(完整版)数列通项公式及其求和公式

一、数列通项公式的求法
（1）已知数列的前n 项和n S ,求通项n a ； （2）数学归纳法：先猜后证;
（3）叠加法(迭加法)：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+L ；
叠乘法(迭乘法)：
1
223322111a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅=-----ΛΛ. 【叠加法主要应用于数列{}n a 满足1()n n a a f n +=+，其中()f n 是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成1()n n a a f n +-=，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出n a ，从而求出n s 】
（4）构造法(待定系数法):形如1n n a ka b -=+、1n
n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列；
【用构造法求数列的通项或前n 项和：所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的通项或前n 项和.】 （5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决.【根据递推公式求通项公式的常见类型】 ①1+1=,()n n a a a a f n =+型，其中()f n 是可以和数列，用累加法求通项公式，即
1
思路（叠加法）1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、23(3)n n a a f n ---=-、…、
21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得111
()n n i a a f n -=-=∑，即1
11
()n n i a a f n -==+∑
例题1：已知11a =，1n n a a n -=+，求n a
解：∵1n n a a n -=+ ∴1n n a a n --=，依次类推有：122321122n n n n a a n a a n a a -----=--=--=、、…
∴将各式叠加并整理得12
n n i a a n =-=∑，1
2
1
(1)
2
n n
n i i n n a a n n ==+=+==
∑∑ 思路（转化法）1(1)n n a pa f n -=+-，递推式两边同时除以n
p 得
11(1)
n n n n n
a a f n p p p ---=+，我们令
n n n a b p =，那么问题就可以转化为类型一进行求解了.
例题： 已知12a =，1
142n n n a a ++=+，求n a
解：∵1
142
n n n a a ++=+ ∴142n
n n a a -=+，则111442n
n n n
n a a --⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
， ∵令4n n n
a b =，则112n
n n b b -⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，依此类推有1
1212n n n b b ---⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
、2
2312n n n b b ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭
、…、2
2112b b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
∴各式叠加得1212n
n
n i b b =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑，即122111*********n n n n n n n n i i i b b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭∑∑∑ ∴1441422n n
n
n n n n a b ⎡⎤
⎛⎫=⋅=⋅-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
②1+1=,()n n a a a a f n =⋅型，其中()f n 是可以求积数列，用累乘法求通项公式，即
1
(2)(1)f f a
思路（叠乘法）：
1(1)n n a f n a -=-，依次类推有：12(2)n n a f n a --=-、23(3)n n a f n a --=-、…、21
(1)a
f a =， 将各式叠乘并整理得
1
(1)(2)(3)n
a f f f a =⋅⋅⋅…(2)(1)f n f n ⋅-⋅-，即(1)(2)(3)n a f f f =⋅⋅⋅…1(2)(1)f n f n a ⋅-⋅-⋅
例题：已知11a =，11
1
n n n a a n --=+，求n a . 解：∵11
1
n n n a a n --=+ ∴
111n n a n a n --=+，依次类推有：122n n a n a n ---=、2331n n a n a n ---=-、…、3224a a =、2113
a a = ∵11a =
∴将各式叠乘并整理得
112311n a n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+-…2143⋅⋅，即123
11
n n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+- (212)
43(1)
n n ⋅⋅=+ ③1+1=,n n a a a pa q =+型（其中p q 、是常数），可以采用待定系数法、换元法求通项公式，即
1()11n n q q a p a p p +-
=---，设1n n q
b
a p
=--，则1n n b pb +=.利用②的方法求出n b 进而求出n a 当1p =时，数列{}n a 是等差数列；当0,0p q ≠=时，数列{}n a 是等比数列； 当0p ≠且1,0p q ≠≠时，可以将递推关系转化为111n n q q a p a p p +⎛⎫+
=+ ⎪--⎝⎭,则数列1n
q a p ⎧⎫
+⎨⎬-⎩⎭
是以11
q
a p +
-为首项，p 为公比的等比数列.
思路（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1
q
p μ=
-，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1111n n q q a a p p p -⎛⎫+
=+ ⎪--⎝⎭，即1111n n
q q
a a p p p -⎛⎫=++ ⎪--⎝
⎭ 例题：已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式 解：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=
∵11a =
∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列
∴113422n n n a -++=⋅=，即1
23n n a +=-
④1+1=,n n n a a a pa q =+型,其中p q 、是常数且0,1q q ≠≠，1
1
1n n n n a a p q q q q ++=⋅+,设n n n a b q =，则11n n
p b b q q
+=⋅+
思路（构造法）：1
1n n n a pa rq --=+，设11n n n n a a q q μλμ--⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()1
1n n q p q rq λμλ-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而解得p q r p q λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪-⎩
那么n n
a r q
p q ⎧⎫
+⎨
⎬-⎩⎭是以1a r q p q +-为首项，p q 为公比的等比数列 例题：已知11a =，1
12n n n a a --=-+，求n a 。

解：∵设
1
122n n n n a a μλμ--⎛⎫+=+ ⎪⎝
⎭，则()1
21122
n n λμλ-=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得12
13λμ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， 123n n a ⎧⎫
∴-⎨⎬⎩⎭
是以111236-=为首项，12为公比的等比数列，即1
1112362n n n
a -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭21
3
n n a +∴=
⑤+1n
n n a a pa q
=
+型，其中p q 、是常数且0n a ≠，可以采用等式两边取倒数.
思路（转化法）：对递推式两边取倒数得11n n n pa d a c a ++=⋅，那么111n n d p a c a c +=⋅+，令1
n n
b a =，这样，问题就可以进行求解了. 例题：已知14a =，1221
n
n n a a a +⋅=
+，求n a
解：∵对递推式左右两边取倒数得
12112n n n a a a ++=即111112n n
a a +=⋅+， ∴令
1n n b a =则1112n n b b +=+.设()11
2
n n b b μμ++=+，即2μ=- ∴数列{}2n b -是以17244-=-为首项、12为公比的等比数列，则17
22n n b +-=-，即21
272n n n b ++-=，1
2227
n n n a ++∴=-
思路（特征根法）：递推式对应的特征方程为ax b x cx d +=+即2
()0cx d a x b +--=.当特征方程有两个相等实根12x x δ==时，数列1n a δ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭即1
2n a d a c ⎧⎫
⎪⎪⎨⎬-⎪⎪
-⎩
⎭为等差数列，我们可设111
22n n a d a d a a c c
λ+=+----
（λ为待定系数，可利用1a 、2a 求得）
；当特征方程有两个不等实根1x 、2x 时，数列12n n a x a x ⎧⎫-⎨
⎬-⎩⎭
是以11
12a x a x --为首项的等比数列，我们可设1111212n n n a x a x a x a x μ-⎛⎫--=⋅ ⎪--⎝⎭（μ为待定系数，
可利用已知其值的项间接求得）；当特征方程的根为虚根时数列{}n a 通项的讨论方法与上同理，此处暂不作讨论. 例题：已知11
2
a =
， 11432n n n a a a --+=+（2n ≥），求n a
解：∵当2n ≥时，递推式对应的特征方程为432
x x x +=
+即2
230x x --=，解得11x =-、23x = ∴数列13n n a a ⎧⎫+⎨⎬
-⎩⎭
是以1112212a x a x -==---为首项的等比数列
∵设
()1113n n n a a μ-+=-⋅-，由11
2
a =得22a =则3μ-=-， 3μ∴=，即
()11133n n n a a -+=-⋅-，从而13131n n n a --=+，11
,12
31,2
31n n n n a n -⎧=⎪⎪∴=⎨-⎪≥⎪+⎩
二、数列求和的几种常见方法
数列问题中蕴涵着丰富的数学思想方法，是高考用来考查考生对数学思想方法理解程度的良好素材，是历年高考的一大热点，在高考命题中，多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现，一般数列的求和，主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题，因此，我们有必要对数列求和的各种方法进行系统探讨.
1、公式求和法
通过分析判断并证明一个数列是等差数列或等比数列后，可直接利用等差、等比数列的求和公式求和，或者利用前n 个正整数和的计算公式等直接求和.运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算.特别地，注意数列是等比数列时需要讨论1q =和
1q ≠的情况.
⑴等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)1(2)(11-+=+=
另外，还有必要熟练掌握一些常见的数列的前n 项和公式.正整数和公式有：
1
(1)
2
n
k n n k =+=
∑；21
(1)(21)
6
n
k n n n k =++=
∑；
3
21
(1)[
]2
n
k n n k
=+=∑
例1、已知数列(){}n f 的前n 项和为n S ，且.22n n S n +=若(),11f a =()n n a f a =+1()
*
∈N n ,求数
列{}n a 的前n 项和.n T
分析：根据数列的项和前n 项和的关系入手求出(),n f 再根据()n n a f a =+1（∈n *
N )求出数列{}n a 的
通项公式后，确定数列的特点，根据公式解决.
解：∵当2≥n 时，().121+=-=-n S S n f n n 当1=n 时，(),311==S f 适合上式
()12+=∴n n f ()*∈N n ，(),311==f a 121+=+n n a a ()*∈N n ，即)1(211+=++n n a a
∴数列{}1n a +是首项为4、公比为2的等比数列.
∴()12,22
111
1
1
1-=∴=⋅+=+++-n n n n n a a a ()*
∈N n ；()
.422222
1
3
2
--=-++=++n n T n n n Λ 【能力提升】公式法主要适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列的求和，一些综合性的数列求和的解答题最后往往就归结为一个等差数列或等比数列的求和问题.
变式训练1： 已知3
log 1log 23-=
x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n
x x x x 32的前n 项和.
变式训练2： 设*
12()n s n n N =+++∈…,求1
)32()(++=
n n
S n S n f 的最大值.
2、倒序相加法
如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法.我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等
差数列前n 项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”.
121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫
⎬=++++⎭…………则
()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……
例2、已知函数().211223⎪⎭⎫ ⎝⎛≠--=
x x x x F 求.200920082009220091⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛F F F Λ 分析：由所求的和式的特点，易想到探究：和为1的两个自变量函数值的和是否为常数.从而确定可否
用倒序相加法求和. 【解析】∵()()()().31122
1312231=----+--=
-+x x x x x F x F ∴设.2009
20082009
220091
⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=F F F S Λ①200820071200920092009S F F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L ②
∴
①
+
②
得
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=2009120092008200920072009220092008200912F F F F F F S Λ 602420083=⨯=,所以.3012=S
【能力提升】倒序相加法来源于课本，是等差数列前项和公司推导时所运用的方法，它是一种重要的求和方法.当求一个数列的有限项和时，若是“与首末两端等距离”的两项和都相等，即可用此法.
例3：已知2
2
()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
++
++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
解：∵由2
2
22222
111()111111x x x f x f x x x x
x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭
∴原式11111(1)(2)(3)(4)111323422
f f f f f f f ⎡⎤⎡
⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=
+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣
⎦⎣
⎦
变式训练1： 求ο
οοο
ο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2
2
22
2++⋅⋅⋅+++的值
变式训练2：如已知函数f(x)对任意x ∈R 都有21)1()(=
-+x f x f ，++=)1()0(n
f f S n )3()2(n f n f ++…)1()2(n
n f n n f -+-+)1(f + ，
（*N n ∈），求n S
变
式
训
练
3
：
已
知
2
2
1)(x x x f +=
，那么
=+++++)2008
1
()31()21()2008()2()1(f f f f f f ΛΛ_____
3、裂项相消法
裂项相消法是将数列的各项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n 项和. 一般地，我们把数列的通项分成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.适用于类似⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧
+1n n a a c （其中{}n a 是各项不为0的等差数列，c 为常数）的数列，以及部分无
理数列和含阶乘的数列等.用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：
⎪
⎭
⎫
⎝⎛+--=+-12112121)12)(12(1n n n n ；1111
()
()n n k k n n k
=-++；
n n n n -+=++11
1；
例4：{}n a 是公差为d 的等差数列，求
11
1
n
k k k a a =+∑ 解：∵
()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫
==-≠ ⎪+⎝⎭
·
∴
11111223111111111111n
n
k k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑……11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 例5、数列
{}
n a 满足
n n n a a a a a 3
2
35,35,11221-===++
()
*
∈N n ，求
.32323232
1
433
322
21+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n
n a a a a a a a a T Λ 分析：根据给出的递推式求出数列{}n a ，再根据
1
32+⎪
⎭⎫
⎝⎛n n n
a a 的特点拆项解决.
解：∵由已知条件，得()n n n n a a a a -=
-+++11232
，{}n n a a -∴+1是以3
212=-a a 为首项，32为公比
的等比数列，故,321n
n n a a ⎪⎭
⎫
⎝⎛=-+
∴()()()21
1213212222131.3333n n n n n a a a a a a a a --⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=+-+-++-=++++=-⎢⎥ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣⎦
L L ∴11
1
2211133322221131313333n
n
n n n n n n a a +++⎡⎤⎛⎫
⎛⎫
⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥==-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅-⎢⎥
⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
∴23211
12233412222
111111133333.23322221111133333n
n n n n n n T a a a a a a a a +++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥=++++=-++-=-⎢⎥⎢⎥
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎢⎥⎢⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣
⎦L L 【能力提升】用裂项相消法求和的关键是先将形式复杂的式子转化为两个式子的差的形式因此需要掌
握一些常见的裂项技巧. 变式训练1：在数列{}n a 中，1
1211++
⋅⋅⋅++++=n n
n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项的和.
变式训练:2：求和：111
112123123s n =+
+++
+++++++L L 变式训练3：求和：n
n +++++++++11
341231121Λ. 4、错位相减法
错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式.即若在（差比数列）{}n n a b ⋅中，{}n a 成等差数列，{}n b 成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n 项和.
例题：231
1234n n S x x x nx -=+++++……
①
()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……
②
①—②()2111n n
n x S x x x nx --=++++-……
当1x ≠时，()()
2
111n
n
n
x nx S x
x -=-
--，当1x =时，()
11232
n n n S n +=++++=
…… 【能力提升】错位相减法适用于数列{}n n b a ，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.若等比数列{}n b 中公比q 未知，则需要对公比q 分11≠=q q 和两种情况进行分类讨论. 例6、已知数列{}n a 是首项为,411=
a 公比为41
=q 的等比数列，设n n a b 4
1log 32=+()*∈N n ，数
列{}n c 满足.n n n b a c ⋅=求数列{}n c 的前n 项和.n S
分析：根据等比数列的性质可以知道数列{}n b 为等差数列，这样数列{}n c 就是一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成的数列，因而可考虑用错位相减法来解决.
解：∵由题意知，n
n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=41()*∈N n ，又2log 34
1-=n n a b ，故23-=n b n ()
*
∈N n .
∴()1324n
n c n ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭
()
*
∈N n
∴()()231
11111147353244444n n
n S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
L
∴()()2
3
4
1
1111111473532444444n
n n S n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L
∵两式相减,得()().4123214123414141341431
132++⎪⎭⎫
⎝⎛⨯+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n n n S Λ
n
n n S ⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯+-=∴4132332()*∈N n .
变式训练1、求231
1234n n S x x x nx -=+++++……
变式训练2、若数列{}n a 的通项n
n n a 3)12(⋅-=，求此数列的前n 项和n S .
变式训练3、 求数列
⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,2232n n
前n 项的和. 5、（分组）拆项求和法（裂项重组法）
所谓裂项重组法就是针对一些特殊的数列，既不是等差数列，也不是等比数列的数列，我们可以通过拆分、合并、分组，将所求和转化为等差、等比数列求和
例7、已知数列{}n a 的通项公式为,132-+=n a n
n 求数列{}n a 的前n 项和.
分析：该数列的通项是由一个等比数列{}n
2与一个等差数列{}13-n 组成的，所以可将其转化为一个
等比数列与一个等差数列进行分组求和.
【解析】()()()
132********-+++++=++=n a a a S n
n n ΛΛ
=()()[].13522222
1
-++++++n n
ΛΛ=()
()[]2
13221212-++--n n n =.22
1
232
21
-+++n n n 【能力提升】在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别
构成等差数列或等比数列，那么我们就可以用此方法求和. 例8、数列{}n a 的前n 项和是n
S ()*
∈N n ，若数列{}n
a 的各项按如下规则排列：
,,6
1
,54,53,52,51,43,42,41,32,31,21Λ若存在自然数k ()*∈N k ，
使10,101≥<+k k S S ，则=k a . 分析：数列的构成规律是分母为2的一项，分母为3的两项，分母为4的三项，···，故这个数列的和可以并项求解. 解：5543213,3432123,2332121,2110631=++++==+++==++==
S S S S ,215654321515=+++++=S 而,37654321=+++++这样102
21
21>=S ,而
,102
521571521575432121520=+<+=+++++=S 故75=k a ，故填.75
【能力提升】当一个数列连续的几项之间具有明显的规律性，特别是一些正负相间或者是周期性的数列等，可以考虑用并项求和的方法.
变式训练1：求和：2536+47++(+3)n n ⨯+⨯⨯……
变式训练2：求数列221
1,1+2,1+2+21+2+2++2n -，…，
…… 的前n 项和
变式训练3：求数列{(1)(21)}n n n ++的前n 项和.
一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和.高考数学试题中所涉及的数列求和问题往往具有一定的技巧性，需要考生具有很强的分析问题、解决问题的能力才能解决，但是基本的求和方法就是上面介绍的这些.希望广大考生熟练掌握，灵活适用. 三、数列的综合应用
⑴求解等差、等比数列的综合问题的基本途径是：应用等差数列和等比数列的基本量（首项、公差、或公比、通项、前n 项和）表示数列中的项，适时地应用它们的基本性质求解.此外，应该熟悉等差数列与等比数列的递推公式.
⑵数列与函数、数列与不等式的综合问题主要是：由函数的解析式得到的数列递推公式，转化为等差数列或等比数列进行求解.
⑶数列的应用问题：一般地，涉及递增率通常用到等比数列；涉及依次增加或减少要用到等差数列；
复利和分期付款问题，用等比数列解决.。