05a数理逻辑总复习
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定理2： 设P1,P2,…,Pn 是所有出现在命题公式A和 B中的原子变元，如果AB，则A*B*。 推论： AT 当仅当 A*F
19
利用对偶式求命题的非
步骤如下: (1) 消去其他逻辑运算符，只留下┑、 ∧、∨（↑、↓） (2) 用括号表示优先级 (3) 把 A 变为 A* (∧∨互换、F T互换、↓↑互换) (4) 所有变元Pi用┓Pi代入，得到┓A
2n
种真值情况。
特殊的命题公式：T（F） 不论命题变元作何种指派，其真值永为真（假） P14表1-4.5和表1-4.6的结论今后可作定理使用。
7
命题的定律
用真值表证明以下定律： 对合律 结合律 交换律 分配律 吸收律 摩根律 同一律 零律 否定律
8
置换规则
定义子公式： 如果X是合式公式A的一部分，且X本 身也是一个合式公式，则称X为公式A的子 公式。
对于给定的命题公式，一个仅由最小 (大)项的析取(合取)所组成的等价公式，称 为该命题公式的主析(合取)取范式。
定理：
在真值表中，一个公式的真值为T(F) 的指派所对应的最小(大)项的析取(合取)， 即为该公式的主析取(合取)范式。
22
求主合取(主析取)范式
求命题公式的主合取、主析取范式
方法一：
等价式转换，添加变元(P∧┓P)、(P∨┓P)
30
谓词公式的翻译
数学表达： 无穷性（无穷大、无穷小）：
任一个数，存在更大(小)的 唯一性：若存在两个，则必相等 存在量词和全称量词在翻译时的区别：
例：M(x)表示x是人，H(x)表示x要呼吸 有些人要呼吸：(x)(M(x)∧H(x)) 所有人要呼吸：(x)(M(x)H(x))
31
变元的辖域(作用域)
25
谓词填式与命题
谓词与命题的关系：
单独一个谓词不是完整命题，完整的客 体和谓词字母两部分才成为一个命题。
一元谓词表达了客体的性质； 多元谓词表达了客体之间的关系。
26
命题函数的定义
简单命题函数： 由一个谓词，一些客体变元组成 的表达式称为简单命题函数。 例如 A(x)、B(x,y)
复合命题函数： 由一个或多个命题函数以及逻辑 联结词组合而成的表达式称为复合命题 函数。 例如 ┑A(x)、A(x)┑B(x,y)
第五周 第二讲
数理逻辑
单元总复习
1
原子命题、复合命题
命题的定义：客观上能够确定真假的陈述句。
命题的分类： 原子命题： 不能分解为更简单的陈述句。 复合命题： 由联结词、标点符号和原 子命题复合构成的命题。
2
命题变元、命题常量
命题常量： 用来表示确定命题的标识符。 例如：P表示“今天下雨。” 命题变元： 表示任意命题位置标志的命题标识符。 例如：P∨┑P， P∧Q
定理：
任意一个谓词公式，都有一个与之等 价的前束范式。
40
前束合取(析取)范式
定理： 每一个谓词公式都可转化为与其 等价的前束合取(析取)范式。
转化的步骤： 1）取消多余的量词 2）换名 3）消去条件、双条件联结词 4）将┑ 深入 5）将量词移至左边
41
补充例题
翻译：
如果你走路时看书，那么你会成为近视眼。 解：令P：你走路；Q：你看书； R：你会成为近视眼。 于是，上述语句可表示为（PQ）R。
求主合取范式： 选真值为F的项（只要其中一项为F，则整个式子为F） 最大项：M000~M111的若干项的积(合取)，写成对应 的i,...,j 最大项的M01对应P ∨┓Q，最小项m01对应┓P∧Q
24
定义谓词
用于刻划客体的性质或关系的叫谓词。
表示法： 用大写字母表示谓词， 用小写字母表示客体名称。 例如： A表示“是大学生”； B表示“小于” a表示“张山”；A(a)表示张山是大学生 B(b,c)表示“b小于c”；B(c,b)表示“c小于b”
43
补充例题
求G=(PQ)(PR)(QR)主析取范式。 (PQR) (PQR) (PQR) (PQR)
置换规则：
设X是合式公式A的子公式，若X Y， 如果将A中的X用Y来置换，所得到公式B与 公式A等价，即A B
9
证明命题公式等价
方法一： 利用P.15定律进行转换
（注意用等价号“”，不能用等号“=”） 方法二： 构造真值表 这是万无一失的方法 但不适合于多于3个变元的命题公式 方法三：要证明AB，往证AB是重言式 方法四：要证明AB，往证AB且BA 方法五：利用对偶原理：若AB，则A*B* 方法六：统一化为范式
10
定义重言式、矛盾式
给定一命题公式，若无论对分量作怎 样的指派，其对应的真值永远为T，则称该 命题公式为重言式或永真式。 给定一命题公式，若无论对分量作怎 样的指派，其对应的真值永远为F，则称该 命题公式为矛盾式或永假式。
11
重言式、矛盾式相关的定理
一个重言式，对同一分量都用相同的 任意合式公式置换，其结果仍为一重言式。 （理解：重言式的真值与分量的指派无关, 而是由变元和逻辑运算符之间的关系决定）
但 (x)(A(X)∧B(X)) (x) A(X)∧(x) B(X)
(x) A(X)∨(x) B(X) (x) (A(X)∨B(X))
38
双量词的顺序
多个量词的使用方法与双量词类似
全称量词和存在量词的顺序不能随意改变！
39
谓词公式的前束范式
一个谓词公式，如果量词都在整个式子 的前头，其作用域延伸到整个谓词公式的末 尾，这样的谓词公式叫前束范式。
方法二：
按真值表求最大项、最小项 注： 有n个变元的命题公式，主合取范式有m项， 则主析取范式有2n - m项
23
范式的编码表示
在真值表中，用 0 表示 F ，用 1 表示 T
求主析取范式： 选真值为T的项（只要其中一项为T，则整个式子为T） 最小项：m000~m111的若干项的和 (析取)，写成对应 的i,...,j
谓词公式A在个体域E上的至少有一组赋值为 真，则称谓词公式A在E上是可满足的
36
量词与“┓”的关系
┓ ┓ ┓ ┓
在有限域上的证明：德.摩根律
37
量词与∧、∨的关系
(x)(A(X)∧B(X)) (x) A(X)∧(x) B(X)
(x)(A(X)∨B(X)) (x) A(X)∨(x) B(X)
量词后面紧跟的变元在谓词公式中起作 用的范围，叫该变元的辖域（或叫作用域） 被量词修饰的变元称为约束变元 约束变元在作用域中的每次出现叫约束出现
没被量词修饰的变元称为自由变元 自由变元在谓词公式中的出现叫自由出现
32
约束变元的换名
(x)P(x)与(y)P(y)意义相同，故可对 约束变元进行换名；
PQ的 逆换式： QP 反换式： ┑P ┑Q 逆反式： ┑Q ┑P ( PQ) (┑Q ┑P) (┑P ┑Q) (QP)
14
蕴含式的定理、性质
蕴含式定理
证明方法： 1、假设前提为真，往证结论为真；
2、假设结论为假，往证前提为假，即反证法
蕴含式性质
1、重言式蕴含重言式 2、蕴含关系可传递 3、两个蕴含式结论的合并 4、两个蕴含式前提的合并
42
补充例题
求G=(RP)(Q(PR))主析取范式。
解：G =(RP)(Q(PR)) =(RP)(QP)(QR) =(PR)(QP)(QR) =((PR)(QQ))((QP)(RR))( (QR)(PP)) =(PQR)(PQR)(PQR)(P QR)
4
源自文库
定义合式公式
合式公式 (wff : Well-Formed Formula)的定义： 1、单个命题变元本身是一个合式公式； 2、如果A是合适公式，则 ┑A是合式公式； 3、如果A和B是合适公式，则(A∧B)、(A∨B)、 (AB)、(AB)都是合式公式。 4、当仅当能够有限次地应用1、2、3所得到的 包含命题变元、联结词和括号的符号串是合式 公式。
注意： 换名的范围是该约束变元的辖域； 新名不要与谓词公式中已有的变元重名。 自由变元的改名叫代入。 约束变元的换名 自由变元的代入
33
有限域中消去量词
若x的个体域是有限集{a1,a2,…,an}，则有：
(x)A(x) A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an) (x)A(x) A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an) 注意：
两个命题公式A、B，A B 当仅当A B是重言式。
12
重言式的证明
如何证明给定的一个命题公式是重言式？
方法一： 往证与 T 等价 方法一：列真值表 方法二：利用置换规则进行等价变换 方法二： 由已知的重言式置换而来： 方法三：其对偶式是矛盾式： A=T A*=T*=F
13
定义蕴含式
当仅当PQ是一个重言式时，我们称 “ P 蕴含 Q ”，并记作 PQ
这是一个递归定义，1、为基础，2、3为归纳， 4、为界限（停机条件）。 定义谓词公式
5
定义真值表
在命题公式中，对于分量指派 真值的各种可能组合，就确定了这个 命题公式的各种真值情况，把它汇列 成表，就是命题公式的真值表。
6
真值表的讨论
变元取值的顺序：按二进制递增或递减 n个命题变元组成的命题公式共有
P Q ┑(PQ) P↑Q ┑(P∧Q) P↓Q ┑(P∨Q)
17
定义对偶式
在给定的命题公式A中，将联结词 ∧换成∨，∨换成∧，特殊变元 F 和 T 互换，所得公式A* 称为A的对偶式。
同样A也是A*的对偶式。
18
关于对偶式的定理
定理1： 设A和A*是对偶式，P1,P2,…,Pn 是出现 在A和A*中的原子变元，则 A(P1,P2,…,Pn) A*(P1, P2,…, Pn) A (P1, P2,…, Pn) A* (P1,P2,…,Pn)
命题变元可以表示任何命题；
当用一个特定命题取代命题变元P时，称为对P指派。
3
命题联结词
联结词： 用于把原子命题联结成复合命题，是复 合命题的重要组成部分。 例如：或、与、但是、如果、…… 符号化的联结词（命题的五个基本联结词） ┑：否定 ∧：合取 在表达式中的 ∨：析取 优先级顺序 ：条件 ：双条件
29
定义谓词公式
谓词合式公式 的定义： 1、原子谓词公式是合式公式； 2、如果A是合式公式，则 ┑A是合式公式； 3、如果A和B是合式公式，则(A∧B)、 (A∨B)、(AB)、(AB)都是合式公式； 4、如果A是合式公式，x是A中出现的任何 变元，则(x)A和(x)A都是合式公式； 5、当仅当能够有限次地应用1、2、3、4所 得到的公式是谓词合式公式，简称谓词公式。 定义合式公式
20
定义范式
合取范式：
形式为A1∧A2∧……∧An的命题公式， 其中Ai为命题变元或其否定所组成的析取式。 例：(┑P∨Q)∧R∧(┑Q∨┑R)
析取范式：
形式为A1∨A2∨……∨An的命题公式， 其中Ai为命题变元或其否定所组成的合取式。 例：┑A∨┑B∨(A∧B)
21
定义主合取(析取)范式
主析取(合取)范式：
27
命题函数与谓词的关系
n元谓词是n个客体变量的命题函数； 命题是0元谓词； 命题函数不是命题； 当客体变元取特定值时，命题函数才 构成命题；
谓词的解释、客体变元的取值范围影 响了命题的真值。
28
量词的引入
定义个体域： 命题函数中命题变元的取值范围。 个体域可以是有限，也可以是无限。
量词：
全称量词 x 对所有的 x 存在量词 x 存在一些 x
量词的不同出现顺序有不同的意义 (x)(y)P(x,y)不同于(y)(x)P(x,y)
34
定义谓词公式的等价
两个谓词公式A和B，若它们有 共同的个体域E，且对A和B的任意一 组变元进行赋值，所得的命题真值相 同，则称谓词公式A和B在E上是等价 的，记作AB
35
三类谓词公式
谓词公式A在个体域E上的所有赋值都为真， 则称谓词公式A在E上是有效的（永真的） 谓词公式A在个体域E上的所有赋值都为假， 则称谓词公式A在E上是不可满足的（永假的）
15
蕴含式的证明
证明蕴含式：AB 方法一：往证AB是重言式 方法二：往证 ┓B ┓A 方法三：设A为T，往证B为T 方法四：设B为F，往证A为F 方法五：蕴含式定理推导 方法六：蕴含式性质（4个） 方法七：列真值表 注：可以多种方法结合
16
其他联结词
不可兼析取 ↑与非 ↓或非
只需记住以下公式了：
19
利用对偶式求命题的非
步骤如下: (1) 消去其他逻辑运算符，只留下┑、 ∧、∨（↑、↓） (2) 用括号表示优先级 (3) 把 A 变为 A* (∧∨互换、F T互换、↓↑互换) (4) 所有变元Pi用┓Pi代入，得到┓A
2n
种真值情况。
特殊的命题公式：T（F） 不论命题变元作何种指派，其真值永为真（假） P14表1-4.5和表1-4.6的结论今后可作定理使用。
7
命题的定律
用真值表证明以下定律： 对合律 结合律 交换律 分配律 吸收律 摩根律 同一律 零律 否定律
8
置换规则
定义子公式： 如果X是合式公式A的一部分，且X本 身也是一个合式公式，则称X为公式A的子 公式。
对于给定的命题公式，一个仅由最小 (大)项的析取(合取)所组成的等价公式，称 为该命题公式的主析(合取)取范式。
定理：
在真值表中，一个公式的真值为T(F) 的指派所对应的最小(大)项的析取(合取)， 即为该公式的主析取(合取)范式。
22
求主合取(主析取)范式
求命题公式的主合取、主析取范式
方法一：
等价式转换，添加变元(P∧┓P)、(P∨┓P)
30
谓词公式的翻译
数学表达： 无穷性（无穷大、无穷小）：
任一个数，存在更大(小)的 唯一性：若存在两个，则必相等 存在量词和全称量词在翻译时的区别：
例：M(x)表示x是人，H(x)表示x要呼吸 有些人要呼吸：(x)(M(x)∧H(x)) 所有人要呼吸：(x)(M(x)H(x))
31
变元的辖域(作用域)
25
谓词填式与命题
谓词与命题的关系：
单独一个谓词不是完整命题，完整的客 体和谓词字母两部分才成为一个命题。
一元谓词表达了客体的性质； 多元谓词表达了客体之间的关系。
26
命题函数的定义
简单命题函数： 由一个谓词，一些客体变元组成 的表达式称为简单命题函数。 例如 A(x)、B(x,y)
复合命题函数： 由一个或多个命题函数以及逻辑 联结词组合而成的表达式称为复合命题 函数。 例如 ┑A(x)、A(x)┑B(x,y)
第五周 第二讲
数理逻辑
单元总复习
1
原子命题、复合命题
命题的定义：客观上能够确定真假的陈述句。
命题的分类： 原子命题： 不能分解为更简单的陈述句。 复合命题： 由联结词、标点符号和原 子命题复合构成的命题。
2
命题变元、命题常量
命题常量： 用来表示确定命题的标识符。 例如：P表示“今天下雨。” 命题变元： 表示任意命题位置标志的命题标识符。 例如：P∨┑P， P∧Q
定理：
任意一个谓词公式，都有一个与之等 价的前束范式。
40
前束合取(析取)范式
定理： 每一个谓词公式都可转化为与其 等价的前束合取(析取)范式。
转化的步骤： 1）取消多余的量词 2）换名 3）消去条件、双条件联结词 4）将┑ 深入 5）将量词移至左边
41
补充例题
翻译：
如果你走路时看书，那么你会成为近视眼。 解：令P：你走路；Q：你看书； R：你会成为近视眼。 于是，上述语句可表示为（PQ）R。
求主合取范式： 选真值为F的项（只要其中一项为F，则整个式子为F） 最大项：M000~M111的若干项的积(合取)，写成对应 的i,...,j 最大项的M01对应P ∨┓Q，最小项m01对应┓P∧Q
24
定义谓词
用于刻划客体的性质或关系的叫谓词。
表示法： 用大写字母表示谓词， 用小写字母表示客体名称。 例如： A表示“是大学生”； B表示“小于” a表示“张山”；A(a)表示张山是大学生 B(b,c)表示“b小于c”；B(c,b)表示“c小于b”
43
补充例题
求G=(PQ)(PR)(QR)主析取范式。 (PQR) (PQR) (PQR) (PQR)
置换规则：
设X是合式公式A的子公式，若X Y， 如果将A中的X用Y来置换，所得到公式B与 公式A等价，即A B
9
证明命题公式等价
方法一： 利用P.15定律进行转换
（注意用等价号“”，不能用等号“=”） 方法二： 构造真值表 这是万无一失的方法 但不适合于多于3个变元的命题公式 方法三：要证明AB，往证AB是重言式 方法四：要证明AB，往证AB且BA 方法五：利用对偶原理：若AB，则A*B* 方法六：统一化为范式
10
定义重言式、矛盾式
给定一命题公式，若无论对分量作怎 样的指派，其对应的真值永远为T，则称该 命题公式为重言式或永真式。 给定一命题公式，若无论对分量作怎 样的指派，其对应的真值永远为F，则称该 命题公式为矛盾式或永假式。
11
重言式、矛盾式相关的定理
一个重言式，对同一分量都用相同的 任意合式公式置换，其结果仍为一重言式。 （理解：重言式的真值与分量的指派无关, 而是由变元和逻辑运算符之间的关系决定）
但 (x)(A(X)∧B(X)) (x) A(X)∧(x) B(X)
(x) A(X)∨(x) B(X) (x) (A(X)∨B(X))
38
双量词的顺序
多个量词的使用方法与双量词类似
全称量词和存在量词的顺序不能随意改变！
39
谓词公式的前束范式
一个谓词公式，如果量词都在整个式子 的前头，其作用域延伸到整个谓词公式的末 尾，这样的谓词公式叫前束范式。
方法二：
按真值表求最大项、最小项 注： 有n个变元的命题公式，主合取范式有m项， 则主析取范式有2n - m项
23
范式的编码表示
在真值表中，用 0 表示 F ，用 1 表示 T
求主析取范式： 选真值为T的项（只要其中一项为T，则整个式子为T） 最小项：m000~m111的若干项的和 (析取)，写成对应 的i,...,j
谓词公式A在个体域E上的至少有一组赋值为 真，则称谓词公式A在E上是可满足的
36
量词与“┓”的关系
┓ ┓ ┓ ┓
在有限域上的证明：德.摩根律
37
量词与∧、∨的关系
(x)(A(X)∧B(X)) (x) A(X)∧(x) B(X)
(x)(A(X)∨B(X)) (x) A(X)∨(x) B(X)
量词后面紧跟的变元在谓词公式中起作 用的范围，叫该变元的辖域（或叫作用域） 被量词修饰的变元称为约束变元 约束变元在作用域中的每次出现叫约束出现
没被量词修饰的变元称为自由变元 自由变元在谓词公式中的出现叫自由出现
32
约束变元的换名
(x)P(x)与(y)P(y)意义相同，故可对 约束变元进行换名；
PQ的 逆换式： QP 反换式： ┑P ┑Q 逆反式： ┑Q ┑P ( PQ) (┑Q ┑P) (┑P ┑Q) (QP)
14
蕴含式的定理、性质
蕴含式定理
证明方法： 1、假设前提为真，往证结论为真；
2、假设结论为假，往证前提为假，即反证法
蕴含式性质
1、重言式蕴含重言式 2、蕴含关系可传递 3、两个蕴含式结论的合并 4、两个蕴含式前提的合并
42
补充例题
求G=(RP)(Q(PR))主析取范式。
解：G =(RP)(Q(PR)) =(RP)(QP)(QR) =(PR)(QP)(QR) =((PR)(QQ))((QP)(RR))( (QR)(PP)) =(PQR)(PQR)(PQR)(P QR)
4
源自文库
定义合式公式
合式公式 (wff : Well-Formed Formula)的定义： 1、单个命题变元本身是一个合式公式； 2、如果A是合适公式，则 ┑A是合式公式； 3、如果A和B是合适公式，则(A∧B)、(A∨B)、 (AB)、(AB)都是合式公式。 4、当仅当能够有限次地应用1、2、3所得到的 包含命题变元、联结词和括号的符号串是合式 公式。
注意： 换名的范围是该约束变元的辖域； 新名不要与谓词公式中已有的变元重名。 自由变元的改名叫代入。 约束变元的换名 自由变元的代入
33
有限域中消去量词
若x的个体域是有限集{a1,a2,…,an}，则有：
(x)A(x) A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an) (x)A(x) A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an) 注意：
两个命题公式A、B，A B 当仅当A B是重言式。
12
重言式的证明
如何证明给定的一个命题公式是重言式？
方法一： 往证与 T 等价 方法一：列真值表 方法二：利用置换规则进行等价变换 方法二： 由已知的重言式置换而来： 方法三：其对偶式是矛盾式： A=T A*=T*=F
13
定义蕴含式
当仅当PQ是一个重言式时，我们称 “ P 蕴含 Q ”，并记作 PQ
这是一个递归定义，1、为基础，2、3为归纳， 4、为界限（停机条件）。 定义谓词公式
5
定义真值表
在命题公式中，对于分量指派 真值的各种可能组合，就确定了这个 命题公式的各种真值情况，把它汇列 成表，就是命题公式的真值表。
6
真值表的讨论
变元取值的顺序：按二进制递增或递减 n个命题变元组成的命题公式共有
P Q ┑(PQ) P↑Q ┑(P∧Q) P↓Q ┑(P∨Q)
17
定义对偶式
在给定的命题公式A中，将联结词 ∧换成∨，∨换成∧，特殊变元 F 和 T 互换，所得公式A* 称为A的对偶式。
同样A也是A*的对偶式。
18
关于对偶式的定理
定理1： 设A和A*是对偶式，P1,P2,…,Pn 是出现 在A和A*中的原子变元，则 A(P1,P2,…,Pn) A*(P1, P2,…, Pn) A (P1, P2,…, Pn) A* (P1,P2,…,Pn)
命题变元可以表示任何命题；
当用一个特定命题取代命题变元P时，称为对P指派。
3
命题联结词
联结词： 用于把原子命题联结成复合命题，是复 合命题的重要组成部分。 例如：或、与、但是、如果、…… 符号化的联结词（命题的五个基本联结词） ┑：否定 ∧：合取 在表达式中的 ∨：析取 优先级顺序 ：条件 ：双条件
29
定义谓词公式
谓词合式公式 的定义： 1、原子谓词公式是合式公式； 2、如果A是合式公式，则 ┑A是合式公式； 3、如果A和B是合式公式，则(A∧B)、 (A∨B)、(AB)、(AB)都是合式公式； 4、如果A是合式公式，x是A中出现的任何 变元，则(x)A和(x)A都是合式公式； 5、当仅当能够有限次地应用1、2、3、4所 得到的公式是谓词合式公式，简称谓词公式。 定义合式公式
20
定义范式
合取范式：
形式为A1∧A2∧……∧An的命题公式， 其中Ai为命题变元或其否定所组成的析取式。 例：(┑P∨Q)∧R∧(┑Q∨┑R)
析取范式：
形式为A1∨A2∨……∨An的命题公式， 其中Ai为命题变元或其否定所组成的合取式。 例：┑A∨┑B∨(A∧B)
21
定义主合取(析取)范式
主析取(合取)范式：
27
命题函数与谓词的关系
n元谓词是n个客体变量的命题函数； 命题是0元谓词； 命题函数不是命题； 当客体变元取特定值时，命题函数才 构成命题；
谓词的解释、客体变元的取值范围影 响了命题的真值。
28
量词的引入
定义个体域： 命题函数中命题变元的取值范围。 个体域可以是有限，也可以是无限。
量词：
全称量词 x 对所有的 x 存在量词 x 存在一些 x
量词的不同出现顺序有不同的意义 (x)(y)P(x,y)不同于(y)(x)P(x,y)
34
定义谓词公式的等价
两个谓词公式A和B，若它们有 共同的个体域E，且对A和B的任意一 组变元进行赋值，所得的命题真值相 同，则称谓词公式A和B在E上是等价 的，记作AB
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三类谓词公式
谓词公式A在个体域E上的所有赋值都为真， 则称谓词公式A在E上是有效的（永真的） 谓词公式A在个体域E上的所有赋值都为假， 则称谓词公式A在E上是不可满足的（永假的）
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蕴含式的证明
证明蕴含式：AB 方法一：往证AB是重言式 方法二：往证 ┓B ┓A 方法三：设A为T，往证B为T 方法四：设B为F，往证A为F 方法五：蕴含式定理推导 方法六：蕴含式性质（4个） 方法七：列真值表 注：可以多种方法结合
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其他联结词
不可兼析取 ↑与非 ↓或非
只需记住以下公式了：