第一部分 第3章 31 312 第一课时 指数函数的概念图象和性质PPT课件
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指数函数的图象及性质 完整课件PPT
【拓展提升】 1.处理指数函数图象问题的两个要点 (1)牢记指数函数y=ax的图象恒过定点(0,1)，分布在第一和 第二象限. (2)明确影响指数函数图象特征的关键是底数.
2.底数变化对指数函数图象形状的影响 指数函数y=ax的图象如图所示，由指数函数y=ax的图象与 直线x=1相交于点(1，a)可知： (1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； (2)在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 如图中的底数的大小关系为 0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1.
22
答案：3 或 1
22
【类题试解】已知a>0，且a≠1，若函数f(x)=2ax-4在区间
［-1，2］上的最大值为10，则a=______.
【解析】(1)若a>1，则函数y=ax在区间［-1，2］上是递增的，
当x=2时，f(x)取得最大值f(2)=2a2-4=10，
即a2=7,又a>1，∴a= 7.
【解析】＞1时，函数y=ax的图象过点(0,1)，分布在第一、 二象限，且从左到右是上升的. 直线y=x+a过第一、二、三象 限，与y轴的交点为(0,a),在点(0,1)的上方. A，B，C，D四 项均不符合此要求.当0＜a＜1时，函数y=ax的图象过点 (0,1)，分布在第一、二象限，且从左到右是下降的. 直线 y=x+a过第一、二、三象限, 与y轴的交点为(0,a)，在点(0,1) 和点(0,0)项符合此要求.
=af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域 函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同. (2)值域 ①换元，令t=f(x)； ②求t=f(x)的定义域x∈D； ③求t=f(x)的值域t∈M； ④利用y=at的单调性求y=at，t∈M的值域.
高中数学第三章指数运算与指数函数3指数函数第1课时指数函数的概念图象和性质课件北师大版必修第一册
知识点2 指数函数的图象和性质
1.指数函数的图象和性质
图象和性质
图象
a>1
0<a<1
图象和
性质
a>1
0<a<1
(1)定义域:R
(2)值域:(0,+∞)
(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1
性质
(4)当x<0时,0<y<1;
(4)当x<0时,y>1;
当x>0时,y>1
当x>0时,0<y<1
(5)在R上是增函数
f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定
点(m,k+b).即令指数等于0,解出相应的x,y,则点(x,y)为所求定点.
角度2画指数型函数的图象
【例3】 画出下列函数的图象,并说明它们是由函数f(x)=2x的图象经过怎
样的变换得到的.
变式探究
比较下面两个数的大小:
(a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2).
解∵a>1,且a≠2,∴a-1>0,且a-1≠1.
若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0<a-1<1,即1<a<2,
则y=(a-1)x是减函数,∴(a-1)1.3>(a-1)2.4.
变式探究
本例中函数改为f(x)=5·a3x-2+4,其他条件不变,求点P的坐标.
解令 3x-2=0,得
2
x= ,此时
3
2
f( )=5×a0+4=9,故函数
高一数学必修教学课件第三章指数函数的概念
指数函数的复合运算
复合函数的定义
设f(x)和g(x)是两个函数，若对于f(x)定义域内的每一个x值，都有唯一的y值与之 对应，且这个y值在g(x)的定义域内，则称f[g(x)]为f和g的复合函数。
指数函数的复合运算
将指数函数作为另一个函数的变量进行运算。例如，f(x) = a^u，g(u) = u^2， 则f[g(u)] = a^(u^2)。
连续性质
指数函数y=a^x（a>0，a≠1）在其定义域内是连续 的，即对于任意x1和x2（x1≠x2），都存在一个δ>0 ，使得当|x-x1|<δ时，有|f(x)-f(x1)|<ε成立。
06 指数函数与其他 知识点的联系
指数函数与三角函数的关系
要点一
指数函数与三角函数的周期性
要点二
指数函数在三角函数中的应用
指数函数的单调性
当$a>1$时，指数函数在 $mathbf{R}$上是增函数；当 $0<a<1$时，指数函数在 $mathbf{R}$上是减函数。
指数函数的值域
由于指数函数的底数$a$为正数且 不等于1，因此其值域为 $(0,+infty)$。
指数函数与对数函数的关系
指数函数与对数函数的互逆关系
指数函数$y=a^x$与对数函数$y=log_a{x}$互为反函数，即它们的图像关于直 线$y=x$对称。
例如，a^x + a^x = 2a^x。
减法运算
同底数指数函数相减， 指数不变，底数相除。 例如，a^x - a^x = 0。
乘法运算
同底数指数函数相乘， 指数相加，底数不变。
例如，a^x * a^y = a^(x+y)。
除法运算
新课标人教版必修一指数函数及其性质课件(共17张PPT)
x 1 2
2 x 1 5的最大值为_______
a 2x a 2 例4：设函数f(x)= 为奇函数. x 2 1
求： （1）实数a的值； （2）用定义法判断f（x）在其定义域上的单调性.
课堂总结：
1:根式的概念与相关的结论
2：指数幂运算的推广：
整数
有理数
实数
3：指数的运算性质： 求值与化简（整体思想）
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
牢记底的限制；
a＞0且 a 1
熟悉单调分类； a 1单增；0 a 1单减； 弄清值域变化； 掌握草图画法。 一撇一捺
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
典型题例：
例1：比较下列各题中两个值的大小： （1） 0.8 －0 . 1 < 0.8 －0 . 2
1 x 2 8 2 x (1) ( ) 3 3 解：原不等式可化为
3
x 2 8
3
2 x
∵ 函数 y=3x 在R上是增函数 ∴ - x2 + 8 > - 2x
解之得：- 4 < x < 2
∴ 原不等式的解集是（- 4, 2）
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
(2) a
x 2 2 x
解：原不等式可化为
1 x2 ( ) (a 0且a 1) a
a
x2 2x
a
x2
(1)若a>1,则原不等式等价于 x2 - 2x >－ x2 ∵原不等式ห้องสมุดไป่ตู้解集为（－∞ ，0）∪（1，＋∞ ） (2)若0<a<1,则原不等式等价于 x2 - 2x < －x2 ∴原不等式的解集为（0,1 ）
2 x 1 5的最大值为_______
a 2x a 2 例4：设函数f(x)= 为奇函数. x 2 1
求： （1）实数a的值； （2）用定义法判断f（x）在其定义域上的单调性.
课堂总结：
1:根式的概念与相关的结论
2：指数幂运算的推广：
整数
有理数
实数
3：指数的运算性质： 求值与化简（整体思想）
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
牢记底的限制；
a＞0且 a 1
熟悉单调分类； a 1单增；0 a 1单减； 弄清值域变化； 掌握草图画法。 一撇一捺
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
典型题例：
例1：比较下列各题中两个值的大小： （1） 0.8 －0 . 1 < 0.8 －0 . 2
1 x 2 8 2 x (1) ( ) 3 3 解：原不等式可化为
3
x 2 8
3
2 x
∵ 函数 y=3x 在R上是增函数 ∴ - x2 + 8 > - 2x
解之得：- 4 < x < 2
∴ 原不等式的解集是（- 4, 2）
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
(2) a
x 2 2 x
解：原不等式可化为
1 x2 ( ) (a 0且a 1) a
a
x2 2x
a
x2
(1)若a>1,则原不等式等价于 x2 - 2x >－ x2 ∵原不等式ห้องสมุดไป่ตู้解集为（－∞ ，0）∪（1，＋∞ ） (2)若0<a<1,则原不等式等价于 x2 - 2x < －x2 ∴原不等式的解集为（0,1 ）
《指数函数及其性质》课件
指数函数中的底数 a 必须为正 实数且 a ≠ 1，自变量 x 可以 是实数或复数。
当 a > 1 时，函数是增函数； 当 0 < a < 1 时，函数是减函 数。
指数函数的基本形式
指数函数的基本形式为 y = a^x，其 中 a 为底数，x 为自变量。
指数函数的定义域和值域分别为全体 实数和正实数集。
CATALOGUE
指数函数与其他函数的比较
与线性函数的比较
线性函数
y=kx+b，其图像为直线 。指数函数与线性函数在 某些特性上存在显著差异 ，例如增长速度和斜率。
增长速度
线性函数在x增大时，y以 固定斜率增长；而指数函 数在x增大时，y的增长速 度会越来越快。
斜率
线性函数的斜率是固定的 ，而指数函数的斜率（即 函数的导数）会随着x的增 大而减小。
和第三象限。
指数函数的图像是连续的，但在 x = 0 处存在垂直渐近线。
02
CATALOGUE
指数函数的性质
增减性
总结词
指数函数的增减性取决于底数a的取 值范围。
详细描述
当a>1时，指数函数是增函数，即随 着x的增大，y的值也增大；当0<a<1 时，指数函数是减函数，即随着x的增 大，y的值减小。
奇偶性
总结词
奇函数和偶函数的性质可以通过指数函数的定义来判断。
详细描述
如果一个函数满足f(-x)=-f(x)，则它是奇函数；如果满足f(-x)=f(x)，则它是偶 函数。对于形如f(x)=a^x的指数函数，当a>0且a≠1时，它是非奇非偶函数； 当a=1时，它是偶函数；当a=-1时，它是奇函数。
值域和定义域
与幂函数的比较
指数函数及其性质 课件
例4 求下列函数的定义域和值域：
1
(1)y＝ 2 x-4 ；
解 由x－4≠0，得x≠4，
1
故 y＝ 2 x-4 的定义域为{x|x∈R，且 x≠4}.
又x－1 4≠0，即
2
1 x-4
≠1，
1
故 y＝ 2 x-4 的值域为{y|y＞0，且 y≠1}.
(2)y＝ 1－2x； 解 由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0， ∴y＝ 1－2x的定义域为(－∞，0]. 由0＜2x≤1，得－1≤－2x＜0，∴0≤1－2x＜1， ∴y＝ 1－2x的值域为[0,1).
(4)y＝2－x； 解 ∵y＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称， ∴作y＝2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图象. (5)y＝2|x|. 解 ∵y＝2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称， 故先作出当x≥0时，y＝2x的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y ＝2|x|的图象.
题型四 指数型函数的定义域、值域
在R上是_减__函__数___
题型一 指数函数的概念
例1 给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数
的个数是( B )
A.0
B.1
C.2
D.4
解析 ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；
②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；
易错点 换元时忽略新元范围致误 例 5 求函数 y＝(14)x＋(12)x＋1 的值域.
1
x2
2
x3
(3)2
x3
解 y＝ 2
的定义域为 R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
高一数学必修一《指数函数及其性质》PPT课件
进行求解，也可以将对数方程转化为指数方程进行求解。
03
指数函数与对数函数在图像上的关系
指数函数的图像与对数函数的图像关于直线y=x对称。
02
指数函数运算规则
同底数指数运算法则
乘法法则
$a^m times a^n = a^{m+n}$，其中$a$是底数，$m$和$n$ 是指数。
除法法则
$a^m div a^n = a^{m-n}$，其中$a neq 0$。
分组让学生讨论指数函数的性质，如定义域、值域、 单调性、奇偶性等，并让他们尝试通过图像观察验证 这些性质。
问题导入
互动问答
通过具体案例，如“细菌繁殖”、“投资回报”等， 让学生应用指数函数的知识进行分析和计算，加深对
指数函数的理解。
案例分析
老师提出问题，学生抢答或点名回答，问题可以涉及 指数函数的计算、性质应用等，以检验学生的学习效 果。
放射性物质衰变模型
放射性物质衰变模型
01
N(t) = N0 * e^(-λt)，其中N(t)表示t时刻的放射性物质数量，
N0表示初始放射性物质数量，λ表示衰变常数。
指数函数在放射性物质衰变模型中的应用
02
通过指数函数可以描述放射性物质数量随时间减少的规律。
放射性物质衰变模型的意义
03
对于核能利用、环境保护等领域具有重要的指导意义。
单调性
当a>1时，指数函数在R上是增函数；当0<a<1时，指数函 数在R上是减函数。
指数函数与对数函数关系
01
指数函数与对数函数的互化关系
指数函数y=a^x（a>0且a≠1）与对数函数y=log_a x（a>0且a≠1）是
第1课时 指数函数的概念、图象和性质
[方法技巧] 指数型函数 y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域：函数 y＝af(x)的定义域与 y＝f(x)的定义域相同． (2)值域：①换元，t＝f(x)． ②求 t＝f(x)的定义域为 x∈D. ③求 t＝f(x)的值域为 t∈M. ④利用 y＝at 的单调性求 y＝at，t∈M 的值域．
(3)①若 a＞1，则 f(x)在[1,2]上单调递增，最大值为 a2，最小值为 a，所以 a2－a＝a2， 即 a＝32或 a＝0(舍去)．
②若 0＜a＜1，则 f(x)在[1,2]上单调递减，最大值为 a，最小值为 a2，所以 a－a2＝a2， 即 a＝12或 a＝0(舍去)．
综上所述，a 的值为12或32. [答案] (1)C (2)C (3)12或32
4．函数 y＝4x＋2 的值域是________． 解析 ∵当 x∈R,4x>0，∴y>2. 即值域为(2，＋∞)． 答案 (2，＋∞)
02
课堂案 题型探究
题型一 指数函数的概念 (1)指数函数 y＝f(x)的图象经过点－2，14，那么 f(4)f(2)＝________.
(2)已知函数 y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数，则实数 a 的值为________．
单调性 是 R 上的__增__函__数____
是 R 上的___减__函__数___
奇偶性
非奇非偶函数
[基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝ax＋2 是指数函数．( ) (2)指数函数 y＝ax 中，a 可以为负数．( ) (3)指数函数的图象一定在 x 轴的上方．( ) (4)函数 y＝2－x 的定义域为{x|x≠0}．( )
[提示] 定义域为 R，值域为{y|y>0}，过(0,1)点，a>1 时为增函数，0<a<1 时为减 函数，没有最值，既不是奇函数也不是偶函数．
指数函数的概念图象及性质PPT课件
y ax
指数函数的定义:
一般地，函数 y ax(a 0,且a 1)叫做指 数函数，其中 x 是自变量, 函数的定义 域是 R.
? 注意三点：
（1）底数：大于0且不等于1的常数 （2）指数：自变量x （3）系数：1
思考2：为什么要规定a 0且a 1?
0
1
a
当a<0时， a x不一定有意义，
如－2x，当x 1 ，1 等等，
正确．
答案：D
2．函数 f(x)＝ 2x1－1的定义域为(
)
A．R
B．(0，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(－∞，0)
解析：要使函数有意义，则 2x－1>0，∴2x>1，∴x>0. 答案：B
3．在同一坐标系中，函数 y＝2x 与 y＝12x 的图像之间的关系 是( )
A．关于 y 轴对称 B．关于 x 轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线 y＝x 对称
例题讲解
已知指数函数
f
x
ax
(
a>0,且
a
1)
的图象经过点 3, ,求 f 0, f 1, f 3的值.
解: f 3
1
即: a3 a 3 3
1
x
f x ( 3 )x 3
0
f 0 3 0 1
1
f 1 3
f
3
3 3
1
1
巩固训练，拓展提升
变式训练
已知指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的 图象经过点（2，16），求f(0),f(2)的值。
24
在实数范围内函数无意义。
当a=0时， x>0 ax 0 ，无研究价值 x≤0 ax无意义
指数函数的定义:
一般地，函数 y ax(a 0,且a 1)叫做指 数函数，其中 x 是自变量, 函数的定义 域是 R.
? 注意三点：
（1）底数：大于0且不等于1的常数 （2）指数：自变量x （3）系数：1
思考2：为什么要规定a 0且a 1?
0
1
a
当a<0时， a x不一定有意义，
如－2x，当x 1 ，1 等等，
正确．
答案：D
2．函数 f(x)＝ 2x1－1的定义域为(
)
A．R
B．(0，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(－∞，0)
解析：要使函数有意义，则 2x－1>0，∴2x>1，∴x>0. 答案：B
3．在同一坐标系中，函数 y＝2x 与 y＝12x 的图像之间的关系 是( )
A．关于 y 轴对称 B．关于 x 轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线 y＝x 对称
例题讲解
已知指数函数
f
x
ax
(
a>0,且
a
1)
的图象经过点 3, ,求 f 0, f 1, f 3的值.
解: f 3
1
即: a3 a 3 3
1
x
f x ( 3 )x 3
0
f 0 3 0 1
1
f 1 3
f
3
3 3
1
1
巩固训练，拓展提升
变式训练
已知指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的 图象经过点（2，16），求f(0),f(2)的值。
24
在实数范围内函数无意义。
当a=0时， x>0 ax 0 ，无研究价值 x≤0 ax无意义
2021年高中数学必修第一册：指数函数的概念+指数函数的图象和性质 课件(北师大版)
思考讨论：
地球与太阳的距离约1.5亿km，已接近 地球与太阳的距离了
注意：
列表 描点
…
…
…
…
试一试
试一试
列表 描点 连线……… Nhomakorabea…
试一试
思考讨论（综合练习）：
思考讨论（综合练习）：
方法点拨：
利用函数的性质解决方程、不等式等问题，是 函数思想的重要应用，指数函数的图象有别与初 中学习的函数图象，熟练掌握指数函数两种情况 的图象和性质，是解决复合函数问题的基础。
练习
教材P84， 练习1、2、3.
作业
教材P89，习题3—3：
A组第3、4、5、6题 B组第1、2、3题
北师版必修上册
高中数学同步课件讲义教案
[汇编整理]
北师2019版必修上册
第三章 指数运算与指数函数
第3节 指数函数
3.3.1 指数幂的扩充 3.3.2 指数函数的图象和性质（1）
曾经有人断言，一张A4纸，不可能将其对折超 过8次，是不是这样呢？
思考讨论：
假设一张厚度0.01cm的A4纸可以无限折叠下去， 那么折叠30次的高度大约是多少？折叠50次呢？
指数函数图像和性质-第一课时解析PPT课件
这 一 条 件 ， 可 以 求 得 底 数 a 的 值 。
解 ： 因 为 指 数 函 数 y = a x 的 图 像 经 过 点 （ 3 ， ） ， 所 以 f (3) .
1
x
即 a 3,解 得 a 3 ,于 是 f(x )3 .
所 以 ， f( 0 )0 1 ， f( 1 )1 3 3， f( 3 ) 1 1 .
例1已知指数函数 f ( x ) a x (a>0,且a≠1）的图象
经过点（3，π），求 f(0)、f(1)、f(-3)的值.
分 析 ： 要 求 f(0 ),f(1 ),f( 3 )的 值 ， 需 要 我 们 先 求
出 指 数 函 数 的 解 析 式 。 根 据 函 数 图 像 经 过 （ 3 ， ）
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a1。
探究2：函数y 23x 是指数函数吗？
指数函数的解析式y= a x 中，a x 的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如
y ax k (a0且 a1,kz)
有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如
y ax
因为它可以化为
(a0,且 a1)
y
探究1：为什么要规定a>0,且a 1呢？
0
1
a
a ①若a=0，则当x>0时， x =0；
当x 0时， a x 无意义.
②若a<0，则对于x的某些数值，可使 a x 无意义.
1 如 (2) x ，这时对于x= 4
，x=
1 2
……等等，在实数范围内函数值不存在.
③若a=1，则对于任何xR，
a x=1，是一个常量，没有研究的必要性.
(4)y3x (5)y1x
高中数学(北师大版)必修1 名师课件：第三章 §3 第一课时 指数函数的概念、图像和性质
有意义，只需1－x≥0，
即x≤1，所以函数的定义域为(－∞，1]． 设y＝3u，u＝ 1－x，则u≥0， 由函数y＝3u在[0，＋∞)上是增函数，得y≥30＝1， 所以函数的值域为[1，＋∞)． (2)函数y＝5－x－1对任意的x∈R都成立， 所以函数的定义域为R.因为5－x＞0， 所以5－x－1＞－1，所以函数的值域为(－1，＋∞).
2．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈R)的图像与性质
a＞1 图像
0＜a＜1
性 质 函数值的 变化 单调性
定义域 值域 定点
R ____ (0，＋∞) _________
过点(0,1)，即x＝0时，y＝1 y＞1 ；x＜0 x＞0时，0＜y＜1； x＞0时，______ y＞1 时，0＜y＜1 x＜0时，____ 是R上的________ 是R上的______ 增函数 减函数
2．下列函数中是指数函数的是 A．y＝3x－2 B．y＝2· 5x C．y＝5x
＋2
(
)
D．y＝(a＋2)x(a＞－2，且a≠－1)
答案：D
3．函数y＝3x与y＝3－x的图像关于下列哪种图形对称( A．x轴 C．直线y＝x B．y轴 D．原点
)
答案：B
1 4．已知指数函数f(x)的图像过点4，16，则f(－3)＝______.
[点睛] 研究函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的图像和性质时，一定要 注意 a 的取值范围．
[小试身手]
1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)函数f(x)＝2x－1是指数函数． (2)指数函数y＝ax是单调函数． (3)当x＞0时，ax＞1；当x＜0时，ax＜1. (4)指数函数y＝ax既不是奇函数，也不是偶函数． ( × ) ( √ ) ( × ) (√ )
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[一点通] 指数函数具有以下特征：①底数a为大 于0且不等于1的常数，不含有自变量x；②指数位置是 自变量x，且x的系数是1；③ax的系数是1.
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1．下列所给函数中是指数函数的是________．(只填序号) ①y＝4x；②y＝x4；③y＝－4x；④y＝(－4)x；⑤y＝πx； ⑥y＝4x2 ；⑦y＝x2；⑧y＝(2a－1)x(a>12，a≠1) 解析：②中自变量不在指数上；③是－1 与 4x 的积；④ 中底数－4<0；⑥中指数不是自变量 x，而是 x2；⑦中底 数 x 不是常数．它们都不符合指数函数的定义．只有 ①⑤⑧是指数函数． 答案：①⑤⑧
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(3)∵1.4>1，0<0.9<1， ∴函数 y＝1.4x 是增函数，y＝0.9x 是减函数， ∴1.40.1>1.40＝1， 0．93<0.90＝1. ∴1.40.1>0.93.
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[一点通] 在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下三类 (1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决． (2)底数不同、指数同：利用指数函数的图象进行解 决．在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象，依 据底数a对指数函数图象的影响，逆时针方向底数在增大， 然后观察指数取值对应的函数值即可． (3)底数不同、指数也不同：采用介值法．以其中一个 的底为底，以另一个的指数为指数．比如ac与bd，可取ad， 前者利用单调性，后者利用图象．
单调性
调 函数
单调 函数
返回
1．指数函数是一个形式定义，只有形如y＝ax(a>0， a≠1)的函数才叫做指数函数．像y＝2·3x，y＝x2，y＝2x＋ 1，y＝3x＋1都不是指数函数．在指数函数中，底数有严 格的规定，即a>0且a≠1.
2．研究指数函数y＝ax的图象和性质时，当底数a大 小不确定时，必须分“a>1”和“0<a<1”两种情况讨论．
理解教 材新知
知识点一 知识点二ຫໍສະໝຸດ 第3.13
3.1.2
章
第
一
课
时
把握热 点考向
考点一 考点二 考点三
应用创 新演练
返回
3．1
指数函数
3．1.2 指数函数
返回
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问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2 个分裂成4个．……依此类推，1个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y与x的解析式是怎样的？
的大小关系． 解：(1)取中间量(190)12.
∵（（14590））1212＝(89)21<(89)0＝1，∴(45)21<(190)21.
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指数函数的图象和性质 a>1
图象
0<a<1
返回
性质
a>1
0<a<1
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
过点 (0，1) ，即x＝ 0 时，y＝ 1
函数值 当x>0时， y>1 ； 当x<0时，0<y<1
的变化 当x>0时， 0<y<1 ； 当x<0时，y>1
在(－∞，＋∞增)上是单 在(－∞，＋∞减)上是
提示：y＝2x.
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问题2：一种产品的产量原来是1，在今后m年内，计 划使产量平均每年比上一年增加p%，那么产量y随年数x 变化的函数解析式是什么？
提示：y＝(1＋p%)x. 问题3：以上两个解析式有什么共同特征？可以用什 么样的关系式来描述？ 提示：函数式的底数为常数，指数为未知数x，可以 用y＝ax来描述．
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指数函数的定义：一般地，函数 y＝ax(a>0，a≠1) 叫 做指数函数，它的定义域是 R .
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考察函数 y＝2x 与 y＝(12)x. 问题 1：作出这两个函数的图象． 提示：
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问题2：两函数的图象与y轴的交点是什么？指数函数 都过该点吗？
提示：交点为(0，1)．指数函数都过(0，1)． 问题3：两函数的图象与x轴有交点吗？ 提示：没有． 问题4：这两个函数的单调性如何？ 提示：y＝2x 是增函数，y＝(12)x 是减函数．
(2)∵函数 y＝0.8x 在 R 上是减函数，－0.1>－0.2， ∴(0.8)－0.1<(0.8)－0.2. (3)由指数函数的性质得 1.70.3>1.70＝1，
0．92.7<0.90＝1，∴1.70.3>0.92.7.
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5．(1)比较(45)12和(190)13的大小； (2)已知 a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.30.8，试比较 a，b，c
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[例 2] 比较下列各题中两个值的大小： (1)3－π与 3－3；(2)(56)a－2 与(56)a－3； (3)1.40.1 与 0.93. [思路点拨] (1)(2)利用指数函数的单调性比较； (3)借助中间量1比较．
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[精解详析] (1)∵3>1，∴函数 y＝3x 是增函数， 又∵－π<－3，∴3－π<3－3. (2)∵0<56<1， ∴函数 y＝(56)x 是减函数， 又∵a－2>a－3. ∴(56)a－2<(56)a－3.
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2．我国的人口约 13 亿，如果今后能将人口数年平均增 长率控制在 1%，那么经过 x 年后我国人口数为 y 亿， 则 y 与 x 的关系式为__________． 解析：根据题意知，y＝13(1＋1%)x＝13×1.01x. 答案：y＝13×1.01x
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3．已知指数函数f(x)的图象过点(3，27)，求f(5)的值． 解：设函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)， 因为函数f(x)的图象过点(3，27)， 所以a3＝27，解得a＝3， 所以f(x)＝3x，所以f(5)＝35＝243.
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第一课时 指数函数的概念、图象和性质 返回
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[例 1] 函数 f(x)＝(a2－7a＋7)ax 是指数函数，求实 数 a 的值．
[思路点拨] 利用按照指数函数的定义求解．
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[精解详析] ∵函数 f(x)＝(a2－7a＋7)ax 是指数函数， ∴aa2>－0，7aa＋≠71＝. 1，∴aa＝ >01，或aa≠＝16. . ∴a＝6，即 a 的值为 6.
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4．比较下列各题中的两个数的大小：
(1)1.72.5，1.72.3；(2)(0.8)－0.1，(0.8)－0.2；
(3)1.70.3，0.92.7. 解：(1)对于指数函数 y＝1.7x，由于底数 1.7>1，
所以指数函数 y＝1.7x 在(－∞，＋∞)上是增函数．
∵2.5>2.3，∴1.72.5>1.72.3.
[一点通] 指数函数具有以下特征：①底数a为大 于0且不等于1的常数，不含有自变量x；②指数位置是 自变量x，且x的系数是1；③ax的系数是1.
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1．下列所给函数中是指数函数的是________．(只填序号) ①y＝4x；②y＝x4；③y＝－4x；④y＝(－4)x；⑤y＝πx； ⑥y＝4x2 ；⑦y＝x2；⑧y＝(2a－1)x(a>12，a≠1) 解析：②中自变量不在指数上；③是－1 与 4x 的积；④ 中底数－4<0；⑥中指数不是自变量 x，而是 x2；⑦中底 数 x 不是常数．它们都不符合指数函数的定义．只有 ①⑤⑧是指数函数． 答案：①⑤⑧
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(3)∵1.4>1，0<0.9<1， ∴函数 y＝1.4x 是增函数，y＝0.9x 是减函数， ∴1.40.1>1.40＝1， 0．93<0.90＝1. ∴1.40.1>0.93.
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[一点通] 在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下三类 (1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决． (2)底数不同、指数同：利用指数函数的图象进行解 决．在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象，依 据底数a对指数函数图象的影响，逆时针方向底数在增大， 然后观察指数取值对应的函数值即可． (3)底数不同、指数也不同：采用介值法．以其中一个 的底为底，以另一个的指数为指数．比如ac与bd，可取ad， 前者利用单调性，后者利用图象．
单调性
调 函数
单调 函数
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1．指数函数是一个形式定义，只有形如y＝ax(a>0， a≠1)的函数才叫做指数函数．像y＝2·3x，y＝x2，y＝2x＋ 1，y＝3x＋1都不是指数函数．在指数函数中，底数有严 格的规定，即a>0且a≠1.
2．研究指数函数y＝ax的图象和性质时，当底数a大 小不确定时，必须分“a>1”和“0<a<1”两种情况讨论．
理解教 材新知
知识点一 知识点二ຫໍສະໝຸດ 第3.13
3.1.2
章
第
一
课
时
把握热 点考向
考点一 考点二 考点三
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3．1
指数函数
3．1.2 指数函数
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问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2 个分裂成4个．……依此类推，1个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y与x的解析式是怎样的？
的大小关系． 解：(1)取中间量(190)12.
∵（（14590））1212＝(89)21<(89)0＝1，∴(45)21<(190)21.
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指数函数的图象和性质 a>1
图象
0<a<1
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性质
a>1
0<a<1
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
过点 (0，1) ，即x＝ 0 时，y＝ 1
函数值 当x>0时， y>1 ； 当x<0时，0<y<1
的变化 当x>0时， 0<y<1 ； 当x<0时，y>1
在(－∞，＋∞增)上是单 在(－∞，＋∞减)上是
提示：y＝2x.
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问题2：一种产品的产量原来是1，在今后m年内，计 划使产量平均每年比上一年增加p%，那么产量y随年数x 变化的函数解析式是什么？
提示：y＝(1＋p%)x. 问题3：以上两个解析式有什么共同特征？可以用什 么样的关系式来描述？ 提示：函数式的底数为常数，指数为未知数x，可以 用y＝ax来描述．
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指数函数的定义：一般地，函数 y＝ax(a>0，a≠1) 叫 做指数函数，它的定义域是 R .
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考察函数 y＝2x 与 y＝(12)x. 问题 1：作出这两个函数的图象． 提示：
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问题2：两函数的图象与y轴的交点是什么？指数函数 都过该点吗？
提示：交点为(0，1)．指数函数都过(0，1)． 问题3：两函数的图象与x轴有交点吗？ 提示：没有． 问题4：这两个函数的单调性如何？ 提示：y＝2x 是增函数，y＝(12)x 是减函数．
(2)∵函数 y＝0.8x 在 R 上是减函数，－0.1>－0.2， ∴(0.8)－0.1<(0.8)－0.2. (3)由指数函数的性质得 1.70.3>1.70＝1，
0．92.7<0.90＝1，∴1.70.3>0.92.7.
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5．(1)比较(45)12和(190)13的大小； (2)已知 a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.30.8，试比较 a，b，c
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[例 2] 比较下列各题中两个值的大小： (1)3－π与 3－3；(2)(56)a－2 与(56)a－3； (3)1.40.1 与 0.93. [思路点拨] (1)(2)利用指数函数的单调性比较； (3)借助中间量1比较．
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[精解详析] (1)∵3>1，∴函数 y＝3x 是增函数， 又∵－π<－3，∴3－π<3－3. (2)∵0<56<1， ∴函数 y＝(56)x 是减函数， 又∵a－2>a－3. ∴(56)a－2<(56)a－3.
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2．我国的人口约 13 亿，如果今后能将人口数年平均增 长率控制在 1%，那么经过 x 年后我国人口数为 y 亿， 则 y 与 x 的关系式为__________． 解析：根据题意知，y＝13(1＋1%)x＝13×1.01x. 答案：y＝13×1.01x
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3．已知指数函数f(x)的图象过点(3，27)，求f(5)的值． 解：设函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)， 因为函数f(x)的图象过点(3，27)， 所以a3＝27，解得a＝3， 所以f(x)＝3x，所以f(5)＝35＝243.
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第一课时 指数函数的概念、图象和性质 返回
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[例 1] 函数 f(x)＝(a2－7a＋7)ax 是指数函数，求实 数 a 的值．
[思路点拨] 利用按照指数函数的定义求解．
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[精解详析] ∵函数 f(x)＝(a2－7a＋7)ax 是指数函数， ∴aa2>－0，7aa＋≠71＝. 1，∴aa＝ >01，或aa≠＝16. . ∴a＝6，即 a 的值为 6.
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4．比较下列各题中的两个数的大小：
(1)1.72.5，1.72.3；(2)(0.8)－0.1，(0.8)－0.2；
(3)1.70.3，0.92.7. 解：(1)对于指数函数 y＝1.7x，由于底数 1.7>1，
所以指数函数 y＝1.7x 在(－∞，＋∞)上是增函数．
∵2.5>2.3，∴1.72.5>1.72.3.