人教A版高中数学必修四弧度制导学案

.

§1.1.2

弧度制

学习目标

1.理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制的换算，熟记特殊角的弧度数

2.了解角的集合与实数集 R 之间可以建立起一一对应关系.

3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制、弧长公式、扇形面积公式解决某

些简单的实际问题.

学习过程

一、课前准备

（预习教材 P 6~ P 9，找出疑惑之处）在初中，我们常用量角器量取角的大小，那么角的大小的 度量单位为什么？

二、新课导学

※ 探索新知

问题 1：什么叫角度制？

问题 2：角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？

问题 3：什么是 1 弧度的角？弧度制的定义是什么？

问题 4：弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的？

.

问题 5：角的集合与实数集 R 之间建立了________对应关系。

问题 6：用弧度分别写出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限角的集合 问题 7：回忆初中弧长公式，扇形面积公式的推导过程。回答在弧度制下的弧长公式，扇形面

积公式。

※ 典型例题

例 1：把下列各角进行弧度与度之间的转化（用两种不同的方法）

（1）

3π 5

（2）3.5

（3）252º

（4）11º15¹

变式训练：①填表

②若 α = -6 ，则 α 为第几象限角？

③用弧度制表示终边在 y 轴上的角的集 角 0º 45º 60º 90º 150 180 315 合

度 º

º

º

制

___

____.

弧 π

6

2π 3 5π 4 3π 2

2π

用弧度制表示终边在第四象限的角的集

合

度

制

__ _____.

变式训练(2)：A=⎨x x=kπ+(-1)k⋅,k∈Z⎬,

,k∈Z⎬则A、B之间的关系为.⎧

12=°；（2）－7π

（1）

π

2,k∈Z｝，N=｛x∣x=k⋅π±

例2:①已知扇形半径为10cm,圆心角为60º，求扇形弧长和面积

②已知扇形的周长为8cm,圆心角为2rad,求扇形的面积

变式训练（1）：一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求此扇形的最大面积.

⎧⎩π⎫2⎭

B=⎨x x=2kπ+⎩π⎫2⎭

※动手试试

1、将下列弧度转化为角度：

13π

=°′；（3）=°；

86

2、将下列角度转化为弧度：

（1）36°=rad；（2）－105°=rad；（3）37°30′=rad；

3、已知集合M=｛x∣x=k⋅

πA．集合M是集合N的真子集B．集合N是集合M的真子集π

2,k∈Z｝，则（）

π ⎫ { }

⎧

C ．M = N

D ．集合 M 与集合 N 之间没有包含关系

4、圆的半径变为原来的 2 倍，而弧长也增加到原来的 2 倍，则(

)

A ．扇形的面积不变

B ．扇形的圆心角不变

C ．扇形的面积增大到原来的 2 倍

D ．扇形的圆心角增大到原来的 2 倍

三、小结反思

角度制与弧度制是度量角的两种制度。在进行角度与弧度的换算时关键要抓住 180º= π rad 这

一关系式，熟练掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式.

学习评价

※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：

1、把 -

11π 4

表示成θ + 2k π (k ∈ z) 的形式，使 | θ | 最小的θ 为（ ）

3π π 3π

π A 、 - B 、 C 、 D 、 -

4 4 4 4

5

2、角α 的终边落在区间（－3π ,－2 π ）内,则角α 所在象限是

（

）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3、已知扇形的周长是 6cm ，面积为 2cm 2 ，则扇形弧度数是（

）

A 、1

B 、4

C 、1 或 4

D 、2 或 4

4、将下列各角的弧度数化为角度数：

（1） - 7π 6

=

度；（2） - 8π 3

= ______度；

2

（3）1．4 =

度； （4） = 度.

3

5、若圆的半径是 6cm ，则15 的圆心角所对的弧长是

；所对扇形的面积是__ .

课后作业

6、已知集合 A= ⎨ x k π + ⎩

π 3 ≤ x ≤ k π + , k ∈ Z ⎬ ,B= x 4 - x 2 ≥ 0 ，求 A B .

2 ⎭

7、已知一个扇形周长为C(C0)，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积？

8、如图，已知一长为3dm，宽为1dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第三面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30的角，问点A走过的路程及走过的弧度所在扇形的总面积？

A

3B

A

C1

A

3D

1A

2