运筹学13运输问题基本概念资料
运筹学运输问题相关知识点
运筹学运输问题相关知识点运筹学，旨在通过数学模型和优化方法来解决各种决策问题，其中运输问题是运筹学中的一个重要分支。
运输问题旨在帮助我们确定如何在不同地点之间运输物品以达到最佳效益。
首先，运输问题基于以下几个基本假设：一是物流成本在运输过程中是线性的，二是物品在不同地点之间的运输是无差异的，三是供应和需求之间是平衡的。
在解决运输问题时，需要考虑以下几个关键要素：1.运输网络：此步骤涉及识别和描述供应地点、运输路径和需求地点。
通常使用图形表示来可视化运输网络，以便更好地理解和分析问题。
2.供应量和需求量：确定每个供应地点可提供的物品数量和每个需求地点所需的物品数量。
供应量和需求量之间必须达到平衡。
3.运输成本：每个运输路径的费用是决策的重要因素。
这可以涉及运输距离、运输方式、燃料成本等因素。
通常通过构建费用矩阵来表示各个路径的费用。
4.运输方案：确定如何分配物品以满足需求，并选择最佳的运输路径。
这通常通过使用线性规划模型来实现，以最小化总运输成本为目标。
解决运输问题的常见方法包括：1.西北角规则：该方法从供应和需求具有最大值的角度着手，逐步分配物品，直到达到平衡。
这种方法简单易行，但不一定能够找到全局最优解。
2.最小成本法：该方法根据运输路径的成本递增顺序，逐一分配物品，直到平衡为止。
这种方法能够找到最优解，但可能需要更多的计算量。
3.转运法：该方法通过寻找“供应地点里程+需求地点里程最小”的路径来决策，直至达到平衡。
这种方法在有多个供应地点和多个需求地点时非常实用。
除了基本的运输问题之外，还有其他一些相关的运筹学问题，如多品种运输问题、多目标运输问题和带有时间窗口的运输问题等。
这些问题在实际应用中都有广泛的应用，并且可以通过相应的数学模型和优化方法来解决。
综上所述，运筹学中的运输问题是一个重要的决策问题。
它涉及到寻找最佳的物品配送方案，以最小化总运输成本。
通过合适的数学模型和算法，我们可以有效地解决这类问题，为实际的物流管理提供有力的支持。
运筹学 运输问题
运筹学运输问题
运筹学是一门研究如何最优地规划和管理资源以实现预定目标的学科。
在运筹学中，运输问题是其中一个重要的应用领域。
运输问题主要关注如何有效地分配有限的资源到不同的需求点，以最小化总体运输成本或最大化资源利用效率。
这些资源可以是货物、人员或其他物资。
运输问题通常涉及到多个供应地点和多个需求地点之间的物流调度。
运输问题的目标是找到一种最佳的调度方案，使得满足所有需求的同时，总运输成本达到最小。
为了解决运输问题，可以采用线性规划、网络流和启发式算法等方法。
在运输问题中，需要确定以下要素：
1. 供应地点：确定从哪些地点提供资源，例如仓库或生产基地。
2. 需求地点：确定资源需要分配到哪些地点，例如客户或销售点。
3. 运输量：确定每个供应地点与需求地点之间的运输量。
4. 运输成本：确定不同供应地点与需求地点之间运输的成本，可以
包括距离、时间、燃料消耗等因素。
通过数学建模和优化技术，可以对这些要素进行量化和分析，以求得最佳的资源分配方案。
这样可以降低运输成本、提高物流效率，并且满足不同地点的需求。
总而言之，运输问题是运筹学中的一个重要领域，涉及到如何有效地规划和管理资源的物流调度。
通过数学建模和优化方法，可以找到最优的资源分配方案，从而实现成本最小化和效率最大化。
运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法
整数规划模型
01
整数规划模型是线性规划模型 的扩展，它要求所有变量都是 整数。
02
整数规划模型适用于解决离散 变量问题，例如车辆路径问题 、排班问题等。
03
在运输问题中，整数规划模型 可以用于解决车辆调度、装载 等问题，以确保运输过程中的 成本和时间效益达到最优。
混合整数规划模型
混合整数规划模型是整数规划和线性规划的结合，它同时包含整数变量和 连续变量。
运筹学第3章：运输问题-数学模 型及其解法
目录
• 引言 • 运输问题的数学模型 • 运输问题的解法 • 运输问题的应用案例 • 结论
01 引言
运输问题的定义与重要性
定义
运输问题是一种线性规划问题，主要 解决如何将一定数量的资源（如货物 、人员等）从起始地点运送到目标地 点，以最小化总运输成本。
总结词
资源分配优化是运输问题在资源管理 领域的应用，主要解决如何将有限的 资源合理地分配到各个部门或项目， 以最大化整体效益。
详细描述
资源分配优化需要考虑资源的数量、 质量、成本等多个因素，通过建立运 输问题的数学模型，可以找到最优的 资源分配方案，提高资源利用效率， 最大化整体效益。
05 结论
运输问题的发展趋势与挑战
生产计划优化
总结词
生产计划优化是运输问题在生产领域的应用，主要解决如何合理安排生产计划， 满足市场需求的同时降低生产成本。
详细描述
生产计划优化需要考虑原材料的采购、产品的生产、成品的销售等多个环节，通 过建立运输问题的数学模型，可以找到最优的生产计划和调度方案，提高生产效 率，降低生产成本。
资源分配优化
发展趋势
随着物流行业的快速发展，运输问题变得越来越复杂，需要更高级的数学模型和算法来 解决。同时，随着大数据和人工智能技术的应用，运输问题的解决方案将更加智能化和
运筹学运输问题笔记
运筹学运输问题笔记
运输问题是一种最小化总运输成本的线性规划问题。
它主要应用于物流和供应链管理领域，求解最经济的物流运输方案。
运输问题的基本形式是：有m个仓库，n个销售点，每个仓库的存货量为$s_i$，每个销售点的需求量为$d_j$，运输单位量的成本为$c_{ij}$。
现在需要制定一个运输计划，使得所有销售点的需求得到满足，并且总运输成本最小。
运输问题可以用线性规划求解。
设$x_{ij}$表示从第i个仓库向第j个销售点运输的数量，则运输问题的数学模型可以表示为：
$min
sumlimits_{i=1}^{m}sumlimits_{j=1}^{n}c_{ij}x_{ij}$ 满足以下约束条件：
$sumlimits_{j=1}^{n}x_{ij}=s_i, i=1,2,...,m$
$sumlimits_{i=1}^{m}x_{ij}=d_j, j=1,2,...,n$
$x_{ij} geq 0, i=1,2,...,m, j=1,2,...,n$
其中第一个约束条件表示每个仓库的存货量要大于等于出库量，第二个约束条件表示每个销售点的需求量要等于入库量，第三个约束条件表示运输量必须为非负数。
运输问题的求解可以使用各种线性规划的算法，如单纯性法、内点法等。
此外，还有一些特殊情况下的优化算法，如网络流算法和分配算法等。
总之，运输问题是物流和供应链管理领域中非常重要的一类问题，
它的求解方法对于企业的物流成本控制和效率提升具有重要的意义。
运筹学运输问题-图文
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
X11 X12
...
X1n
a1
A2
X21 X22
...
X2n
a2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
Xm1 Xm2
...
Xmn
am
销量
b1
b2
...
bn
则运输问题的数学模型如下：
产销平衡表
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
a1
A2
a2
.
.
.
.
.
.
Am
am
销量
b1
b2
...
bn
单位运价表
销地
B1
B2
...
Bn
产地
A1
c11
c12
...
c1n
A2
c21
c22
...
c2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
cm1
cm2
...
cmn
❖ 若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省 的调运方案。
Table14 检验数表
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
(典型例题)《运筹学》运输问题
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
运筹学运输问题笔记(一)
运筹学运输问题笔记(一)运筹学运输问题笔记一、运输问题的概述运输问题的定义运输问题是运筹学中的一种经典问题，也是线性规划中最简单的一种。
其定义是：在将若干种供给物品分别运往若干种需求地的过程中，在满足各个供求量限制和运输能力限制的基础上，使得总的运输成本最小。
运输问题的特点• 只涉及一种商品的运输；• 供给地和需求地的数量相等；• 供给地和需求地之间的运费相同。
运输问题的模型运输问题的模型可以用线性规划的形式表示：min Z =∑∑c ij nj=1m i=1x ijs.t. {∑x ij ni=1=b j (j =1,2,...,n )∑x ij m j=1=a i (i =1,2,...,m )x ij ≥0 (i =1,2,...,m;j =1,2,...,n )其中，c ij 代表从供给点i 到需求点j 的单位运费，a i 代表供给点的总供给量，b j 代表需求点的总需求量，x ij 代表从供给点i 到需求点j 的运输量。
二、运输问题的求解方法1. 列出初始可行解运输问题的求解可以先列出初始可行解，常用的方法有两种： • 西北角法（Northwest Corner Method ）• 最小元素法（Least Cost Method ）以上两种方法均可得到初始可行解，但最终得到的最优解可能不同。
2. 用改进的对角线法求解在得到初始可行解后，可以用改进的对角线法求解运输问题。
该方法的基本思想是：通过计算每个空运输路线上的机会成本，确定可能改进的单元格，然后通过交错路径法得到改进可行解，并最终求出最优解。
3. 用运输单纯形法求解对于规模较大或复杂的运输问题，可以用运输单纯形法求解。
该方法是将单纯形法应用到运输问题上，可以快速、准确地求解最优解。
三、运输问题的应用运输问题在物流领域的应用在物流领域中，运输问题是非常重要的，可以通过求解运输问题来优化物流配送方案、降低物流成本、提高物流效率。
运输问题在生产计划中的应用运输问题还可以应用于生产计划中，可以通过求解运输问题来优化原材料到达厂区和半成品成品出厂的方案，提高生产效率，降低成本。
《管理运筹学》02-7运输问题
通过将问题分解为多个子问题，并应用分支定 界法等算法，可以找到满足所有约束条件的整 数解，实现运输资源的合理配置。
04运Leabharlann 问题的实际案例物资调拨案例
总结词
物资调拨案例是运输问题中常见的一种，主要涉及如何优化物资从供应地到需 求地的调配。
02
动态运输问题需要考虑运输过 程中的不确定性，如交通拥堵 、天气变化等，需要建立动态 优化模型来应对这些变化。
03
解决动态运输问题需要采用实 时优化算法，根据实际情况不 断调整运输计划，以实现最优 的运输效果。
多式联运问题
1
多式联运是指将不同运输方式组合起来完成一个 完整的运输任务，需要考虑不同运输方式之间的 衔接和配合。
生产计划案例
总结词
生产计划案例主要关注如何根据市场需求和生产能力制定合理的生产计划。
详细描述
生产计划案例需要考虑市场需求、产品特性、生产成本、生产周期等因素。通过 优化生产计划，可以提高生产效率、降低生产成本，并确保产品按时交付给客户 。
05
运输问题的扩展研究
动态运输问题
01
动态运输问题是指运输需求随 时间变化而变化的运输问题， 需要考虑时间因素对运输计划 的影响。
2
多式联运问题需要考虑不同运输方式的成本、时 间、能力等因素，需要建立多目标优化模型来平 衡这些因素。
3
解决多式联运问题需要采用混合整数规划或遗传 算法等算法，以实现多目标优化的效果。
逆向物流问题
1
逆向物流是指对废旧物品进行回收、处 理和再利用的物流活动，需要考虑废旧 物品的回收、分类、处理和再利用等环 节。
的情况。如果存在这些问题，就需要进行调整，直到找到最优解为止。
运筹学运输问题完整可编辑版本精选ppt课件
用最小元素法确定例3-2初始调运方案
调 销地
运 量
B1
B2
B3
产量
产地
100 90
70 100100 200 100
A1
X11
X12
X13
80 150 65 100 75 250 100
A2
X21
100
销量
X22
X23
150
200
100 450
用西北角法确定例3-2初始调运方案
表3-3 运输问题作业表（运价表）
调 销地 运 量
产地
A1
A2
B1
c11
X11
c21
X21
销量
b1
B2
c12
X12
c22
X22
b2
B3
产量
c13
X13
c23
X23
b3
a1
a2
2
3
ai bj
i1
j1
3、举例
例3-2 甲、乙两个煤矿供应A、B、C 三个城市用煤，各煤矿产量及各城 市需煤量、各煤矿到各城市的运输 距离见表3-4，求使总运输量最少的 调运方案。
第五章 运输与指派问题
运输问题的表示
运输问题模型、运价表
运输问题的求解
表上作业法
指派问题
简述
运输、指派和转运问题，实际上都可以用 L.P. 模型加以描述，所以可以认为它们是 L.P. 的 特例 单列一章的原因在于：应用面极广，实践性 很强，而特有的数学结构使得人们设计出了 特别有效的方法对此类模型进行求解 本章的重点在：掌握表格化方法求解运输
提出问题
运筹学-第三章-运输问题ppt课件
46
首先建立电子表格
47
区域名称
产量 单位运价 实际产量 实际销量 销量 运输量 总费用
单元格 I9:I11 C4:F6 G9:G11 C12:F12 C14:F14 C9:F11
I14
48
49
Excel 求解结果为：
50
9
§3-2 表上作业法(运输单纯形法)
表上作业法的计算步骤： 1. 确定初始方案，即找出初始基可行解； 2. 求非基变量检验数，判断最优； 3. 用闭回路法调整； 4. 重复2, 3 ，直至求出最优解。
10
一、确定初始基可行解(两种方法)
1. 最小元素法(“就近调运”) 1)找到运价中最小的元素，确定供销关系；
34
解：
v 该问题要求满足不同顾客的需求(采购量)，即最小采购 量实际供给量最大采购量。三个工厂的总产量为20000件， 4个顾客的最低采购量为12000件，最高采购量为30000件， 大于总产量。为保持产销平衡，虚拟一个工厂4，其产量 为10000件。
v 由于每个顾客的需求分为必须满足和不一定满足两部分， 故将其视为两个顾客。必须满足的顾客其采购量不能由虚 拟工厂提供，令其单位利润为M (M为任意大正数)，不 一定满足的顾客其采购量能由虚拟工厂提供，令其单位利 润为0。由此可得该问题的产销平衡及单位利润表，如表324所示。
§3-1 运输问题的数学模型
一、示例 例1
4
二、运输问题描述
v 有m 个产地Ai ，产量为 ai, i=1,2, …m (sources) v 供n 个销地 Bj , 需求量 bj, j=1,2, …n (destinations)
v 已知 Ai到 Bj的单位运价为 cij v 问如何调运使总运费最小？
运筹学：运输问题
运输问题运输问题（transportation problem）一般是研究把某种商品从若干个产地运至若干个销地而使总运费最小的一类问题。
然而从更广义上讲，运输问题是具有一定模型特征的线性规划问题。
它不仅可以用来求解商品的调运问题，还可以解决诸多非商品调运问题。
运输问题是一种特殊的线性规划问题，由于其技术系数矩阵具有特殊的结构，这就有可能找到比一般单纯形法更简便高效的求解方法，这正是单独研究运输问题的目的所在。
§1运输问题的数学模型[例4-1] 某公司经营某种产品，该公司下设A、B、C三个生产厂，甲、乙、丙、丁四个销售点。
公司每天把三个工厂生产的产品分别运往四个销售点，由于各工厂到各销售点的路程不同，所以单位产品的运费也就不同案。
各工厂每日的产量、各销售点每日的销量，以及从各工厂到各销售点单位产品的运价如表4-1所示。
问该公司应如何调运产品，在满足各销售点需要的前提下，使总运费最小。
表4-1设代表从第个产地到第个销地的运输量（；），用代表从第个产地到第个销地的运价，于是可构造如下数学模型：（；运出的商品总量等于其产量）（；运来的商品总量等于其销量）通过该引例的数学模型，我们可以得出运输问题是一种特殊的线性规划问题的结论，其特殊性就在于技术系数矩阵是由“1”和“0”两个元素构成的。
将该引例的数学模型做一般性推广，即可得到有个产地、个销地的运输问题的一般模型。
注意：在此仅限于探讨总产量等于总销量的产销平衡运输问题，而产销不平衡运输问题将在本章的后续内容中探讨。
（；运出的商品总量等于其产量）（；运来的商品总量等于其销量）供应约束确保从任何一个产地运出的商品等于其产量，需求约束保证运至任何一个销地的商品等于其需求。
除非负约束外，运输问题约束条件的个数是产地与销地的数量和，即；而决策变量个数是二者的积，即。
由于在这个约束条件中，隐含着一个总产量等于总销量的关系式，所以相互独立的约束条件的个数是个。
运筹学之运输问题
§3.2 运输问题的数学模型
例：某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、 B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运 往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如 何调运可使总运输费用最小？
A1 A2 销量 B1 6 6 150 B2 4 5 150 B3 产量 6 200 5 300 200 总产量=总销量
-------1 2 50 100
销点
2 ----150 0 3 ----0 200
-----
此运输问题的成本或收益为: 2500
§3.3运输问题的基本特点
◆一般运输问题的基本特点： （1）有多个产地和多个销地； （2）每个产地的产量不同，每个销地的销量也不同； （3）各产销两地之间的运价不同； （4）如何组织调运，在满足供应和需求的前提下使总运输费 用（或里程、时间等）最小。 ◆运输问题的数学模型的系数矩阵的基本特点： （1）共有m+n行，分别表示各产地和销地；m，n列，分别表 示各决策变量； （2）每列只有两个 1，其余为 0，分别表示只有一个产地和 一个销地被使用。
运输问题的数学模型
Min f = 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23
S . t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 最优解如下 x12 + x22 = 150 起 至 x13 + x23 = 200 发点 1 xij≥0(i=1,2；j=1,2,3）
运输问题模型的应用
（1）产销平衡的运输问题； （2）产销不平衡的运输问题； （3）有条件的产销不平衡的运输问题； （4）生产与库存应用问题； （5）货物转运问题； （6）航运调度问题； „„
运输问题(运筹学教学)演示课件.ppt
2、求检验数--闭回路法: 例1
销地 产地
B1 3
B2 11
B3 3
B4
ai
10
注: 1)数字格检 验数均为0
A1
④
③
7 2)空格检验数
1
2
A2
③1
9
2
①
8
以某空格为起点，用水平或垂直
4 线往前划，每碰到一个数字格转
1
-1
90。，然后继续前进，直到回到起
7
4
10
5
A3
⑥
③
9 点。根据回路计算该空格对应变
精选课件
用网络优化软件
运费 一区1 一区2 二区 三区1 三区2 供应量
山西盂县 1.65 1.65 1.7 1.75 1.75 4000
河北临城 1.6 1.6 1.65 1.7
1.7 1500
假想地点 M
0
M
M
0
500
6000 需求量 2700 300 1000 1500 500
6000
精选课件
运输问题的表格表示
需求地
1
供应地
16
28
35
合计 13
2
7 4 9 21
3
5 2 10 9
4
3 7 6 7
合计
25 10 15
精选课件
运输问题线性规划模型
min z = 6x11 + 7x12 + 5x13 + 3x14 + 8x21 + 4x22 + 2x23 + 7x24 + 5x31 + 9x32 +10x33 + 6x34
运筹学第三章 运输问题
8
1.运输问题模型及有关概念
表4-3 运输问题数据表
销地
产地
A1 A2
┇
Am
销量
B1 B2 … Bn
c11
c12 … c1n
c21
c22 … c2n
┇ ┇ ┇┇
cm1
cm2 … cmn
b1
b2 … bn
产量
a1 a2
┇
am
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运
式（4-8）中的变量称为这个闭回路的顶点。
22
1.运输问题模型及有关概念
例如，x13, x16, x36, x34, x24, x23 ； x23, x53, x55, x45, x41, x21 ； x11, x14, x34, x31等都是闭回路。
若把闭回路的各变量格看作节点， 在表中可以画出如下形式的闭回路：
得到下列运输量表：
4
1.运输问题模型及有关概念
Min Z s.t.
= 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23 x11+ x12 + x13 = 200
x21 + x22+ x23 = 300
x11 + x21 = 150
x12 + x22 = 150
x13 + x23 = 200
2.每列只有两个 1，其余为 0，分别 表示只有一个产地和一个销地被使用。
7
1.运输问题模型及有关概念
一般运输问题的线性规划模型及求解思路
一般运输问题的提法：
假设 A1, A2,…,Am 表示某物资的m个 产地；B1,B2,…,Bn 表示某物资的n个销地； ai表示产地 Ai 的产量；bj 表示销地 Bj 的 销量；cij 表示把物资从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位运价（表4-3）。如果 a1 + a2 + … + am = b1 + b2 + … + bn
运筹学中的运输问题
月份
正常生产能力 （台）
加班生产能力 （台）
协议销量（台）
单台费用 （万元）
1月
60
10
104
15
2月
50
10
75
14
3月
90
20
115
13.5
4月
100
40
160
13
5月
100
40
103
13
6月
80
40
70
13.5
4 运送问题应用举例
例7 华中金刚石锯片厂有两条生产线，分别生产直 径900-1800mm大锯片基体20230片，直径350-800mm 中小锯片基体40000片。企业在全国有25个销售网 点，主要销售区域集中在福建、广东、广西、四川、 山东5个石材主产区。为完毕总厂旳要求，企业决 定一方面拿出10%旳产量稳定与前期各个客户旳联 系以确保将来旳市场区域份额，另一方面，面临如 何将剩余旳90%旳产量合理分配给五个石材主产区 和其他省区，以获取最大旳利润。各个销售区旳最 低需求、销售固定费用、每片平均运费、每片从总 厂库房旳购进价与本地旳销售价差贡献等自然情况 见表。问应怎样分配给各个销售区，才干使得总利 润为最大？
2 运送问题数学模型和电子表格模型
Min z = 10.80 x11 + 10.95 x12 + 11.10 x13 + 11.25 x14
+ 11.10x22 + 11.25 x23 + 11.40 x24
该生产与 储存问题 （转化为 产不小于销 旳运送问 题）旳数 学模型为
+ 11.00 x33 + 11.15 x34 + 11.30 x44
运筹学管理运筹学讲义：运输问题
检查非基变量xij的检验数ij ，按 min{ij| ij <0}= lk 确定xlk进基。
SHUFE
第二节 表上作业法
产地 A1 销地 6 B1 B2 3 2 B3 5 1 2 B4 产量 5
-2
+ x12
5 2 8 9
A2 A3
销量
7 3
4
2
2 3
+0
2
-3
3
7
1 4
x12 进基 最小调整量为2， x11 离基
xij≥0 (i=1,2,3；j=1,2,3,4)
非负性约束
4
SHUFE
第一节 运输模型
二、表式运输模型
销地 产地
B1 c11 c21 x21 … cm1 xm1 b1 cm2 x11 c12 c22
B2 x12 x22 … xm2 b2
… … … … … … cmn c1n c2n
Bn x1n x2n … xmn bn
x
i 1
6
ij
xij 0
SHUFE
第一节 运输模型
• 产大于销
a b
i 1 i j 1
m
n
j
min Z cij xij
i 1 j 1 n
m
n
x
j 1 m
ij
ai , bj ,
i 1,2,...,m j 1,2,...,n
x
i 1
ij
xij 0
产量 a1 a2 … am
A1 A2 …
Am
销地
5
SHUFE
第一节 运输模型
三、运输问题的三种类型
• 产销平衡
运筹学课件ch3运输问题
19 13 0
0
最小元素法（6）
1 6 1 8 2 5 3 22 0
2019/2/24
2 7 5
3 3
4 14 0
1
4 2 7
13 13
9 10
2 19
13 0
12
6
27
0
19 12 0
运筹学课件
0
13 0
初始基础可行解—元素差额法 （Vogel近似法）
求初始基本可行解的步骤是：
第 一 步 ： 求 出 每 行 次 小 运 价 与 最 小 运 价 之 差 ， 记 为 ui ， i=1,2,…,m ；同时求出每列次小运价与最小运价之差，记为vj，j=1， 2，…，n ； 第二步：找出所有行、列差额的最大值，即L=max{ui，vi}，差 额L对应行或列的最小运价处优先调运； 第三步：这时必有一列或一行调运完毕，在剩下的运价中再求 最大差额，进行第二次调运，依次进行下去，直到最后全部调运 完毕，就得到一个初始调运方案。 用元素差额法求得的基本可行解更接近最优解，所以也称为近 2019/2/24 运筹学课件 似方案。
2019/2/24 运筹学课件
表上作业法
运输单纯形法也称为表上作业法，是直接在运价表上求最优解 的一种方法，它的步骤是： 第一步：求初始基行可行解（初始调运方案）。 常用的方法有 最小元素法、元素差额法（Vogel近似法）、左上角法。
第二步：求检验数并判断是否得到最优解。常用求检验的方法 有闭回路法和位势法，当非基变量的检验数 σij全都非负时得到最 优解，若存在检验数λlk<0，说明还没有达到最优，转第三步。
故r(A)=m+n－1所以运输问题有m+n－1个基变量。 为了在 mn个变量中找出 m+n－ 1个变量作为一组基变量，就是 要在A中找出m+n-1个线性无关的列向量，通常引用闭回路的概 念寻找这些基变量。 2019/2/24 运筹学课件
运筹学运输问题
运筹学运输问题运筹学是一门研究如何有效地解决问题、利用和控制有限资源的学科。
这种学科涉及到数学、经济学、统计学、计算机科学等多个学科，并且广泛用于政府、学术和企业领域。
其中，运输问题是运筹学中的重要内容，主要涉及到物流运输、旅行商问题等，在实际应用中具有非常重要的意义。
运输问题是一类物流问题，其目的是根据物流需求，构建一系列有效的运输方案，从而获得更高的物流效果。
它可以很好地解决物流管理带来的众多问题，并辅以相关的数据模型，提供性能优异的操作方法。
它强调的是对物流网络的有效管理和利用，是企业或者政府实现有效物流管理的基础。
在运输问题中，最重要的几个要素是：运输成本、运输量和运输距离。
它们是决定物流效果的组成要素，也决定了运输系统的性能。
为了有效解决运输问题，必须从下列几个方面着手：首先，要研究最优运输组合和最有效的运输路线，其次，要注意在最大运输量的前提下尽可能降低运输成本；最后，要给出针对不同物流场景的有效的优化方案。
要有效地解决运输问题，必须考虑多种运输模型，比如线性规划、整数规划、分支定界法，而且要注意约束条件，如运输量、运输成本、运输时间等。
此外，要考虑不同类型的货物，以确定其最佳的运输方式，如：重型物资的运输量大，可以采取船运、空运等方式；轻型物资可以采取机动车或公交等方式；而前程物资，可以采取快递的方式进行运输，以满足物流的需求。
在运输问题中，运筹学的方法也可以得到很好的运用，例如模型设计可以基于建立高效、简洁、可优化等评价指标，采取数学分析、统计学方法等数据处理方式，进行模型优化，从而获得更高效的运输成果。
总而言之，运筹学运输问题是一个复杂但又重要的课题，要有效解决运输问题，必须充分利用运筹学的有效方法，以确保高效的物流管理，并获得有效的物流效果。
《运筹学》第三章运输问题
Vogel近似法
考虑运输成本差异， 进行逼近最优解。
运输问题的扩展和变体
1
生产产能约束
考虑生产能力限制，同时优化货物的运输方案。
2
供需不平衡
存在供需不平衡时如何有效分配货物，避免浪费和延误。
3
多目标运输问题
同时考虑多个目标，如最小化成本和最大化利润。
运输问题的应用实例和案例分析
物流领域的应用
通过运输问题的优化，提升物流效率，降低成本。
运输问题的基本模型
运输方案的表示
常用的表示方法包括运输矩阵和网络图。
目标函数和约束条件
目标函数通常是最小化运输成本，约束条件包 括供需平衡和容量限制。
运输问题的解决方法
最小成本法
逐步分配货物，直至 达到最小总成本。
北北角法
按照最小单位运输成 本进行分配，直至l's Approximation Method）法为基础， 逐步分配货物。
《运筹学》第三章运输问 题
运输问题是运筹学中重要的问题之一，涉及到各种场景下的货物运输优化。 本章将介绍运输问题的定义、基本模型、解决方法，以及其在物流和生产调 度中的应用实例。
运输问题的概念和应用领域
• 运输问题是一种优化问题，旨在找到使运输成本最小的货物运输方案。 • 运输问题广泛应用于物流管理、供应链优化以及交通规划等领域。
生产调度中的应用
合理安排生产计划，提高生产线的利用率。
总结和展望
运输问题是优化领域的重要研究方向，未来随着物流技术的发展将有更多的应用场景和解决方法出现。
运筹学运输问题笔记
运筹学运输问题笔记
运筹学运输问题是指在运输中寻找最优方案的问题，主要包括供应商到销售点、工厂到市场、仓库到经销商等物流过程。
常见的运输问题有：
1. 指派问题：将n个工作任务分配给m个工作人员，每个工作任务有一个工作量和时间上的限制，目标是在满足约束条件的前提下，最小化总代价或最大化总利润。
2. 运输问题：用最少的代价将一批货物从若干个供应商运送到若干个销售点，满足供求平衡条件。
可以使用线性规划方法，将供应商和销售点之间的运输路线看作一个网络，利用线性规划的方法求解最小代价或最大收益。
3. 配给问题：采购部门需要为生产线提供原材料，同时工厂需要将成品配给销售部门。
目标是在满足约束条件的前提下，最小化总代价或最大化总利润。
4. 路径问题：给定一个网络，寻找两个点之间的最短路径。
可以采用广度优先搜索等方法解决。
5. 负载平衡问题：当多个任务需要在多个工作站上完成时，如何平衡各个工作站的负载。
可以采用贪心算法、动态规划等方法解决。
在实际应用中，以上问题常常彼此关联，可以采用综合算法或求解器进行求解。
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Operational Research
14
求解运输问题的方法
初始方案 • 最小元素法
判别准则 • 闭回路法 • 位势法
Operational Research
15
最小元素法
（1）选取运价最小元素，求运量、处理供需数据，划去用完的供/需；
A1产
B1 3
B2 7
B3 6
B4 4
供给量 5
2
4
3
2
A2产
Operational Research
6
运输问题的概念
运输作业表
Operational Research
7
模型与基变量特征
m个产地，n个销地的情况下，数学模型：
nm
min f
cij xij
j1 i1
n
xij ai
j1
s.t. m xij bj
i1 xij 0
有几个变量？ Ai产地运往n个销地的运量和为Ai的产量 m个产地销往Bj地的运量和为Bi的销量 分为产销平衡问题与产销不平衡问题
8
5
2
1
3、1、0 2、0 3、1 2、0
3、1 10
12))从b从12＝ 目表c标格12 函看c数出33 式：cx得3122增 到 c加 ： 13x11时26增， .即加目检1时标验，函数目数为标6增函加数 c12增 c加33b12 c32 c13
• m+n-1个变量 • 闭回路
（三）求解运输问题
• 初始调运方案 • 最优方案判别 • 方案调整
（四）产销不平衡时的处理方法
Operational Research
3
运输问题的概念
运输问题是一类特殊的线性规划问题
• 特殊问题可以用普通方法（单纯形法）进行求解； • 但是，对特殊问题采用特殊方法优势明显，加之运输问题应用广泛； • 为运输问题开发新方法是值得的。
最小元素法
（3）得到初始调运方案
B1
A1产
3 1
A2产
2 2
4 A3产
Operational Research
B2 7
4
B3 6
2
3
3 2
8 1
20
B4
供给量
4
2
5、4、2、0
2 2、0
5 3、1
需求量 3、1、0
2、0
3、1
2、0
10
Operational Research
21
初始调运方法结果
初始方案中，有m+n-1个格子有数字（xij不为零） 这些数字不含闭回路
• 变量集合构成一个基可行解，就是说找到了初始基本可行解
Operational Research
22
检验数
单纯形法的检验，每个变量一个检验数 运输问题表上作业时，每个变量也有一个检验数
• 基变量、非基变量已经明确（哪些） • 上例目标值为41（根据基变量） • 目标函数式为
Operational Research
9
模型与基变量特征
1 1 1
111
A
1
1
1
1
1 1 1 前面是m个供给地
1
后面是n个销售地
1
1
1
1
m+n行，mn列
Operational Research
10
模型与基变量特征
A的秩是多少？ • A 前m行的和＝后n行的和，说明，R（A）≤m＋n－1
17
最小元素法
（2）继续重复
A1产 A2产 A3产
B1 3
1
2 2
4
B2 7
4
3 2
B3 6
3
8
B4 4
供给量 5、4
2 2、0
5 3、1
需求量 3、1、0
2、0
3
2
10
Operational Research
18
最小元素法
（2）继续重复
A1产
B1 3
1
B2 7
B3 6
B4
供给量
4
2
5、4、2
2
4
Operational Research
8
模型与基变量特征
min f CX
s.t.
AX X
0
b
C c11, c12 ,, c1n ,, cm1,, cmn
mn列
X x11, x12,, x1n ,, xm1, xm2,, xmn T
b a1, a2, am,b1,b2,bn T
m+n行
3
2
A2产
2
2、0
A3产
4
3
8
5
2
3、1
需求量 3、1、0
2、0
3
2、0
10
最小元素法
（2）继续重复
A1产
B1 3
1
A2产
2 2
4 A3产
Operational Research
B2 74Biblioteka B3 623
3
8
2
19
B4
供给量
4
2
5、4、2、0
2 2、0
5 3、1
需求量 3、1、0
2、0
3、1
2、0
10
检验数
f 41 b12 x12 b22 x22 b23 x23 b24 x24 b31 x31 b34 x34
Operational Research
检验数
A1产 A2产
23
B1 3
1 2
2
B2 7
4
B3 6
2 3
B4 4
2 2
供给量 5、4、2、0
2、0
A3产 需求量
4
3
1 1 1
111
A
1
1
1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
也说明：约束条件中有一行是多余的，每个基都有m+n+1个基变量
Operational Research
11
闭回路
在运输作业表上，变量排成一个矩阵。 什么是闭回路？ 我们将其中每个变量用顶点代替，同行或者同列的变量用线段连接起 来，便得到一个由水平和垂直线组成的图形。 若此图中含有封闭图形，则称集合S含有闭回路。
Operational Research
12
闭回路
闭回路的所有变量同该封闭图形的顶点一一对应，称为闭回路的顶点 闭回路对应的封闭图形的所有（折）线段称为闭回路的边。
Operational Research
13
闭回路
定理1-11：m+n-1个变量构成基变量的充要条件是不包含闭回路。 这对于找到初始基本可行解具有重要意义
2
2、0
A3产
4
3
8
5
3
需求量
3、1
2
3
2
10
Operational Research
16
最小元素法
（2）再选取剩下最小的元素，重复作业；
A1产 A2产 A3产
B1 3
1 2
2 4
B2 7
4
3
B3 6
3
8
B4 4
供给量 5、4
2 2
5 3
需求量
3、1
2
3
2
10
Operational Research
Operational Research
4
运输问题的概念
某种产品，存在一定数量的产地和销地。相应的产量和销量确定， 各产地和销地之间的单位运价也已知。
问题：在产品能销售完的前提下，如何安排调运方案，使总的运输 费用最小？
Operational Research
5
运输问题的概念
运输问题的已知条件可归纳为下表
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Operational Research 运筹学 Lecture 13 运输问题
Oct. 2012
ZHU Tong Chang’an University E-mail: zhutongtraffic@
Operational Research
2
提纲
（一）运输问题的概念、运输作业表 （二）寻找基变量