2008年考研数学数学二试题答案

2008年考研数学二试题分析、详解和评注

一，选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设2

()(1)(2)f x x x x =-+，则()f x '的零点个数为【 】． (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】应选(D).

【详解】3

2

2

()434(434)f x x x x x x x '=+-=+-．

令()0f x '=，可得()f x '有三个零点．故应选(D).

(2)曲线方程为()y f x =，函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0

()a

xf x dx '⎰

在几何上

表示【 】．

(A) 曲边梯形ABCD 的面积． (B) 梯形ABCD 的面积． (C) 曲边三角形ACD 面积． (D) 三角形ACD 面积． 【答案】 应选(C). 【详解】

'0

()()()()a

a a

xf x dx xdf x af a f x dx ==-⎰

⎰⎰，

其中()af a 是矩形面积，0

()a

f x dx ⎰

为曲边梯形的面积，所以'

()a

xf x dx ⎰为曲边三角形ACD

的面积．故应选(C).

(3)在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x

y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通

解的是【 】．

(A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=.

(C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】 应选(D).

【详解】由123cos 2sin 2x

y C e C x C x =++，可知其特征根为

11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为

2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+

3244λλλ=+-- 32444λλλ=-+-

所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).

(4) 判定函数ln ()|1|

x

f x x =

-，(0)x >间断点的情况【 】．

(A) 有一个可去间断点，一个跳跃间断点． (B) 有一跳跃间断点，一个无穷间断点． (C) 有两个无穷间断点. (D)有两个跳跃间断点. 【答案】 应选(A).

(5)设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是【 】．

(A) 若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. 【答案】 应选(B).

【详解】若若{}n x 单调，则由函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界知，若{()}n f x 单调有界，因此若{()}n f x 收敛．故应选(B).

(6)设函数()f x 连续，2

2

1x y +=，2

2

2

,1x y u u +

=>，若22(,)D

F u v =

，

则

F

u

∂=∂【 】

． (A) 2

()vf u (B) ()vf u (C)

2()v f u u (D) ()v

f u u

【答案】 应选

(A).

【详解】利用极坐标，得

22220

1

1()

(,)()v u

u D

f r F u v dv rdr v f r dr

r

===⎰⎰

⎰，所以

F

u

∂=∂2()vf u ．故应选(A). (7)设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若3

0A =，则下列结论正确的是【 】． (A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆.

(C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C).

【详解】2

3

()()E A E A A E A E -++=-=，2

3

()()E A E A A E A E +-+=+=．

故E A -，E A +均可逆．故应选(C).

(8) 设1221A ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，则在实数域上，与A 合同矩阵为【 】

． (A) 2112-⎛⎫

⎪-⎝⎭ . (B)

2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. (C) 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭. (D) 1221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭

.

【答案】 应选(D). 【详解】

221

2

(1)423(1)(3)02

1

E A λλλλλλλλ---=

=--=--=+-=--

则121,3λλ=-=，记1221D -⎛⎫

=

⎪-⎝⎭

，则

221

2

(1)423(1)(3)02

1

E D λλλλλλλλ--=

=--=--=+-=-

则121,3λλ=-=，正负惯性指数相同.故选D.

二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.) (9)已知函数()f x 连续，且01cos[()]

lim 1(1)()

x x xf x e f x →-=-，则(0)f =

【答案】 应填2．

(10)微分方程2()0x

y x e dx xdy -+-=的通解是 . 【答案】 应填()x

y x C e -=-．

(11)曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)的切线方程为 . 【答案】 应填1y x =+． 【详解】

(12)曲线23

(5)y x x =-的拐点坐标为 . 【答案】 (1,6)--． 【详解】 (13)设x y

y z x ⎛⎫

=

⎪⎝⎭，则(1,2)

z x ∂=∂ . 【

答案】

21)-． (14)设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ．若行列式|2|48A =-，则λ=___________. 【答案】应填1-．

三、解答题(15－23小题，共94分)．