IIR数字滤波器的原理及设计说明

a0
i 1 N
(6.3)
1 bi z i
(1 di z 1 )
i 1
i 1
其中ci 为零点而di为极点。H(z)的设计就是要确定系数、
或者零极点、，以使滤波器满足给定的性能指标。一般有
三种方法。
1. 零极点位置累试法
IIR系统函数在单位圆内的极点处出现峰值、在零点
处出现谷值, 因此可以根据此特点来设置H(z)的零极点以
6.2.1.2 由得到Ha(s), B型滤波器的极点
由于Ha(s)是
s的实系数有理函数，故有：H
* a
(s)
Ha
(s*
)，
令s=jΩ,
则有：H
* a
(
j)
Ha ( j) ，
而
|
Ha
(
j)|2
Ha
(
j)H
* a
( j)
Ha
( j)Ha
(
j)
(6.5)
由(6.4)式和(6.5)式有：Ha (j)Ha (j)
=0附近以及 很大时幅频特性都接近理想情况，而且在 这两处曲线趋于平坦，因此B型特性又叫做最平坦特性。
2. 3db带宽
由(6.4)式可知，当Ω=Ωc 时，| Ha ( j)|2 =
1 2
，而
10 log10
|
Ha(
jc )
|2 10 log10
1 2
3db
因此截止频率又叫做3db带宽或者半功率点。
这种方法能够精确地设计许多复杂的滤波器，但是往往计 算很复杂，需要进行大量的迭代运算，故必须借助于计算 机，因而优化设计又叫做IIR滤波器的计算机辅助设计 (CAD)。
第一种方法的算法简单、设计粗糙，在这里不具体讨论了； 第三种方法所涉及的内容很多，并且需要最优化理论作为 基础，因此在本章中只能作简要介绍；本章将着重讨论用 得最多的第二种方法。
6.1.3 借助于模拟滤波器的理论和方法的设计原理 利用模拟滤波器来设计数字滤波器，要先根据滤波器的性
能指标设计出相应的模拟滤波器的系统函数Ha(s)，然后 由Ha(s)经变换而得到所需要的数字滤波器的系统函数 H(z)。常用的变换方法有冲激响应不变法和双线性变换法。
6.2 模拟低通滤波特性的逼近 模拟滤波器的设计包括逼近和综合两大部分，其中逼近
图6.1中用虚线画出的矩形表示一个理想的模拟低通滤波 器的指标，是以平方幅度特性|Ha(jΩ)|2来给出的。
Ωc 是截止频率，当0≤Ω<Ωc时，|Ha(jΩ)|2 =1，是通带； 当Ω>Ωc时，|Ha(jΩ)|2 =0，是阻带。图6.1中的实的曲线 表示一个实际的模拟低通滤波器的平方幅度特性，我们的 设计工作就是要用近似特性来尽可能地逼近理想特性。 通常采用的典型逼近有Butterworth逼近、 Chebyshev逼 近和Cauer逼近（也叫椭圆逼近〕。
部分是与数字滤波器的设计有关的。本节要讨论的是，在 已知模拟低通滤波器技术指标的情况下，如何设计其系统 函数Ha(s)，使其逼近所要求的技术指标。
模拟系统的频率响应Ha(jΩ)是冲激响应ha(t)的傅里叶变 换，Ha(jΩ)的模表征系统的幅频特性，下面要讨论如何 根据幅频特性指标来设计系统函数。
6.2.1 Butterworth低通滤波特性的逼近
对于Butterworth滤波器有：
|Ha (j)|2
1
[1
(
c
)
2
N
]
（6.4）
满足此平方幅度特性的滤波器又叫做B型滤波器。这里N
为正整数，为B 型滤波器的阶次，为截止频率。
6.2.1.1 B型滤波特性 1. 最平坦函数 B型滤波器的幅频特性是随增大而单调下降的。在
简单而严格的设计公式，而且设计参数已图表化，设计起
来方便准确。
而数字滤波器就其滤波功能而言与模拟滤波器是相同的, 因此，完全可以借助于模拟滤波器的理论和设计方法来设 计数字滤波器。在IIR数字滤波器的设计中，较多地采用 了这种方法。
3. 用优化技术设计
系统函数H(z)的系数、或者零极点、等参数，可以采
1 [1
(
c
)
2
N
]
1
[1
(
j jc
)
பைடு நூலகம்
2
N
]
用s代替上式中的j:
Ha (s)H a (s)
1
[1
(
s jc
)
2
N
]
(6.6)
图 6.2 阶次N对B型特性的影响
(6.6)式的极点为：sp jc (1)1/(2N) jc p p=0,1,…,2N-1
图6.1 Butterworth低通滤波器的平方幅度特性
3. N的影响
在通带内，0<(Ω/Ωc)<1，故N越大， | Ha ( j)|2 随增大
而下降越慢；
在阻带内，(Ω/Ωc)>1，故N越大，| Ha ( j)|2 随增大而下
降越快。
因此，N越大，B型滤波器的幅频特性越接近理想的矩形 形状；而不同的N所对应的特性曲线都经过Ωc 处的半功 率点。离Ωc越近，幅频特性与理想特性相差越大。
达到简单的性能要求。所谓累试，就是当特性尚未达到要
求时，通过多次改变零极点的位置来达到要求。当然这种
方法只适用于简单的、对性能要求不高的滤波器的设计。
2. 借助于模拟滤波器的理论和设计方法来设计数字滤波器
模拟滤波器的逼近和综合理论已经发展得相当成熟，
产生了许多效率很高的设计方法，很多常用滤波器不仅有
第6章 IIR数字滤波器的原理及设计
6.1 概述
6.1.1 IIR 数字滤波器的差分方程和系统函数
我们已经知道IIR数字滤波器是一类递归型的线性时不变
因果系统，其差分方程可以写为：
M
N
y(n) ai x(n i) bi y(n i)
i0
i 1
（6.1）
M
N
进行z变换，可得： Y (z) ai z i X (z) bi z iY (z)
i0
i 1
于是得到IIR数字滤波器的系统函数：
M
H (z) Y (z)
ai z i
i0
X (z)
N
1 bi z i
i 1
(6.2)
6.1.2 IIR 数字滤波器的设计方法
对(6.2)式的有理函数的分子、分母多项式进行因式分解，
可以得到：
M
M
ai z i
(1 ci z 1 )
H (z) i0 N
用最优化设计方法来确定。最优化设计法的第一步是要选
择一种误差判别准则，用来计算误差和误差梯度等。
第二步是最优化过程，这个过程的开始是赋予所设计的参 数一组初值，以后就是一次次地改变这组参数，并一次次 计算H(z)的特性与所要求的滤波器的特性之间的误差，当 此误差达到最小值时，所得到的这组参数即为最优参数， 设计过程也就到此完成。