第一章 晶体学与倒易

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4.晶向指数与晶面指数
由结点组成的任一平面都代表晶体的原子平面，称为晶面。
（hkl ）:晶面在3个结晶轴上的截距系数的倒数比，当化
为最简单的整数比后，所得出的3个整数 h、k、l 称为该晶 面的米勒指数（Miller indices）。
4.晶向指数与晶面指数
晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着一组相互
a2 a3 a1 a2 a3 a1 a1 = a2 = a3 = a1 (a2 a3 ) a1 (a2 a3 ) a1 (a2 a3 ) 构成了倒易空间的基矢 a1 , a2 , a3
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6.1 倒易点阵的定义
C p O
n
B
A 从O出发，沿着晶面法线方向，到达P点使得OP 的大小为晶面间距的倒数，由此定出的点子组成 新的点阵称为倒易点阵。
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6.1 倒易点阵的定义
0
真实晶体结构和倒易点阵
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倒易点阵基矢表达式
• 假设 a1, a2, a3是一个晶体点阵的基矢 • 该点阵的格矢为： = ua va wa r 1 2 3 晶胞体积是 = a1 (a2 a3 )
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求属于两个晶带的平面
求包含[u1v1w1]与[u2v2w2]晶带轴的晶面(HKL)。 解：根据晶带定理 Hu1+Kv1+Lw1=0 Hu2+Kv2+Lw2=0 解此联立方程，得
w1 u1 u1v1 H :K :L= : : v2 w2 w2u2 u2v2
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v1w1
练习Exercise
课后题1,2,3,4,19,20
a3* a3
α* α
a2* a1*
a2
a1
a*2 =1/a2 , a*3 三斜晶系？
=1/a3方向分别和同名正格基矢相同
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6.2倒易点阵和晶体点阵的关系
1）倒易点阵基矢和晶体点阵（正点阵）基矢之间 有如下关系：
ai a j = ij
1 当i=j时
0 当i≠j时
2）正点阵晶面与对应倒易点阵格矢相互垂直。 3）倒格矢大小的倒数是所对应的平行晶面之间的距离
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6.3 倒易点阵的物理意义
倒易点阵是晶体点阵的Fourier变换， 晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆变 换。
同一物理量在正点阵中的表述和在倒易点阵中 的表述之间服从Fourier变换关系。
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6.4倒易点阵实例
2维
b 2
a* 1
0
1/2
1 b*
a
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6.4倒易点阵实例
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6.4倒易点阵实例
2）氯化铯结构
Cl-和Cs+各自组成简立方结构的子晶格。
两个简单立方对角线位移 1/2的长度套构而成。 阵胞是简单立方 每个阵胞中包含两个原子。
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(2)同种原子构成的复式格子
金刚石结构
面心原胞+4个原子 对角线的1/4处 碳四面体结构 一种C原子，二个位置
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4.晶向指数与晶面指数
在晶格中,穿过两个以上结点的任一直线,都代表晶 体中一个原子列在空间的位向,称为晶向； [uvw]:确定晶向的一组数，表示所有相互平行、方 向一致的晶向。
晶体的衍射图像则是晶体倒易点阵的映像。
真实晶体结构和倒易点阵
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6.3倒易点阵的物理意义
倒易点阵是在晶体点阵（布拉菲格子）的基础上 定义的，所以每一种晶体结构，都有2个点阵与 其相联系，一个是晶体点阵，反映了构成原子在
三维空间做周期排列的图像；另一个是倒易点阵，
反映了周期结构物理性质的基本特征。
[uvw]晶带
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6.5倒易点阵的应用
由于同一[uvw]晶带各 （HKL）晶面中法线 与晶带轴垂直，也即各 （HKL）面对应的倒 易矢量r*HKL与晶带轴 垂直，故有 Hu+Kv+Lw=0
得到晶带定理
ruvw r HKL = (ua vb wc ) (Ha Kb Lc ) = 0
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[uvw]晶带
求晶带轴指数
已知晶带中任意两晶面(H1K1L1)与(H2K2L2)，求晶带 轴指数[uvw]。 解：根据晶带定理，有 H1u+K1v+L1w=0 H2u+K2v+L2w=0 解此联立方程，得
u:v:w =
K1 K2
L1 L2
:
L1 L2
H1 H2
:
H1 H2
K1 K2
= ( K1 L2 K 2 L1 ) : ( L1 H 2 L2 H 1 ) : ( H 1 K 2 H 2 K1 )
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例：面心立方(Face Centered Cubic)
含有8×1/8+6×1/2=4个原子
固体物理学原胞：
P胞中只含有一个原子， 体积是阵胞（晶体学原胞） 的四分之一。
立方晶系中的复式格子
(1)异种原子 1）氯化钠结构 两个面心立方子晶格,各自的原胞具有相同 的基矢,只不过有互相的位移。
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9
七大晶系的晶格参数
立方 六方
a = b = c, a = b = g = 90 a = b c, a = b = 90, g = 120
Leabharlann Baidu
四方
三方 斜方 单斜 三斜
a = b c, a = b = g = 90
a = b = c, a = b = g 90 a b c, a = b = g = 90 a b c, b = g = 90 a a b c, a b g 90
（hkl）晶面间距为dhkl，干涉指数为（nh nk nl） 的晶面间距为dhkl／n（n为正整数）相应的晶面记 为（HKL），晶面间距dhkl／n则记为dHKL。
例：晶面间距d220= d110／2， d330= d110/3的晶面，其干涉指数分别 为（220）和（330）。
干涉指数表示的平面并不一定是晶体中的真实原子面，干 涉指数表示的平面上不一定有原子分布。
5
3.晶体结构与空间点阵
=
晶体结构
+
点阵
=
+
结构基元
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（2）空间点阵
7
2.阵胞与点阵类型
原胞：最小重复单元。（P胞或物理学原胞）
边长等于该方向上的周期，结点为顶点的平行六 面体
阵胞（晶体学原胞）：
为反映晶体的对称性结点可出现在面心体心上， 体积不一定最小
晶系与布拉菲点阵（十四种型）
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7个晶系的单胞
平行的晶面。
另外，在晶体内凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相同， 只是空间位向不同的晶面可以归并为同一晶面族，以{h k l}表示，它代表由对称性相联系的若干组等效晶面的总和。
5.干涉指数
（030）
（010）与（020）面（干涉指数引例）
干涉指数是对晶面空间方位与晶面间距的标识
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干涉指数与晶面指数的关系：
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6.4倒易点阵实例
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6.4倒易点阵实例
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6.5倒易点阵的应用
晶带定理
晶体中，与某一晶向[uvw]平 行的所有（HKL）晶面属于 同一晶带，称为[uvw]晶带。
晶向[uvw]中过（点阵坐标） 原点的直线称为晶带轴，其 矢量坐标表达式为
ruvw = ua vb wc
第一章 晶体学基础
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目录
空间点阵 阵胞与点阵 .晶体结构与空间点阵 晶向指数与晶面指数 干涉指数 倒易点阵和晶带
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思考题
金属一般是晶态还是非晶态？你见过非晶态
的金属吗？能否举出非晶态金属的例子？
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1. 空间点阵(SPACE LATTICE)
(1) 点子：代表着 结构中相同的位置， 叫做结点。 特征：每个点在空 间分布上必须具有完 全相同的周围环境 (surrounding) B A
对应干涉指数为(HKL) 的倒格矢为:
定义一组基矢,和晶胞基矢的关系为:
rHKL = Ha1 Ka2 La3
倒易点阵参数的正点阵参数表示
由正点阵参数表达为
a*1=(a2a3sina)/V a*2=(a3a1sinb)/V a*3=(a1a2sing)/V
例:正交晶系 a*1=(a2a3sina)/V =1/a1
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6.倒易点阵
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定义 倒易点阵和晶体点阵的关系 倒易点阵的物理意义 倒易点阵实例 倒易点阵应用
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2
3 4 5
倒易点阵概述
为了便于处理晶体结构同其 X射线衍射效应的关 系，最初由P.P.厄瓦耳引进的概念。
倒易点阵是由被称为倒易点的点所构成的一种点
阵，它也是描述晶体结构的一种几何方法，和空 间点阵具有倒易关系。 倒易点阵中的一倒易点对应着空间点阵中一族晶 面间距相等的点格平面。
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(2)倒易点阵和晶体点阵的关系
4）正点阵和倒易点阵是互易的 5）同一晶格的正格子和倒格子有相同的点群对称性
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6.3倒易点阵的物理意义
正格子的量纲是长度l, 称作坐标空间，倒格子的量 钢是长度的倒数l-1，称作波矢空间。
例如：正点阵取cm,倒易点阵是cm-1
晶体显微图像是真实晶体结构在坐标空间的映像。