高考数学基础知识100条
2016届高考数学100个热点问题之千题百炼(1)第1炼命题形式变化及真假判定
第1炼 命题形式变化及真假判定一、基础知识： （一）命题结构变换1、四类命题间的互化：设原命题为“若p ，则q ”的形式，则 （1）否命题：“若p ⌝，则q ⌝” （2）逆命题：“若q ，则p ” （3）逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”2、p q ∨，p q ∧（1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即可，记为p q ∨（2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为p q ∧ 3、命题的否定p ⌝：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的命题也有不同的方法（1）一些常用词的“否定”：是→不是 全是→不全是 至少一个→都没有 至多n 个→至少1n +个 小于→大于等于 （2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时,p q 均变为,p q ⌝⌝：p 或q →p ⌝且q ⌝ p 且q →p ⌝或q ⌝（3）全称命题与存在性命题的否定全称命题：():,:,()p x M p x p x M p x ∀∈→⌝∃∈⌝ 存在性命题：():,:,()p x M p x p x M p x ∃∈→⌝∀∈⌝ 规律为：两变一不变① 两变：量词对应发生变化（∀⇔∃），条件()p x 要进行否定()p x ⇒⌝ ② 一不变：x 所属的原集合M 的不变化（二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题中，真假性也存在一定的关联。
1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性也相同。
而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联2、p q ∨，p q ∧，如下列真值表所示：简而言之“一真则真” 简而言之“一假则假” 3、p ⌝：与命题p 真假相反。
4、全称命题：真：要证明每一个M 中的元素均可使命题成立 假：只需举出一个反例即可 5、存在性命题：真：只需在M 举出一个使命题成立的元素即可 假：要证明M 中所有的元素均不能使命题成立 二、典型例题例1：命题“若方程20ax bx c -+=的两根均大于0，则0ac >”的逆否命题是（ ） A. “若0ac >，则方程20ax bx c -+=的两根均大于0” B. “若方程20ax bx c -+=的两根均不大于0，则0ac ≤” C. “若0ac ≤，则方程20ax bx c -+=的两根均不大于0” D. “若0ac ≤，则方程20ax bx c -+=的两根不全大于0”思路：所谓逆否命题是要将原命题的条件与结论否定后并进行调换，“0ac >”的对立面是“0ac ≤”，“均大于0”的对立面是“不全大于0”（注意不是：都不大于0），再调换顺序即可，D 选项正确 答案：D例2：命题“存在2,20x Z x x m ∈++≤”的否定是（ ）A ． 存在2,20x Z x x m ∈++> B ．不存在2,20x Z x x m ∈++>C ． 对任意2,20x Z x x m ∈++≤D ．对任意2,20x Z x x m ∈++>思路：存在性命题的否定：要将量词变为“任意”，语句对应变化222020x x m x x m ++≤→++>，但x 所在集合不变。
高考数学高中数学常用公式及常用结论汇总
高考数学总复习高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. 2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.3.包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆ U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+.5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n –2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M Nf x +--<⇔()0()f x N M f x ->- ⇔11()f x N M N>--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a b k +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+. 9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=； []q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩；（3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.13.14.四种命题的相互关系15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(xb f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.26．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx fy +=-是])([1b x f ky -=的反函数. 28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()xf x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，()(0)1,lim1x g x f x→==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x =+∈,则)(x f 的周期T=2a ； (3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ； (4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ； (6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.30.分数指数幂(1)m na =（0,,a m n N *>∈，且1n >）. (2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.31．根式的性质（1）na =.（2）当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)rr rab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).35．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log aa a MM N N =-; (3)log log ()na a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx =(1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.， (2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数. 推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则 （1）log ()log m p m n p n ++<. （2）2log log log 2a a am nm n +<.38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)xy N p =+. 39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩. 42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nnab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 44．常见三角不等式 （1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 46.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=). 48.二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-.50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=. 51.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c ab ab C =+-.53.面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)22(||||)()OAB S OA OB OA OB ∆=⋅-⋅.54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)kx a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤. s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤.tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈.tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈.sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈.cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈.tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b= a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理 如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=. 53. a 与b 的数量积(或内积) a ·b=|a ||b|cos θ． 61. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积．62.平面向量的坐标运算(1)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a=(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b=22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式 ,A B d=||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ).65.向量的平行与垂直设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b ≠0，则 A||b ⇔b=λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k . 69.“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a=(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+. (3) 图象'C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=. (5) 向量m=(,)x y 按向量a=(,)h k 平移后得到的向量仍然为m=(,)x y .70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. （4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 71.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+ （1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大； 当||y x -最小时,||y x +最小.（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小； 当||y x -最小时, ||xy 最大.73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<；121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x ax a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式 （1()0()0()()f x g xf xg x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. （22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或.（32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.78.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).79.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=；80.夹角公式(1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π.81. 1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π. 82．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k的圆的切线方程为y kx =±92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩. 93.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b ⇔+>. 95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b +=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b⇔-<. 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b -=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. （3）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122. 101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中 22y px =.102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-；（3）准线方程是2414ac b y a--=. 103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.（2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+. （3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212|||AB x x y y ==-=-A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B++++--=++. 108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y+代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b=b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b)＋c=a ＋(b ＋c)． (3)数乘分配律：λ(a ＋b)=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a=λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+． 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD x AB y AC =+⇔(1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝xa ＋yb ＋zc ．推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++.121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++； 123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则a b ⇔(0)a b b λ=≠⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 cos 〈a ，b 〉.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式.126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ==21||||||a b a b x ⋅=⋅+（其中θ（090θ<≤）为异面直线a b ,所成角，,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量）128.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=. 131.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅=135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a=PA ，向量b=PQ ).136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离). 137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式22cos d mn θ=.',d EA AF =.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =).139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141. 面积射影定理'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).（1）E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：12E nF =； （2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =. 146.球的半径是R ，则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为a 的正四面体的内切球的半径为12a ,外接球的半径为4a .148．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理） 12n N m m m =+++. 150.分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =⨯⨯⨯. 151.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. 152.排列恒等式(1）1(1)m m n n A n m A -=-+;（2）1mmn n n A A n m -=-; （3）11m m n n A nA --=;（4）11n n nn n n nA A A ++=-; （5）11m m m n n n A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.153.组合数公式m nC =m n m mA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).154.组合数的两个性质 (1)mn C =mn nC - ; (2) m n C +1-m nC =mn C 1+.注:规定10=n C .155.组合恒等式（1）11mm n n n m C C m --+=; （2）1m mn n n C C n m -=-;（3）11mm n n n C C m--=;（4）∑=nr r nC0=n2;（5）1121++++=++++r n r n r r r r r rC C C C C . (6)nn n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C .(9)rn m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ .156.排列数与组合数的关系m m n n A m C =⋅！ .157．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n kk A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh hh A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +.158．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有 mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--.（3）(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!!...21211m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m =⋅⋅=-.（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...!!!...211c b a m C C C N m m n n n n p n p ⋅⋅=- 12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =.（5）(非平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!!...!!21m n n n p N =.（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有。
高考数学基本知识百题训练(1)及答案
充分非必要条件. 充分且必要条件.
b 0 , a 0 是 函数
充分非必要条件. 充分且必要条件.
f(x) ax 2 bx c 为偶函数的
(B) 必要非充分条件. (D) 既不充分也不必要条件.
若 sin
2 , 且 cos 0 2
(0 2) 则角 的值为
9 关于 x 的方程 x 2 (1 m) x 2 0 的两个根的等差中项为 10 关于 x 的方程 x 2 2 x m 0 两根差的平方是 16. 则 m 11 已知 2 12 若 2 13
x 1
92 4 0
x
x
x= x= 成立 （B）若 a 0 则 a 2 a （D）若 a 2 a 则 a 0 必成立
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深圳市碧波中学李红权
高考数学基本知识百题训练(1)及答案.doc(一)
23
是偶函数且在区间(0 ,+∝)上是单调增函数的是
( A)y x
24
(B) y log
2
1 x
-x (C) y 1 x 2 1 (D) y 2 2
是偶函数,且在区间(-∝,0 )上是单调减函数的是
57
物线. 58 a,b 全不是零. 是 a b 0 的 充分非必要条件. 充分且必要条件. (B) 必要非充分条件. (D) 既不充分也不必要条件.
2 2
(A) (C) 59 (A) (C) 60 (A) (C) 61 62 63 64 65
是 3
sin
3 的 2
(B) 必要非充分条件. (D) 既不充分也不必要条件.
是偶函数且在 (0, ) 内为增函数的是 (B)
湖南高考数学知识点
湖南高考数学知识点高考数学知识点一、函数与方程（150字）1. 一元二次函数一元二次函数是高考数学中的重点内容之一。
在解题时，需要了解关于一元二次函数的定义、性质和图像特征等知识点。
同时，还需要熟练掌握求解一元二次方程以及应用解法解决实际问题的方法。
2. 不等式不等式是另一个重要的知识点，包括一元一次不等式、一元二次不等式和多项式不等式等。
解不等式的方法与解方程有所不同，需要注意取等号和不等号的转化。
二、平面几何（200字）1. 向量向量作为平面几何中的基础概念，要求掌握向量的定义、运算法则以及相关定理。
其中包括向量的加法、减法、数乘和点乘等基本操作，以及线段中点定理、垂直向量的性质等。
2. 三角形三角形是平面几何中的重要概念，需掌握三角形的分类以及各类三角形的性质和判定条件，如等腰三角形、直角三角形、全等三角形和相似三角形等。
三、立体几何（200字）1. 圆柱体与圆锥体圆柱体与圆锥体是高考数学中常见的立体几何问题。
需要了解圆柱体和圆锥体的定义、表面积和体积公式，以及在解题过程中如何应用这些知识点。
2. 球体与正方体在立体几何的学习中，还需要掌握球体和正方体的特征和性质。
包括球体的表面积和体积计算公式，以及正方体在空间中的排列与应用等相关内容。
四、概率统计（150字）1. 概率概率是概率统计中的重要内容之一。
需要了解基本概率公式、条件概率的计算方法，以及与排列组合等概念的关系。
在解题时，需要熟练运用这些知识点解决实际问题。
2. 统计统计是另一个重要的知识点，包括频数、频率、直方图、折线图等统计概念和图表的解读与应用。
在高考中，经常会涉及到统计数据的分析与判定，需要具备相应的统计知识。
五、解析几何（200字）1. 坐标系与直线解析几何中，坐标系和直线的概念是基础知识。
需要了解直线的一般式方程、截距式方程以及直线与坐标轴的位置关系。
掌握这些知识可帮助解决与直线相关的问题。
2. 圆与曲线在解析几何中，圆和曲线的相关知识也是必须掌握的内容。
高考数学常考的100个基础知识点汇编
高考数学常考的100个基础知识点广州市育才中学 邓军民 整理1．德摩根公式C U （A ∩B ）= C u A ∪C u B ；B C A C )B A (C U U U =。
2．A ∩B =A ⇔A ∪B =B ⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A ⇔A ∩C U B =φ⇔C U A ∪B =R 3．card （A ∪B ）=cardA +cardB －card （A ∩B ） 4．二次函数的解析式的三种形式 ①一般式f （x ）=ax 2+bx +c （a ≠0）； ②顶点式f （x ）=a （x －h ）2+k （a ≠0）； ③零点式f （x ）=a （x －x 1）（x －x 2）（a ≠0）。
5．设x 1，x 2∈[a ，b ]，x 1≠x 2 那么⇔>--⇔>--0)()(0)]()()[(21212121x x x f x f x f x f x x f （x ）在[a ，b ]上是增函数；⇔<--⇔<--0)()(0)]()()[(21212121x x x f x f x f x f x x f （x ）在[a ，b ]上是减函数。
设函数y = f （x ）在某个区间内可导，如果f ′（x ） > 0 ，则f （x ） 为增函数；如果f ′（x ） <0 ，则f （x ） 为减函数。
6．函数y = f （x ） 的图象的对称性: ① 函数y = f （x ） 的图象关于直线x = a 对称⇔ f （a +x ）= f （a －x ）⇔f （2a －x ）= f （x ）。
7．两个函数图象的对称性：（1）函数y = f （x ）与函数y = f （－x ）的图象关于直线x = 0（即y 轴）对称。
（2）函数y = f （x ） 和y = f－1（x ） 的图象关于直线y =x 对称。
8．分数指数幂nmnm aa 1=-（a >0，m ，n ∈N*，且n >1）。
高考数学基础知识汇总
高考数学常用结论1.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == .2U U A B A A B B A B C B C A =⇔=⇔⊆⇔⊆ U A C B ⇔=Φ U C A B R ⇔= 3. 若Ａ={123,,n a a a a },则Ａ的子集有2n 个,真子集有(2n －1)个,非空真子集有(2n－2)个4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;② 顶点式 2()()(0)f x a x h k a =-+≠;③零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.三次函数的解析式的三种形式①一般式32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠ ②零点式123()()()()(0)f x a x x x x x x a =---≠ 5.设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数.设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 6.函数()y f x =的图象的对称性:①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-= ②函数()y f x =的图象关于直2a b x +=对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-=.③函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=-- 函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ⇔=--7.两个函数图象的对称性:①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ②函数()y f m x a =-与函数()y f b m x =-的图象关于直线2a b x m+=对称.特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- ⑤函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.8.分数指数幂mna=0,,a m n N *>∈，且1n >）.1m nmnaa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.9. log (0,1,0)ba Nb a N a a N =⇔=>≠>.log log log a a a M N M N +=(0.1,0,0)a a M N >≠>> log log log a a aM M N N-=(0.1,0,0)a a M N >≠>>10.对数的换底公式 log log log m a m N N a=.推论 loglog mna an b b m=.对数恒等式log a NaN =（0,1a a >≠）11.11,1,2n nn s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++ ).12.等差数列{}n a 的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；13.等差数列{}n a 的变通项公式d m n a a m n )(-+=对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，(m,n,p,q 为正整数)则q p m n a a a a +=+。
新高考题型：数学文化(精选100题)-数学附答案
“ 4 − 78 ”，1周角等于 6000 密位，记作1周角= 60 − 00 ，1直角= 15 − 00 ．如果一个
半径为 2 的扇形，它的面积为 7 π ，则其圆心角用密位制表示为（ ） 6
A．12 − 50
B．17 − 50
C． 21− 00
D． 35 − 00
2．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、
10
5
15
过剩近似值，即 27 < e < 41 ，若每次都取最简分数，那么第二次用“调日法”后可得 e 10 15
的近似分数为（ ）
68
A．
25
41
B．
15
27
C．
10
14
D．
5
6．如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其 甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五 方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取 3 个数，则选取 的 3 个数之和为奇数的方法数为（ ）
半球时取正值，直射南半球时取负值).设第 x 天时太阳直射点的纬度值为 y, 该科研小 组通过对数据的整理和分析.得到 y 与 x 近似满足 y = 23.4392911sin0.01720279x .则
每 400 年中，要使这 400 年与 400 个回归年所含的天数最为接近.应设定闰年的个数为
(精确到1)（ ）
A．30
B．40
C．44
D．70
7．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子
在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦
高考数学公式100组一级核心公式
高考数学核心公式100组一级核心公式高考数学·一级核心公式100组一、集合、复数与常用逻辑用语1.复数的四则运算设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R；加法：a+b i+c+d i=(a+c)+(b+d)i；减法：a+b i−（c+d i）=(a−c)+(b−d)i；乘法：+⋅(+p=(−p+(+p；=；2.复数的模长设复数z＝a＋b i；模长|z|＝|a＋b i|＝a2＋b2(a，b∈R)，其中2=−1。
3.全称命题与存在命题的否定全称命题：∀x∈M，p(x)的否定为：∃x∈M，非p(x)。
存在性命题：∃x∈M，q(x)的否定为：∀x∈M，非q(x)。
二、不等式4.均值不等式公式均值不等式公式为：ab≤a＋b2，均值不等式成立的使用条件为：(1)一正：a>0，b>0.(2)二定：当ab或a+b为定值时，可以使用，即ab为常数时，可求得a+b的最小值；a+b为常数时，可求得ab的最大值。
(3)三相等：当且仅当a＝b时，等号可以取到。
5.均值不等式的重要推导公式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R).(2)ba＋ab≥2(a，b同号).(3)ab≤(a＋b2)2(a，b∈R).(4)将平方和与和的平方联系起来的不等式公式是：(a+b)2≤2（a2＋b2)22ln ln 112222b a ba b a b a ab ba b a ab +≤+≤--≤≤+=+≤≤≤≤平方平均数算数平均数对数平均数几何平均数调和平均数不等式串是指：6.不等式串/链公式7.分式型不等式的解法()()0()()0()()00()0()()f xg x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩；()()0()()0()()0;0()0()()f xg x f x f x f x g x g x g x g x ≤⎧<⇔<≤⇔⎨≠⎩三、函数与导数8.常见5类函数定义域的要求类型x 满足的条件2nf (x )，n ∈N ＋f (x )≥01f (x )与[f (x )]0f (x )≠0log a f (x )(a >0，a ≠1)f (x )>0log f (x )g (x )f (x )>0，且f (x )≠1，g (x )>0tan f (x )f (x )≠k π＋π2，k ∈Z9.二次函数的三种表达形式①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n(a ≠0)．③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．10.指数函数、对数函数、幂函数指数函数表达式为：y ＝a x (a >0，a ≠1)，当a >1时，单调递增，当0<a <1时，单调递减，横过定点(0,1)。
2020高考数学100个必考知识点详解14 函数的切线问题
第14 函数的切线问题一、基础知识： （一）与切线相关的定义1、切线的定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A 。
这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线。
（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A 附近的点向A 不断接近，当与A 距离非常小时，观察直线AB 是否稳定在一个位置上（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。
例如函数3y x =在()1,1--处的切线，与曲线有两个公共点。
（3）在定义中，点B 不断接近A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点A 处的切线。
对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。
例如y x =在()0,0处，通过观察图像可知，当0x =左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =-，而当0x =右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =，两个不同的方向极限位置不相同，故y x =在()0,0处不含切线（4）由于点B 沿函数曲线不断向A 接近，所以若()f x 在A 处有切线，那么必须在A 点及其附近有定义（包括左边与右边）2、切线与导数：设函数()y f x =上点()()00,,A x f x ()f x 在A 附近有定义且附近的点()()00,B x x f x x +∆+∆，则割线AB 斜率为： ()()()()()000000AB f x x f x f x x f x k x x x x +∆-+∆-==+∆-∆ 当B 无限接近A 时，即x ∆接近于零，∴直线AB 到达极限位置时的斜率表示为：()()000limx f x x f x k x∆→+∆-=∆,即切线斜率，由导数定义可知：()()()'0000lim x f x x f x k f x x∆→+∆-==∆。
高考数学100个热点问题(一)：第28炼 三角函数性质
第28炼 三角函数及函数()sin y A x ωϕ=+性质一、基础知识：1、正弦函数sin y x =的性质 （1）定义域：x R ∈ （2）值域：[]1,1y ∈- （3）周期：2T π= （4）对称轴（最值点）：()2x k k Z ππ=+∈（5）对称中心（零点）：()(),0k k Z π∈，其中()0,0是对称中心，故sin y x =也是奇函数 （6）单调增区间：2,2,22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭单调减区间：32,2,22k k k Z ππππ⎛⎫++∈⎪⎝⎭2、余弦函数cos y x =的性质（1）定义域：x R ∈ （2）值域：[]1,1y ∈- （3）周期：2T π= （4）对称轴（最值点）：()x k k Z π=∈其中0x =是对称轴，故cos y x =也是偶函数（5）对称中心（零点）：(),02k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭（6）单调增区间：()2,2,k k k Z ππππ-++∈ 单调减区间：()2,2,k k k Z πππ+∈ 3、正切函数tan y x =的性质 （1）定义域：|,2x x x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭（2）值域：y R ∈ （3）周期：T π=（4）对称中心：(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭（5）零点：()(),0k k Z π∈ （6）单调增区间：,,22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭注：正切函数的对称中心由两部分构成，一部分是零点，一部分是定义域取不到的x 的值 4、sin y x =的性质：与正弦函数sin y x =相比，其图像可以看做是由sin y x =图像变换得到（x 轴上方图像不变，下方图像沿x 轴向上翻折），其性质可根据图像得到： （1）定义域：x R ∈ （2）值域：[]0,1y ∈ （3）周期：T π= （4）对称轴：()2k x k Z π=∈ （5）零点：()x k k Z π=∈ （6）单调增区间：,,2k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭单调减区间：,,2k k k Z πππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭5、()()sin 0y A x A ωϕ=+>的性质：此类函数可视为正弦函数sin y x =通过坐标变换所得，通常此类函数的性质要通过计算所得。
2020高考数学100个必考知识点详解17 函数的极值
第17 函数的极值一、基础知识： 1、函数极值的概念：（1）极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x <，就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值，记作()0y f x =极大值，其中0x 是极大值点（2）极小值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x >，就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值，记作()0y f x =极小值，其中0x 是极小值点 极大值与极小值统称为极值2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点3、极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点 （2）极值点是函数最值点的候选点4、费马引理：()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点⇒()0'0f x = 说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点⇒导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点③费马引理告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点） 5、求极值点的步骤： （1）筛选： 令()'0fx =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过()'fx 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性： 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。
高考数学代数和几何知识点归纳
高考数学代数和几何知识点归纳1.正整数n有奇数个因子,则n为完全平方数2.因子个数求解公式:将整数n分解为质因子乘积形式,然后将每个质因子的幂分别加一相乘.n=a*a*a*b*b*c则因子个数=(3+1)(2+1)(1+1)eg. 200=2*2*2 * 5*5 因子个数=(3+1)(2+1)=12个3.能被8整除的数后三位的和能被8整除;能被9整除的数各位数的和能被9整除.能被3整除的数,各位的和能被3整除.4.多边形内角和=(n-2)x1805.菱形面积=1/2 x 对角线乘积6.欧拉公式：边数=面数+顶点数-28.三角形余玄定理C2=A2+B2-2ABCOSβ,β为AB两条线间的夹角9.正弦定理:A/SinA=B/SinB=C/SinC=2R(A,B,C是各边及所对应的角,R是三角形外接圆的半径)10.Y=k1X+B1,Y=k2X+B2，两线垂直的条件为K1K2=-111.N的阶乘公式:N!=1*2*3*....(N-2)*(N-1)*N 且规定0!=1 1!=1Eg:8!=1*2*3*4*5*6*7*812. 熟悉一下根号2、3、5的值sqrt(2)=1.414 sqrt(3)=1.732 sqrt(5)=2.23613. ...2/3 as many A as B: A=2/3*B...twice as many... A as B: A=2*B14. 华氏温度与摄氏温度的换算换算公式:(F-32)*5/9=CPS.常用计量单位的换算:（自己查查牛津大字典的附录吧）练习题:1：还有数列题：a1=2，a2=6，a n=a n-1/a n-2，求a150.解答: a n=a n-1/a n-2,所以a n-1=a n-2/a n-3,带入前式得a n=1/a n-3,然后再拆一遍得到a n=a n-6,也就是说,这个数列是以6为周期的,则a150=a144=...=a6,利用a1,a2可以=1/3.计算出a6如果实在想不到这个方法,可以写几项看看很快就会发现a150=a144,大胆推测该数列是以6为周期得,然后写出a1-a13(也就是写到你能看出来规律),不难发现a6=a12,a7=a13,然后那,稍微数数,就可以知道a150=a6了,同样计算得1/3.2：问摄氏升高30度华氏升高的度数与62比大小.key:F=30*9/5=54<623：那道费波拉契数列的题:已知,a1=1 a2=1 a n=a n-1+a n-2，问a1,a2,a3,a6四项的平均数和a1,a3,a4,a5四项的平均数大小比较。
高中数学知识点全总结(3篇)
高中数学知识点全总结一、直线与方程高考考试内容及考试要求：考试内容：1.直线的倾斜角和斜率;直线方程的点斜式和两点式;直线方程的一般式;2.两条直线平行与垂直的条件;两条直线的交角;点到直线的距离;考试要求：1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程;2.掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系;二、直线与方程课标要求：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素;3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系;4.会用代数的方法解决直线的有关问题，包括求两直线的交点，判断两条直线的位置关系，求两点间的距离、点到直线的距离以及两条平行线之间的距离等。
要点精讲：1.直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x 轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。
特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α=0°.倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.当直线l与x轴垂直时，α=90°.2.直线的斜率：一条直线的倾斜角α（α≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，也就是k=tanα（1）当直线l与x轴平行或重合时，α=0°，k=tan0°=0;（2）当直线l与x轴垂直时，α=90°，k不存在。
由此可知，一条直线l的倾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在。
3.过两点p1（x1,y1）,p2（x2,y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式：（若x1=x2，则直线p1p2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°）。
4.两条直线的平行与垂直的判定（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：注：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立。
高考数学100问
高考数学100问1．若某集合有n个元素，它的子集个数是多少？知道容斥定理吗？2．求子集时，要注意空集；求补集时，要注意什么？怎样巧妙地应用Venn图解题？3．知道集合子、交、并运算的等价形式和德"摩根公式吗？4．知道逻辑联结词或、且、非和集合运算并、交、补之间的对应关系吗？知道充要条件和四种命题吗？知道否命题与否定命题之间的区别吗？5．“若P，则Q”是复合命题吗？其否定命题是什么形式？ 6．求一个函数的解析式、反函数、奇偶性、单调性、最值以及作图等问题时，你注意到该函数的定义域了吗？并且定义域和值域通常要表示成什么形式？7．知道二次函数的三种表达形式吗？8．知道下述特殊与一般的方法及应用吗？；或（其中a是常数，A是的定义域）.9．函数的单调性具有区间的可加性吗？10．奇（偶）函数在对称区间上的单调性如何？11．知道复合函数单调性的判断方法吗？ 12．判断一个函数的奇偶性有哪些基本方法？判断函数奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？13．是为奇函数的什么条件？解题时如何利用这个条件？14．你知道函数的图像（方程曲线）的三种基本变换吗？写出几个表示函数图像对称变换的表达式．15．知道函数本身的对称性与两个函数图像具有对称性的区别吗？知道关系式与的区别吗？16. 知道常见组合函数如的基本性质吗？17. 解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？字母底数通常还需分别讨论.18. 知道判断对数符号的快捷方法吗？19．知道对数换底公式及推论吗？对数恒等式呢？20. 判断“实系数方程有实数解”，你是否注意到；当a=0时，“方程有解”不能转化为．即若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？21．何为“三个二次”问题？22．能分别找出一个与下列抽象函数性质对应的具体函数吗？对于函数定义域中任意的或x分别有如下结论：；；；（4）（5）；（6）；（7）；（8） .23. 解三角问题时，注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？ 24．在三角函数中，命题成立吗？25．什么叫弦函数的“五点作图法”？常见的三角函数图像变换有哪些？图像伸缩与平移变换的顺序有何关系？26．三角函数的基本性质有哪些？27. 在三角函数中，你知道1的代换吗？28. 三角函数化简求值的通性通法有哪些？29. 了解弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？30．记忆三角函数诱导公式的口诀是什么？31．知道关于正弦和余弦函数的线性表达式及其应用吗？ 32. 是否知道下面各种角的定义和取值范围？①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角；②直线的倾斜角；③反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围；④两个向量所成角．33．如何利用单位圆求已知角的半角？三分之一角等；如何利用单位圆解三角不等式？34．知道正弦定理和余弦定理以及相应结论吗？35. 有理不等式的一般解题思路是什么？会用序轴法（波浪线法）解有理不等式吗？36. 解简单的指对数不等式应该注意什么问题？37．如何利用绝对值的几何意义来解绝对值不等式？一般的绝对值不等式的解法有哪些？38. 利用均值不等式以及变式求函数的最值时，你是否注意到“正、定、等”的条件？柯西不等式等号成立的条件是什么？39. 解含参数的有理不等式时，怎样进行分类讨论？40．常见的证明方法有哪些？41. 等差或等比数列常见判断的方法有几种？ 42．等差数列的基本性质有哪些？43．等比数列的基本性质有哪些？注意到等差与等比数列的对偶性质吗？*44．怎样由二元线性递推关系求数列的通项？45．注意到数列与函数之间的关系吗？怎样应用？46. 是否注意到在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨论？47. 由前n项和求数列的通项公式时，注意到需讨论吗？ 48. 知道数列求和的常用方法吗？49. 知道求数列通项的常用方法吗？50．数学归纳法的主要步骤有哪些？51. 解排列组合问题的依据是什么？ 52. 解排列组合问题的规律是什么？53. 知道排列数与组合数公式吗？组合数的两个性质呢？54．知道二项展开式的推导方法吗？二项式系数的两个性质又是怎样得到的？二项式系数与项的系数有何区别?55. 画三视图的要点是什么？会用斜二侧（或正等侧）画法画出一些简单的空间图形吗？56．作出二面角平面角的主要方法有哪些？ 57．求异面直线所成的角、线面角、二面角的平面角的主要方法有哪些？*58. 求点到面的距离的常用方法有哪些？异面直线上两点间的距离公式的几何模型是什么？59. 求不规则多面体体积的方法有哪些？60. 应用三垂线定理的关键是什么？61．能分别找出使得公式和成立的一个几何模型吗？62．三棱锥分别满足什么条件时，顶点在底面的射影是底面三角形的外心、垂心、内心？63．球、正四面体、正方体（长方体）三者有何关系？64．什么是球面上两点的球面距离？怎样计算球面距离？65．三维与二维空间问题的相互转化？66．应用平面向量判断向量（或直线）平行（共线）或垂直的基本方法有哪些？应用空间向量判断线面或面面平行（或垂直）的基本方法有哪些？67．两个非零不共线的向量加、减法的几何意义是什么？三个不共面的向量加法的几何意义是什么？向量数量积的几何意义是什么？68．平面（空间）向量的基本定理是什么？如何运用它来解题？69．知道直线方程的五种形式吗？若设直线方程，涉及到斜率k时，你是否注意到斜率k不存在的情况需单独讨论？70．曲线或直线（在坐标轴上）的截距表示距离吗？71. 定比分点（三点或向量共线）的坐标公式是什么？如何应用？ 72. 如何用直线的方程判断平面上两条直线的位置关系？如何判断某点在已知直线的哪一侧？73. 解线性规划的步骤有哪些？要注意什么？解法有哪些拓展？74. 判断直线与圆的位置关系有哪些方法？75. 判断圆与圆的位置关系有什么方法？*如何求两个圆的根轴方程？*76. 知道直线系方程、圆系方程、曲线系方程及其应用吗？ 77. 会用圆锥曲线的定义解题吗？*78. 知道圆锥曲线中a，b，c，p，e，的几何意义吗？ 79．离心率的大小与曲线的形状有何关系？等轴双曲线的离心率是多少？*80．了解圆锥曲线的焦半径公式并会应用吗？81. 用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程求解中要注意什么？82. 在椭圆中，注意到焦点、中心、短轴端点所组成的基础三角形（a，b，c）吗？双曲线和抛物线呢？83. 了解圆锥曲线的光学性质吗？84．若 (其中 )是抛物线的焦点弦，你知道哪些基本的结论？85．知道圆锥曲线的弦长公式吗？86．你能举出几种求曲线轨迹方程的基本方法？87．到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹是什么？88．何谓解析几何中的“点差法”？如何应用？89．知道超几何分布吗？了解二项分布的期望与方差吗？90．知道互斥与独立事件的概率加法与乘法公式吗？知道事件A在n次独立重复实验中发生k次的概率公式吗？91．知道几何概型与古典概型的联系和区别吗？92．知道离散性随机变量的分布列、期望、方差和标准差吗？93．了解正态分布的密度函数吗？94．导数的基本公式有几个？知道四则运算与复合函数的求导法则吗？95．导数的基本应用有哪些？96．过曲线C上一点P作曲线C的切线与以P为切点作曲线C的切线有何区别？97．利用导数判断函数的单调性时，导数为零的点是否考虑？单调区间的端点是否一定要写上？98．常用的抽样方法有哪些？如何列出频率分布表和频率分布直方图？99．了解复数的代数形式以及四则运算法则吗？知道两个复数相等的充要条件吗？了解复数的模以及共轭复数的有关性质吗？100．算法的基本逻辑结构和程序框图的结构有几种？。
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12. 求一个函数的解析式时，一定要 标注该函数的定义域。 13. 判断一个函数的奇偶性时，必须 注意“函数的定义域是否关于原点 对称”这个必要非充分条件
14.奇偶性：f(x)是偶函数f(-x)=f(x)=f(|x|); f(x)是奇函数f(-x)=-f(x);
于直线
x
ab 2
对称；
函数yfx与 函数 yfx的图象关于直 线x=0对称； 函数yfx与 函数 yfx 的图象关于直 线y=0对称； ④函数yfx与函数 yfx的图象关 于坐标原点对称； ⑤若奇函数yfx在区间 0,上是增函 数，则yfx在区间,0上也是增函数；
若偶函数 yfx在区间 0,上是增函
• ⑵ A{x|a2x 2x10}，如果 AR ，求a 的取值范围。
• 3 .⑴奇数集{x|x=2n-1，n∈Z}={x|x=2n+1， n∈Z}={x|x=4n±1，n∈Z}
• ⑵正奇数集{x|x=2n-1,n∈Z}≠{x|x=2n+1， n∈Z}
• 4. CU(A∩B)=CUA∪CUB; CU(A∪B)=CUA∩CUB
取值范围，必须讨论a＝2的情况.
22.关于函数的周期性，有如下结论：
①函数 f ( x ) 满足 fxfax，则是周期为2a
的周期函数；
②若
f
(xa)
f
1 (a0) (x)
恒成立，则
T 2a；
③若 f(xa) 1 (a0) 恒成立，则 T 2a .
f (x)
23. 证明函数图像的对称性，即证明图像上任
• 5. A∩B=A A∪B=B A B CUB CUA
A∩CUB= CUA∪B=U
二．逻辑
⒍ 原命题: 若 p , 则 q ; 逆命题: 若 q , 则 p ;
• 否命题: 若 p则q；逆否命题: 若 q则p ；
• 互为逆否的两个命题是等价的，即它们是同真或 同假。
• 如：“ sinsin ”是“
18.对号函数(NIKE函数)：yaxb x a0,b0
的单调区间：该函数在（ ，
上单调递增；在 [
和 ab ,0) （ 0， ab
a
a
] aab上] 和单[调aab递, )
减。这可是一个应用广泛的函数！
19.两大撇：yaxb a0,b0的单调区间：
该函数在 ,0,x0, 都是递增的
20.切记在 x 0 有定义的奇函数y=f(x)，
（答：充分非必要条件）
”的 条件。
⒎ 注意命题“若p , 则 q ”的否定 与它的否命题 的区
别:
p,则 q
p则 q
• 一般地，命题“p则 若 q ”的否定是
；
否命题是若
；
• 命题“p或q”的否定是“┐p且┐q”，“p且q”的否 定是“┐p或┐q”
⒏ 注意下面几个命题的真假： ⑴“一定是”的否定是“不一定是” （真）； ⑵若|x|≤3，则x≤3；（真） ⑶若x+y ≠ 3，则x≠1或y≠2；（真） ⑷若A={x|x≠1}∪{y|y≠2}, B=(-∞,1)∪(1,2)∪(2,+∞),则A=B.(假)
一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图
像上； 已知函数
f(x)x1a(aR) ax
。求证：函数
f
(x)
的图像关于点 M(a,1)成中心对称图形。
24.曲线 f (x, y)0关于点 ( a , b ) 的对称曲线的方
程为 f(2ax,2by)0。
如：若函数 y x2 x 与 yg(x) 的图象关于点
（-2，3）对称，则 g(x)＝______
25.形如ycaxx db(c0,adbc)的图像是双曲线，对称中
心是点
(
d c
,
a c
)。
26. ① | f ( x ) |的图象：“以下翻上再去下”
先保留f ( x )在 x 轴上方的图象，作出 x 轴下方的图
象关于 x 轴的对称图形，然后擦去 x 轴下方的
三.函数与导数 ⒐ 在映射f：A→B中满足“两允许， 两不允许”： 允许B中有剩余元素，不允许A中有 剩余元素； 允许多对一，不允许一对多. 10. ⑴A={(x,y)|x=a},B={(x,y)|y=f(x)}, 则A∩B中至多有一个元素; ⑵若f(x)存在反函数,则方程f(x)=a至 多有一个实根.
11. 关于函数图象对称性的几个重要
性质：
①如果函数 yfx对于一切 xR，都
有 fa x fa x ，那么函数 yfx的
图象关于直线 xa对称是yf xa
偶函数；
②如果对于一切xR 都有 fa xfbx ，
那么函数yfx的 图象关于直线 x a b
对称；
2
③函数 yfax与 函数yfbx的图象关
其图像必定过原点。
21.“关于的实系数的准一元二次方程a2xbx c0
有实数解”转化为“b24a c0 ”，否则必须a 0
要分a 0
和 两种情况；
若原题中没有指出是二次方程、次函数或二次
不等式，必须考虑到二次项系数可能为零的情形.
例如：a 2 x2 2 a 2 x 0对一切 xR恒成立，求a的
我的分数我做主 -----2011年高考 数学考前温馨提
示100条
一.集合 1. 注意区分集合中元素的形式：
• 例如①，x|yx2x
• ②，y|yx2x • ③，(x ,y )|y x 2 x
• ④, x2x0
• ⑤, x|x2x0
(1).M{x|yx3}, N=y|yx21,x M M N
(2)M . { a |a ( 1 ,2 ) ( 3 ,4 ) , R } N { a |a ( 2 ,3 )( 4 ,5 ) R}
MN
2.遇到AB 或 AB，不要遗忘了A 的情况，
• 例如：⑴ A{x|x28x1 50}，B{x|a x10}， 若 BA，求实数a的值.(不要遗忘a=0的情 况)
15.根据定义证明函数的单调性时， 规范格式是：取值、作差、变形、 定号、下结论。
16.用导数研究函数单调性时，一定要注意 “f ' x >0(或f ' x <0)”是该函数在给定区间上单 调递增（减）的充分不必要条件。 17.注意单调区间必须用区间表示，不可用集合 的其它表示形式，并注意区间端点值的取舍: 若端点值在定义域内且图象在该点不断开，则 闭开均可; 若端点值不在定义域内，必须为开；若增（减） 区间不只一个，则区间之间应该用“和”或 “，”，不可用“∪”.