高中数学选修2-2课件2.2.1《综合法和分析法》课件
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2B A C; A,B,C为ΔABC的内角,这是个隐含条 件,明确表示出来是A B C π; a,b,c成等比数列,转化为符号语言就是b2 ac. 此时,如果能把角和边统一起来,那么就可以进一 步寻找角和边之间的关系,进而判断三角形的形 状,余弦定理正好满足要求.于是,可以用余弦定理 为工具进行证明.
的前n项的和记为sn,数列{s2n}是首项为3,
公差为1的等差数列.
(1)求an与sn的解析式; (2)试比较sn与3nan(n∈N*),的大小.
作业：Ｐ１０２ Ａ组4，Ｂ组3
思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先 由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个 数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱 取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙 箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同 前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、 乙、丙三箱原有小球数
事实上,在解决问题时,我们经常把综合法 和分析法结合起来使用: 根据条件结构特 点去转化结论, 得到中间结论Q; 根据结论 的 结 构 特 点 去 转 化 条 件, 得 到 中 间 结 论 P. 若由P 可以推出Q 成立,就可以证明结论 成立.下面来看一个例子.
例3 已知α,β kπ π k Z,且
方法叫做分析法．
特点：执果索因.
用框图表示分析法的思考过程、特点.
得到一个明显
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
成立的结论
例:设a,b,c为一个三角形的三
边,且s2=2ab,s = 1(a + b + c),
2
试证s<2a
例:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB
的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足
1 cos2 β sin2 β ,再与4 sin2 α sin2 β 1
2 比较,发现只要把cos2 α sin2 α 1 (cos2 β
2 sin2 β)中的角的余弦转化为正弦 ,就能达 到目的.
证明 因为sin θ cos θ2 2sin θcos θ 1,所以
把 ① ② 代入上式,可得4 sin2 α 2 sin2 β 1. ③
另一方面,要证 1 1
tan2 α tan2 α
1 tan2 β 2 1 tan2 β
.
1 即证
1
sin2 α
cos2 α sin2 α
cos2 α
1
sin2 β cos2 β
.
21
sin2 β cos2 β
即证cos2 α sin2 α 1 cos2 β sin2 β , 2
即证1 2 sin2 α 1 1 2sin2 β , 2
所以 a + b 2 ab
百度文库
所以
a+b 2
ab 成立
证明:要证;a
+ 2
b
ab
只需证;a + b 2 ab
只需证;a + b 2 ab 0
只需证;( a b)2 0
因为;( a b)2 0 成立
所以 a
+ 2
b
ab成立
一般地，从要证明的结论出发，逐步 寻求推证过程中，使每一步结论成立的充 分条件，直至最后，把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件（已知条件、 定理、定义、公理等）为止，这种证明的
即证4 sin2 α 2 sin2 β 1.
由于上式与③ 相同,于是问题得证.
用P表 示 已 知 条 件 定 义 、 定理 、 公 理 等 ,用Q 表示要证明的结论,则上述过 程 可 用 框 图 表 示 为:
P P1 P1 P2
Pn1 Pn
Qm1 Qm
Q Q1 Q1 Q2
系sin θ cos θ2 2sin θcos θ 1,于是,由 ①2 2
② 得4 sin2 α 2 sin2 β 1.
把4 sin2 α 2 sin2 β 1与结论相比较,发现 角相同,但函数名称不同,于是尝试转化结 论 : 统 一函 数 名称 ,即 把正切函数化为正
余 弦函数.把结论转化为cos2 α sin2 α
B 图2.2 1
面AEF,需要证SC AE,SC EF成立.
而 已 知 条 件" 过E作SC的 垂 线,垂 足 为F(转 化
为符号语言就是EF SC)"已经满足了SC 平面 AEF 所需要的两个条件中的一个,因此 可以朝证明SC 平面AEF这个方向努力.
证明 要证 AF SC 只需证SC 平面AEF, 只需证AE SC (因为
又c2 a2 2ac,b 0,所以b c2 a2 2abc.
因此 a b2 c2 b c2 a2 4abc.
一 般 地, 利 用 已 知 条 件 和 某 些 数学 定 义 、 公 理 、 定 理 等, 经 过 一 系 列 的 推 理 论 证,最 后 推 导 出 所 要 证 明 的 结 论 成 立,这 种 证 明 方 法 叫 做综合法
synthetical method.
综合法,又叫顺推证法或由因导果法.
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理 等,Q 表示所要证明的结论,则综合法可用框图 表示为:
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 Qn Q
例1 在ΔABC中,三个内角A,B,C对应的边分别为 a,b,c,且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列,求证 ΔABC为等边三角形. 分析 将A,B,C成等差数列,转化为符号语言就是
较困难.这时,可以从结论出发,逐步反推,寻求使
当前命题成立的充分条件.
在立体几何中,通常可以把证明两条直线互相垂直
的问题,转化为证明直线与平面垂直的问题.
S
在本例中,可以考虑
证AF 平面SBC或
F E
证SC 平面AEF.要
证AF 平面SBC,需
A
C
要证AF SB,AF BC成立;要证SC 平
已知条件、定理、定义、公理等为止.
例如,基本不等式a b aba 0,b 0的证明
2 就用了上述方法.
要证 a b ab,只需证 a b 2 ab,
2
只需证 a b 2 ab 0, 只需证 a b 0.
由于 a b 0显然成立,因此原不等式成立.
一 般 地,从 要 证 明 的 结 论 出 发,逐 步 寻 求 使 它 成 立
因此a c.从而有A C.
⑤
由② ③ ⑤ 得,A B C π .所以ΔABC是等边三角形.
3
解决数学问题时,往往先作语言转换,如把文字语言
转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等.
还 要 通 过 细 致 的 分 析, 把 其 中 的 隐 含 条 件 明 显表 示
出来.
2.分析法
证明数学命题时,还经常从要证明的结论Q出发, 反推回去,寻求保证Q成立的条件,即使Q成立的 充 分 条 件P1,为 了 证 明P1成 立, 再 去 寻 求P1成 立 的 充 分 条 件P2 ;为 了 证 明P2成 立, 再 去 寻 求P2成 立 的 充分条件P3 直到找到一个明显成立的条件
2
sin θ cos θ 2 sin α,
①
sin θ cos θ sin2 β,
②
求证 : 1 1
tan2 α tan2 α
1 tan2 β 2 1 tan2 β
.
分析 比较已知条件和结论,发现结论中没有出 现角θ,因此第一步工作可以从已知条件中消去θ. 观察已知条件的结论特点,发现其中蕴含数量关
证明 由A,B,C成等差数列,有2B A C.
①
因为A,B,C为ΔABC的内角,所以A B C π. ②
由① ②,得B π .
③
3
由a,b,c成等比数列,有b2 ac.
④
由余弦定理及③ ,可得b2 a2 c2 2ac cosB a2 c2 ac.
再由④,得a2 c2 ac ac,即 a c2 0,
的 充 分 条 件,直 到 最 后,把 要 证 明 的 结 论 归 结 为判
定 一 个 明 显 成 立 的 条 件(已 知 条 件 、 定 理 、 定 义、
公 理 等)为 止.这 种 证 方 法 叫 做分析法 (analytical
method).
分析法,又叫逆推证法或执果索因法.
用Q表 示 要 证 明 的 结 论,则 分 析 法 可 用 框 图 表 示为 :
为F,求证 AF⊥SC
S
证明:要证AF⊥SC
只需证:SC⊥平面AEF
只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC
只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
F E
A
C
B
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
例.
已知α,β≠
kπ+π(k 2
Z),且
Q P1 P1 P2 P2 P3
得到一个明显 成立的条件
S
例2 如图2.2 1所示 ,SA
平面ABC,AB BC,过A作SB 的垂线,垂足为E,过E作SC的
F E
垂线,垂足为F.求证 AF SC. A
C
分析 本例所给的已知条件 中,垂直条件较多,我们不容易
B 图2.2 1
确定如何在证明中使用它们,因而用综合法比
sinθ+ cosθ= 2sinα
sinθ cosθ= sin2β
求证:
1 - tan2α = 1 - tan2β . 1 + tan2α 2(1 + tan2β)
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
得到一个明显 成立的结论
也可以是经过 证明的结论
例:已知数列{an}的通项an>0,(n∈N*),它
), 只需证AE 平面SBC,
只需证AE BC (因为 ),
只需证BC 平面SAB,
S
F E
A
C
B 图2.2 1
只需证BC SA (因为
),
由SA 平面ABC可知,上式成立.所以,AF SC.
思考 请对综合法与分析法进行比较,说出 它们各自的特点.回顾以往的数学学习,说说 你对这两种证明方法的新认识.
2.2.1 综合法和分析法
复习
一般地，利用已知条件和某些已经学 过的定义、定理、公理等，经过一系列 的推理、论证，最后推导出所要证明的 结论成立，这种证明方法叫做综合法。
特点:“由因导果”
回顾基本不等式：a
+ 2
b
ab
(a>0,b>0)的证明.
证明:
因为;( a b)2 0
所以 a + b 2 ab 0
法,也是解决数学问题时常用的思维方式.
1 综合法
在数证明中,我们经常从已知条件和某些数学定
义、公理、定理等出发,通过推理推导出所要的 结论,例如 :
已知a,b 0,求证a b2 c2 b c2 a2 4abc.
证明 因为b2 c2 2bc,a 0,
所以a b2 c2 2abc.
甲:208个,乙:112个,丙:64个
我 们 知 道, 合 情 推 理 所 得 结 论 的 正确 性 是需要证明的,这正是数学区别于其他 科学的显著特点.数学结论的正确性必 须通过逻辑推理的方式加以证明.本节 我们将学习两类基本的证明方法: 直接 证明与间接证明.
综 合 法 和 分析 法, 是 直 接 证 明中 最 基 本 的两 种 方
的前n项的和记为sn,数列{s2n}是首项为3,
公差为1的等差数列.
(1)求an与sn的解析式; (2)试比较sn与3nan(n∈N*),的大小.
作业：Ｐ１０２ Ａ组4，Ｂ组3
思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先 由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个 数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱 取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙 箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同 前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、 乙、丙三箱原有小球数
事实上,在解决问题时,我们经常把综合法 和分析法结合起来使用: 根据条件结构特 点去转化结论, 得到中间结论Q; 根据结论 的 结 构 特 点 去 转 化 条 件, 得 到 中 间 结 论 P. 若由P 可以推出Q 成立,就可以证明结论 成立.下面来看一个例子.
例3 已知α,β kπ π k Z,且
方法叫做分析法．
特点：执果索因.
用框图表示分析法的思考过程、特点.
得到一个明显
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
成立的结论
例:设a,b,c为一个三角形的三
边,且s2=2ab,s = 1(a + b + c),
2
试证s<2a
例:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB
的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足
1 cos2 β sin2 β ,再与4 sin2 α sin2 β 1
2 比较,发现只要把cos2 α sin2 α 1 (cos2 β
2 sin2 β)中的角的余弦转化为正弦 ,就能达 到目的.
证明 因为sin θ cos θ2 2sin θcos θ 1,所以
把 ① ② 代入上式,可得4 sin2 α 2 sin2 β 1. ③
另一方面,要证 1 1
tan2 α tan2 α
1 tan2 β 2 1 tan2 β
.
1 即证
1
sin2 α
cos2 α sin2 α
cos2 α
1
sin2 β cos2 β
.
21
sin2 β cos2 β
即证cos2 α sin2 α 1 cos2 β sin2 β , 2
即证1 2 sin2 α 1 1 2sin2 β , 2
所以 a + b 2 ab
百度文库
所以
a+b 2
ab 成立
证明:要证;a
+ 2
b
ab
只需证;a + b 2 ab
只需证;a + b 2 ab 0
只需证;( a b)2 0
因为;( a b)2 0 成立
所以 a
+ 2
b
ab成立
一般地，从要证明的结论出发，逐步 寻求推证过程中，使每一步结论成立的充 分条件，直至最后，把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件（已知条件、 定理、定义、公理等）为止，这种证明的
即证4 sin2 α 2 sin2 β 1.
由于上式与③ 相同,于是问题得证.
用P表 示 已 知 条 件 定 义 、 定理 、 公 理 等 ,用Q 表示要证明的结论,则上述过 程 可 用 框 图 表 示 为:
P P1 P1 P2
Pn1 Pn
Qm1 Qm
Q Q1 Q1 Q2
系sin θ cos θ2 2sin θcos θ 1,于是,由 ①2 2
② 得4 sin2 α 2 sin2 β 1.
把4 sin2 α 2 sin2 β 1与结论相比较,发现 角相同,但函数名称不同,于是尝试转化结 论 : 统 一函 数 名称 ,即 把正切函数化为正
余 弦函数.把结论转化为cos2 α sin2 α
B 图2.2 1
面AEF,需要证SC AE,SC EF成立.
而 已 知 条 件" 过E作SC的 垂 线,垂 足 为F(转 化
为符号语言就是EF SC)"已经满足了SC 平面 AEF 所需要的两个条件中的一个,因此 可以朝证明SC 平面AEF这个方向努力.
证明 要证 AF SC 只需证SC 平面AEF, 只需证AE SC (因为
又c2 a2 2ac,b 0,所以b c2 a2 2abc.
因此 a b2 c2 b c2 a2 4abc.
一 般 地, 利 用 已 知 条 件 和 某 些 数学 定 义 、 公 理 、 定 理 等, 经 过 一 系 列 的 推 理 论 证,最 后 推 导 出 所 要 证 明 的 结 论 成 立,这 种 证 明 方 法 叫 做综合法
synthetical method.
综合法,又叫顺推证法或由因导果法.
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理 等,Q 表示所要证明的结论,则综合法可用框图 表示为:
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 Qn Q
例1 在ΔABC中,三个内角A,B,C对应的边分别为 a,b,c,且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列,求证 ΔABC为等边三角形. 分析 将A,B,C成等差数列,转化为符号语言就是
较困难.这时,可以从结论出发,逐步反推,寻求使
当前命题成立的充分条件.
在立体几何中,通常可以把证明两条直线互相垂直
的问题,转化为证明直线与平面垂直的问题.
S
在本例中,可以考虑
证AF 平面SBC或
F E
证SC 平面AEF.要
证AF 平面SBC,需
A
C
要证AF SB,AF BC成立;要证SC 平
已知条件、定理、定义、公理等为止.
例如,基本不等式a b aba 0,b 0的证明
2 就用了上述方法.
要证 a b ab,只需证 a b 2 ab,
2
只需证 a b 2 ab 0, 只需证 a b 0.
由于 a b 0显然成立,因此原不等式成立.
一 般 地,从 要 证 明 的 结 论 出 发,逐 步 寻 求 使 它 成 立
因此a c.从而有A C.
⑤
由② ③ ⑤ 得,A B C π .所以ΔABC是等边三角形.
3
解决数学问题时,往往先作语言转换,如把文字语言
转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等.
还 要 通 过 细 致 的 分 析, 把 其 中 的 隐 含 条 件 明 显表 示
出来.
2.分析法
证明数学命题时,还经常从要证明的结论Q出发, 反推回去,寻求保证Q成立的条件,即使Q成立的 充 分 条 件P1,为 了 证 明P1成 立, 再 去 寻 求P1成 立 的 充 分 条 件P2 ;为 了 证 明P2成 立, 再 去 寻 求P2成 立 的 充分条件P3 直到找到一个明显成立的条件
2
sin θ cos θ 2 sin α,
①
sin θ cos θ sin2 β,
②
求证 : 1 1
tan2 α tan2 α
1 tan2 β 2 1 tan2 β
.
分析 比较已知条件和结论,发现结论中没有出 现角θ,因此第一步工作可以从已知条件中消去θ. 观察已知条件的结论特点,发现其中蕴含数量关
证明 由A,B,C成等差数列,有2B A C.
①
因为A,B,C为ΔABC的内角,所以A B C π. ②
由① ②,得B π .
③
3
由a,b,c成等比数列,有b2 ac.
④
由余弦定理及③ ,可得b2 a2 c2 2ac cosB a2 c2 ac.
再由④,得a2 c2 ac ac,即 a c2 0,
的 充 分 条 件,直 到 最 后,把 要 证 明 的 结 论 归 结 为判
定 一 个 明 显 成 立 的 条 件(已 知 条 件 、 定 理 、 定 义、
公 理 等)为 止.这 种 证 方 法 叫 做分析法 (analytical
method).
分析法,又叫逆推证法或执果索因法.
用Q表 示 要 证 明 的 结 论,则 分 析 法 可 用 框 图 表 示为 :
为F,求证 AF⊥SC
S
证明:要证AF⊥SC
只需证:SC⊥平面AEF
只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC
只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
F E
A
C
B
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
例.
已知α,β≠
kπ+π(k 2
Z),且
Q P1 P1 P2 P2 P3
得到一个明显 成立的条件
S
例2 如图2.2 1所示 ,SA
平面ABC,AB BC,过A作SB 的垂线,垂足为E,过E作SC的
F E
垂线,垂足为F.求证 AF SC. A
C
分析 本例所给的已知条件 中,垂直条件较多,我们不容易
B 图2.2 1
确定如何在证明中使用它们,因而用综合法比
sinθ+ cosθ= 2sinα
sinθ cosθ= sin2β
求证:
1 - tan2α = 1 - tan2β . 1 + tan2α 2(1 + tan2β)
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
得到一个明显 成立的结论
也可以是经过 证明的结论
例:已知数列{an}的通项an>0,(n∈N*),它
), 只需证AE 平面SBC,
只需证AE BC (因为 ),
只需证BC 平面SAB,
S
F E
A
C
B 图2.2 1
只需证BC SA (因为
),
由SA 平面ABC可知,上式成立.所以,AF SC.
思考 请对综合法与分析法进行比较,说出 它们各自的特点.回顾以往的数学学习,说说 你对这两种证明方法的新认识.
2.2.1 综合法和分析法
复习
一般地，利用已知条件和某些已经学 过的定义、定理、公理等，经过一系列 的推理、论证，最后推导出所要证明的 结论成立，这种证明方法叫做综合法。
特点:“由因导果”
回顾基本不等式：a
+ 2
b
ab
(a>0,b>0)的证明.
证明:
因为;( a b)2 0
所以 a + b 2 ab 0
法,也是解决数学问题时常用的思维方式.
1 综合法
在数证明中,我们经常从已知条件和某些数学定
义、公理、定理等出发,通过推理推导出所要的 结论,例如 :
已知a,b 0,求证a b2 c2 b c2 a2 4abc.
证明 因为b2 c2 2bc,a 0,
所以a b2 c2 2abc.
甲:208个,乙:112个,丙:64个
我 们 知 道, 合 情 推 理 所 得 结 论 的 正确 性 是需要证明的,这正是数学区别于其他 科学的显著特点.数学结论的正确性必 须通过逻辑推理的方式加以证明.本节 我们将学习两类基本的证明方法: 直接 证明与间接证明.
综 合 法 和 分析 法, 是 直 接 证 明中 最 基 本 的两 种 方