05a数理逻辑总复习
05a数理逻辑总复习
(QR)(PP)) =(PQR)(PQR)(PQR)(P
QR)
43
补充例题
求G=(PQ)(PR)(QR)主析取范式。
(PQR) (PQR) (PQR) (PQR)
P
第五周 第二讲
数理逻辑 单元总复习
1
原子命题、复合命题
命题的定义：客观上能够确定真假的陈述句。 命题的分类：
原子命题： 不能分解为更简单的陈述句。
复合命题： 由联结词、标点符号和原 子命题复合构成的命题。
2
命题变元、命题常量
命题常量： 用来表示确定命题的标识符。
例如：P表示“今天下雨。”
命题变元： 表示任意命题位置标志的命题标识符。
换名的范围是该约束变元的辖域； 新名不要与谓词公式中已有的变元重名。
自由变元的改名叫代入。 约束变元的换名 自由变元的代入
33
有限域中消去量词
若x的个体域是有限集{a1,a2,…,an}，则有：
(x)A(x) A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an) (x)A(x) A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)
Q
R
G
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
44
补充例题
判断公式G=(PQ)PQ是否恒假? 解：G=(PQ)PQ
交大数理逻辑课件数理逻辑和集合论复习提纲
4．使用推理规则证明： P(QR)，S∨P, Q S R
《数理逻辑》样卷
六．应用题（共20分）
1. 甲、乙、丙、丁四人参加考试，有人问他们，谁的成绩最 好，甲说：“不是我”,乙说：“是丁”,丙说：“是乙”, 丁说：“不是我”.四人的回答只有一人符合实际，问是 谁的成绩最好，若只有一人成绩最好，他是谁？
A．A=B
B．BA
C．AB
D．A≠B
8．下列一阶谓词公式中，是逻辑有效 式的是____________。
A. x(F(x) G(x))
B. xF(x) xF(x)
C. Байду номын сангаасF(x,y) R(x,y)) R(x,y)
D. xyF(x,y) xyF(x,y)
9．设 f：B→C, g：A→B. 则下面命 题是错误的是___________。
第11章 函 数
11.1 函数 11.2 函数的合成和函数的逆
第12章 集合的基数
12.2 集合的等势 12.3 有限集合与无限集合 12.4 集合的基数
试题结构
卷面
一. 选择题（10%） 二. 填空题（20%） 三. 判断题（10%） 四. 运算题（20%） 五. 证明题（20%） 六. 应用题（20%）
《数理逻辑》样卷
6．设A、B是集合，右图的文氏图的 阴影部分的区域可用________表 达式表示
A. A∩B B. A∪B
C. A-B D. (A∪B)-(A∩B)
7．集合A和B定义如下，则它们之间 满足_________关系。
篇数理逻辑复习题
篇数理逻辑复习题第一篇数理逻辑复习题第1章命题逻辑一、单项选择题1. 下列命题公式等值的是( )B B A A Q P Q Q P Q B A A B A A Q P Q P ),()D (),()C ()(),()B (,)A (∧∨?∨∨?∨→→→?→→∨?∧? 2. 设命题公式G ：)(R Q P ∧→?,则使公式G 取真值为1的P ，Q ，R 赋值分别是 ( ) 0,0,1)D (0,1,0)C (1,0,0)B (0,0,0)A (3. 命题公式Q Q P →∨)(为 ( )(A) 矛盾式 (B) 仅可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式4 命题公式)(Q P →?的主析取范式是( )．(A) Q P ?∧ (B) Q P ∧? (C) Q P ∨? (D) Q P ?∨5. 前提条件P Q P ,?→的有效结论是( )．(A) P (B) ?P (C) Q (D)?Q6. 设P ：我将去市里，Q ：我有时间．命题“我将去市里，仅当我有时间时”符号化为( )Q P Q P Q P P Q ?∨??→→)D ()C ()B ()A (二、填空题 1. 设命题公式G ：P →?(Q →P )，则使公式G 为假的真值指派是2. 设P ：我们划船，G ：我们跑步，那么命题“我们不能既划船，又跑步”可符号化为3. 含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是4. 若命题变元P ，Q ，R 赋值为(1,0,1)，则命题公式G ＝)())((Q P R Q P ∨??→∧的真值是5. 命题公式P →?(P∧Q )的类型是．6. 设A ，B 为任意命题公式，C 为重言式，若C B C A ∧?∧，那么B A ?是式(重言式、矛盾式或可满足式)三、解答化简计算题1. 判别下列语句是否命题？如果是命题，指出其真值.(1) 中国是一个人口众多的国家. (2) 存在最大的质数.(3) 这座楼可真高啊！ (4) 请你跟我走! (5) 火星上也有人.2.作命题公式))(()(P Q P Q P ∨∧→→的真值表，并判断该公式的类型．3. 试作以下二题：(1) 求命题公式(P ∨?Q )→(P ∧Q )的成真赋值．(2) 设命题变元P ,Q ,R 的真值指派为(0,1,1),求命题公式))()(()(Q R Q P R P →?∨→?∧?的真值．4. 化简下式命题公式))()((P Q P Q P ∧?∧?∨∧5. 求命题公式))()((Q P P Q P ∧?∧→→的主合取范式.6. 求命题公式R P R Q P P R Q ∨?∨→?∧→?∧)())((的真值．7. 求命题公式)()(Q P Q P ?→∧→?的主析取范式，并求该命题公式的成假赋值．8. 将命题公式)(P R Q P →?∧?∧?化为只含∨和?的尽可能简单的等值式．9. 求命题公式)()(Q P Q P ?∨?∧∧的真值表.四、证明题1. 证明S S P R R Q Q P ∨∧?∧∨?∧→)()()(2. 构造推理证明：S R Q P R S Q P →?∧→∧→→)())((3. 证明命题公式(P →(Q ∨?R ))∧?P ∧Q 与?（P ∨?Q ）等值．4. 证明命题公式)()(Q R Q P →∨→与Q R P →∧)(有相同的主析取范式．参考答案一、1. C 2. D 3. B 4. A 5. D 6. B二、1. 1,0；1,1 2. )(Q P ∧?或Q P ?∨? 3. (P ∧Q ∧R )∨(P ∧Q ∧?R )4. 05. 非永真式的可满足式6. 重言三、1. (1) 是命题，真值为1. (2) 是命题，真值为0. (3), (4)不是命题. (5) 是命题.1. 判别下列语句是否命题？如果是命题，指出其真值.(1) 中国是一个人口众多的国家. (2) 存在最大的质数.(3) 这座楼可真高啊！ (4) 请你跟我走! (5) 火星上也有人.2. 命题公式的真值表原式为可满足式.3. (1) (P ∨?Q )→(P ∧Q )?(?P ∧Q )∨(P ∧Q )?(?P ∨P )∧Q ?Q可见(P ∨?Q )→(P ∧Q )的成真赋值为(0,1)，(1,1)．(2) ))()(()(Q R Q P R P →?∨?→?∧?0))10()01(()10(?→∨→∧??4. ))()((P Q P Q P ∧?∧?∨∧P Q P Q P ∧?∧?∨∧?)()()()(P P Q P Q P ∧?∧?∨∧∧?0)(∨∧?Q PQ P ∧?5. ))()((Q P P Q P ∧?∧→→))()((Q P P Q P ∧?∧∨?∨??)())(Q P P Q P Q P ∧?∧∨∧?∧?∨??)00(∧∨??P)(Q Q P ?∧∨??)()(Q P Q P ?∨?∧∨??6. R P R Q P P R Q ∨?∨→?∧→?∧)())((R P R Q P P R Q ∨?∨∨∧∨∨??)()(R P Q Q R P ∨?∧?∨∨?)(1?7. )()()()(Q P Q P Q P Q P ?∨?∧?∧??→∧→?Q P ?∧?因为成真赋值是（1，0），故成假赋值为（0，0），（0，1），（1，1）8. ))()()(R P Q P P R Q P ∨∧∨??→?∧?∧?))()((R P Q P ∨?∨∨??不唯一．9.四、证明题1. 证明S S P R R Q Q P ∨∧?∧∨?∧→)()()(①?Q ∨R P②?R P③?Q T ①，②析取三段论④P →Q P⑤P ? T ③，④拒取式⑥P ∨?S P⑦?S ⑤，⑥析取三段论2. 构造推理证明：S R Q P R S Q P →?∧→∧→→)())((.前提：Q P R S Q P ,)),((→→→结论：S R →证明：① R 附加前提② R →P 前提引入③ P ①，②假言推理④P →(Q →S ) 前提引入⑤ Q →S ③,④假言推理⑥ Q 前提引入⑦ S ⑤,⑥假言推理3. 证明命题公式(P →(Q ∨?R ))∧?P ∧Q 与?（P ∨?Q ）等值．证明:(P →(Q ∨?R ))∧?P ∧Q ?(?P ∨(Q ∨?R ))∧?P ∧Q(?P ∧?P ∧Q )∨(Q ∧?P ∧Q )∨(?R ∧?P ∧Q )(?P ∧Q )∨(?P ∧Q )∨(?P ∧Q ∧?R )P ∧Q(P ∨?Q )4. 证明命题公式)()(Q R Q P →∨→与Q R P →∧)(有相同的主析取范式．证明.方法1．)()(Q R Q P →∨→?)()(Q R Q P ∨?∨∨?∨∧??Q R P )(Q R P →∧)(因为两命题公式等值，由主合取范式的惟一性，可知两命题公式的主合取范式是相同．4. 证明命题公式)()(Q R Q P →∨→与Q R P →∧)(有相同的主析取范式．方法2．)()(Q R Q P →∨→?)()(Q R Q P ∨?∨∨?R Q P Q R P ?∨∨??∨?∨??R Q P Q R P Q R P ?∨∨??∨?∨??→∧)(因为它们的主合取范式相同，可知它们的主析取范式也相同．第2章谓词逻辑一、单项选择题1. 谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中量词?x 的辖域是( )(A) ))()((y yR x P x ?∨? (B) P (x ) (C) )()(y yR x P ?∨ (D) )(x Q2. 谓词公式?xA (x )∧??xA (x )的类型是（）(A) 永真式 (B) 矛盾式(C) 非永真式的可满足式 (D) 不属于(A ),(B ),(C )任何类型3 设个体域为整数集，下列公式中其真值为1的是( )(A) )0(=+??y x y x (B) )0(=+??y x x y(C))0(=+??y x y x (D) )0(=+y x y x4 设L (x )：x 是演员，J (x )：x 是老师，A (x ,y )：x 佩服y. 那么命题“所有演员都佩服某些老师”符号化为( )(A) ),()(y x A x xL →? (B) ))),()(()((y x A y J y x L x ∧?→?(C) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧?? (D) )),()()((y x A y J x L y x →∧??5. 设个体域是整数集合，P 代表?x ?y ((x <="" )→(x="" -y=""(A) P 是真命题 (B) P 是逻辑公式，但不是命题(C) P 是假命题 (D) P 不是逻辑公式6. 表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ?→?∧∨?中x ?的辖域是( ) (A) P (x ,y ) (B)R (x ,y ) (C)P (x ,y )∧R (x ,y ) (D) P (x ,y )∨Q (z )二、填空题1. 设个体域D ＝{1,2},那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 .2. 设个体域D ＝{a ,b },公式)),()((y x yH x G x ?→?消去量词化为3. 设N (x )：x 是自然数，Z (y )；y 是整数，则命题“每个自然数都是整数，而有些整数不是自然数”符号化为4. 谓词公式?x (F (x )→G (x ))∧??y (F (y )→G (y ))的类型是．5. 设个体域{1,2},谓词P (1)=1,P(2)=0，Q(1)=0，Q (2)=1，则?x (P (x )∨Q (x ))的真值是三、解答化简计算题1. 判别谓词公式),(),(y x xF y y x yF x ??→??的类型.2. 指出谓词公式)())()),()(((x S x xR y x Q x P x ∧?∧→?中?x 和?x 的辖域，并指出该公式的约束变元和自由变元以及约束出现次数和自由出现次数．3. 求谓词公式))(())((a f R x Q P x ∧→?的真值．其中P ：4>3，Q （x ）：x >1，R （x ）：x ≤2．f （-3）=1，f （1）=5，f （5）= -3．a ：5．个体域D =（-3，1，5）．4.说明公式))(),(()(x xP y x yG x xP ?→?→?是逻辑有效式(永真式)．5. 通过等值演算说明下列等值式成立： )()())()((x xQ x xP x Q x P x ?→??→?6. 求谓词公式),,()),(),((z y x zH y x yG y x xF ?∧?→?的前束范式.四、证明题1. 试利用代换实例证明谓词公式))(),(()(x xF z x zG y x xF ?→??→?是逻辑有效式(永真式)．2. 构造推理证明))()(()()(x Q x P x x xQ x xP →→?．（提示：))()(()()(x B x A x x xB x xA ∨∨?.)参考答案一、1. C ；2.. B ；3 A ；4. B ；5. A 6. D二、1. A (1)∨A (2)∨(B (1)∧B (2)) 2. (G (a )→(H (a ,a )∨H(a ,b )))∧ (G (b )→(H (b ,a )∨H (b ,b )))3. ))()(())()((x N x Z x x Z x N x ?∧?∧→?4. 永假式5. 1三、1.设I 为任意一个解释，D 为I 的个体域. 若在解释I 下，该公式的前件为0，无论),(y x xF y ??如何取值，),(),(y x xF y y x yF x ??→??为1；若在解释I 下，该公式的前件为1，则,0D x ∈?使得),(y x yF ?为1，它蕴含着),(,0y x F D y '∈'?为1),(y x xF '??为1，由y '的任意性，必有),(y x xF y ??为1，于是),(),(y x xF y y x yF x ??→??为1.所以，),(),(y x xF y y x yF x ??→??是永真式．2. ?x 的辖域为：P (x )→Q (x ,y )∧?xR (x )x 的辖域为：R (x )x 既是约束变元，也是自由变元，约束出现3次，自由出现1次．y 是自由变元，自由出现1次．3. ))(())((a f R x Q P x ∧→? =))5(())5(())1(())3((f R Q P Q P Q P ∧→∧→∧-→=)3()11()01()01(-∧→∧→∧→R01100=∧∧∧=4. 已知1)()(?∨?∨??∨?∨??→→P Q P P Q P P Q P因为))(),(()(x xP y x yG x xP ?→?→?是)(P Q P →→的代换实例，可知))(),(()(x xP y x yG x xP ?→?→?是逻辑有效式．或))(),(()(x xP y x yG x xP ?∨??∨??1)(),()(?∨??∨x P y x yG x xP5. ?→?))()((x Q x P x )()((x Q x P x ∨??))()(x xQ x P x ?∨)()(x xQ x xP ?∨)()(x xQ x xP ?→??6. ),,()),(),((z y x zH y x yG y x xF ?∧?→?),,()),(),((z y x zH y x yG y x xF ?∧?∨),,()),(),((z y x zH v u vG y u F u ?∧?∨)),,()),(),((z y x zH v u vG y u F u ?∧?∨)),,()),(),(((z y x H v u Q y u F z v u ∧∨(或)),,()),(),(((z y x H v u Q y u F z v u ∧→)四、1.谓词公式))(),(()(x xF z x zG y x xF ?→??→? 是命题公式)(P Q P →→ 的代换实例．因为命题公式∨?∨??→→P Q P P Q P )( 1 是永真式，故))(),(()(x xF z x zG y x xF ?→??→?是逻辑有效式．2.前提：)()(x xQ x xP ?→?．结论：)()(x xQ x xP ?→?．证① )()(x xQ x xP ?→? 前提引入② )()(x xQ x xP ?∨?? T ①,蕴含等值式③ )()(x xQ x P x ?∨?? T ②,量词否定④ ))()((x Q x P x ∨??⑤ ))()((x Q x P x →? T ④,蕴含等值式。
复习(数理逻辑部分)
第1章命题逻辑的基本概念一：基本概念：1.称能判断真假而不是可真可假的陈述句为命题。
2.真值为真的命题称为真命题。
3.真值为假的命题称为假命题。
4.简单命题(原子命题)。
5.由简单命题通过联结词而成的陈述句，称这样的命题为复合命题。
例1判断下列句子是否为命题。
(1)4是素数。
(2)x大于y。
(3)充分大的偶数等于两个素数之和。
(4)北京是中国的首都。
(5)请不要吸烟！(6)我正在说假话。
6.合式公式: 命题符号与联结词组成不是合式公式的例子：pq→r；(p→(r→q)7.公式的类型：重言式、永真式、可满足式重言式(永真式)：都是1矛盾式(永假式)：都是0可满足式：有1，也有0二. 联结词：否定：┐p非p合取：p∧q p并且q(或“p与q”)析取：p∨q p或q蕴涵：p→q如果p，则q等价：p↔q p当且仅当q本书规定的联结词优先顺序为：( )，┐，∧，∨，→，↔，对于同一优先级的联结词，先出现者先运算。
例2令p：北京比天津人口多。
q：2+2＝4.r：乌鸦是白色的。
求下列复合命题的真值：(1)(q∨r)→(p→┐r)(2)(┐p∨r)↔(p∧┐r)解：p、q、r的真值分别：1、1、0(1) 1 (2) 0例3求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
判断公式类型(1)(p∧┐p)↔(q∧┐q)(2)(┐p∧q)→┐r(3)┐(p→q)∧q∧r解：先做真值表（1）是永真式，00，01，10，11是成真赋值，没有成假赋值。
（2）是可满足式，011是成假赋值，其余是成真赋值。
（3）是永假式，都是成假赋值，没有成真赋值。
第2章命题逻辑等值演算一：验证两个公式是否等值：方法一：真值表方法二：等值演算1.双重否定律 A ⇔┐┐A2.幂等律 A ⇔ A∨A, A ⇔ A∧A3.交换律A∨B ⇔ B∨A，A∧B ⇔ B∧A4.结合律(A∨B)∨C ⇔ A∨(B∨C)(A∧B)∧C ⇔ A∧(B∧C)5.分配律 A∨(B∧C) ⇔ (A∨B)∧(A∨C)（∨对∧的分配律）A∧(B∨C) ⇔ (A∧B)∨(A∧C)（∧对∨的分配律）6.德·摩根律┐(A∨B) ⇔┐A∧┐B┐(A∧B) ⇔┐A∨┐B7.吸收律 A∨(A∧B) ⇔ A，A∧(A∨B) ⇔ A8.零律A∨1 ⇔ 1,A∧0 ⇔ 09.同一律A∨0 ⇔ A，A∧1 ⇔ A10.排中律A∨┐A ⇔ 111.矛盾律A∧┐A ⇔ 012.蕴涵等值式A→B ⇔┐A∨B13.等价等值式A↔B ⇔ (A→B)∧(B→A)例1.用等值演算法验证等值式(p∨q)→r ⇔ (p→r)∧(q→r)解：方法一：真值表方法二：等值演算：(p→r)∧(q→r)⇔ (┐p∨r)∧(┐q∨r) (蕴含等值式)⇔ (┐p∧┐q)∨r (分配律)⇔┐(p∨q)∨r (德摩根律)⇔ (p∨q)→r (蕴含等值式)二：基本概念（理解）：1. 在含有n个命题变项的简单合取式（简单析取式）中，若每个命题变项和它的否定式不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）。
2024新高考数学总复习(常用逻辑用语)
考点二 全称量词与存在量词 1.全称量词和存在量词 全称量词(∀):所有的、任意一个等. 存在量词(∃):存在一个、至少有一个等. 2.全称量词命题和存在量词命题 全称量词命题:对M中任意一个x,p(x)成立,即∀x∈M,p(x). 存在量词命题:存在M中的元素x,p(x)成立,即∃x∈M,p(x). 3.全称量词命题和存在量词命题的否定
1 2
,
2,使得2x2-λx-1<0成立”
是假命题,则实数λ的取值范围为
.
解析
若“∃x∈
1 2
, 2,使得2x2-λx-1<0成立”是假命题,则“∀x∈
1 2
,
2,
使得2x2-λx-1≥0成立”是真命题,由于x∈
1 2
,
2
,所以λ≤
2
x2 x
1=2x-
1 x
在x
∈
1 2
,
2
上恒成立,则λ≤
高考 数学
专题一 集合与常用逻辑用语
1.2 常用逻辑用语
基础篇
考点一 充分条件与必要条件 1.若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件. 2.若p⇒q,且q⇒/ p ,则p是q的充分不必要条件. 3.若p⇒/ q,且q⇒p,则p是q的必要不充分条件. 4.若p⇔q,则p是q的充要条件. 5.若p⇒/ q,且q⇒/ p,则p是q的既不充分也不必要条件.
8
题意,故选AC.
答案 (1)B (2)AC
名师点睛:判断充分、必要条件的两种方法 1.定义法:直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.在判断时,确定条件 是什么、结论是什么. 2.集合法:利用集合中包含思想判定.抓住“以小推大”的技巧,即小范围 推得大范围,即可解决充分、必要性的问题.
数理逻辑复习题备课讲稿
数理逻辑复习题一、选择题1、永真式的否定是（2）(1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 2、设P ：2×2=5，Q ：雪是黑的，R ：2×4=8，S ：太阳从东方升起，则下列真命题为(1)(1)R Q P ∧→ (2)S P R ∧→ (3)R Q S ∧→ (4) )()(S Q R P ∧∨∧。
3、设P ：我听课，Q ：我看小说，则命题R “我不能一边听课，一边看小说”的符号化为⑵⑴ P Q → ⑵Q P ⌝→(3) Q P →⌝ ⑷ P Q ⌝→⌝()P Q ⌝∧ 提示：()R P Q P Q ⇔⌝∧⇔→⌝ 4、下列表达式错误的有⑷⑴()P P Q P ∨∧⇔ ⑵()P P Q P ∧∨⇔⑶()P P Q P Q ∨⌝∧⇔∨ ⑷()P P Q P Q ∧⌝∨⇔∨ 5、下列表达式正确的有⑷⑴ P P Q ⇒∧ ⑵ P Q P ⇒∨ ⑶ ()Q P Q ⌝⇒⌝→⑷Q Q P ⌝⇒→⌝)( 6、下列联接词运算不可交换的是(3)⑴∧ ⑵∨ (3)→ ⑷ ↔6、设D ：全总个体域，F （x ）：x 是花，M(x) ：x 是人，H(x,y)：x 喜欢y ，则命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为⑷⑴(()(()(,))x M x y F y H x y ∀∧∃→ ⑵(()(()(,))x M x y F y H x y ∀∧∀→(3) (()(()(,))x M x y F y H x y ∃∧∃→ ⑷(()(()(,))x M x y F y H x y ∃∧∀→7、设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是老师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些老师”的逻辑符号化为⑵⑴)),()((y x A x L x →∀ ⑵))),()(()((y x A y J y x L x ∧∃→∀(3) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧∃∀ ⑷)),()()((y x A y J x L y x →∧∃∀ 8、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中的 x 是⑶⑴自由变元 ⑵约束变元 ⑶既是自由变元又是约束变元 ⑷既不是自由变元又不是约束变元9、下列表达式错误的有⑴⑴(()())()()x A x B x xA x xB x ∀∨⇒∀∨∀ ⑵(()())()()x A x B x xA x xB x ∃∧⇒∃∧∃ (3) (()())()()x A x B x xA x xB x ∀∧⇔∀∧∀ ⑷(()())()()x A x B x xA x xB x ∃∨⇔∃∨∃ 10、下列推导错在⑶①)(y x y x >∃∀ P ②)(y z y >∃ US ① ③)(z C z > ES ② ④)(x x x >∀ UG ③ ⑴② ⑵③ ⑶④ ⑷无 11、下列推理步骤错在⑶①(,)x yF x y ∀∃ P ②),(y z yF ∃ US ① ③),(c z F ES ② ④),(c x xF ∀ UG ③ ⑤),(y x xF y ∀∃ EG ④⑴①→② ⑵②→③ ⑶③→④ ⑷④→⑤12、设个体域为{a,b}，则(),x yR x y ∀∃去掉量词后，可表示为⑷⑴()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∧∧∧ ⑵()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∨∨∨ (3) ()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨ ⑷()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨ 提示：原式()()()()()()()(),,,,,,yR a y yR b y R a a R a b R b a R b b ⇔∃∧∃⇔∨∧∨二、填充题1、一个命题含有n 个原子命题，则对其所有可能赋值有2n 种。
中大数理逻辑复习要点
数理逻辑与可计算性理论期末复习要点中山大学 2015这是属于一门高智商的学问，必须沉下心来，俯下身去，方能看懂～ 了解了很多数学史，想前辈开拓者们致敬！一、简要描述图灵机模型答：图灵机模型是英国数学家阿兰｀图灵于1936年提出的一种抽象计算模型，可看作任何有限逻辑数学过程，其基本思想是用机器来模拟人们用纸笔来进行数学计算的过程。
图灵机模型包括：1)被分成一个个方格，无限长的存储带 2）一个读写头tape，可左右移动或改变当前格子的符号。
３)一套控制规则table，根据当前状态和所指向的格子符号来确定下一步动作 ４)一个状态寄存器，所有可能的有限状态，且有一个特殊的停机状态该理论计算机模型尽管简单，但有模拟通用计算机的能力，能用来模拟人类所能进性的任何计算。
图灵为算法和可计算性研究提供了形式化的描述工具，让人们开始真正直观上理解“可计算”的本质。
二、为什么要研究图灵机、算盘机以及递归函数的等价性？答：1)因为此三种模型分别不用数学家建立，从不同角度来研究计算的可行性，研究其等价性可揭示计算的真正本质，从而回答希尔伯特的第十大丢潘图方程是否有解的问题２)建立三者之间的等价性可证明一些局限于某个模型之内难以证明的命题。
如证明不同类型之间图灵机的等价性。
特别地，可证明克林范式定理：所有递归函数都可使用基本函数通过符合、原始递归函数、和极小化操作得到，而且极小化操作可只在最后使用一次。
三、一阶逻辑的紧致性定理，证明思路？若句子集Ｔ的任意有限子集都有模型，则Ｔ有模型。
证明思路：由于所有有限子集有模型的句子集构成的集合具有可满足性性质，从而其中的句子集可扩充为具有封闭性性质的集合，而具有封闭性性质的句子集有模型，所以任意有限子集都有模型的句子集本身也有模型。
四、哥德尔不完全性定理定理8.4.7 哥德尔第一不完全性定理：不存在Ｑ的协调的、完全的、可公理化的扩充 定理8.4.10 哥德尔第二不完备性定理：设Ｔ是皮亚诺算术理论Ｐ的协调的可公理化的扩张，则Ｔ的协调句子在Ｔ中不可证。
电大离散数学数理逻辑部分期末复习辅导
离散数学数理逻辑部分期末复习辅导一、单项选择题1．设P：我将去打球，Q：我有时间．命题“我将去打球，仅当我有时间”符号化为( )．A．P∨⌝P⌝Q→B．QP→C．QP↔D．Q 复习：P→Q表示的逻辑关系是，P是Q的充分条件，或Q 是P的必要条件．因此“只要P则（就）Q”，“P仅当Q”，“只有Q才P”等，都可用复合命题P→Q表示．解因为语句“我有时间”是“我将去打球”的必要条件，所以选项B是正确的．记住：“P仅当Q”即表示为P→Q．答 B问：如果把“我将去打球”改成“我将去市里”、“我将去旅游”等，会符号化吗？2．设命题公式G：)→⌝，则使公式G取真值为1的QP∧(RP，Q，R赋值分别是( )．A．0, 0, 0 B．0, 0, 1 C．0, 1, 0 D．1, 0, 0 解对于选项A、B、C、D中，Q∧R的真值为0，要使公式G取真值为1，必需⌝P的真值为0，从而P的真值为1，所以选项D是正确的．答 D若题目改为：设命题公式⌝P→(Q∧R)取真值为1，则P，Q，R的赋值是．答1,0,0；1,0,1；1,1,0；1,1,1；0,1,13．命题公式(P∨Q)→R的析取范式是( )．A．⌝(P∨Q)∨R B．(P∧Q)∨RC．(P∨Q)∨R D．(⌝P∧⌝Q)∨R复习：范式：一个命题公式称为析取（合取）范式，当且仅当它具有形式：A1∨A2∨…∨A n （A1∧A2∧…∧A n），（n≥1）其中A1，A2，…，A n均是由命题变元或其否定所组成的简单合取（析取）式．对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅仅由小项（大项）的析取（合取）组成，则该等价式称为原式的主析取（主合取）范式．求命题公式的主析取（主合取）范式的推演步骤：(1) 首先将公式化为析取（合取）范式．①将公式中的联结词化归成⌝，∧及∨．（利用双条件等价式P↔Q⇔(P→Q)∧(Q→P)消去↔，利用蕴含等价式P→Q ⇔⌝P∨Q消去→）②利用德·摩根律将否定符号⌝直接移到各个命题变元之前．③利用合取对析取（析取对合取）的分配律、结合律将公式归约为析取范式（合取范式）．(2) 除去析取（合取）范式中永假（真）的析取（合取）项，并将析取（合取）范式中重复出现的合取（析取）项和相同变元合并．(3) 对于不是小项（大项）的合取（析取）式，补入没有出现的命题变元，即通过合取（析取）添加(P∨⌝P)（(P∧⌝P)）式，然后应用合取（析取）对析取（合取）的分配律展开公式．(4) 合并相同的小项（大项），并将小项（大项）按编码从小到大的顺序排列，可用∑（∏）表示之．主析取范式与主合取范式的关系：一般地，若命题公式A的主析取范式为∑(i1, i2, …, i k)则公式A的主合取范式为∏(0, 1, …, i1-1, i1+1, …, i k-1, i k+1, …, 2n-1) 解R⇔⌝∨∨→)(⇔)(∨)(Q⌝PQPR∧⌝P∨QR答 D4．命题公式(P∨Q) 的合取范式是( )．A．P∧Q B．(P∧Q)∨(P∨Q)C．P∨Q D．⌝(⌝P∧⌝Q)答 C5．命题公式)⌝的析取范式是( )．P→(QA．Q⌝D．QP∨P⌝∨P⌝⌝C．Q∧B QP∧解()()⌝→⇔⌝⌝∨P Q P Q⇔∧⌝P Q答 A注意：第3、4、5题复习了合取范式和析取范式的概念，大家一定要记住的。
数理逻辑复习
5、证明 ( p q) (q r ) r ( p s ) s
6、设F(x)：x是鸟，G(x)：x会飞翔。 则命题“鸟会飞”符号化为 。 7、定义个体域为人的集合，试将以下命题符号化：
a、所有喜欢牛奶和鸡蛋的人也喜欢面包；
b、所有喜欢牛奶的人也喜欢鸡蛋和面包； c、有的喜欢牛奶和鸡蛋的人也喜欢面包； d、有的喜欢牛奶的人也喜欢鸡蛋和面包；
（以谓词F(x),G(x),H(x)分别表示演算证明下列等值式成立： x( P( x) Q( x)) xP( x) xQ( x) 9、完成以下推理证明： 前提：xF ( x ) ，xG ( x)
结论： x( F ( x) G ( x))
1、作命题公式 ( p q) (( p q) p) 的真值表，并判断该公式的类型． 2、化简下式命题公式 (( p q) (p q)) p
3、求公式 ( p q) r 的析取、合取、主析取、主合取范式、成真赋值。
4、试证明命题公式 (p(qr))pq 与（pq）等价
数学逻辑与方法考研重点知识点整理轻松搞定
数学逻辑与方法考研重点知识点整理轻松搞定考研数学是很多考生的头疼问题之一，尤其是数学逻辑与方法这一块的知识点整理更是让很多考生感到困扰。
本文将为考生们整理数学逻辑与方法考研重点知识点，帮助考生轻松搞定这一难关。
一、集合与命题逻辑1.1 集合的基本概念在数学中，集合是由各种对象（称为元素）构成的，集合中的元素通常具有某种共同特性或者满足某种条件。
集合的表示方法有列举法和描述法。
1.2 集合的运算集合的运算包括并集、交集和补集等，这些运算有着特定的性质和规律。
在数学逻辑与方法考研中，对于集合的运算符号和运算规则必须熟练掌握。
1.3 命题逻辑的基本概念命题逻辑是数理逻辑的基础，它研究各种命题之间的逻辑关系。
在考研数学中，命题逻辑的知识点包括命题的定义、命题的真值、命题之间的逻辑联结词（如与、或、非等）以及命题的合取范式和析取范式等。
二、谓词逻辑与命题演算2.1 谓词逻辑的基本概念谓词逻辑是命题逻辑的扩充，它引入了个体变元和谓词变元，可以表示更为复杂的数学语句。
在考研数学中，谓词逻辑的知识点包括谓词的定义、量词的定义、谓词之间的逻辑联结词以及谓词的前束范式和后述范式等。
2.2 命题演算的基本概念命题演算是用于研究命题间的逻辑关系的一种符号系统，它是命题逻辑的一种特例。
在考研数学中，命题演算的知识点包括命题演算的定义、命题演算的运算规则以及命题演算的公式等。
三、数理逻辑基本原理与方法3.1 归结法归结法是一种用于判定论断是否成立的推理方法，该方法通过将论断转化成命题逻辑公式，利用命题逻辑的推理规则进行推理。
在考研数学中，归结法常常用于证明某个定理或问题的正确性。
3.2 反证法反证法是一种常用的证明方法，在数学逻辑与方法考研中也有较高的应用频率。
反证法通过假设论断的否定，然后推导出矛盾的结论，从而证明原论断的正确性。
3.3 递推法递推法是数学中常用的一种证明方法，它是通过逐步推导出问题的解，从而证明论断的正确性。
内蒙古自治区考研数学数理逻辑复习要点
内蒙古自治区考研数学数理逻辑复习要点1. 命题逻辑命题逻辑是数理逻辑的一个分支，也是考研数学中的重要内容。
下面列举一些命题逻辑的核心要点：1.1 命题与命题的连接词命题是一个陈述句，可以为真或假。
常见的命题连接词有与、或、非等。
与的符号表示为∧，或的符号表示为∨，非的符号表示为¬。
1.2 命题逻辑的公式与真值表命题逻辑可以使用符号来表示命题和命题的连接词，这些符号与真值表相对应。
其中，真值表列出了命题组合对应的真假情况。
1.3 命题逻辑的推理规则命题逻辑中的推理规则是根据命题的真值表和命题的连接词来进行的。
常见的推理规则有与、或的交换律、结合律、分配律等。
1.4 命题逻辑的应用命题逻辑可以用来描述和推理各种问题，如推理问题、谬误分析等。
在考研中，也会有相关的应用题目。
2. 谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的扩展，它引入了谓词，可以描述对象之间的关系和属性。
下面列举一些谓词逻辑的要点：2.1 个体、谓词、量词在谓词逻辑中，个体是指具体的对象，谓词是描述个体之间关系和属性的符号，量词则用于描述谓词的范围。
2.2 谓词逻辑的公式与真值表谓词逻辑使用公式和真值表来描述谓词和量词之间的关系。
公式中包含了谓词、个体和量词。
2.3 谓词逻辑的推理规则谓词逻辑中的推理规则是根据谓词的真值表和量词的范围来进行的。
常见的推理规则有全称量词的取反、存在量词的推理等。
2.4 谓词逻辑的应用谓词逻辑可以用来描述和推理各种问题，如数学问题、自然语言理解等。
在考研中，也会有相关的应用题目。
3. 数理逻辑的例题以下是一些数理逻辑的例题，供考生参考：3.1 命题逻辑的例题例题1：已知命题p为真，命题q为假，求命题“p∧(p∨q)”的真值。
题解：根据命题连接词的优先级，先计算括号内的部分，得到“p∨q”的真值为真。
再计算“p∧真”，得到最终结果为真。
3.2 谓词逻辑的例题例题2：已知谓词P(x)表示“x是偶数”，“∀x P(x)”表示“所有数都是偶数”，求该命题的真假情况。
数理逻辑总结
2 命题逻辑
(5)判断公式类型的方法(真值表、等价公式变换、主范式) (5) 判断公式类型的方法(真值表、等价公式变换、主范式)； 判断公式类型的方法 (6)判定两公式是否具有等价和蕴含关系的方法。 (6) 判定两公式是否具有等价和蕴含关系的方法。 判定两公式是否具有等价和蕴含关系的方法
总结
第一章 命题逻辑
总结
第一章
3. 命题公式间的关系 (1)命题公式间的等价关系( (1) 命题公式间的等价关系( A ⇔ B ) 命题公式间的等价关系 (2)命题公式间的蕴含关系( (2) 命题公式间的蕴含关系( A ⇒ B ) 命题公式间的蕴含关系 (3)基本的等价式； (3) 基本的等价式； 基本的等价式 (4)基本的蕴含式； (4) 基本的蕴含式； 基本的蕴含式
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10
7.符号化下列命题并推证其结论的有效性。 7.符号化下列命题并推证其结论的有效性。 符号化下列命题并推证其结论的有效性 明天是晴天，或者是下雨；如果是晴天， １、明天是晴天，或者是下雨；如果是晴天， 我就去看电影；如果我去看电影， 我就去看电影；如果我去看电影，我就不看 结论：如果我在看书，则天在下雨。 书。结论：如果我在看书，则天在下雨。 首先符号化， 解：首先符号化，并令 Ｐ：明天是晴天 明天是晴天。 Ｐ：明天是晴天。 Ｑ：明天下雨 明天下雨。 Ｑ：明天下雨。 Ｒ：明天我去看电影 明天我去看电影。 Ｒ：明天我去看电影。 Ｓ：明天我看书 于是问题可描述成： 明天我看书。 Ｓ：明天我看书。于是问题可描述成：
5、求出下式的主析取范式 、 1）¬（P→Q）∧（R→P） ） → ） → ） 2）（ →Q）→（R∨P） ）（P→ ） ）（ ∨ ） 解：1）¬（P→Q）∧（R→P）=¬（¬P∨Q）∧（¬R∨P） ） → ） → ） ¬ ∨ ） ∨ ） =（P∧¬ ）∧（¬R∨P） ∧¬Q） （ ∧¬ ∨ ） =（P∧¬ ∧¬ ）∨ （P∧¬ ） ∧¬Q∧¬ ∧¬Q） （ ∧¬ ∧¬R） ∧¬ =（P∧¬ ∧¬ ）∨ （P∧¬ ∧ R）∨（P∧¬ ∧ ¬R） ∧¬Q∧¬ ∧¬Q∧ ） ∧¬Q∧ （ ∧¬ ∧¬R） ∧¬ ∧¬ ） 2）（ →Q）→（R∨P）=（¬P∨Q）→（R∨P） ）（P→ ） ）（ ∨ ） （ ∨ ） ∨ ） =¬（¬P∨Q）∨（R∨P） ¬ ∨ ） ∨ ） =（P∧¬ ）∨（R∨P） ∧¬Q） （ ∧¬ ∨ ） =（P∨R）∧ （P∨¬ ∨R） ∨¬Q （ ∨ ） ∨¬ ） =（P∨Q∨R）∧ （P∨¬ ∨R） ∨¬Q （ ∨ ∨ ） ∨¬ ） =∏M0M2 ∏ =∑m1,m3,m4,m5,m6,m7 ∑ =(¬P∧¬ ∧ R) ∨(¬P∧Q∧ R) ∨(P∧¬ ∧¬ ∨(P∧¬ ∧R) ∧¬Q∧ ∧¬Q∧¬ ∧¬Q∧ ¬ ∧¬ ¬ ∧ ∧ ∧¬ ∧¬R) ∧¬ ∧¬R) ∨(P∧Q∧¬ ∨(P∧Q∧R) ∧ ∧¬ ∧ ∧
01-数理逻辑知识总结
前提 对命题1使用存在实例 对命题2使用化简律 前提
5. C(a)→P(a) 6. P(a)
对命题4使用全程实例 对命题3和5使用假言推理
7. ¬B(a)
对命题2使用化简律
8. P(a)˄¬B(a) 9. x(P(x)˄¬B(x))
对命题6和7使用合取律 对命题8使用存在引入
反向推理法
思考题：54张扑克牌，两个轮流拿，每人每次必须且 只能拿1-4张牌，谁拿到最后一张牌就输了。为了确保 先拿牌的人获胜，应该先拿（ 3 ）张牌。
推理之论证形式
1. 选择谓词： C(x): “x是班里的学生”； B(x): “x读过这本书”； P(x): “x通过了第一次考试” 2. 构建论证形式
x(C(x)˄¬B(x)) x(C(x)→P(x)) ∴x式
步骤
理由
1. x(C(x)˄¬B(x)) 2. C(a)˄¬B(a) 3. C(a) 4. x(C(x)→P(x))
离散数学
软通学院庞科 2020年3月24日
第一章 数理逻辑总结
1. 知识点总结 2. 练习
学习目标
掌握第一章关于命题、量词、永真式的定义 掌握真值表、逻辑等价、自然推理、证明的使 用 掌握命题、量词的应用
本节难点
掌握真值表、逻辑等价、自然推理、证明的 使用
（一）定义
1 知识点总结
命题：对确定的对象作出判断的陈述句
全称量词、存在量词、论域、嵌套量词
谓词与量词
例子
〉有人勇敢，但不是所有人都勇敢
〉勇敢者未必是成功者
或
〉君子坦荡荡，小人常戚戚
〉张三孤独走完一生
或
1 知识点总结
论证：是指一连串的命题，其中，除了最后一个以外的命
1.A数理逻辑复习
Discrete Mathematics
第一章 数理逻辑—复习
张晓 西北工业大学计算机学院 zhangxiao@ 2011-1-10
什么是数理逻辑
逻辑：是对人类推理过程的研究。 数理逻辑：是用数学的方法对人类推理过程 作研究。 数学研究方法：使用符号 数理逻辑应用
计算机科学的核心算法 程序设计语言 程序设计方法学 计算复杂性理论
2011-1-10
离散数学
2
数理逻辑及其位置
2011-1-10
离散数学
3
学习内容
学习内容
定义 定理
掌握技能
命题的表示与计算 命题公式的变形与化简 等价命题证明 重言式证明 命题的推理
2011-1-10
离散数学
4
1.1命题
要求：命题的表示、运算及真值表证明方法
2011-1-10 离散数学 5
1.1命题-逻辑连接词
代入规则替换对象为变元，替换规则可替换变 元、常元、公式 代入规则对替换对象没有要求，替换规则要求 被替换部分(公式)与替换部分(公式)恒等 代入规则要求每一处均替换，替换规则不要求 所有内容均替换
2011-1-10
离散数学
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1.2.6重言式—对偶原理
对偶公式 定理1.2-1：公式与其对偶公式的关系 定理1.2-2:恒等式两侧公式的对偶公式的关 系 定理1.2-3：永真蕴含式两侧公式的对偶公 式的关系
5种基本连接词:否定、合取、析取、蕴含、 等值 定义方式：如果P和Q是命题，则P__Q也是 一命题，记作___,称为P和Q的___,读做__.
合取 析取 蕴含 等值 并且 或 蕴含 等值于 P∧Q P∨Q P→Q P ↔Q 合取 析取 蕴含式 等值式 P与Q或P并且Q P或Q P蕴含Q或如果P,那么Q P等值于Q
数理逻辑总复习2013
条件2：该新闻条目在程序的本次执行中已下载， 用命题符号n表示；
条件3：该新闻条目是一个动态更新的新闻条目， 用命题符号d表示；
条件4：该新闻条目已过期，程序需要重新下载， 用命题符号o表示。
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精品资料
练习(liànxí)3：实际应用题
足式
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第四章 基本(jīběn)要求
准确地将给定命题符号化 理解一阶语言的概念 深刻理解一阶语言的解释 熟练地给出公式(gōngshì)的解释 记住闭式的性质并能应用它 深刻理解永真式、矛盾式、可满足式的概念,
会判断简单公式(gōngshì)的类型
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第五章 主要(zhǔyào)内容
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练习(liànxí)5（续）
前提(qiántí)：
x(P(x) Q(x) x(P(x) (S(x) x(P(x) S(x))
结论： x(P(x)
R(x)), r(x))),
x(P(x)
Q(x))
S(x))
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练习(liànxí)5（续）
1) x(P(x)S(x))x(P(x)S(x)) 前提(qiántí)引入
一阶逻辑等值式 基本等值式，置换规则、换名规则、代替规
则 前束范式 推理的形式结构 自然推理系统(xìtǒng)NL 推理定律、推理规则
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第五章 基本(jīběn)要求
深刻理解并牢记一阶逻辑中的重要等值式, 并 能准确而熟练地应用它们．
熟练正确地使用置换规则(guīzé)、换名规则 (guīzé)、代替规则(guīzé)．
4）对平面上任意两点，有且仅有一条直线通过 (tōngguò)这两点。 P(x):x是一个点；L(x):x是一条直线 R(x,y,z):z通过(tōngguò)x,y；E(x,y):x等于y.
第五章 数理逻辑
（1）
(2)
我们常把重言式记作1，把矛盾式记作0
定义4、设A,B是命题公式，若A B是重言式，则称A与B等值的,
记作
, 读作A与B等值.
例4 判断下列各组公式是否等值
（1）
(2)
对于命题公式A,B,C,有下列性质
（1）自反性:
;(2) 对称性：若
，则
(3) 传递性：若
且
c
• 重要的等值式，希望同学们牢记
的充分必要条件是
例8、证明
第三节：对偶与范式
• 一、对偶
• 定义1、在仅含有
的命题公式A中，将∧，∨分别换成∨，∧，
若A中有1或0亦互相取代，所得公式 称作A的对偶.
• 显然A也是 的对偶.
• 例1、试写出下列公式的对偶
（1）
(2)
• 定理1、设A与 是互为对偶的两个公式，所有的命题变元为
•则
•或
成的表，称为命题公式A的真值表.
例2、试求下列公式的真值表
（1）
(2)
(3)
定义3、设A是一个命题公式：
（1）若A在它的各种指派下取值均为真，则称A是重言式或永真式.
（2）若A在它的各种指派下取值均为假，则称A是矛盾式或永假式.
（3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式.
例3、用真值表判断下列公式的类型
PQ P
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第二节 命题公式及公式的等值和蕴含关系
• 我们知道，不含任何联结词的命题称为原子命题，至少包含一个联结 词的命题称作复合命题.原子命题的真值是唯一的，所以也称原子命题 为 命题常项或命题常元.真值可以变化的陈述句称作命题变元或命题 变项（如x+y≥0）
• 一、命题公式 • 由命题变元，联结词和圆括号按一定规则组成的符号串称作合式公式. • 定义1、命题公式是由下列规则产生的符号串： • （1）单一的命题变元本身是一个合式公式. • （2）如果A是合式公式，则 A是合式公式. • （3）如果A和B是合式公式，则A B, A v B, A B,A B都是合式公式. • （4）只有有限次地应用（1），（2），（3），所产生的符号串才是
数理逻辑-复习题及参考答案
从一份模拟试题中抽取出来的《数理逻辑》复习题及参考答案一、单选题（每小题2分，共20分）1 以下语句是命题的是（ ）。
A ． y 等于x 。
B ． 每个自然数都是奇数。
C ． 请爱护环境。
D ． 你今天有空吗？2 设α是一赋值，α(p)= α(q)=1，α(r)=0，下列公式的值为假的是（ ）。
A ．p ∧(q ∨r)B ．(p ✂r) ↔ (¬r ✂q)C ．(r ✂q) ∧(q ✂p)D ．(r ✂q)3 以下联结词的集合（ ）不是完备集。
A ．{¬,∧,∨, ✂,↔}B ．{¬,∧,∨}C ．{¬, ✂}D ．{∧,∨}4 公式A 的对偶式为A*，下列结果成立的是（ ）。
A ．A ↔A*B ．¬A ↔A*C ．A|=|A*D ．¬A|=|A*5 假设论域是正整数集合，下列自然语言的符号化表示中，（ ）的值是真的。
A ．∀x ∃yG(x,y)，其中G(x,y)表示xy=yB ．∀x ∀yF(x,y)，其中F(x,y)表示x+y=yC ．∃x ∀yH(x,y)，其中H(x,y)表示x+y=xD ．∀x ∀yM(x,y)，其中M(x,y)表示xy=x6．以下式子错误的是（ ）。
A ．∀x ¬A(x) |=| ¬∃xA(x)B ．∀x(A(x)∧B(x)) |=| ∀xA(x)∧∀x B(x)C ．∃x(A(x)∨B(x)) |=| ∃xA(x)∨∃x B(x)D ．∀x(A(x)∨B(x)) |=| ∀xA(x)∨∀x B(x)7. 下列式子（ ）不正确。
A ．{x}∈{{x}}B ．{x}∈{{x},x}C ．{x}⊆{{x}}D ．{x}⊆{{x},x}二、填空题（每小题2分，共20分）1．句子“只有小王爱唱歌，他才会弹钢琴。
”中，把“小王爱唱歌”形式化为命题符p ，“小王会弹钢琴”形式化为命题符q ，则句子形式化为公式 。
小学数学毕业总复习知识手册：逻辑推理
小学数学毕业总复习知识手册：逻辑推理逻辑推理基本方法简介：①条件分析—假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。
例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数。
②条件分析—列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析。
列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。
③条件分析——图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。
例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。
④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。
单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。
这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。
要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。
当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。
平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。
最经典最简约的面向计算机科学的数理逻辑复习笔记.docx
最经典最简约的面向计算机科学的数理逻辑复习笔记.docx该笔记适用于任何版木的数理逻辑!绪论、数理逻辑研究什么？★ 研究前提和结论的可推导性关系，它是山命题的逻辑形式而非内容所决定的二、数理逻辑如何研究?★形式语言第一章预备知识第一节集合一、集合1、集合的内涵和外延（所有元索的共同性质/构成集合的所有元索）2、有序偶和笛卡儿集二、关系1、概念：集合S上的n元关系R2、特殊情况：集合S上的一元关系R （集合S上的性质R）三、函数（映射）1、概念：函数（集合+有序偶+性质）、定义域dom （f）>值域ran （f）2、概念：f （x）函数f在x处的值）3、概念：f： S->T （函数f是由S到T的映射）、满射、一一映射四、等价1、概念：关系R是集合S上的等价关系（自反+对称+传递）2、概念：元索x的R等价类3、性质：R等价类对集合S的一个划分（两两不相交，冃并为S）五、基数1、概念：S?T （两个集合S和T是等势的）2、概念：集合S的基数ISI （集合中的元索个数）3、概念：可数无限集第二节归纳定义和归纳证明一、归纳定义1、集合的归纳定义⑴、直接生成某些元索⑵、给出运算，将其作用在已有元素上，以产生新的元素⑶、只有这样才是集合中的元素，除此之外，再也没有了2、典例：口然数集N的两个归纳定义二、归纳证明1、归纳定理：设R是一个性质，如果⑴、R (0)⑵、对于任何n GN,如果R (n),则R (if)那么，对于任何neN,都有R (n)2、概念：归纳基础、归纳步骤(包括归纳变元和归纳假设)、归纳命题、归纳证明3、概念：串值归纳法及其变形三、递归定义1、递归定义(在归纳定义的集合上，定义函数)在自然数集N上定义一个这样的函数f： g, h是N上的已知函数f (0) =g (0)f (nO =h (f (n))2、递归定义原理(这样的函数是存在而且唯一的)第二章经典命题逻辑第一节联结词一、基本概念1、概念：命题（陈述句+确定值）（要么是真，要么是假）2、概念：简单命题和复合命题（区分的关键）3、小结：只考虑复介命题的真假是如何确定的二、联结词1、非A：2、A与B： A为真并J1B为真A或B： A为真或B为真（A为真或B为真或AB同时为真）4、A蕴涵B：如果A真，则B真（并非A假B真）5、A等值于B：如果A蕴涵B,同时B蕴涵A第二节命题语言一、基本概念1、概念：命题语言（命题逻辑使用的形式语言）2、归纳：命题语言的三类符号（命题符号+联结符号+标点符号）3、概念：表达式、长度、空表达式、两个表达式相等4、概念：段、真段、初始段、结尾段二、基本概念1、定义：原子公式，记为Atom （L P）（单独一个命题符号）2、定义：公式，记为Form （L P）（经典归纳定义及其两种变形）★经典定义容易理解，然而两种变形更容易使用3、定理：如何证明L p的所有公式都满足R性质？★关键：假设S={AeForm （L p） IR （A） }4、概念：对公式的结构做归纳（上述归纳证明）三、习题解析1、关键：利用二叉树表示公式的生成过程2、关键：蕴涵有多种不同的叙述方式（关键：分清楚充分条件和必要条件）⑴、?如果p,则q⑵、?只要p,则q⑶、?p仅当q⑷、?只有p,才q⑸、?除非p，否则q （思路：想方设法转化为上述情形）第三节公式的结构一、引理1、引理1: I?的公式是非空的表达式2、引理2：在1/的每个公式中，左括号和右括号出现的数目相同3、引理3：真初始段不是公式(在I?的公式的任何非空的真初始段中，左扌舌号出现的次数比右括号多。
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谓词公式的翻译
数学表达： 无穷性（无穷大、无穷小）：
任一个数，存在更大(小)的 唯一性：若存在两个，则必相等 存在量词和全称量词在翻译时的区别：
例：M(x)表示x是人，H(x)表示x要呼吸 有些人要呼吸：(x)(M(x)∧H(x)) 所有人要呼吸：(x)(M(x)H(x))
31
变元的辖域(作用域)
2n
种真值情况。
特殊的命题公式：T（F） 不论命题变元作何种指派，其真值永为真（假） P14表1-4.5和表1-4.6的结论今后可作定理使用。
7
命题的定律
用真值表证明以下定律： 对合律 结合律 交换律 分配律 吸收律 摩根律 同一律 零律 否定律
8
置换规则
定义子公式： 如果X是合式公式A的一部分，且X本 身也是一个合式公式，则称X为公式A的子 公式。
定理2： 设P1,P2,…,Pn 是所有出现在命题公式A和 B中的原子变元，如果AB，则A*B*。 推论： AT 当仅当 A*F
19
利用对偶式求命题的非
步骤如下: (1) 消去其他逻辑运算符，只留下┑、 ∧、∨（↑、↓） (2) 用括号表示优先级 (3) 把 A 变为 A* (∧∨互换、F T互换、↓↑互换) (4) 所有变元Pi用┓Pi代入，得到┓A
27
命题函数与谓词的关系
n元谓词是n个客体变量的命题函数； 命题是0元谓词； 命题函数不是命题； 当客体变元取特定值时，命题函数才 构成命题；
谓词的解释、客体变元的取值范围影 响了命题的真值。
28
量词的引入
定义个体域： 命题函数中命题变元的取值范围。 个体域可以是有限，也可以是无限。
量词：
全称量词 x 对所有的 x 存在量词 x 存在一些 x
第五周 第二讲
数理逻辑
单元总复习
1
原子命题、复合命题
命题的定义：客观上能够确定真假的陈述句。
命题的分类： 原子命题： 不能分解为更简单的陈述句。 复合命题： 由联结词、标点符号和原 子命题复合构成的命题。
2
命题变元、命题常量
命题常量： 用来表示确定命题的标识符。 例如：P表示“今天下雨。” 命题变元： 表示任意命题位置标志的命题标识符。 例如：P∨┑P， P∧Q
谓词公式A在个体域E词与“┓”的关系
┓ ┓ ┓ ┓
在有限域上的证明：德.摩根律
37
量词与∧、∨的关系
(x)(A(X)∧B(X)) (x) A(X)∧(x) B(X)
(x)(A(X)∨B(X)) (x) A(X)∨(x) B(X)
注意： 换名的范围是该约束变元的辖域； 新名不要与谓词公式中已有的变元重名。 自由变元的改名叫代入。 约束变元的换名 自由变元的代入
33
有限域中消去量词
若x的个体域是有限集{a1,a2,…,an}，则有：
(x)A(x) A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an) (x)A(x) A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an) 注意：
25
谓词填式与命题
谓词与命题的关系：
单独一个谓词不是完整命题，完整的客 体和谓词字母两部分才成为一个命题。
一元谓词表达了客体的性质； 多元谓词表达了客体之间的关系。
26
命题函数的定义
简单命题函数： 由一个谓词，一些客体变元组成 的表达式称为简单命题函数。 例如 A(x)、B(x,y)
复合命题函数： 由一个或多个命题函数以及逻辑 联结词组合而成的表达式称为复合命题 函数。 例如 ┑A(x)、A(x)┑B(x,y)
4
定义合式公式
合式公式 (wff : Well-Formed Formula)的定义： 1、单个命题变元本身是一个合式公式； 2、如果A是合适公式，则 ┑A是合式公式； 3、如果A和B是合适公式，则(A∧B)、(A∨B)、 (AB)、(AB)都是合式公式。 4、当仅当能够有限次地应用1、2、3所得到的 包含命题变元、联结词和括号的符号串是合式 公式。
量词的不同出现顺序有不同的意义 (x)(y)P(x,y)不同于(y)(x)P(x,y)
34
定义谓词公式的等价
两个谓词公式A和B，若它们有 共同的个体域E，且对A和B的任意一 组变元进行赋值，所得的命题真值相 同，则称谓词公式A和B在E上是等价 的，记作AB
35
三类谓词公式
谓词公式A在个体域E上的所有赋值都为真， 则称谓词公式A在E上是有效的（永真的） 谓词公式A在个体域E上的所有赋值都为假， 则称谓词公式A在E上是不可满足的（永假的）
PQ的 逆换式： QP 反换式： ┑P ┑Q 逆反式： ┑Q ┑P ( PQ) (┑Q ┑P) (┑P ┑Q) (QP)
14
蕴含式的定理、性质
蕴含式定理
证明方法： 1、假设前提为真，往证结论为真；
2、假设结论为假，往证前提为假，即反证法
蕴含式性质
1、重言式蕴含重言式 2、蕴含关系可传递 3、两个蕴含式结论的合并 4、两个蕴含式前提的合并
P Q ┑(PQ) P↑Q ┑(P∧Q) P↓Q ┑(P∨Q)
17
定义对偶式
在给定的命题公式A中，将联结词 ∧换成∨，∨换成∧，特殊变元 F 和 T 互换，所得公式A* 称为A的对偶式。
同样A也是A*的对偶式。
18
关于对偶式的定理
定理1： 设A和A*是对偶式，P1,P2,…,Pn 是出现 在A和A*中的原子变元，则 A(P1,P2,…,Pn) A*(P1, P2,…, Pn) A (P1, P2,…, Pn) A* (P1,P2,…,Pn)
求主合取范式： 选真值为F的项（只要其中一项为F，则整个式子为F） 最大项：M000~M111的若干项的积(合取)，写成对应 的i,...,j 最大项的M01对应P ∨┓Q，最小项m01对应┓P∧Q
24
定义谓词
用于刻划客体的性质或关系的叫谓词。
表示法： 用大写字母表示谓词， 用小写字母表示客体名称。 例如： A表示“是大学生”； B表示“小于” a表示“张山”；A(a)表示张山是大学生 B(b,c)表示“b小于c”；B(c,b)表示“c小于b”
29
定义谓词公式
谓词合式公式 的定义： 1、原子谓词公式是合式公式； 2、如果A是合式公式，则 ┑A是合式公式； 3、如果A和B是合式公式，则(A∧B)、 (A∨B)、(AB)、(AB)都是合式公式； 4、如果A是合式公式，x是A中出现的任何 变元，则(x)A和(x)A都是合式公式； 5、当仅当能够有限次地应用1、2、3、4所 得到的公式是谓词合式公式，简称谓词公式。 定义合式公式
15
蕴含式的证明
证明蕴含式：AB 方法一：往证AB是重言式 方法二：往证 ┓B ┓A 方法三：设A为T，往证B为T 方法四：设B为F，往证A为F 方法五：蕴含式定理推导 方法六：蕴含式性质（4个） 方法七：列真值表 注：可以多种方法结合
16
其他联结词
不可兼析取 ↑与非 ↓或非
只需记住以下公式了：
量词后面紧跟的变元在谓词公式中起作 用的范围，叫该变元的辖域（或叫作用域） 被量词修饰的变元称为约束变元 约束变元在作用域中的每次出现叫约束出现
没被量词修饰的变元称为自由变元 自由变元在谓词公式中的出现叫自由出现
32
约束变元的换名
(x)P(x)与(y)P(y)意义相同，故可对 约束变元进行换名；
这是一个递归定义，1、为基础，2、3为归纳， 4、为界限（停机条件）。 定义谓词公式
5
定义真值表
在命题公式中，对于分量指派 真值的各种可能组合，就确定了这个 命题公式的各种真值情况，把它汇列 成表，就是命题公式的真值表。
6
真值表的讨论
变元取值的顺序：按二进制递增或递减 n个命题变元组成的命题公式共有
命题变元可以表示任何命题；
当用一个特定命题取代命题变元P时，称为对P指派。
3
命题联结词
联结词： 用于把原子命题联结成复合命题，是复 合命题的重要组成部分。 例如：或、与、但是、如果、…… 符号化的联结词（命题的五个基本联结词） ┑：否定 ∧：合取 在表达式中的 ∨：析取 优先级顺序 ：条件 ：双条件
42
补充例题
求G=(RP)(Q(PR))主析取范式。
解：G =(RP)(Q(PR)) =(RP)(QP)(QR) =(PR)(QP)(QR) =((PR)(QQ))((QP)(RR))( (QR)(PP)) =(PQR)(PQR)(PQR)(P QR)
43
补充例题
求G=(PQ)(PR)(QR)主析取范式。 (PQR) (PQR) (PQR) (PQR)
方法二：
按真值表求最大项、最小项 注： 有n个变元的命题公式，主合取范式有m项， 则主析取范式有2n - m项
23
范式的编码表示
在真值表中，用 0 表示 F ，用 1 表示 T
求主析取范式： 选真值为T的项（只要其中一项为T，则整个式子为T） 最小项：m000~m111的若干项的和 (析取)，写成对应 的i,...,j
两个命题公式A、B，A B 当仅当A B是重言式。
12
重言式的证明
如何证明给定的一个命题公式是重言式？
方法一： 往证与 T 等价 方法一：列真值表 方法二：利用置换规则进行等价变换 方法二： 由已知的重言式置换而来： 方法三：其对偶式是矛盾式： A=T A*=T*=F
13
定义蕴含式
当仅当PQ是一个重言式时，我们称 “ P 蕴含 Q ”，并记作 PQ
20
定义范式
合取范式：
形式为A1∧A2∧……∧An的命题公式， 其中Ai为命题变元或其否定所组成的析取式。 例：(┑P∨Q)∧R∧(┑Q∨┑R)
析取范式：
形式为A1∨A2∨……∨An的命题公式， 其中Ai为命题变元或其否定所组成的合取式。 例：┑A∨┑B∨(A∧B)