证券投资学第十章 投资组合理论介绍

二、效用价值 风险厌恶（risk averse）型
投资组合的效用水平公式化 如：效用函数
U=E（R）- 0.5A 2 A为投资者的风险厌恶指数。
三、无差异曲线
E(R)
Ⅰ E(RP)
Q
Ⅱ
P
Ⅲ
Ⅳ
P
第Ⅰ象限中的组合均比组合P好。
第Ⅱ、Ⅲ象限的证券组合与组合P相比如何？
效用随着的增加而减少，必须以预期收益的增 加作补偿。即Q与P具有同等吸引力。
的测度。
对于两种股票A、B，若已知其N期的收益率， 求这两种股票的协方差AB，则可用下式计算：
AB
或
1 N
N
(R At
t1
R A（) R Bt
RB )
AB
1 N
N t1
R AtR Bt
RARB
例：协方差的计算
收益率（%）
年份
A
B
1
5
25
2
15
15
3
25
5
RA 15
RB 15
协方差AB= Cov(RA,RB) = - 67(%)2 相关系数 = AB = -1
如 收益率 r1 r2 …… rm 概率 p1 p2 …… pm
m
该证券的期望收益率： E(r) piri i1
方差：
m
2 Pi [ri E(r)]2 i 1
情况2：若已知某证券各历史时期的收益率 如： r1 r2 …… rt …… rN
样本均值：
E(r)
1 N
N t 1
rt
样本方差Var或2：Var
方差p2(%) 10
13
6.25
14
6 —MVP
17
8.25
20
15
预
期 收
20
益
率
（ 14
%
）
10
P"
B
P'
P0
P
A
6 6.25 10 15
方差(%)
2 P
w
2A
2 A
wB2 B2
2w A w B AB A B
同理
当 AB = -1时： P wAA wBB
当 AB = 1时： P wAA wBB
E(RP ) w R
2 P
w Q w
在Markowitz模型中的条件可用矩阵表示。 若记：
A
E(R1 1
)
E(R2 ) 1
则Markowitz模型变为：
E(Rn 1
)
B
k 1
min
2 P
w Q w
S.t Aw B
利用拉格朗日乘数法,可求得最优解： w=B ´ (AQ-1A ´)-1 A´ Q-1
2
1 N
N
[rt
t1
E(r)]2
三、证券组合的预期收益与方差
1、证券组合的预期收益率
若第 i 种证券的期望收益率为E(Ri)，则投 资组合的期望收益率（简记为 Rp ）：
n
Rp E(Rp ) w i E(R i ) i1
例如：某投资组合P由两种证券组成，且
E( RA) =5% ；E(RB) = 20%
第 十章 投资组合基本概念
一、投资组合 以一定比例的资金wi 投资于第i种证券所构成
的组合。
w1+w2+…+ wn=1 对投资者必须在两个目标之间权衡：即
预期收益最大化 风险最小化 在分析中，要用到预期收益率、标准差、值分 析等工具。
二、收益率及风险度量 1、证券的简单估价模型
P0=（D+P1）/(1+k) P0——证券的现值（现行价格） P1——证券的期末预期价格 K ——折现率 D —— 一期内的现金流
预
P128
期 收
B
益
率
（
%
）
A
0
标准差
图：不同相关系数时的组合线
二、投资组合的有效边界
1、多个证券可能的组合区域 考虑五种证券：A、B、C、D、E
E(R)
A
组合区域
B
（可行集）
C
D E
2、最小方差集
E(R)
最小方差集 有效边界
MVP
3、有效边界与有效组合（见图）
4、Markowitz模型
E(R)
A3
A2
B
A1
由上图可以看出：
组合 B优于组合A1、组合 A3优于组合 B。 但对该投资者，组合B和组合A2是无差异的 （即等效用）
▪无差异曲线的基本特征：
（1）等效用性 位于同一条无差异曲线上的所有组合对一个
投资者具有相同的偏好，即具有相同的效用倾向。 （2）效用递增性
当向较高的无差异曲线移动时，如从I1到I2， 投资者的效用倾向增加。 （3）主观性
A2=0.5(15.8% -26.3%)2+0.5 (36.8% - 26.3%)2 =1.1%
5、均值、方差的参数估计 以一定时间单位（如年、半年、季、月等） 观测得某证券的收益率（时间序列值）：
r1 r2 …… rt …… rN
样本均值：E(R)
1 N
N
rt
t 1
样本方差Var：
Var
2、期间收益率R R D (P1 P0 ) P0
3、组合收益率
n
Rp
wiRi
i 1
4、风险的一种度量——方差2或标准差 设
ri: 证券在第 i 种状态下的收益率 pi ：证券出现第 i 收益率的概率
证券的期望收益率：
方差：
m
E(R) piri i1
m
2
Pi [ri E(R )]2
wA = 0.25 w B= 0.75 则有：E(RP)= wA·E( RA)+ w B ·E(RB)
= 0.25 5% + 0.75 20% = 16.25%
注：允许卖空情况 如，设投资者自有资金10000元， 通过卖空证券A，得4000元， 共14000元投资于证券B
则组合收益率为：
E(RP)= wA·E( RA)+ w B ·E(RB) = （- 0.4） 5% + 1.4 20%
= 26%
2、证券组合的方差 仅考虑两项证券：证券A，证券B
Var(Rp)=E{[Rp-E(Rp)]2} =wA2 A2+ wB2 B2+2 wAwB AB
或
p2= wA2 A2+ wB2 B2+2 wAwBABA B
A与B的相关系数：
AB
AB AB
Cov(RA , RB ) AB
➢ 协方差是用来衡量两种证券的收益率的趋同性
i 1
例如：证券 A的当前价格为9.5元，1个月后的价格 是不确定的（假设，获得11元与13元的概率各0.5）
11元 9.5元 9.5元
1
5
.
8
%,概率为0.5
13元 9.5元 9.5元
36.8%,概率为0.5
故 A的期望收益率及方差为:
E(A)= 0.5 15.8 % + 0.5 36.8 % = 26.3 %
3、分散化与组合风险
例：
证券 预期收益率
A
0.1
B
0.1
标准差 方差2
0.4
0.16
0.4
0.16
设：WA=0.5
WB=0.5
则有：Rp=wARA+WBRB=0.1
2 P
w
2A
2 A
w
2 B
2 B
2w A w B AB A B
0.08 0.08AB
注：增加组合数目可以消减风险
假设：n 种独立的股票，即ij=0 它们的预期收益率相等，即E(R) = E(Ri) 方差相等，即i = 0
无差异曲线代表单个投资者对期望收益和风 险之间的均衡点的个人评估，即是主观确定的。
四、最优投资组合的选择 概念：
E(R)
无差异 曲线
P*
MVP
13 1.0 12 0.5
期末价格
14 0.5
平均价格
13
13
方差
0
1
证券C 价格(￥)概率
11 0.5 15 0.5
13 4
由于三种证券A、B、C的方差不同，对风 险厌恶者来说，A优于B，B优于C。
购买证券B和证券C的投资者都将要求有更 大的风险补偿（风险报酬）。
注： 单个证券的预期收益和方差计算 情况1：证券的将来收益率有多种可能结果
1 N
N
[rt
t 1
E(R)]2
6、E- 准则
若对两证券A、B，当满足下列条件之一时， 投资者应选证券A作为投资对象：
(1)
E(RA ) E(RB )
且
2 A
2 B
(2)
E(RA ) E(RB )
且
2 A
2 B
三种证券A、B、C的比较(设初始价格均为10元)：
证券A
证券B
价格(￥)概率 价格(￥) 概率
%
20
预 期 15 收 益 10 率 （
5
）
P5 P4 P3
P2
P1
543
2
1
组合中股票的数量
0 2.0 4.0 6.0 8.0 10 12 14 16
方差(%)
注：关于适宜的组合数目 随着组合中组合数量的增加，组合方差
的边际递减率却相应地减小。
下面假设所有股票零相关，其所有股票方 差为 0=100。
2 P
n
n
wiw jij
i1 j1
约 束 条 件 :
n
E(R P ) w iE(R i )（可取某一预期收益k）
i1
n
wi 1
i1
记
w w1 w2 wn
Q
11 21
n1
12 21
n1
1n 21
nn
R
E(R1 E(R 2
) )
E(R1
)
证券组合P的期望收益与方差可表示为：
则组合中的数量与组合方差之间的关系：
组合中股票 的数量 1 2 3 4 5
10 20 50 100
组合的方差
100 100/2=50 100/3=33.3 100/4=25 100/5=20
100/10=10 100/20=5 100/50=2 100/100=1
组合方差的 边际递减 — 50 16.7 8.3 5
结果1：增长到15万元 概率为0.6 结果2：减少到8万元， 概率为0.4 于是：平均收益E(R)=12.2万元 收益标准差为=3.4万元 预期盈利为2.2万元，但风险较大。 若投资于无风险的国库券，可稳得盈利0.5万元。 预期的边际盈利：2.2万元-0.5万元=1.7万元 风险溢价：是指投资于风险证券的风险补偿。
预期收益率
方 差2 （%）
A
10%
10
B
20%
15
设：AB = 0 则组合收益与方差分别为：
E(Rp) = wA10% + wB 20%
2 P
w
2 A
2 A
w
2 B
2 B
w
2 A
10
w
2 B
15
投资比重
wA
wB
1
0
0.7 0.3
0.6 0.4
0.3 0.7
0
1
证券组合的收益率和方差
收益率E(RP) 10
该投资组合的风险为：
2= B ´ (AQ-1A ´)-1B
记二阶对称矩阵
(AQ 1A)1
m11 m21
则投资组合的风险为：
m12 m22
2 = m11k2 +2 m12k + m22
E(R)
E(R)=k
P
0
P
第四节 无差异曲线与最优投资组合
一、风险溢价
例：若某投资者有10万元证券，投资于某种风险 证券，并有两种可能的结果：
wi=1/n 因而，证券组合方差为：
2 P
w
2 1
2 1
w
2 2
2 2
w
2 n
2 n
1 n
2
2 0
1 n
2
2 0
1 n
2
2 0
1 n
2 0
当n趋于无穷大时来自百度文库组合的方差趋于零。
下图所示为，当所有单个股票独立、有相 同的收益率10%和相同的方差16%时，分散 化投资对证券组合的预期收益率和方差的影响。
1.11 0.263 0.041 0.010
4、系统风险与非系统风险 系统风险：所有投资者都将面对且不能通
过多样化消除的风险。
非系统风险：是由某特殊事件造成，可通 过多样化消除的风险。
组
合 的
总风险
非系统风险
方
差
系统风险
组合数目
第三节 有效投资组合选择
一、组合线(Combination Lines) （ 用两证券的组合为例说明） 例如： 设A、B两种股票