布 b．正态分布 c．大样本资料 d．小样本资料 e．以上都对 8、标准正态分布曲线下中间 90%的面积所对应的横轴尺度 u 的范围是________。 a．－1.645到+1.645 b．－∞到+1.645 c．－∞到+2.282 d．－1.282到+1.282 X 1.96S e．－1.96到+1.96
正态分布及参考值范围
u x
0.8531
0.0655
78.0
u 78.0 73.9 3.9
0.1469
-1.51
0 1.05
Φ（-1.51）=0.0655，故P（X<68.0）=0.0655 Φ（-1.05）=0.1469，故P（X<78.0）=1-0.1469=0.8531
P（X≥78.0）=0.1468
（4）下结论。该地正常女子血清总蛋白含量 <68.0g/L者占总人数的6.55%， <78.0g/L者占总人 数的85.31%，≥78.0g/L者占总人数的14.69%。
内容
1 正态分布的特点
2 标准正态分布 正态分布的应用
3
35
30
25
人数
某地140名正常
20
成年男子红细
15 10
胞数（1012/L
5
） 频数分布图 观察人数不断
0
3.7
4.1 4.5 4.9 5.3 5.7
红细胞数（1012/L）
增加，组段不 断细分，直条 不断变窄
顶端逐渐接近一 条光滑的曲线
人数
解： （1）计算均数、标准差。
X 7982.0 73.（9 g / L） 108
S 591524.0 7982.02 /108 3.（ 9 g / L） 108 1
（2）进行u转换
。此例样本量较
大，可用 X 代替
μ，S代替σ计算
。
68.0
73.9
u 68.0 73.9 3.9
（3）查附表1 标准正态分布表 ，（Φ（u）值 ，u≤0)，计算 曲线下面积。
应用
➢估计医学参考值范围 ➢质量控制：临床检验、生物鉴定、食品卫生 监督 ➢其他许多统计方法的基础
03正态分布与医学参考值范围(医学统计学)
σ 是形状参数，决定着正态曲线的分布形状
正态曲线下的面积分布有一定的规律
图3-3
图3-4
方差相等、均数不等的正态分布图示
2 1 3
3 1 2
正态方程的积分式(分布函数)：
F(X)为正态变量X的累计分布函数，反映正态曲线 下，横轴尺度自－∞到X的面积，即下侧累积面积 。
Normal distribution
图3-5
图3-6
正态分布是一种对称分布，其对称轴为直线X=µ，即均 数位置，理论上：
µ±1σ范围内曲线下的面积占总面积的68.27% µ±1.96σ范围内曲线下的面积占总面积的95% µ±2.58σ范围内曲线下的面积占总面积的99% 实际应用中：
±1 S范围内曲线下的面积占总面积的68.27% ±1.96 S范围内曲线下的面积占总面积的95% ±2.58 S范围内曲线下的面积占总面积的99%
属异常，采用双侧界值；有些指标仅过大或者过 小为异常，采用单侧界值。
肺活量参考值范围
白细胞数参考值范围
血铅参考值范围
5. 选择适当的百分数范围 结合专业知识，根据研究目的、研究指标的性质、
数据分布特征等情况综合考虑。百分数范围的不同 将导致不同的假阳性率和假阴性率。
6. 选择计算参考值范围的方法
异常
正常
异常
异常
正常
双侧下限
双侧上限
单侧下限
正常
异常
单侧上限
例3-3 已知某地140名正常成年男子红细胞计数近似服 从正态分布， X =4.78×1012/L，S =0.38×1012/L， 估计该地正常成年男子红细胞计数95%参考值范围。
X z0.05 2S 4.78 1.960.38 4.04 , 5.52
正态曲线下的面积分布有一定的规律
图3-3
图3-4
方差相等、均数不等的正态分布图示
2 1 3
3 1 2
正态方程的积分式(分布函数)：
F(X)为正态变量X的累计分布函数，反映正态曲线 下，横轴尺度自－∞到X的面积，即下侧累积面积 。
Normal distribution
图3-5
图3-6
正态分布是一种对称分布，其对称轴为直线X=µ，即均 数位置，理论上：
µ±1σ范围内曲线下的面积占总面积的68.27% µ±1.96σ范围内曲线下的面积占总面积的95% µ±2.58σ范围内曲线下的面积占总面积的99% 实际应用中：
±1 S范围内曲线下的面积占总面积的68.27% ±1.96 S范围内曲线下的面积占总面积的95% ±2.58 S范围内曲线下的面积占总面积的99%
属异常，采用双侧界值；有些指标仅过大或者过 小为异常，采用单侧界值。
肺活量参考值范围
白细胞数参考值范围
血铅参考值范围
5. 选择适当的百分数范围 结合专业知识，根据研究目的、研究指标的性质、
数据分布特征等情况综合考虑。百分数范围的不同 将导致不同的假阳性率和假阴性率。
6. 选择计算参考值范围的方法
异常
正常
异常
异常
正常
双侧下限
双侧上限
单侧下限
正常
异常
单侧上限
例3-3 已知某地140名正常成年男子红细胞计数近似服 从正态分布， X =4.78×1012/L，S =0.38×1012/L， 估计该地正常成年男子红细胞计数95%参考值范围。
X z0.05 2S 4.78 1.960.38 4.04 , 5.52
正态分布及参考值范围.
3.7
4.1
4.5
4.9
5.3
5.7
红细胞数（1012/L）
顶端逐渐接近一 条光滑的曲线
1.2 1
概率密度
0.8 0.6 0.4 0.2 0 3.5
人数
5.7
4
4.5
5
5.5
6
红细胞数（1012/L）
红细胞数（1012/L）
正态分布曲线
中间高
正态分布曲线X 的取值是连续的
两边低
左右对称 呈钟形
两边低
临床检验生物鉴定食品卫生监督监督其他许多统计方法的基础其他许多统计方法的基础bg16bg17绝大多数一般绝大多数一般9595或或9999正常人的各正常人的各种生理生化组织或排泄物中各种成种生理生化组织或排泄物中各种成分的含量分的含量bg18考虑问题考虑问题确定目标总体确定目标总体选择选择正常人正常人选择一批病人作为制订参考值之参考选择一批病人作为制订参考值之参考统一测量方法和条件统一测量方法和条件确定观察对象例数确定观察对象例数确定单双侧位界确定单双侧位界确定参考值组数确定参考值组数选定百分位界选定百分位界bg19正态分布法正态分布法百分位数法百分位数法bg20正态分布法正态分布法应用条件应用条件
②区间μ±σ的面 积为68.27%， 区间μ±1.96σ的 面积为95%，区 间μ±2.58σ的面 积为99%。
标准正态分布
标化过程 u变换 ①平移过程： 使均数µ变为0 —— “x–μ” x~N（µ ， σ 2）
x
x- u
μ–2.58 μ–1.96σμ–σ μ μ+σ μ+1.96 μ+2.58σ
70.7 68.9 73.3 72.3 76.5 74.3 75.9 75.4 67.2 71.8 76.2 70.6 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
新版正态分布与医学参考值范围
普通正态分布为一个分布族:N(m,s2) ；标准正态分布只有一个 N(0,1) ；这么简化了应用
新版正态分布与医学参考值范围
第9页
四、曲线下面积
u
-∞
附表1（p225）就是依据此公式和图形制订
新版正态分布与医学参考值范围
第10页
曲线下面积分布规律
查附表1（p322）
例6-3（P94)
新版正态分布与医学参考值范围
第17页
2.百分位数法
双侧95%参考值范围: P2.5～P97.5 单侧95%参考值范围: < P95（上限） 或 > P5（下限）适合用于偏态分布资料 例6-4(P95)
新版正态分布与医学参考值范围
第2页
新版正态分布与医学参考值范围
第3页
一、数学形式
新版正态分布与医参考值范围
第4页
二、正态曲线（ normal curve ）
图形特点: 钟型中间高两头低左右对称最高处对应于X轴值就是均数曲线下面积为1标准差决定曲线形状
新版正态分布与医学参考值范围
第5页
g/L ,
新版正态分布与医学参考值范围
第14页
二、正态分布应用
1、预计医学参考值范围2、质量控制3.正态分布是许多统计方法理论基础
新版正态分布与医学参考值范围
第15页
第二节 医学参考值范围
临床上常见参考值是指包含绝大多数正常人人体形态、机能和代谢产物等各种生理及生化指标，过去称正常值。 步骤: 1. 从“正常人”总体中抽样: 明确研究总体 2. 统一测定方法以控制系统误差。 3. 判断是否需要分组（如性别、年纪）确定。 4. 依据专业知识决定单侧还是双侧。
新版正态分布与医学参考值范围
新版正态分布与医学参考值范围
第9页
四、曲线下面积
u
-∞
附表1（p225）就是依据此公式和图形制订
新版正态分布与医学参考值范围
第10页
曲线下面积分布规律
查附表1（p322）
例6-3（P94)
新版正态分布与医学参考值范围
第17页
2.百分位数法
双侧95%参考值范围: P2.5～P97.5 单侧95%参考值范围: < P95（上限） 或 > P5（下限）适合用于偏态分布资料 例6-4(P95)
新版正态分布与医学参考值范围
第2页
新版正态分布与医学参考值范围
第3页
一、数学形式
新版正态分布与医参考值范围
第4页
二、正态曲线（ normal curve ）
图形特点: 钟型中间高两头低左右对称最高处对应于X轴值就是均数曲线下面积为1标准差决定曲线形状
新版正态分布与医学参考值范围
第5页
g/L ,
新版正态分布与医学参考值范围
第14页
二、正态分布应用
1、预计医学参考值范围2、质量控制3.正态分布是许多统计方法理论基础
新版正态分布与医学参考值范围
第15页
第二节 医学参考值范围
临床上常见参考值是指包含绝大多数正常人人体形态、机能和代谢产物等各种生理及生化指标，过去称正常值。 步骤: 1. 从“正常人”总体中抽样: 明确研究总体 2. 统一测定方法以控制系统误差。 3. 判断是否需要分组（如性别、年纪）确定。 4. 依据专业知识决定单侧还是双侧。
新版正态分布与医学参考值范围
正态分布参考值
在金融领域的应用
资产收益率
股票、债券等金融资产的收益率通常呈现正态分布，这有助于投资 者进行资产配置和风险评估。
风险评估
基于正态分布，可以对金融风险进行量化评估，如计算VaR值（风 险价值）。
衍生品定价
衍生品（如期权、期货）的定价模型中，正态分布用于描述标的资产 的波动率。
在生物统计学中的应用
遗传学研究
总体比例的置信区间估计
总结词
总体比例的置信区间估计用于估计总体中某事件发生的 概率的可信范围。
详细描述
总体比例的置信区间可以通过样本比例和样本标准误差来 估计。常用的置信水平有95%和99%，对应的置信区间公 式分别为：π ± SE（π）（95%置信水平），π ± 2 * SE （π）（99%置信水平），其中π为总体比例，SE（π）为 样本比例的标准误差。
05
CHAPTER
正态分布的置信区间估计
总体均值的置信区间估计
总结词
总体均值的置信区间估计用于估计总体 均值的可信范围，是正态分布中常用的 统计推断方法。
VS
详细描述
在正态分布中，总体均值（μ）的置信区间 可以通过样本均值（x）和标准差（σ）来 估计。常用的置信水平有95%和99%，对 应的置信区间公式分别为：μ ± t * σ / √n （95%置信水平），μ ± 2 * σ / √n（99% 置信水平），其中n为样本量，t为t分布临 界值。
06
CHAPTER
正态分布在实际中的应用
在统计分析中的应用
描述性统计分析
正态分布用于描述数据的分布情况，如均值、中位数、众数等统 计指标。
概率计算
基于正态分布，可以计算某一数据点落在某个区间的概率，如置 信区间和预测区间。
《医学统计学》医统-第三章正态分布与医学参考值范围
估计该地正常成年男子红细胞计数95%参考值范围。
• 近似正态分布资料可按正态分布法处理，因红细胞 计数值过大或过小均为异常，故应估计双侧95%参 考值范围：
X z 0 . 0 5 2 S 4 . 7 8 1 . 9 6 0 . 3 8 4 . 0 4 , 5 . 5 2
即该地正常成年男子红细胞计数的95%参考值范围 为4.04×1012/L～5.52×1012/L。
表3-2 某年某地100名正常成年人血铅含量（μg/dl）对数值频数表
对数组段
频数
累计频数
0.6～
4
4
0.7～
2
6
0.8～
5
11
0.9～
9
20
1.0～
12பைடு நூலகம்
32
1.1～
15
47
1.2～
18
65
1.3～
14
79
1.4～
12
91
1.5～
5
96
1.6～
3
99
1.7～1.8
1
100
合计
100
—
A
36
Medical reference range
P2.5～P97.5 P5
P95
99 X 2.58S X 2.33S X 2.33S P0.5～P99.5 P1 P99
A
33
Medical reference range 例3-3 已知某地140名正常成年男子红细胞计数近似服
从正态分布，X =4.78×1012/L，S =0.38×1012/L，
，求单侧95%上限值： l g 1 ( X 1 . 6 4 S ) l g 1 ( 1 . 2 1 . 6 4 0 . 2 4 0 6 ) 3 9 . 3 1 7 3 （μg/dl）
• 近似正态分布资料可按正态分布法处理，因红细胞 计数值过大或过小均为异常，故应估计双侧95%参 考值范围：
X z 0 . 0 5 2 S 4 . 7 8 1 . 9 6 0 . 3 8 4 . 0 4 , 5 . 5 2
即该地正常成年男子红细胞计数的95%参考值范围 为4.04×1012/L～5.52×1012/L。
表3-2 某年某地100名正常成年人血铅含量（μg/dl）对数值频数表
对数组段
频数
累计频数
0.6～
4
4
0.7～
2
6
0.8～
5
11
0.9～
9
20
1.0～
12பைடு நூலகம்
32
1.1～
15
47
1.2～
18
65
1.3～
14
79
1.4～
12
91
1.5～
5
96
1.6～
3
99
1.7～1.8
1
100
合计
100
—
A
36
Medical reference range
P2.5～P97.5 P5
P95
99 X 2.58S X 2.33S X 2.33S P0.5～P99.5 P1 P99
A
33
Medical reference range 例3-3 已知某地140名正常成年男子红细胞计数近似服
从正态分布，X =4.78×1012/L，S =0.38×1012/L，
，求单侧95%上限值： l g 1 ( X 1 . 6 4 S ) l g 1 ( 1 . 2 1 . 6 4 0 . 2 4 0 6 ) 3 9 . 3 1 7 3 （μg/dl）
正态分布及参考值范围
ห้องสมุดไป่ตู้
11
BG
解： （1）计算均数、标准差。
X798 .0273 .（ 9g/L） 108
S 591.05 7294 .0 8 2/1 208 3.（ 9g/L ） 10 1 8
12
BG
（2）进行u转换
。此例样本量较
大，可用 X 代替
μ，S代替σ计算
。
68.0
73.9
u68.073.9 3.9
（3）查附表1 标准正态分布表 ，（Φ（u）值 ，u≤0)，计算 曲线下面积。
内容
1 正态分布的特点
2 标准正态分布 正态分布的应用
3
1
BG
35
30
25
人数
某地140名正常
20
成年男子红细
15 10
胞数（1012/L
5
） 频数分布图 观察人数不断
0
3.7
4.1 4.5 4.9 5.3 5.7
红细胞数（1012/L）
增加，组段不 断细分，直条 不断变窄
顶端逐渐接近一 条光滑的曲线
（2）在x=μ处，f(x)有最大值 x越远离μ，
f(x)值越小。在 处有拐点。
（3）正态分布有两个参数：位置参数——均数μ 和形态参数（又叫变异度参数）——标准差σ。 正态分布曲线只与这两个参数有关。
5
BG
正态分布的特征
位置参数——均数μ
决定正态分布曲线在横轴上 的集中位置。固定形态参数σ ，改变μ的值，曲线沿 x轴平 行移动，曲线形状不变。
3
BG
正态分布的数学函数表达式
如果随机变量X的概率密度函数满足
X
f(x) 1
-(-x)2
11
BG
解： （1）计算均数、标准差。
X798 .0273 .（ 9g/L） 108
S 591.05 7294 .0 8 2/1 208 3.（ 9g/L ） 10 1 8
12
BG
（2）进行u转换
。此例样本量较
大，可用 X 代替
μ，S代替σ计算
。
68.0
73.9
u68.073.9 3.9
（3）查附表1 标准正态分布表 ，（Φ（u）值 ，u≤0)，计算 曲线下面积。
内容
1 正态分布的特点
2 标准正态分布 正态分布的应用
3
1
BG
35
30
25
人数
某地140名正常
20
成年男子红细
15 10
胞数（1012/L
5
） 频数分布图 观察人数不断
0
3.7
4.1 4.5 4.9 5.3 5.7
红细胞数（1012/L）
增加，组段不 断细分，直条 不断变窄
顶端逐渐接近一 条光滑的曲线
（2）在x=μ处，f(x)有最大值 x越远离μ，
f(x)值越小。在 处有拐点。
（3）正态分布有两个参数：位置参数——均数μ 和形态参数（又叫变异度参数）——标准差σ。 正态分布曲线只与这两个参数有关。
5
BG
正态分布的特征
位置参数——均数μ
决定正态分布曲线在横轴上 的集中位置。固定形态参数σ ，改变μ的值，曲线沿 x轴平 行移动，曲线形状不变。
3
BG
正态分布的数学函数表达式
如果随机变量X的概率密度函数满足
X
f(x) 1
-(-x)2
正态分布与参考值(1)
…… 0.06 0.07 0.08 0.09 …… 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010 …… 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014 …… …… …… …… …… …… 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048 …… …… …… …… …… …… 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 …… …… …… …… …… …… 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 …… 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641
表2 108名正常成年女子血清总蛋白(g/L)频数分布
组段 ⑴
64.0～ 66.0～ 68.0～ 70.0～ 72.0～ 74.0～ 76.0～ 78.0～ 80.0～ 82.0～84.0 合计
频数,f ⑵
2 6 8 15 25 23 14 7 6 2 108
组中数,X ⑶
65.0 67.0 69.0 71.0 73.0 75.0 77.0 79.0 81.0 83.0 －
25 20 15 10
5 0
64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84
图* 某地108名正常成年女子血清 总蛋白（g/L）含量直方图
血清总蛋白
35 30 25 20 15 10
5 0
3.7 4.1 4.5 4.9 5.3 5.7
红细胞数/(1012/L) 图 某地150名正常成年男子红细胞数
5. 下结论。
四. 正态性检验(normality test)
正态分布的两个特征：1. 正态对称性 2. 正态峰：偏度、峰度
方法： 1. 图示法 Q-Q图，P-P图 2. 计算法
f (x)
正态分布+参考值
n x%
fl
fx为Px所在组频数
Σfl 为 小于L 各组段 的累计 频数
46
P95
11
2 23995% 212 12.88mol /
16
kg
47
48
11
正态曲线下的面积规律
对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
12
正态曲线下的面积规律
2.5%
95%
2.5%
-1.96
+1.96
13
正态曲线下的面积规律
90%
5%
5%
-1.64
+1.64
14
正态曲线下的面积规律
排除了影响所研究的指标的疾病和有关因素的 同质的人群。
32
参考值范围确定的原则
选定同质的正常人作为研究对象 控制检测误差 判断是否分组(性别,年龄组) 单、双侧问题 选择百分界值(90%,95%) 确定可疑范围
33
单侧与双侧参考值范围
根据医学专业知识确定！
双侧：白细胞计数，血清总胆固醇， 单侧：上限: 转氨酶，尿铅，发汞 ……
正态分布及其应用 ：张旭辉 顾逸霏
Normal distribution and its applications
Department of Epidemiology & Biostatistics, School of Public Health Nanjing Medical University
取样时间
31
参考值范围(reference interval)
正态分布与医学参考值范围
正态分布与医学参考值范围
何平平 北京大学医学部流行病与卫生统计学系 Tel：82801619
一、正态分布
正态分布曲线是一个以均数为中心，左右两侧对 称的钟型曲线，简称正态曲线。 （一）正态分布曲线的特征：
1.曲线高峰位于中央（均数所在处）。 2.围绕均数两侧完全对称。曲线两侧逐渐下降， 两尾端逐渐靠近横轴，但永远不与之相交。 3.正态分布有两个参数，即均数和标准差。一 般用N（，2）表示均态分布进行如下标准化转换
Z X
变换后的分布称为标准正态分布，就是总体均数为 0，标准差为1的正态分布，常用N（0，1）表示。
标准正态分布曲线下面积分布规律是： 1.在区间（-1，1）占总面积的68.27%； 2.在区间（-1.96，1.96）占总面积的95%； 3.在区间（-2.58，2.58）占总面积的99%。
（二）正态分布曲线下面积分布规律
1.在（ - ， + ）范围内，占正态分布曲线下 面积的68.27%； 2.在（ -1.96 ， +1.96 ）范围内，占正态分布 曲线下面积的95%； 3.在（ -2.58 ， +2.58 ）范围内，占正态分布 曲线下面积的99%。
2.百分位数法 对于某些生理指标，如果呈 偏态分布的，可用百分位数法制定参考值范围。 （1）如果指标值过高和过低都不正常，可定 双侧95%参考值范围P2.5 ～P97.5 ; （2）若指标值过高为不正常，可定单侧95%参 考值范围，其上限为P95； （3）若指标值过低为不正常，其下限为P5 。
三、医学参考值范围 （一）概念
医学参考值范围是指大多数正常人的解剖、 生理、生化等各种数据的波动范围。根据抽 样调查正常人的结果，可以确定一个大多数 正常人的某项指标的参考值范围。最常用的 是95%参考值范围。
何平平 北京大学医学部流行病与卫生统计学系 Tel：82801619
一、正态分布
正态分布曲线是一个以均数为中心，左右两侧对 称的钟型曲线，简称正态曲线。 （一）正态分布曲线的特征：
1.曲线高峰位于中央（均数所在处）。 2.围绕均数两侧完全对称。曲线两侧逐渐下降， 两尾端逐渐靠近横轴，但永远不与之相交。 3.正态分布有两个参数，即均数和标准差。一 般用N（，2）表示均态分布进行如下标准化转换
Z X
变换后的分布称为标准正态分布，就是总体均数为 0，标准差为1的正态分布，常用N（0，1）表示。
标准正态分布曲线下面积分布规律是： 1.在区间（-1，1）占总面积的68.27%； 2.在区间（-1.96，1.96）占总面积的95%； 3.在区间（-2.58，2.58）占总面积的99%。
（二）正态分布曲线下面积分布规律
1.在（ - ， + ）范围内，占正态分布曲线下 面积的68.27%； 2.在（ -1.96 ， +1.96 ）范围内，占正态分布 曲线下面积的95%； 3.在（ -2.58 ， +2.58 ）范围内，占正态分布 曲线下面积的99%。
2.百分位数法 对于某些生理指标，如果呈 偏态分布的，可用百分位数法制定参考值范围。 （1）如果指标值过高和过低都不正常，可定 双侧95%参考值范围P2.5 ～P97.5 ; （2）若指标值过高为不正常，可定单侧95%参 考值范围，其上限为P95； （3）若指标值过低为不正常，其下限为P5 。
三、医学参考值范围 （一）概念
医学参考值范围是指大多数正常人的解剖、 生理、生化等各种数据的波动范围。根据抽 样调查正常人的结果，可以确定一个大多数 正常人的某项指标的参考值范围。最常用的 是95%参考值范围。
第三章 正态分布与医学参考值范围
第三章 正态分布 与 医学参考值范围
第一节 正 态 分 布
一、正态分布的概念（normal distribution）
组 段 110～ 112～ 114～ 116～ 118～ 120～ 122～ 124～ 126～ 128～ 130～ 132～ 134～136 合 计 频 数 （ f） 1 3 9 9 15 18 21 14 10 4 3 2 1 110 组中值 （ X） 111 113 115 117 119 121 123 125 127 129 131 133 135 —
③μ±2.58σ范围内，曲线下面积占总面积的
99.00％。即有99.00%的变量值分布在此范围 内。
三、标准正态分布
为了应用方便，利用下面的公式进行变量 变换，使μ=０，σ=1，将坐标原点移到μ 的位置，横轴尺度以σ为单位。即设
X z
则将正态分布变换为标准正态分布。
标准正态分布 曲线下面积规律：
计算通式
X z / 2 s
如，某地调查正常成年男子144人的红细 胞数，近似正态分布，均数为5.38×1012/L， 标准差s=0.44×1012/L，其95％参考值范围：
下限： X － 1.96s=5.38-1.96× 0.44=4.52(1012/L) 上限： X +1.96s=5.38+1.96× 0.44=6.24(1012/L)
20 频数 15
10
5
0
110 112 114 116 118 120 122 124 126 128 130 132 134 136
组段
二、正态分布的特征
1、 正态曲线是 单峰分布，以均 数为中心左右对 称。
2、正态曲 线在均数处 最高
第一节 正 态 分 布
一、正态分布的概念（normal distribution）
组 段 110～ 112～ 114～ 116～ 118～ 120～ 122～ 124～ 126～ 128～ 130～ 132～ 134～136 合 计 频 数 （ f） 1 3 9 9 15 18 21 14 10 4 3 2 1 110 组中值 （ X） 111 113 115 117 119 121 123 125 127 129 131 133 135 —
③μ±2.58σ范围内，曲线下面积占总面积的
99.00％。即有99.00%的变量值分布在此范围 内。
三、标准正态分布
为了应用方便，利用下面的公式进行变量 变换，使μ=０，σ=1，将坐标原点移到μ 的位置，横轴尺度以σ为单位。即设
X z
则将正态分布变换为标准正态分布。
标准正态分布 曲线下面积规律：
计算通式
X z / 2 s
如，某地调查正常成年男子144人的红细 胞数，近似正态分布，均数为5.38×1012/L， 标准差s=0.44×1012/L，其95％参考值范围：
下限： X － 1.96s=5.38-1.96× 0.44=4.52(1012/L) 上限： X +1.96s=5.38+1.96× 0.44=6.24(1012/L)
20 频数 15
10
5
0
110 112 114 116 118 120 122 124 126 128 130 132 134 136
组段
二、正态分布的特征
1、 正态曲线是 单峰分布，以均 数为中心左右对 称。
2、正态曲 线在均数处 最高
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e 2 2
2
(e表示常数2.71828 ，-∞＜ X ＜+∞)
则称X服从正态分布,记作X～N(,2),其中， 为总体均数， 为总体标准差。
5
正态分布图示
.4
f(x)
.3
.2
.1
0
x
6
方差相等、均数不等的正态分布图示
3 1 2
7
均数相等、方差不等的正态分布图示
2
1 3
正态分布
德莫佛最早发现了二项概 率的一个近似公式，这一公式 被认为是正态分布的首次露面.
正态分布在十九世纪前叶由 高斯加以推广，所以通常称为高 斯分布.
德莫佛
1
正态分布
德国数学家Gauss发现 最早用于物理学、天文学 Gaussian distribution 1889年是高尔顿 (Francis Galton,1822-1911) 创先把该曲线称作正态曲线。
8
正态分布的特征
正态分布有两个参数(parameter)，即位置 参数(均数)和变异度参数(标准差)。
高峰在均数处； 均数两侧完全对称。 正态曲线下的面积分布有一定的规律。
9
正态曲线下的面积规律
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
21
估计频数分布
☆ 正态变量x转化为标准正态变量u，（公式
u
X
）再用u值查表，得所求区间面积
占总面积的比例。
22
某项目研究婴儿的出生体重服从正态分布， 其 均 数 为 3150g ， 标 准 差 为 350g 。 若 以 2500g作为低体重儿，试估计低体重儿的比 例。
首先计算标准离差：u 2500 3150 1.86 350
24
估计频数分布
首先计算标准离差：
u 132.00 142.67 1.78 6.00
查标准正态分布表: (-1.78)=0.0375(3.75
％) 结果：该地12岁男童身高在132cm以下者，
估计约占3.75％。
25
估计频数分布
X us
X ±1.00s X ±1.96s X ±2.58s
u0
19
总结
正态分布是描述个体变异的重要分布之一， 也是统计学理论中的重要分布之一；
正态分布是一簇分布，由两个参数决定：均 数和标准差；
正态分布曲线下的面积是有规律的，且与标 准正态分布曲线下的面积对应(以标准正态 离差为单位)。
20
正态分布的应用
➢ 估计频数分布 ➢ 质量控制 ➢ 确定临床参考值范围
10
正态曲线下的面积规律
对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
11
正态曲线下的面积规律
2.5%
95%
2.5%
-1.96
+1.96
12
正态曲线下的面积规律
90%
5%
5%
-1.64
+1.64
13
正态曲线下的面积规律
0.00 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08 0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010 0.0062 0.0059 0.0055 0.0052 0.0049 0.0228 0.0217 0.0207 0.0197 0.0188 0.0287 0.0274 0.0262 0.0250 0.0239 0.0548 0.0526 0.0505 0.0485 0.0465 0.1587 0.1539 0.1492 0.1446 0.1401 0.3085 0.3015 0.2946 0.2877 0.2810 0.5000 0.4920 0.4840 0.4761 0.4681
表 2.7 120 名 12 岁男童身高的分布比较
身高范围(cm)
实际分布
人数
百分数(％)
136.67～148.67
86
71.67
130.91～154.43
114
95.00
127.19～158.15
118
98.33
理论分布(%)
2
正态分布重要性
其一，医学研究中的某些观察指标服从或近 似服从正态分布；
其二，很多统计方法是建立在正态分布的基 础之上的；
其三，很多其他分布的极限为正态分布。
3
身高的分布
(a) (c)
(b)
(d)
4
正态分布的概率密度函数
如果随机变量X的概率密度函数
f (X)
1
( X )2
0.5%
-2.58
99%
0.5%
+2.58
14
正态曲线下的面积规律
正态曲线下面积总和为1； 正态曲线关于均数对称；对称的区域内面积相
等； 对任意正态;1.64内面积为90%； -1.96～ +1.96内面积为95%； -2.58～ +2.58内面积为99%。
查标准正态分布表: (-1.86)=0.0314
结果：估计低体重儿的比例为3.14%.
23
估计频数分布
例 已 知 某 市 120 名 岁 男 童 身 高 均 数 为 =142.67cm， 标准差为 s=6.00cm。设该资 料服从正态分布，试求① 该地12岁男童身 高在132cm以下者占该地12岁男童总数的比 例，② 分别求 ±1s、 ±1.96s和 ±X 2.58sX 范围内12岁X 男童占该组儿童总数的实际百分 数，并与理论百分数比较。
15
标准正态分布
标准正态分布(standard normal distribution)是均 数为0，标准差为1的正态分布。
记为N(0,1)。 标准正态分布是一条曲线。
概率密度函数：
( X ) 1 eu2 2 2
(-∞＜ u ＜+∞)
16
正态分布转换为标准正态分布
若 X～N(,2)，作变换：
u X
则u服从标准正态分布。 u称为标准正态离差(standard normal deviate)
17
正态分布转换为标准正态分布
实际应用中，经u变换后，就可把 求解任意一个正态分布曲线下面积的 问题，转化成标准正态分布曲线下相 应的面积问题。
18
标准正态分布曲线下面积(u)
u
-3.0 -2.5 -2.0 -1.9 -1.6 -1.0 -0.5 0
2
(e表示常数2.71828 ，-∞＜ X ＜+∞)
则称X服从正态分布,记作X～N(,2),其中， 为总体均数， 为总体标准差。
5
正态分布图示
.4
f(x)
.3
.2
.1
0
x
6
方差相等、均数不等的正态分布图示
3 1 2
7
均数相等、方差不等的正态分布图示
2
1 3
正态分布
德莫佛最早发现了二项概 率的一个近似公式，这一公式 被认为是正态分布的首次露面.
正态分布在十九世纪前叶由 高斯加以推广，所以通常称为高 斯分布.
德莫佛
1
正态分布
德国数学家Gauss发现 最早用于物理学、天文学 Gaussian distribution 1889年是高尔顿 (Francis Galton,1822-1911) 创先把该曲线称作正态曲线。
8
正态分布的特征
正态分布有两个参数(parameter)，即位置 参数(均数)和变异度参数(标准差)。
高峰在均数处； 均数两侧完全对称。 正态曲线下的面积分布有一定的规律。
9
正态曲线下的面积规律
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
21
估计频数分布
☆ 正态变量x转化为标准正态变量u，（公式
u
X
）再用u值查表，得所求区间面积
占总面积的比例。
22
某项目研究婴儿的出生体重服从正态分布， 其 均 数 为 3150g ， 标 准 差 为 350g 。 若 以 2500g作为低体重儿，试估计低体重儿的比 例。
首先计算标准离差：u 2500 3150 1.86 350
24
估计频数分布
首先计算标准离差：
u 132.00 142.67 1.78 6.00
查标准正态分布表: (-1.78)=0.0375(3.75
％) 结果：该地12岁男童身高在132cm以下者，
估计约占3.75％。
25
估计频数分布
X us
X ±1.00s X ±1.96s X ±2.58s
u0
19
总结
正态分布是描述个体变异的重要分布之一， 也是统计学理论中的重要分布之一；
正态分布是一簇分布，由两个参数决定：均 数和标准差；
正态分布曲线下的面积是有规律的，且与标 准正态分布曲线下的面积对应(以标准正态 离差为单位)。
20
正态分布的应用
➢ 估计频数分布 ➢ 质量控制 ➢ 确定临床参考值范围
10
正态曲线下的面积规律
对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
11
正态曲线下的面积规律
2.5%
95%
2.5%
-1.96
+1.96
12
正态曲线下的面积规律
90%
5%
5%
-1.64
+1.64
13
正态曲线下的面积规律
0.00 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08 0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010 0.0062 0.0059 0.0055 0.0052 0.0049 0.0228 0.0217 0.0207 0.0197 0.0188 0.0287 0.0274 0.0262 0.0250 0.0239 0.0548 0.0526 0.0505 0.0485 0.0465 0.1587 0.1539 0.1492 0.1446 0.1401 0.3085 0.3015 0.2946 0.2877 0.2810 0.5000 0.4920 0.4840 0.4761 0.4681
表 2.7 120 名 12 岁男童身高的分布比较
身高范围(cm)
实际分布
人数
百分数(％)
136.67～148.67
86
71.67
130.91～154.43
114
95.00
127.19～158.15
118
98.33
理论分布(%)
2
正态分布重要性
其一，医学研究中的某些观察指标服从或近 似服从正态分布；
其二，很多统计方法是建立在正态分布的基 础之上的；
其三，很多其他分布的极限为正态分布。
3
身高的分布
(a) (c)
(b)
(d)
4
正态分布的概率密度函数
如果随机变量X的概率密度函数
f (X)
1
( X )2
0.5%
-2.58
99%
0.5%
+2.58
14
正态曲线下的面积规律
正态曲线下面积总和为1； 正态曲线关于均数对称；对称的区域内面积相
等； 对任意正态;1.64内面积为90%； -1.96～ +1.96内面积为95%； -2.58～ +2.58内面积为99%。
查标准正态分布表: (-1.86)=0.0314
结果：估计低体重儿的比例为3.14%.
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估计频数分布
例 已 知 某 市 120 名 岁 男 童 身 高 均 数 为 =142.67cm， 标准差为 s=6.00cm。设该资 料服从正态分布，试求① 该地12岁男童身 高在132cm以下者占该地12岁男童总数的比 例，② 分别求 ±1s、 ±1.96s和 ±X 2.58sX 范围内12岁X 男童占该组儿童总数的实际百分 数，并与理论百分数比较。
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标准正态分布
标准正态分布(standard normal distribution)是均 数为0，标准差为1的正态分布。
记为N(0,1)。 标准正态分布是一条曲线。
概率密度函数：
( X ) 1 eu2 2 2
(-∞＜ u ＜+∞)
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正态分布转换为标准正态分布
若 X～N(,2)，作变换：
u X
则u服从标准正态分布。 u称为标准正态离差(standard normal deviate)
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正态分布转换为标准正态分布
实际应用中，经u变换后，就可把 求解任意一个正态分布曲线下面积的 问题，转化成标准正态分布曲线下相 应的面积问题。
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标准正态分布曲线下面积(u)
u
-3.0 -2.5 -2.0 -1.9 -1.6 -1.0 -0.5 0