高一期末三校联考数学试卷 高
湖北省恩施州三校联盟2023年高一上数学期末统考试题含解析
2
故选：C.
【点睛】本题考查平面向量的基本定理，以及三角形的面积公式，属综合中档题.
5、A
【解析】利用分段函数的解析式，由里及外逐步求解函数值得到方程求解即可
【详解】函数
f（x）=
x
a
3 x 1 x0
log 2 x( x
0) ，若
f（f（-1））=6，
可得 f（-1）=4，f（f（-1））=f（4）=4a+log24=6，
湖北省恩施州三校联盟 2023 年高一上数学期末统考试题
注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用 2B 铅笔作答；第二部分必须用黑 色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（本大题共 10 小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1．某组合体的三视图如下，则它的体积是
19．已知函数 f (x) a ?b ，其中向量 a (2sin x, cos x) ， b (cos x, 2 3 cos x) ， x R .
（1）求函数 f (x) 的最大值； （2）求函数 f (x) 的单调递增区间.
20．已知函数 f x Asin(x )( 0, 0 ) 的部分图象如图所示.
sin( x
)
0,|
|
2
,
x
4
为
f
(x)
的零点，
x
4
为
f
(x)
图象的对称轴
（1）若 f (x) 在[0, 2 ] 内有且仅有 6 个零点，求 f (x) ；
（2）若
湖北省鄂西南三校2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题含答案
鄂西南三校高一年级12月联考数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、考号填写在答题卡与试题卷上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2{3},870M x x N x x x =>=-+<∣∣，则M N ⋂=（）A.()3,8 B.()3,7 C.()1,3 D.()1,7【答案】B 【解析】【分析】先解一元二次不等式，再根据交集定义计算即可.【详解】因为{17}N xx =<<∣，所以()3,7M N ⋂=.故选：B.2.已知函数()f x 的定义域为()1,4，则()2f x x+的定义域为（）A.()1,2- B.()3,6C.()()1,00,2-⋃ D.()()1,00,3- 【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合抽象函数的定义域的求解方法，以及函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意知，函数()f x 的定义域为()1,4，则函数()2f x x +满足124x x <+<⎧⎨≠⎩，解得10x -<<或02x <<，即函数()2f x x+的定义域为()()1,00,2-⋃.故选：C.3.已知()12fx x +=+，则函数()f x 的解析式为（）A.()2f x x = B.()21f x x =+（1x ≥）C.()223x x x f =-+（1x ≥）D.()222f x x x =-+（1x ≥）【答案】C 【解析】【分析】令1x t +=（1t ≥），采用换元法求函数的解析式.【详解】设1x t +=（1t ≥），则()21x t =-，()()221223f t t t t =-+=-+，所以()223x x x f =-+（1x ≥），故选：C.4.已知函数()22()1x x x f x x --=-，则()f x 的图象大致是（）A.B.C. D.【答案】D【分析】根据函数的奇偶性判断A 选项；由102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭可以判断B 、C 选项，即可求解.【详解】函数()f x 的定义域为{}|1x x ≠±，在定义域内有()()()()222211x xxxx x f x f x x x ------===---，所以函数()f x 在定义域{}|1x x ≠±上是偶函数，则A 选项错误；又112212221012212f -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-< ⎪⎝⎭-，则B 、C 选项错误；故选：D.5.碳14是碳元素的一种同位素，具有放射性.活体生物组织内的碳14质量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰减.已知碳14的半衰期为5730年，即生物死亡t 年后，碳14所剩质量()573012tC t C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中0C 为活体生物组织内碳14的质量.科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2023年科学家在我国发现的某生物遗体中碳14的质量约为原始质量的0.92倍，已知 2.1210.232⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，则根据所给的数据可推断该生物死亡的朝代为（）A.金（公元11151234-年）B.元（公元12061368-年）C.明（公元13681644-年）D.清（公元1616-1911年）【答案】B 【解析】【分析】设活体生物组织内碳14的质量01C =，由题意建立方程求解即可.【详解】设活体生物组织内碳14的质量01C =，由题意知：573010.922t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又 2.1220.121110.920.234222-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯≈⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，57300.12687.6t ∴≈⨯=，2023687.61335.41335-=≈，所以该生物死亡的朝代为元.6.已知关于x 的不等式()210x a x a -++<恰有四个整数解，则实数a 的取值范围是（）A.(]5,6 B.[)4,3--C.[)(]4,35,6-- D.(][)4,35,6-- 【答案】C 【解析】【分析】化不等式为()()10x a x --<，分1a =，1a >和1a <三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解．【详解】不等式()210x a x a -++<，可化为()()10x a x --<，当1a =时，不等式()210x a x a -++<的解集为空集，不合题意；当1a >时，不等式()210x a x a -++<的解集为()1,a ，要使不等式()210x a x a -++<恰有四个整数解，则56a <≤，当1a <时，不等式()210x a x a -++<的解集为(),1a ，要使不等式()210x a x a -++<恰有四个整数解，则43a -≤<-，综上可得，实数a 的取值范围是[)(]4,35,6-- ．故选：C ．7.已知0,0x y >>，且11223x y +=+，若23x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.()4,6- B.()3,0- C.()4,1- D.()1,3【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式求出2x y ++的最小值，即可得到4x y +≥，从而得到234m m +<，解得即可.【详解】因为0x >，0y >，且11223x y +=+，所以()3113222112222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+++=+++=+++⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭3262⎛≥+= ⎝，当且仅当22y x x y+=+，即3y =，1x =时取等号，所以4x y +≥，因为23x y m m +>+恒成立，所以234m m +<，即()()140m m -+<，解得41m -<<，所以实数m 的取值范围是()4,1-.故选：C8.函数y =的单调区间为（）A.在(,1]-∞上单调递减，在[1,)+∞上单调递增B.在[2,1]-上单调递减，在[1,4]上单调递增C.在(,1]-∞上单调递增，在[1,)+∞上单调递减D.在[2,1]-上单调递增，在[1,4]上单调递减【答案】D 【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减，求得函数的单调区间.【详解】由()()228240x x x x -++=-+-≥，解得函数y =的定义域为[]2,4-.由于228y x x =-++开口向下，对称轴为1x =.2x y =在R 上递增，根据复合函数单调性同增异减可知函数y =[2,1]-上单调递增，在[1,4]上单调递减.故选：D【点睛】本小题主要考查复合函数单调性的求法，考查函数定义域的求法，属于基础题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列比较大小正确的是（）A.0.10.222< B.> C. 3.5 2.30.30.3--> D.0.5 1.21.20.5<【答案】AC 【解析】【分析】根据指数函数与幂函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A ，由指数函数2x y =为单调递增函数，可得0.10.222<成立，所以A 正确；对于B ，由幂函数y =()0,+∞上单调递增，可得<B 不正确；对于C ，由指数函数0.3x y =为单调递减函数，可得 3.5 2.30.30.3-->成立，所以C 正确；对于D ，由0.5 1.2001.21,1.20.5150.>=<=，所以 1.20.510.5.2>，所以D 不正确.故选：AC.10.中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（）A.01y x =-与0y =B.y =y =C.||y x =与z = D.1y x =+与3211x y x x +=-+【答案】BCD 【解析】【分析】定义域、对应法则相同的函数为同一函数即可判断各选项函数是否为同一函数.【详解】对于A ，01y x =-的定义域为{}0x x ≠，0y =的定义域为R ，定义域不同，故不是同一个函数；对于B ，由010x x ≥⎧⎨-≥⎩得01x ≤≤，即y =的定义域为[]0,1，由20x x -≥得01x ≤≤，即y =的定义域为[]0,1，结合y ==对于C ，因为||y x =与z y ==的定义域、解析式相同，故是同一函数；对于D ，因为1y x =+与32111x y x x x +==+-+（22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭恒成立）的定义域、解析式相同，故是同一函数；故选：BCD.11.定义函数{}[]x x x =-为实数x 的小数部分，[]x 为不超过x 的最大整数，则不正确的有（）A.{}x 的最小值为0，最大值为1B.{}x 在[](),1Z n n n +∈为增函数C.{}x 是奇函数D.{}x 满足{}{}1x x +=【答案】ABC 【解析】【分析】首先注意到R,Z x k ∀∈∃∈，使得1k x k ≤<+，结合函数新定义先得到{}x 是周期为1的周期函数，由此可以依次判断DBC 选项，最后研究{}x 在[)0,1上的最值情况即可.【详解】对于D ，因为R,Z x k ∀∈∃∈，使得1k x k ≤<+，此时{}[]x x x x k =-=-，{}[]()112,11111k x k x x x x k x k +≤+<++=+-+=+-+=-，这表明了{}{}1x x +=，故D 正确；对于B ，首先1n n <+，由D 选项分析可知，{}{}1,Z n n n +=∈，故B 错误；对于C ，由D 选项分析可知，{}x 是周期为1的周期函数，所以1111220102222⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎛⎫+-==⨯-=≠⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭，故C 错误；对于A ，由D 选项分析得知，{}x 是周期为1的周期函数，所以只需研究它在[)0,1上的最值情况即可，而当[)0,1x ∈时，{}[)00,1x x x =-=∈，即{}x 的最小值为0，没有最大值，故A 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题的关键是注意到R,Z x k ∀∈∃∈，使得1k x k ≤<+，结合函数新定义得出{}x 是周期函数.12.已知定义在()0,∞+的函数()f x 满足：当12x x ≠时，恒有()()2112120x f x x f x x x ->-，则（）A.()()3443f f <B.函数()f x y x=在区间()0,∞+为增函数C.函数()y xf x =在区间()0,∞+为增函数D.()()()121212223f x x f x x f x x +++>+【答案】BD【解析】【分析】令124,3x x ==可判断A ；不妨设120x x >>，可得()()21120x f x x f x ->，即1212()()f x f x x x >，即可判断B ；结合选项B ，可取()4f x x =-判断C ；结合选项B 及不等式的性质判断D.【详解】令124,3x x ==，则有()()3443043f f ->-，即()()3443>f f ，故A 错误；不妨设120x x >>，由()()2112120x f x x f x x x ->-，可得()()21120x f x x f x ->，∴1212()()f x f x x x >，∴函数()f x y x=在区间()0,∞+为增函数，故B 正确；由选项B 可知，函数()f x y x=在区间()0,∞+为增函数，可取()4f x x =-，此时()41f x y xx==-在区间()0,∞+为增函数，而()()22424y xf x x x x ==-=--，可知函数()y xf x =在()0,2上为减函数，在[2,)+∞上为增函数，故C 错误；∵函数()f x y x =在区间()0,∞+为增函数，12121212,22x x x x x x x x ++>>++，∴()()()()121212121212121222,22f x x f x x f x x f x x x x x x x x x x ++++>>++++，∴()()()()()()1212121212121212222,2x x f x x x x f x x f x x fx x x x x x +++++>+>++，∴()()()()()()12121212121212122222x x f x x x x f x x f x x f x x x x x x +++++++>+++()123fx x =+，故D 正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，16题第一空2分，第二空3分．13.命题“∀x ∈R ，12x -<0”的否定是________________．【答案】R x ∃∈,使得2x ≥.【解析】【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出p ⌝.【详解】因为对全称量词的否定用特称量词，所以命题“∀x ∈R ，12x -<0”即为：“∀x ∈R ，2x <”，所以其否定是：“R x ∃∈,使得2x ≥”.故答案为：R x ∃∈,使得2x ≥.14.已知()()22,121,1xa x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩在定义域内单调，则a 的取值范围是_____________．【答案】(]1,0-【解析】【分析】根据指数函数，二次函数的单调性，结合分段函数单调性的要求即可求解.【详解】由分段函数中当1x ≥时，2()21f x x ax =-+，对称轴为x a =，所以，当1a ≤时，函数()f x 在[)1,+∞上增函数；当1a >时，函数()f x 在()1,a 上单调递减，(),a +∞上单调递增函数，而在[1,)+∞上不单调.综上可知，函数()()22,121,1xa x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩在R 上单调递增函数.因此可得211222a a a a +>⎧⎪≤⎨⎪+≤-⎩，解得10a -<≤.故a 的取值范围是(]1,0-.15.已知()f x =，若函数()y f x =的值域为[0,)+∞，则实数m 的取值范围为__________.【答案】[4,)+∞【解析】【分析】分类讨论，在0m >时由0∆≥可得．【详解】0m =时，()1f x =不合题意，因此0m >且240m m ∆=-≥，∴4m ≥，故答案为：[4,)+∞．16.已知函数()g x 的定义域为R ，满足()()2g x g x -=-，()1g x -的图象关于直线1x =对称，且()01g =，则()2g =______；2312i i g =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑______.附注：()()()()()1123ni g i g g g g n ==++++∑ .【答案】①.1-②.1-【解析】【分析】根据已知可得()g x 的图象关于()1,0对称、关于直线0x =对称，利用对称性可得()g x 的周期，结合已知条件和周期即可求和.【详解】因为()()2g x g x -=-，所以函数()g x 的图象关于点()1,0对称，且()()201g g =-=-；又()1g x -的图象关于直线1x =对称，所以()g x 的图象关于直线0x =对称，即()g x 为偶函数，所以()()()()()4222g x g x g x g x -=--=--=，所以()g x 以4为周期，所以()()()8401g g g ===，()()()10621g g g ===-，()()()9510g g g ===，()()()()()1173110g g g g g ===-==，所以()()()()123111g g g g ++++=- ，因为11222g g ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理57022g g ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，911022g g ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1315022g g ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1719022g g ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2123022g g ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1352302222g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以()2311323112222i i g g g g g =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ .故答案为：1-；1-【点睛】关键点睛：根据函数的对称性得函数的周期，从而利用周期和对称性求和是解决本题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算下列各式的值（1）()1220310.124-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭（2）设3436x y ==，21x y+的值.【答案】（1）5（2）1【解析】【分析】（1）根据分数指数幂的计算可得；（2）根据对数和指数的关系，将指数式化成对数，再根据对数的运算及性质计算可得；【详解】解：（1）()1220310.124-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()12113321224--=+⨯+1225=++=.（2）3436x y == ，3log 36x ∴=，4log 36y =361log 3x∴=，361log 4y =()2363636212log 3log 4log 341x y∴+=+=⨯=【点睛】本题考查分数指数幂的运算，对数和指数的关系，以及对数的运算，属于基础题.18.已知集合{}2|320A x x x =-+=，(){}2|2120B x ax a x =-++=．（1）若2a =，求A B ⋂；（2）若A B B = ，求实数a 的取值集合．【答案】（1）{2}（2）1{0,1,}2【解析】【分析】（1）求出集合A ，B ，根据集合的交集运算即得答案；（2）由A B B = 得B A ⊆，分类讨论，根据判别式讨论集合B 中元素，判断是否满足题意，确定a 的值，即可得答案.【小问1详解】由题意得集合{}2|{1,023}2A x x x =-+==，{}21|2520{2,}2B x x x =-+==，故{2}A B = ；【小问2详解】由A B B = 得B A ⊆，由于{1,2}A =，故0a =时，{}|20{2}B x x =-+==，满足题意；当0a ≠时，对于()22120ax a x -++=，221(21)84()02a a a ∆=+-=-≥，当Δ0=时，12a =，此时21|220{2}2B x x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭，满足题意；当0∆>时，12a ≠，0a ≠，此时1,2B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，要满足B A ⊆，则11,1a a =∴=，故实数a 的取值集合为1{0,1,}2.19.已知幂函数()()225222k k f x m m x -=-+（k ∈Z ）是偶函数，且在()0,+¥上单调递增．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()212f x f x -<-，求x 的取值范围；【答案】（1）()2f x x =；（2）()1,1-.【解析】【分析】（1）根据幂函数，偶函数的定义以及题意可知，2221m m -+=，2520k k ->，即可求出,m k ，得到函数()f x 的解析式；（2）由偶函数的性质以及函数的单调性可得()()212f x f x -<-，即212x x -<-，即可解出．【详解】（1）∵2221m m -+=，∴1m =，∵2520k k ->，∴()502k k <<∈Z ，即1k =或2，∵()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 为偶函数，∴2k =，即()2f x x =．(2)∵()()()()212212f x f x fx f x -<-⇒-<-∴212x x -<-，()()22212x x -<-，21x <，∴()1,1x ∈-，即x 的取值范围为()1,1-．20.已知函数()22,0,0x ax x f x mx nx x ⎧-+≥=⎨+<⎩是定义在R 上的奇函数.（1）当4a =时，求m ，n 的值：（2）若函数()f x 在[)0,∞+上单调递减.（i ）求实数a 的取值范围：（ii ）若对任意实数u ，不等式()()210f u f u t -++<恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】（1）1,4m n ==（2）（i ）(],0-∞；（ii ）5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性得到0x <时的解析式，求出m ，n 的值；（2）（i ）根据函数开口方向，对称轴，得到不等式，求出0a ≤；（ii ）根据函数的奇偶性和单调性得到不等式，转化为2215124t u u u ⎛⎫>--+=-++ ⎪⎝⎭恒成立，求出答案.【小问1详解】当0x ≥时，()24f x x x =-+，当0x <时，0x ->，()()2244f x x x x x -=---=--，因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，故()24f x x x -=--，所以()24f x x x =+，所以1,4m n ==；【小问2详解】（i ）()f x 在[)0,∞+上单调递减，()2f x x ax =-+，开口向下，对称轴为22a a x =-=-，所以02a ≤，解得0a ≤，（ii ）()f x 为定义在R 上的奇函数，故()()()()()221011f u f u t f u t f u f u -++<⇒+<--=-，又()f x 在[)0,∞+上单调递减，故()f x 在R 上单调递减，故21u t u +>-，即2215124t u u u ⎛⎫>--+=-++ ⎪⎝⎭恒成立，由于()2155244g u u ⎛⎫=-++≤ ⎪⎝⎭，故54t >，实数t 的取值范围为5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.21.2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，每生产x （百辆），需另投入成本()C x （万元），且()210900,0401000015019600,40x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，已知每辆车售价15万元，全年内生产的所有车辆都能售完.（1）求2023年的利润()f x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（2）2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）()2106005000,040100004600,40x x x f x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩（2）100，4400万元【解析】【分析】（1）根据利润＝销售额－成本，结合分类讨论思想进行求解即可；（2）根据配方法、基本不等式进行求解即可.【小问1详解】当040x <<时，22()15100109005000106005000f x x x x x x =⨯---=-+-，当40x ≥时，1000010000()151001501960050004600f x x x x x x=⨯--+-=--+，综上，()2106005000,040100004600,40x x x f x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩.【小问2详解】由（1）知，()2106005000,040100004600,40x x x f x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩，当040x <<时，22()10600500010(30)4000f x x x x =-+-=--+，因为()300,40∈，所以，当30x =时，max ()(30)4000f x f ==，当40x ≥时，1000010000()4600()46004600246002004400f x x x x x =--+=-++≤--=，当且仅当10000x x=，即100x =时取等号，此时10040x =>，又44004000>，所以，2023年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为4400万元.22.函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为y 关于x 的奇函数，给定函数1()31x f x =+．（1）求()f x 的对称中心；（2）已知函数2()+g x x mx =-，若对任意的[]11,1x ∈-，总存在[)21,+∈∞x ，使得12()()g x f x ≤，求实数m 的取值范围．【答案】22.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭23.[]1,1-【解析】【分析】（1）构造函数()()h x f x a b =+-，由()()0h x h x -+=列方程组，从而求得对称中心.（2）先求得()f x 在区间[)1,+∞上的值域，根据“任意”、“存在”以及绝对值不等式的知识列不等式，从而求得m 的取值范围.【小问1详解】假设()f x 的图象存在对称中心(),a b ，则()()131+=+-=-+x a h x f x a b b 的图象关于原点中心对称，因为()h x 的定义域为R ，所以()()1103131-++-+=-+-=++x a x a h x h x b b 恒成立，即()()2123322230+-+-++--⋅=x a x a a b b b 恒成立，所以212022230a b b b -=⎧⎨--⋅=⎩，解得012a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()f x 的图象存在对称中心10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问2详解】函数()()131=∈+x f x x R 在区间[)1,+∞上单调递减，在区间[)1,+∞上值域为10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦，由题意可知：()14≤g x 对[]1,1x ∈-恒成立，因为2()+g x x mx =-开口向下，对称轴为2m x =，若12m ≤-，即2m ≤-时，则()g x 在[]1,1-上单调递减，则114--≤m ，解得54m ≥-，不合题意；若112m -<<，即22m -<<时，则()g x 在1,2m ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在,12m ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，则221424-+≤m m ，解得11m -≤≤；若12m ≥，即2m ≥时，则()g x 在[]1,1-上单调递增，则114-+≤m ，解得54m ≤，不合题意；。
2023-2024学年吉林省通化市三校联考高一下学期期末考试数学试题
2023-2024学年吉林省通化市三校联考高一下学期期末考试数学试题1.矩形的直观图是（）A．正方形B．矩形C．三角形D．平行四边形2.某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二600人，高三800人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（）A．24B．26C．30D．363.已知向量，，若，则z＝（）A．B．4C．D．4.在中，角所对的边分别为，若，则为（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形5.某科技攻关青年团队共有18人，他们的年龄分布如下表所示：年龄45403632302826人数3234231下列说法正确的是（）A．29是这18人年龄的一个25%分位数B．40是这18人年龄的一个80%分位数C．34是这18人年龄的一个中位数D．这18人年龄的众数是46.在正四面体中，其外接球的球心为，则（）A．B．C．D．7.已知正三棱柱与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的高的比值为（）A．B．C．D．8.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形ABCDEFGH的边长为4，点P是正八边形ABCDEFGH的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（）A．B．C．D．9.已知向量，则下列结论正确的是（）A．若，则B．若，则C．的最小值为D．的最大值为410.已知为虚数单位，复数，为方程的两个根，则下列选项中正确的有（）A．B．C．复数在复平面上对应的点在第二象D．限11.如图，已知三棱柱，平面，，，，分别是，的中点，则下列说法正确的是（）A．平面B．平面C．直线与直线的夹角为D．若，则平面与平面的夹角为12.已知向量与的夹角为，．则___________．13.已知向量为平面的法向量，点在平面内，则点到平面的距离为_________________.14.在锐角中，角的对边分别为为的面积，且，则的取值范围为__________.15.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为的中点.(1)证明：平面；(2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，指出点位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由.16.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，随机抽查了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），将所得到的数据分成7组：，，，，，，（棉花纤维的长度均在内），绘制得到如图所示的频率分布直方图．(1)求的值，并估计棉花纤维的长度的众数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作为代表）；(2)估计棉花纤维的长度的75%分位数．17.如图，在直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.18.如图，在四棱锥中，，，，.(1)求证：平面平面；(2)若，点满足，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值.19.在中，内角的对边分别为，已知.(1)求角；(2)已知是边上的两个动点（不重合），记.①当时，设的面积为，求的最小值；②记.问：是否存在实常数和，对于所有满足题意的，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由.。
2024届上海市普通中学三校联考数学高一下期末综合测试模拟试题含解析
2024届上海市普通中学三校联考数学高一下期末综合测试模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．下列命题中正确的是（ ）A ．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直C ．如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D ．如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面 2．215是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．已知数列{}n a ，满足111n n a a +=-，若112a =，则2019a =（ ） A ．2B ．12 C ．1-D ．12-4．已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A ．2B ．2C ．2-D ．2-5．已知向量()1,2a =-，()2,1b m =，若a b ⊥，则m 的值为（ ） A ．1-B ．1C ．14-D ．146．执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．如图为A 、B 两名运动员五次比赛成绩的茎叶图，则他们的平均成绩x 和方差2s 的关系是（ ）A ．AB x x ＜，22＜A B s s B ．A B x x ＞，22＜A B s s C ．A B x x ＜，22＞A B s sD ．A B x x ＞，22＞A B s s8．已知,a b 是非零向量，若32a b =，且()a b b +⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．1509．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，则抽取的学生总人数是（ ）A ．24B ．48C ．56D ．6410．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A ．若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥ B ．若//,//,//m n αβαβ，则//m n C ．若//,//m n αα，则//m n D ．若,//,//m m n n αβ⊥，则αβ⊥二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2025届江西省南昌市三校高一数学第一学期期末联考试题含解析
2025届江西省南昌市三校高一数学第一学期期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．给定{},,min ,,,a ab a b b b a ⎧=⎨<⎩已知函数{}2()min ,444f x x x x =-++.若动直线y=m 与函数()y f x =的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为 A.(0,4) B.(4,5) C.(5,8)D.(8,)+∞2．函数f (x )＝22,1,,12,2,2,x x x x x x +≤-⎧⎪-<<⎨⎪≥⎩若f (x )＝2，则x 的值是( )C.0或13．已知函数2()1xx e f x x e =++（其中e 为自然对数的底数， 2.71828e =…），若实数m 满足()1f m =-，则()f m -=（） A.4 B.3 C.2 D.14．若sin()cos(2)1sin cos()2πθθπθπθ-+-=++，则tan θ等于（ ）A.1B.-1C.3D.-35．下列四个函数中，在()0,∞+上为增函数的是（） A.()3f x x =- B.()23f x x x =-C.()11f x x =-+ D.()f x x =-6．已知函数()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，且满足()()6f x f x +=，当(]3,0x ∈-时，()sin 2f x x x π=-，则()2018f = A.4 B.2 C.-2D.-47．已知函数()f x =14x a -+的图象恒过定点P ,则点P 的坐标是 A.( 1,5 ) B.( 1, 4) C.( 0,4)D.( 4,0)8．已知函数()lg ,?011,?0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，则()()1f f -=A.2-B.0C.1D.1-9．北京2022年冬奥会新增了女子单人雪车、短道速滑混合团体接力、跳台滑雪混合团体、男子自由式滑雪大跳台、女子自由式滑雪大跳台、自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等个比赛小项，现有甲、乙两名志愿者分别从个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲、乙两人的选择互不影响，那么甲、乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（） A. B. C.D.10．直线2360x y -+=的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则有（ ） A.223k b ==，B.223k b =-=，C.322k b ==-，D.322k b =-=-，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
福建省福州市三校联考2024届高一上数学期末监测试题含解析
（2）若关于 x 的方程 log3[(m 4)x 2m 6] f ( x) 0 的解集中恰好有一个元素，求 m 的取值范围；
（3）设
m
0 ，若对任意
t
1 3
,1
，函数
f
(x)
在区间 [t , t
1]
上的最大值与最小值的差不超过
1，求
m
的取值范围
19．在①函数 f x sinx
3 cosx
【题目详解】当 a 0 时，函数 f (x) 2x 1在 R 上单调递增，即 f (x) 在 , 6 上递增，则 a 0 ，
当 a 0 时，函数 f (x) 是二次函数，又 f (x) 在 , 6 上单调递增，由二次函数性质知， a 0 ，
则有
a
1 a
0
6
，解得
1 6
a
0
，
所以实数
【题目详解】解：对直线 3x 2y 5 0 令 y 0 ，得 x 5 3
可得直线在 x 轴上截距是 5 ， 3
故答案 ： 5 3
【题目点拨】本题主要考查截距的定义，需要熟练掌握，属于基础题
为 14、,0
1 2
,1
【解题分析】根据分段函数的解析式作出函数图象，将方程 f (x) b 有且仅有 1 个实数根转化为函数 y f (x) 与直线
本题选择 C 选项. 4、A 【解题分析】直接代入 计算即可. 【题目详解】
故选：A.
5、A
【解题分析】因为函数 g(x)＝4x＋2x－2 在 R 上连续，且 g(1) 2 1 2 2 3 0 ， g(1) 2 1 2 1 0 ，
4
2
2
2
设函数的
g(x)＝4x＋2x－2
浙江省杭高三校2023-2024学年高一上学期期末数学试题含答案
杭高2023学年第一学期期末考试高一数学参考答案（答案在最后）命题：1.本试卷分试题卷和答题卡两部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡规定的地方.3.答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效.4.考试结束后，只需上交答题卡.第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若角α终边上一点()43P ,-，则sin α=（）A.3 B.45-C.35D.34-【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的定义可求sin α的值.【详解】因为()43P ,-，故5OP =，故3sin 5α=，故选：C.2.已知2log 0.5a =，0.52b =，sin 2c =，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b<c<aC.c<a<bD.a c b<<【答案】D 【解析】【分析】分别利用函数2log y x =、2x y =和sin y x =的单调性，对“2log 0.5a =，0.52b =，sin 2c =”三个因式进行估值即可.【详解】因为函数2log y x =是增函数，且0.51<，则22log 0.5log 10a =<=，因为函数2x y =是增函数，且0.50>，则0.50221b =>=，因为正弦函数sin y x =在区间π3π[,22上是减函数，且π2π2<<，所以π0sin πsin 2sin 12c =<=<<，所以a c b <<，故选：D.3.函数2lg 43()()f x x x =+-的单调递减区间是（）A.3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D.3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】计算出函数定义域后结合复合函数的单调性计算即可得.【详解】由()()243lg f x x x =+-可得，2430x x+->，解得()1,4x ∈-，故()f x 的定义域为()1,4-，由ln y x =为增函数，令243t x x =+-，对称轴为32x =，故其单调递减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以()()243lg f x x x =+-的单调递减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D.4.“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系.【详解】若01a <<且01b <<，则log log 10a a b >=，故log 0a b >成立，故“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的充分条件.若log 0a b >，则log log 1a a b >，故11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩，故“01a <<且01b <<”不是“log 0a b >”的必要条件，故“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的充分不必要条件.故选：A.5.设函数()f x 51,11,1x x x a x -<⎧=⎨+≥⎩.若4()95f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则a 等于（）A.12B.2C.13D.3【答案】B 【解析】【分析】按照从内到外的原则，先计算4()5f 的值，再代入4()95f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，即可求出a 的值.【详解】由于函数()f x 51,11,1x x x a x -<⎧=⎨+≥⎩，且415<，则44(51355f =⨯-=，且31>，所以34()(3)195f f f a ⎡⎤==+=⎢⎥⎣⎦，即38a =，得2a =.故选：B.6.已知函数()24f x x ax =-+在()1,2上有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是（）A.[)8,10 B.()8,10 C.[)4,5 D.()4,5【答案】D 【解析】【分析】根据题意将零点问题转化为函数图象公共点问题进而求解答案即可.【详解】因为函数()24f x x ax =-+在()1,2上有且只有一个零点，所以24x ax +=，即4x a x+=在()1,2上有且只有一个实根，所以4y x x=+与y a =的函数图象在()1,2x ∈时有一个公共点，由于4y x x =+在()1,2单调递减，所以442121a +<<+，即45a <<.故选：D7.已知()()π2sin 03⎛⎫=+> ⎪⎝⎭f x x ωω在2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）A.(]0,4 B.10,4⎛⎤ ⎝⎦C.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(]0,1【答案】B 【解析】【分析】先求出π3x ω+取值范围，再由()f x 在2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增得2πππ332ω+≤，最后结合题意求出ω的取值范围即可.【详解】因为2π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0ω>，所以ππ2ππ,3333x ω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，要使得()f x 在2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则2πππ332ω+≤，解得14ω≤，又由题意可知0ω>，所以104ω<≤，故选：B8.中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状.不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知4AB CD ==，4BC =，8AD =，则该玉佩的面积为（）A.16π3- B.32π3-C.16π3D.32π3【答案】B【解析】【分析】取AD 的中点为M ，连接BM 、CM ，延长AB ，CD 交于点O ，利用平面几何知识得到扇形的圆心角，进而利用扇形面积公式和三角形的面积公式计算求得该玉佩的面积.【详解】如图，取AD 的中点为M ，连接BM ，CM ，延长AB ，CD 交于点O ，由题意，△AOB 为等腰三角形，又∵AB CD =，∴AD //BC ，又∵M 为AD 的中点，8,4AD BC ==，∴AM 与BC 平行且相等，∴四边形ABCM 为平行四边形，∴4MC AB ==，同理4CM AB ==，∴△ABM ，△CDM 都是等边三角形，∴△BOC 是等边三角形，∴该玉佩的面积138844234S π=⨯⨯⨯-⨯⨯=32π3-.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x1234567()f x 4-2-1421-3-在下列区间中，函数()f x 必有零点的区间为（）A.(1,2)B.(2,3)C.(5,6)D.(5,7)【答案】BCD 【解析】【分析】根据零点存在定理可判断零点所在区间.【详解】由所给的函数值表知，()()()()()()()()120,230,560,570,f f f f f f f f ><<<由零点存在定理可知：()f x 在区间()()()2,3,5,6,5,7内各至少有一个零点，故选：BCD.10.设函数()πsin 2,6f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭R ，若ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，函数()f x α+是偶函数，则α的值可以是（）A.π6-B.π3-C.π6D.π3【答案】BC 【解析】【分析】由题意可得()πsin 226f x x αα⎛⎫+=++⎪⎝⎭，结合偶函数的性质与ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭计算即可得.【详解】()πsin 226f x x αα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，又其为偶函数，则图像关于y 轴对称，则ππ2π,62k k α+=+∈Z ，得ππ,62k k α=+∈Z ，又ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则π6α=或π3α=-.故选：BC.11.已知函数())ln1f x x x =++.则下列说法正确的是（）A.()1lg3lg 23f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B.函数()f x 的图象关于点()0,1对称C.对定义域内的任意两个不相等的实数12,x x ，()()12120f x f x x x -<-恒成立.D.若实数,a b 满足()()2f a f b +>，则0a b +>【答案】ABD 【解析】【分析】选项A 、B ，先利用函数解析式得出结论：()()2f x f x -+=，由于1lglg33=-，只需验证()()lg3lg32f f +-=是否成立即可；选项B ，需验证点()(,)x f x 和点()(,)x f x --关于点()0,1对称即可；选项C ，利用复合函数单调性的“同增异减”的原则判断即可；选项D ，将不等式()()2f a f b +>转化为()()()2f a f b f b >-=-的形式，借助函数()f x 单调性判断即可.【详解】对于A 、B 选项，对任意的x ∈R ，0x x x >+≥，所以函数())ln1f x x x =++的定义域为R ，又因为()())()1])1f x f x x x x x -+=+-++++22ln(1)22x x =+-+=，由于()()()1lg3lg lg3lg323f f f f ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，故A 正确；由于函数()f x 满足()()2f x f x -+=，所以任意点()(,)x f x 和点()(,)x f x --关于点()0,1对称，故函数()f x 的图象关于点()0,1对称，故B 正确；对于C 选项，对于函数())ln h x x =+0x x x >+≥，得该函数的定义域为R ，()()))()22lnlnln 10h x h x x x x x -+=-+=+-=，即()()h x h x -=-，所以函数()h x 为奇函数，当0x ≥时，内层函数u x =为增函数，外层函数ln y u =为增函数，所以函数()h x 在[)0,∞+上为增函数，故函数()h x 在(],0-∞上也为增函数，因为函数()h x 在R 上连续，故函数()h x 在R 上为增函数，又因为函数1y x =+在R 上为增函数，故函数()f x 在R 上为增函数，故C 不正确；对于D 选项，由()()2f x f x -+=，得2()()f x f x -=-，因为实数a ，b 满足()()2f a f b +>，所以()()()2f a f b f b >-=-，同时函数()f x 在R 上为增函数，可得a b >-，即0a b +>，故D 正确.故选：ABD.12.函数()lg f x x =，有0a b <<且()()22a b f a f b f +⎛⎫==⎪⎝⎭，则下列选项成立的是（）A.1ab =B.14a <C.3<<4b D.517328a b +<<【答案】ACD 【解析】【分析】利用对数性质判断选项A ；再利用零点存在定理判断得3<<4b ，从而判断选项B 、C 、D.【详解】因为()lg ,f x x =有0a b <<且()()2,2a b f a f b f +⎛⎫== ⎪⎝⎭所以lg lg =a b ，即lg lg a b -=，得lg lg 0a b +=所以1ab =，且()()0,1,1,.a b ∞∈∈+所以A 正确22112lg 2lg lg 24b b b b b +++==（因为12b b+>），故22142,b b b=++即4324210,b b b -++=()()321310b b b b ----=，令()3231,g b b b b =---当13b <<时，()3222313310g b b b b b b b =---<---<当4b >时，()32222314311(1)10g b b b b b b b b b b b =--->---=--=-->，而()()30,40,g g 故()0g b =在()3,4之间必有解，所以存在b ，使得3 4.b <<所以C 正确111,43a b ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以B 不正确11517,2238a b b b +⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 正确故选：ACD【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，20分.13.计算：23(log 9)(log 4)⋅=____________.【答案】4【解析】【分析】根据题意，由换底公式代入计算，即可得到结果.【详解】()()23log 9log 4=lg 9lg 2×lg 4lg 32lg 3lg 2=×2lg 2lg 3＝4.故答案为：414.写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R ，值域是R ；②奇函数；③周期函数的函数解析式___________.【答案】()()πtan ,πZ 2f x x x k k =≠+∈（答案不唯一）.【解析】【分析】联想正切函数可得结果.【详解】满足题意的函数为()tan f x x =，(Z)2x k k ππ≠+∈（答案不唯一）.故答案为：()tan f x x =，(Z)2x k k ππ≠+∈（答案不唯一）.15.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且又是最小正周期为T 的周期函数，则πsin 32T f ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为____________．【答案】2【解析】【分析】根据函数的周期和奇偶性得到02T f ⎛⎫=⎪⎝⎭，进而得到ππsin sin 3232T f ⎡⎤⎛⎫+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【详解】因为()f x 的最小正周期为T ，故222T T T f f T f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又()f x 为奇函数，故22T T f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故22T T f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即202T f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得02T f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故ππsin sin 3232T f ⎡⎤⎛⎫+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为：3216.对于任意实数,a b ，定义{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩.设函数()3f x x =-+，()2log g x x =，则函数{}()min (),()h x f x g x =的最大值是_______.【答案】1【解析】【分析】画出()f x 和()g x 的图象，得到()h x 的图象，根据图象得到最大值.【详解】在同一坐标系中，作出函数()(),f x g x 的图象，依题意，()h x 的图象为如图所示的实线部分，令23log 2x x x -+=⇒=,则点()2,1A 为图象的最高点，因此()h x 的最大值为1，故答案为：1四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知cos sin 3cos sin θθθθ-=-+.（1）求tan θ的值；（2）求222sin 113cos +-θθ的值.【答案】（1）2-（2）132【解析】【分析】（1）根据题意整理可得sin 2cos θθ=-，进而可得结果；（2）根据齐次式问题分析求解，注意“1”的转化.【小问1详解】因为cos sin 3cos sin θθθθ-=-+，整理得sin 2cos θθ=-，所以sin tan 2cos θθθ==-；【小问2详解】因为tan 2θ=-，所以2222222222222sin 12sin sin cos 3sin cos 13cos sin cos 3cos sin 2cos θθθθθθθθθθθθ++++==-+--()()22223tan 1tan 321213222θθ⨯-+==--+=-.18.已知集合{}1217A xx =≤-≤∣，函数()f x =的定义域为集合B ．（1）求A B ⋂；（2）若{}M xx m =≤∣，求R M B ⋃=时m 的取值范围．【答案】（1）{34}A B xx ⋂=<≤∣（2）[)3,+∞【解析】【分析】（1）解一次与二次不等式，结合具体函数定义域的求法化简集合,A B ，再利用交集的运算即可得解；（2）利用集合的并集结果即可得解.【小问1详解】集合{}{}121714A xx x x =≤-≤=≤≤∣∣，由2230x x -->，得1x <-或3x >，则集合{1B xx =<-∣或3}x >，所以{34}A B xx ⋂=<≤∣.【小问2详解】因为R M B ⋃=，{}M xx m =≤∣，则3m ≥，故m 的取值范围是[)3,+∞．19.已知()sin()f x x π=-223，（1）求()f x 的最小正周期和对称轴方程；（2）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（1）最小正周期为π；对称轴方程为5,122k x k Z ππ=+∈；（2）()max 1f x =，()min 2f x =-；【解析】【分析】（1）由正弦函数的性质计算可得；（2）由x 的取值范围，求出23x π-的取值范围，再由正弦函数的性质计算可得；【详解】解：（1）因为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以最小正周期22T ππ==，令2,32x k k Z πππ-=+∈，解得5,122k x k Z ππ=+∈，故函数的对称轴为5,122k x k Z ππ=+∈（2）因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当236x ππ-=，即4x π=时函数取得最大值()max 14f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，当232x ππ-=-，即12x π=-时函数取得最小值()min 212f x f π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭20.已知函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()1432xx f x +=-⨯.（1）求()f x 的解析式；（2）求方程()8f x =-的解集.【答案】（1）()11432,0432,0x x xx x f x x +--+⎧-⨯≥=⎨-⨯<⎩（2）{}2,1,1,2--【解析】【分析】（1）根据偶函数的性质直接求解即可；（2）根据题意先求0x ≥时符合题意的解，再结合偶函数对称性求出方程解集即可.【小问1详解】因为函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()1432xx f x +=-⨯，所以任取0x <，则0x ->，此时()()1432xx f x f x --+=-=-⨯，所以()11432,0432,0x x xx x f x x +--+⎧-⨯≥=⎨-⨯<⎩【小问2详解】当0x ≥时，令()14328xx f x +=-⨯=-，即()226280xx -⨯+=，令2x t =，则2680t t -+=，解得2t =或4t =，当22x t ==时，1x =，当24x t ==时，2x =，根据偶函数对称性可知，当0x <时，符合题意的解为=1x -，2x =-，综上，原方程的解集为{}2,1,1,2--21.已知函数()222cos 1f x x x =+-.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若π102313f α⎛⎫-=⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）πππ,π,Z36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）26【解析】【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求单调递增区间；（2）由π102313f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，代入函数解析式解出cos α和sin α，由两角和的正弦公式求解πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【小问1详解】()222cos 12cos 2f x x x x x =+-=+1π2sin 2cos 22sin 2226x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令Z 262πππ2π22π,k x k k -+≤+≤+∈，解得2ππ2π22πZ ,33k x k k -+≤≤+∈，即ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】由π102313f α⎛⎫-=⎪⎝⎭得5sin 213πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以5cos 13α=-，又因为π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以12sin 13α==，所以πππsin sin cos cos sin 44426ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.22.已知函数()22log f x x =-，()()21,11,1x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩.（1）求()g x 的最大值；（2）若对任意[]14,16x ∈，2R x ∈，不等式()()()12212kf x f xg x ⋅>恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1（2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据分段函数性质讨论函数单调性与最值，结合指数函数和对数函数相关知识求解最值即可；（2）根据题意转化为对任意[]14,16x ∈，()()21121kf x f x ⋅>恒成立，代入函数表达式进行化简，令21log ,24m x m =≤≤，将不等式化为()()2211k m m --->，结合二次函数相关知识分类讨论即可.【小问1详解】当1x ≤时，()21xg x =-，此时022x <≤，1211x -<-≤，则()0211xg x ≤=-≤；当1x >时，()()211log g x f x x =-=-单调递减，此时()()11g x g <=，综上所述，当1x =时，取得()g x 的最大值1；【小问2详解】因为对任意[]14,16x ∈，2R x ∈，不等式()()()21122kf x f xg x ⋅>恒成立，且()21g x ≤，所以对任意[]14,16x ∈，()()21121kf x f x ⋅>恒成立，由题意得，()()()()()()22112121212122log 22log 22log 1log kkf x f x x x k x x ⋅=--=---，令21log ,24m x m =≤≤，则不等式可化为()()2211k m m --->，即()2223230m k m k +--+>对任意[]2,4m ∈恒成立，令()()[]222323,2,4h m m k m k m =+--+∈，则函数图象开口向上，对称轴()233222k km --=-=⨯，当322k -≤，即1k ≥-时，()()()min 2843230h m h k k ==+--+>，解得12k >，符合题意；当3242k -<<时，即51k -<<-时，()2min 323022k k k h m h --+-⎛⎫==> ⎪⎝⎭，即2230k k -+<，不等式无解，该情况舍去；当342k-≥时，即5k ≤-时，()()()min 43283236110h m h k k k ==+--+=+>，解得116k >-，不符合题意，该情况舍去.综上所述，实数k 的取值范围为1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d=∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。
广东省三校2024届数学高一第二学期期末学业水平测试试题含解析
广东省三校2024届数学高一第二学期期末学业水平测试试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若变量,x y 满足约束条件20,{0,220,x y x y x y +≥-≤-+≥则2z x y =-的最小值等于 （ ）A ．52-B ．2-C ．32-D ．22．如图，设Ox ，Oy 是平面内相交的两条数轴，1e ，2e 分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，且12,120e e =︒，若向量12OP xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OP 在坐标系xOy 中的坐标.假设OP 在坐标系xOy 中的坐标为()2,1-，则OP =（ )A ．3B ．5C ．6D ．73．七巧板是我国古代劳动人民发明的一种智力玩具，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成. 如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A ．14B ．316C ．38D ．7164．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（ ） A ．8B ．12C ．14D ．105．设R a ∈，若不等式221148x x ax x x x++-+≥-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2,12]-B ．[2,10]-C ．[4,4]-D ．[4,12]-6．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ． 3－1 B ． 3＋1 C ．23＋2D ．23－27． 下列赋值语句正确的是 ( ) A ．S ＝S ＋i 2 B ．A ＝－A C ．x ＝2x ＋1D ．P ＝8．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ） A ． B ．C ．D ．9．下列函数中，既是偶函数又在(,0)-∞上是单调递减的是 A ．cos y x =-B ．lg y x =C ．21y x =-D ．x y e -=10．记max{,,}a b c 为实数,,a b c 中的最大数.若实数,,x y z 满足222363x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩则max{||,||,||}x y z 的最大值为（ ）A ．32B ．1C ．73D ．23二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2023届吉林省吉林市“三校”高一数学第一学期期末联考试题含解析
C.(3，+∞)D.(﹣∞，﹣3)∪(3，+∞)
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，例如： ， ，已知函数 ，则函数 的值域是
A. B.
C. D.
【解析】化简函数 ，根据 表示不超过 的最大整数，可得结果.
【详解】函数 ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
函数 的值域是 ，故选D.
【点睛】本题考查指数的运算、函数的值域以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
对于B： 定义域为 ，且 ，即 为偶函数， 在 上单调递减，故B错误；
对于C： 定义域为 ，定义域不关于原点对称，故 为非奇非偶函数，故C错误；
对于D： 定义域为 ，但是 ，故 为非奇非偶函数，故D错误；
故选：A
7、C
【解析】对数函数的单调性可比较 、 与 的大小关系，由此可得出结论.
【详解】 ，即 .
【解析】根据圆心在直线 上，设圆心坐标为 ，然后根据圆C与直线 及 都相切，由 求解.
【详解】因为圆心在直线 上，
设圆心坐标为 ，
因为圆C与直线 及 都相切，
所以 ，
解得 ，
∴圆心坐标为 ，
又 ，
黑龙江省牡丹江市2024-2025学年高一上学期第二次三校联考数学试卷(含解析)
牡丹江地区高一上学期第二次联考数学考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：必修一至第4.4对数函数结束。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合，，则（）A ．B ．C ．D ．2．命题“，”的否定是（）A ．，B ．，C ．，D ．，3．函数的定义域为（）A ．B ．C ．D ．4．已知幂函数的图象经过点，则（）A．B ．9CD5．已知，则（）A ．B ．C ．D ．6．经调查发现，一杯热茶的热量会随时间的增大而减少，它们之间的关系为，其中，且．若一杯热茶经过时间，热量由减少到，再经过时间，热量由减少到，则（）{}12A x x =-≤<{}12B x x =≤≤A B = {}12x x -≤<{}12x x -≤≤{}12x x ≤<{}12x x ≤≤0x ∃>250x +≤0x ∃≤250x +>0x ∃>250x +>0x ∀>250x +≤0x ∀>250x +>y =[]1,0-[)1,0-][(),10,-∞-+∞(](),10,-∞-+∞ ()y f x =()4,2()3f =32a b >32a b>2a b >-12a b ->-()()11a a b b +>+M t =00M >*n ∈N 1n >1t 0M 04M 2t 04M08M 12tt =A ．2B ．1C ．D ．7．函数的图象与的图象的交点个数为（）A ．8B ．6C ．4D ．28．已知函数的定义域为，，都有，且，则（）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知关于的不等式的解集为，则（）A ．B ．C ．D ．10．若，则下列说法一定正确的是（）A ．B ．C ．D ．11．已知函数，则（）A ．当时，为偶函数B ．既有最大值又有最小值C ．在上单调递增D ．的图象恒过定点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知函数则______．13．若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数的取值范围为______．14．，分别表示函数在区间上的最大值与最小值，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）设命题：实数满足，其中，命题：实数满足．1214()2xf x -=()3log g x x =()f x ()0,+∞(),0,x y ∀∈+∞()()1x f f x f y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()512f =6-7-8-9-x 20ax bx c -+>{}34x x -<<0b >0c >0a c +>12c b=-0.30.3log log a b <ln0a b>()22ln 0a b ->()ln 10a b -+>11ln 0b a ⎛⎫->⎪⎝⎭()22e xaxf x -+=0a =()f x ()f x ()f x (],a -∞()f x ()21,0,3,0,x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩()()2f f -=()()8log 2f x x a =-+a (){}max bx af x =(){}min bx af x =()f x [],a b {}{}34201max min 42yx y x x ==-+=p x ()()20x a x a +-≤0a >q x ()()310x x --≤（1）若，且和都是真命题，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．16．（15分）已知函数为奇函数，且．（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上的单调性并证明．17．（15分）一家货物公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km ）成正比；每月土地占地费用（单位：万元）与（单位：km ）成反比，当在距离车站5km 处建仓库时，和的费用分别为1万元和8万元．（1）若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过7.2万元，则仓库到车站的距离（单位：km ）应该在什么范围？（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使得两项费用之和最小？并求出最小值．18．（17分）已知函数（，）的图象经过点，．（1）求的解析式；（2）证明：曲线是中心对称图形；（3）求关于的不等式的解集．19．（17分）现定义了一种新运算“⊕”：对于任意实数，，都有（且）．（1）当时，计算4⊕4；（2）证明：，都有；（3）设，若在区间上的值域为，求实数的取值范围．2a =p q x q p a ()29mx nx f x x++=()36f =()f x ()f x ()3,+∞1y x 2y 5x +1y 2y x ()21x x b f x a +=+*a ∈N *b ∈N 51,3A ⎛⎫- ⎪⎝⎭41,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x ()y f x =x ()()()213f x m f m x -+->x y ()log x y a x y a a ⊕=+0a >1a ≠2a =,,x y z ∀∈R ()()x y z x y z ⊕⊕=⊕⊕()22log 32a m x ax a =-+()log 2a f x m m =⊕-[](),0s t s t a <<<[]log ,log a a t s a牡丹江地区高一上学期第二次联考·数学参考答案、提示及评分细则1．C 因为，，所以．2．D 命题“，”的否定是“，”．3．D 由解得或．故选D ．4．D 设，因为幂函数的图象过，则有，所以，即，所以．故选D ．5．C 取，，可知，错误；因为，所以C正确；取，可知D 错误．故选C ．6．A 当时，，当时，，故；当时，，故，所以．故选，A ．7．C 在同一直角坐标系中，作出两个函数与的图象，由图可知，两函数的图象的交点个数为4．故选C ．8．C 当，时，，所以；令得，所以；，，…，．故选C ．9．BCD 因为不等式的解集为，所以，，4是方程{}12A x x =-≤<{}12B x x =≤≤{}12A B x x =≤< 0x ∃>250x +≤0x ∀>250x +>20,0x x x ⎧+≥⎨≠⎩0x >1x ≤-()a f x x =()4,224a=12a =()12f x x =()1233f ==13a =-12b =-A B ()()1210a b a b ---=-+>1a =-2b =-0M M =0t ==04MM =12ln4ln2t n n ===122ln20ln2t n n =-=08M M =13ln8ln2t n n ===2321ln2ln2ln2t n n n =-=122t t =()2xf x -=()3log g x x =1x =1y =()()()1111f f f =-+()11f =2y x =()()21f x f x =-()()2110f f =-=()()22211f f =-=-()()322212f f =-=-()()()985122218f f f ==-=-20ax bx c -+>{}34x x -<<0a <3-20ax bx c -+=的两根，所以，，则，A 错误；，则，D 正确；因为，所以，B 正确；因为，所以，，两式相加得，即，C 正确．故选BCD ．10．AC 因为函数在上单调递减，所以，则，所以，A 正确；由，得，，但与1的大小关系不确定，所以B 错误；由，得，则，所以，C 正确；由，得，所以，但与1的大小关系不确定，所以D 错误．故选AC ．11．ACD 当时，，定义域为，因为，所以为偶函数，A 正确；因为，所以，则有最大值，没有最小值，B 错误；因为在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，C 正确；当时，，所以的图象恒过定点，D 正确．故选ACD ．12．0函数则，所以．13．根据对数函数的图象可知，要使函数的图象经过第一、二、三象限，则，即，所以，故实数的取值范围为．14．4因为因为，，所以．15．解：（1）当时，不等式为，解得，即：；由，得，即：，由和都是真命题，得，341b a =-+=3412ca=-⨯=-0b a =<12c a =-12c b =-{}034x x ∈-<<0c >{}1,134x x -∈-<<0a b c ++>0a b c -+>220a c +>0a c +>0.3log y x =()0,+∞0a b >>1a b >ln 0ab>0a b >>22a b >220a b ->0a b >>0a b ->11a b -+>()ln 10a b -+>0a b >>11a b <110b a->0a =()2e xf x -=R ()()()22eex x f x f x ----===()f x ()22222y x ax x a a a =-+=--+≤()2220e e x axa f x -+<=≤()f x 22y x ax =-+(],a -∞[),a +∞e xy =R ()f x (],a -∞[),a +∞0x =()00e 1f ==()f x ()0,1()21,0,3,0,x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩()23f -=()()()230f f f -==(),1-∞()()8log 2f x x a =-+()8log 020a -+>21a -+>1a <a (),1-∞{}(){}44220024,2,min 42min 2240,2,y yyx x y x x x y ==⎧-≥-+=-+-=⎨<⎩{}332max 24244y y =-=-={}21max 00y =={}{}34201max min 424yx y x x ==-+=2a =()()20x a x a +-≤()()240x x +-≤24x -≤≤p 24x -≤≤()()310x x --≤13x ≤≤q 13x ≤≤p q 13x ≤≤所以实数的取值范围是．（2）由，，得，即命题：．由（1）知命题：，因为是的充分不必要条件，因此解得，所以实数的取值范围是．16．解：（1）因为函数为奇函数，定义域为，所以，即恒成立，所以，又，所以，所以．（2）在上单调递增，证明如下：任取，且，则，又，且，所以，，，所以，即，所以在上单调递增．17．解：（1）设，，由题知：当时，和的费用分别为1万元和8万元，即，，解得，，所以，．若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过7.2万元，即，解得，所以若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过7.2万元，则仓库到车站的距离的取值范围为（单位：km ）．（2）由，x {}13x x ≤≤0a >()()20x a x a +-≤2a x a -≤≤p 2a x a -≤≤q 13x ≤≤q p 1,23,a a -≤⎧⎨≥⎩32a ≥a 32a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭()29mx nx f x x ++=()(),00,-∞+∞ ()()f x f x -=-2299mx nx mx nx x x -+++=--0n =()99363m f +==1m =()29x f x x +=()f x ()3,+∞()12,3,x x ∈+∞12x x <()()()()22221212121221211212121299999x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x --+++---=-==()12,3,x x ∈+∞12x x <120x x >1290x x ->120x x -<()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x ()3,+∞1y mx =25ky x =+5x =1y 2y 51m =810k =15m =80k =()1105y x x =>()28005y x x =>+1807.255x x +≤+1120x ≤≤x 1120x ≤≤1805801175555x y x x x +=+=+-≥-=++当且仅当时，即时，等号成立，所以仓库到车站的距离为15km 时，两项费用之和最小，最小值为7万元．18．（1）解：由题意可知，解得或，（舍去），所以．（2）证明：因为，所以曲线关于点对称，故曲线是中心对称图形．（3）解：由（1）可知，，易知函数在上单调递增，且，所以在上单调递减．由（2）可知，，由，得，即，根据在上单调递减，得，整理得，，即．当时，解得；当时，无解；当时，解得．综上可知，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．19．（1）解：当时，．（2）证明：因，，所以．（3）解：由新运算可知，58055x x +=+15x =1125,1324,13b a b a --⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩2a b ==54a =1b =()2221x x f x +=+()()()32122223212121xx x x x x f x f x --++++-=+==+++()y f x =30,2⎛⎫⎪⎝⎭()y f x =()22112121x x x f x +==+++21xy =+R 1y >()f x R ()()()()131f m x f m x --=--()()()213f x m fm x -+->()()()231f x m fm x ->--()()()21f x m f m x ->--()f x R ()21x m m x -<--()210x m x m +--<()()10x x m -+<1m >-1m x -<<1m =-1m <-1x m <<-1m >-{}1x m x -<<1m =-∅1m <-{}1x x m <<-2a =()442244log 22log 325⊕=+==()()()()()log log loglog x ya a a xyz x y za aa x y z a az aa a a a +⊕⊕=+⊕=+=++()()()()()log log log log y za a a yzxx y z a a a x y z x a a a aa a a +⎡⎤⊕⊕=⊕+=+=++⎣⎦()()x y z x y z ⊕⊕=⊕⊕．令，则在上单调递减，由于在上的值域为，所以，则，所以在上单调递增，则即整理得，，所以，将代入，得，同理得，．所以，是函数在上的两个不同的零点，则解得所以，故实数的取值范围为．()()()22log 2log log 2log 2log 2log 32m m a a a a a a f x m m a a m m x ax a =⊕-=+-=+-==-+()2232g x x ax a =-+()g x ()0,a ()f x [],s t []log ,log a a t s ()log log a a t s s t <<01a <<()f x [],s t ()(),,g s t g t s ⎧=⎪⎨=⎪⎩222232,32,s as a t t at a s ⎧-+=⎨-+=⎩()()223s t a s t s t ---=--31s t a +-=-31t a s =--2232s as a t -+=()22312310s a s a a --+-+=()22312310t a t a a --+-+=s ()()2231231h x x a x a a =--+-+()0,a ()()()()22202310,210,310,23142310,h a a h a a a a a a a ⎧=-+>⎪=-+>⎪⎪-⎨<<⎪⎪∆=---+>⎪⎩1,1,21,211,333a a a a a a ⎧<>⎪⎪⎪<⎪⎨⎪<<⎪⎪⎪<-->-+⎩或或132a <<a 13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭。
2024-2025学年广西壮族自治区南宁三校高一10月联考数学试卷(含答案)
2024-2025学年广西壮族自治区南宁三校高一10月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题p:“∀x∈R，x2−2mx+m2−4=0”，则¬p为( )A. ∃x∈R，x2−2mx+m2−4=0B. ∃x∈R，x2−2mx+m2−4≠0C. 不存在x∈R，x2−2mx+m2−4=0D. ∀x∈R，x2−2mx+m2−4≠02.“x=1”是“x2−1=0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.设集合A={−1,1,3,5}，B={x|x=3k−1,k∈N}，则A∩B=( )A. {−1,5}B. {1,5}C. {−1,3,5}D. {1,3,5}4.已知a>b，则( )A. ab>b2B. a2>abC. a+b2>b D. 1a>1b5.已知命题p:∃x∈R，|x−1|<1，命题q:3+1<22，则( )A. p和q都是真命题B. ¬p和q都是真命题C. p和¬q都是真命题D. ¬p和¬q都是真命题6.已知全集U=R，集合A={x|x<−1或x>4}，B={x|−2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为( )A. {x|−2≤x<4}B. {x|−1≤x≤3}C. {x|x≤3或x≥4}D. {x|−2≤x≤4}7.已知a>0，b>0且ab=2，则(a+1)(b+2)的最小值为( )A. 4B. 6C. 22D. 88.设P、Q为两个实数集，定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q}，若P={0,1,2}，Q={1,2}，则P+Q的真子集个数为( )A. 15B. 16C. 31D. 32二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2023届辽宁省凌源市三校高一上数学期末联考试题含解析
（1）求 的解析式及对称中心坐标：
（2）先把 的图象向左平移 个单位，再向上平移1个单位，得到函数 的图象，若当 时，关于 的方程 有实数根，求实数 的取值范围.
19．已知函数
（1）求 的值域；
（2）讨论函数 零点的个数.
20．已知函数 的部分图象如图所示.
（1）求函数 的解析式和单调增区间；
【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝ 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
A. B.
C. D.
3．与直线 垂直，且在 轴上的截距为-2的直线方程为（）
A. B.
C. D.
4．下列关系中，正确的是（）
A. B.
C. D.
5．如图，某池塘里浮萍的面积 （单位： ）与时间t（单位：月）的关系为 ，关于下列说法不正确的是（）
A.浮萍每月的增长率为2
B.浮萍每月增加的面积都相等
C.第4个月时，浮萍面积超过
D.若浮萍蔓延到 所经过的时间分别是 ， 、 ，则
6． 的零点所在区间为（）
A. B.
C. D.
7．三个数 的大小关系为（）
A. B.
C. D.
8．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工 健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为14人，则样本中的中年职工人数为（）
3、A
【解析】先求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解.
广东省广州市三校2022-2023学年高一上学期期末联考数学试题及答案(含解析)
则函数 为奇函数，故A正确；
若 在定义域上是增函数，则 ，即 ，故B不正确；
当 时， 在区间 上单调递增，此时值域为 ，
当 时， 在区间 上单调递增，此时值域为 ．
要使 的值域为 ，则 ，即 ，故C正确；
当 时，由于 ，则函数 在定义域上是增函数，
由 ，得 ，则 ， ， ，
解得 ，故D不正确．
B选项，把 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到 ，B错误；
C选项，把 上各点的横坐标缩短到原来 ，C正确；
D选项，把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到 ，D错误.
4.函数 的零点所在的区间是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由于 均为增函数，
所以 为定义域上的增函数，
,
根据零点存在定理,
零点在区间 内.
故选：C
5.设 ，则a，b，c的大小关系为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为 ，
所以 .
故选：B
6.已知角 终边经过点 ，则 的值为（）
A.10B.100C.1000D.10000
【答案】B
【详解】由 得到 ，
将 dB代入得： ，
将 dB代入得： ，
故 .
故选：B
8.已知曲线 的周期为 ， ，则下面结论正确的是（）
A.把 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线
B.把 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线
2023-2024学年广东省广州市三校高一下学期期末联考数学试题(含答案)
2023-2024学年广东省广州市三校高一下学期期末联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A={x|x2+x−6<0}，B={x|x+2x−3≤0}，则A∩B等于( )A. (−3,3)B. (−2,2)C. [−2,2)D. [−2,3)2.若复数z满足z(1−i)=i，则z的虚部为( )A. i2B. −i2C. 12D. −123.边长为2的正三角形的直观图的面积是( )A. 64B. 23 C. 332D. 264.已知向量a，b不共线，满足|a+b|=|a−b|，则a−b在b方向上的投影向量为( )A. aB. bC. −12b D. −b5.已知▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=π6,c=6，若▵ABC有两解，则b的取值范围是( )A. (3,6)B. (33,63)C. (33,6)D. (3,63)6.若古典概型的样本空间Ω={1,2,3,4}，事件A={1,2}，甲：事件B=Ω，乙：事件A,B相互独立，则甲是乙的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)为偶函数，f(x+2)−1为奇函数.若f(1)=0，则∑26k=1f(k)= ( )A. 23B. 24C. 25D. 268.已知O为▵ABC的外心，A为锐角且sin A=223，若AO=αAB+βAC，则α+β的最大值为( )A. 13B. 12C. 23D. 34二、多选题：本题共3小题，共15分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组样本数据x1，x2，⋯，x n(x1<x2<⋯<x n)，现有一组新的数据x1+x22，x2+x32，⋯，x n−1+x n2，x n+x12，则与原样本数据相比，新的样本数据( )A. 平均数不变B. 中位数不变C. 极差变小D. 方差变小10.吸光度是指物体在一定波长范围内透过光子的能量占收到光能量的比例.透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例.在实际应用中，通常用吸光度A和透光率T来衡量物体的透光性能，它们之间的换，如表为不同玻璃材料的透光率：算公式为T=110A玻璃材料材料1材料2材料3T0.60.70.8设材料1､材料2､材料3的吸光度分别为A1､A2､A3，则( )A. A1>2A2B. A2+A3>A1C. A1+A3>2A2D. A1A3<A2211.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=2，M为边BC的中点，将▵ABM沿直线AM翻折成▵A B1M，连接B1 D，N为线段B1D的中点，则在翻折过程中，( )A. 异面直线CN与AB1所成的角为定值B. 存在某个位置使得AM⊥B1DC. 点C始终在三棱锥B1−AMD外接球的外部D. 当二面角B1−AM−D为60 ∘时，三棱锥B1−AMD的外接球的表面积为14π3三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
广东省广州市三校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题
广东省广州市三校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题一、单选题1．若集合2{|60}A x x x =+-<，2{|0}3x B x x +=≤-，则A B ⋂等于 A ．(3,3)-B ．(2,2)-C ．[2,2)-D ．[2,3)-2．若复数z 满足()1i i z -=，则z 的虚部为（ ）A ．i 2B ．i 2-C ．12D ．12-3．边长为2的正三角形的直观图的面积是（ ）A B ．C D ．4．已知向量a r ，b r 不共线，满足a b a b +=-r r r r ，则a b -r r 在b r方向上的投影向量为（ ） A ．a r B ．b rC ．12b -r D ．b -r5．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,,π,66a b c B c ==，若ABC V 有两解，则b 的取值范围是（ ）A ．(3,6)B ．C ．D ．6．若古典概型的样本空间{}Ω1,2,3,4=，事件{}1,2A =，甲：事件ΩB =，乙：事件,A B 相互独立，则甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +为偶函数，()21f x +-为奇函数．若()10f =，则261()k f k ==∑（ ）A ．23B ．24C ．25D ．268．已知O 为ABC V 的外心，A 为锐角且sin A =，若AO AB AC αβ=+u u u r u u u r u u u r ，则αβ+的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34二、多选题9．已知一组样本数据()1212,,,n n x x x x x x ⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅<，现有一组新的231112,,,,2222n n n x x x x x x x x -++++⋅⋅⋅，则与原样本数据相比，新的样本数据（ ） A ．平均数不变B ．中位数不变C ．极差变小D ．方差变小10．吸光度是指物体在一定波长范围内透过光子的能量占收到光能量的比例.透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例.在实际应用中，通常用吸光度A 和透光率T 来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为110AT =，如表为不同玻璃材料的透光率：设材料1､材料2､材料3的吸光度分别为123A A A ､､，则（ ）A ．122A A >B ．231A A A +>C ．1322A A A +>D ．2132A A A <11．如图，在矩形ABCD 中，22AD AB ==，M 为边BC 的中点，将ABM V 沿直线AM 翻折成1AB M V ，连接1B D ，N 为线段1B D 的中点，则在翻折过程中，（ ）A ．异面直线CN 与1AB 所成的角为定值 B ．存在某个位置使得1AM B D ⊥C ．点C 始终在三棱锥1B AMD -外接球的外部D ．当二面角1B AM D --为60︒时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积为14π3三、填空题12．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别记为,a b ，则事件“1a b -≤”的概率为.13．设钝角ABC V 三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若2a =，sin b A =3c =，则b =.14．将四个半径为2的小球放入一个大球中，则这个大球表面积的最小值为．四、解答题15．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)40,50，[)50,60，⋯，[]90,100得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a 的值； (2)求样本成绩的第75百分位数；(3)已知落在[)50,60的平均成绩是61，方差是7，落在[)60,70的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数z 和总方差2s . 16．已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间；(2)若()()85g x f x =-在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恰有两个零点1x ，()212x x x <，求()12cos x x -的值.17．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45o ，底面ABCD 为直角梯形，90222ABC BAD AD PA BC ∠∠=====o ，(1)求证：平面PAC ⊥平面PCD ：(2)在线段PD 上是否存在点E ，使CE 与平面P AD 所成的角为45o 若存在，求出有PEPD的值：若不存在，说明理由.18．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，52sin cos sin sin 2c A B b B c A += (1)求sin sin AC(2)若a c >，角B 的平分线交AC 于D . （I ）求证：2BD BA BC DA DC =⋅-⋅. （II ）若1a =，求DB AC ⋅的最大值19．已知函数()f x 和()g x 的定义域分别为1D 和2D ，若对任意01x D ∈，恰好存在n 个不同的实数1x ，2x ，…，2n x D ∈，使得()()0i g x f x =（其中1i =，2，…，n ，*n ∈N ），则称()g x 为()f x 的“n 重覆盖函数”.(1)判断()221g x x x =-+（[]0,4x ∈）是否为()4f x x =+（[]0,5x ∈）的“n 重覆盖函数”，如果是，求出n 的值；如果不是，说明理由；(2)若()()2231,211,1ax a x x g x x x ⎧+-+-≤≤=⎨->⎩为()222log 21x x f x +=+的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；(3)函数[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]1.21=，[]22=，[]1.22-=-，若()[]h x a x ax =-，[)0,2x ∈为()21xf x x =+，[)0,x ∈+∞的“2024重覆盖函数”，求正实数a 的取值范围.。
吉林省通化市三校联考2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题(含解析)
2023—2024学年度下学期三校联考期末考试（柳河一中 通化县七中 集安一中）高一数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：必修第二册第六章~第九章，选择性必修第一册第一章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.矩形的直观图是（ ）A.正方形B.矩形C.三角形D.平行四边形2.某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二600人，高三800人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（ ）A.24B.26C.30D.363.已知向量，若，则（ ）A.-4B.4C.D.4.在中，角所对的边分别为，若，则为（ ）A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形5.某科技攻关青年团队共有18人，他们的年龄分布如下表所示：年龄45403632302826人数3234231下列说法正确的是（）()()1,3,2,2,6,a b z =-=- a∥b z =1414-ABC V ,,A B C ,,a b c cos b c A =⋅ABC VA.29是这18人年龄的一个分位数B.40是这18人年龄的一个分位数C.34是这18人年龄的一个中位数D.这18人年龄的众数是46.在正四面体中，其外接球的球心为，则（ ）A. B.C. D.7.已知正三棱柱与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的高的比值为（ ）A.B.8.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为4，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，则下列结论正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.的最小值为D.的最大值为410.已知i 为虚数单位，复数为方程的两个根，则下列选项中正确的有（）25%80%A BCD -O AO =131244AD AB AC -+ 331444AD AB AC ++111444AD AB AC ++ 131444AD AB AC -+111ABC A B C -ABC V π33πABCDEFGH P ABCDEFGH AP EF ⋅⎡-+⎣16⎡--⎣16⎡--+⎣⎡-⎣()()1,2,2,25,,1a m m b m m =-=-a ∥b 3m =a b ⊥ 25m =-aa 12,z z 2250x x -+=A.B.C.复数在复平面上对应的点在第二象限D.11.如图，已知三棱柱平面分别是的中点，则下列说法正确的是（）A.平面B.平面C.直线与直线的夹角为D.若，则平面与平面的夹角为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量与的夹角为，则__________.13.已知向量为平面的法向量，点在平面内，则点到平面的距离为__________.14.在锐角中，角的对边分别为为的面积，且，则的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为的中点.12z z =2111z z z =1z 11221z z z z ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭1111,ABC A B C AC -⊥1111,,,,A B C AB BC AD BC D E ⊥⊥11,BC AC DE ∥11ABB A AD ⊥1BCC AD DE π3π6BAC ∠=11ABB A 111A B C π3a bπ,1,23a b == a b += ()3,1,1n =-α()1,2,2A -α()2,2,1P αABC V ,,A B C ,,,a b c S ABC V 222()a S b c =+-222sin sin sin sin B CB C+P ABCD -ABCD ,E F ,PD AB（1）证明：平面；（2）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，指出点位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由.16.（本小题满分15分）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，随机抽查了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），将所得到的数据分成7组：，（棉花纤维的长度均在内），绘制得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值，并估计棉花纤维的长度的众数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作为代表）；（2）估计棉花纤维的长度的分位数.17.（本小题满分15分）如图，在直三棱柱中，为的中点，为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18.（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，.PB ∥AEC PC G FG ∥AEC G [5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35),[35,40][]5,40a 75%111ABC A B C-1,AA AB AC BC D ===1B C E 1AA DE ∥ABC DE 11EB C P ABCD -AB∥,224,60,DC AB BC CD BCD PB AD ∠====⊥（1）求证：平面平面；（2）若，点满足，且三棱锥与平面的夹角的余弦值.19.（本小题满分17分）在中，内角的对边分别为，已知.（1）求角；（2）已知是边上的两个动点（不重合），记.①当时，设的面积为，求的最小值；②记.问：是否存在实常数和，对于所有满足题意的，都有和的值；若不存在，说明理由.PBD ⊥ABCD PB PD =F 2CF FP = F ABD -DBF PAD Rt ABC V ,,A B C ,,a b c cos cos cos A B Ca b c+=+A 2,,c b a P Q ≠=AC ,P Q PBQ ∠θ=π6θ=PBQ V S S ,BPQ BQP ∠α∠β==θk ,αβ()sin2sin22cos k k αβαβ++=-θk2023~2024学年度下学期三校联考期末考试·高一数学参考答案､提示及评分细则1.D 直观图的画法不改变平行关系，也不改变平行于横向的线段长度，故矩形的直观图是平行四边形.故选D.2.A 由题意，从全校2000人中抽取80人访谈，按照年级分层，则高一年级应该抽（人）.故选A.3.A 因为，所以.故选A.4.A 因为，故为直角三角形.故选A.5.B 对选项A ：，第分位数为30，故A 错误；对选项B ：，第分位数为40，故B 正确；对选项C ：这18人年龄的中位数是，故C 错误；对选项D ：这18人年龄的众数是32，故D 错误.故选B.6.C 由题知，在正四面体中，因为是外接球的球心，设三角形的中心为点的中点为，则，所以.故选C.7.D 设正三棱柱的底面边长为，高为，等边的面积为，60080242000⨯=a∥b 132426z z-==⇒=--222222cos 2b c a b c A c a b c bc+-=⋅=⋅⇒+=1825% 4.5⨯=25%1880%14.4⨯=80%3232322+=A BCD -O BCD ,E BC F 3121211111,4333322333AO AE AE AD AF AD AB AC AD AB AC ⎛⎫==+=+⨯+=++ ⎪⎝⎭111444AO AD AB AC =++111ABC A B C -a h ABC V 221sin602a =则正三棱柱，设的外接圆半径为，则，解得，设圆柱的高为，则圆柱的体积，，解得.故选D.8.B延长交于点，延长交于点，根据正八边形的特征，可知又.，所以，则的取值范围是.故选B.9.AC 对于A ，若，且，则存在唯一实数使得，即，则解得故A正确；对于B ，若，则，即，无实数解，故B 错误；，故当时，取得最小值为，无最大值，故C 正确，D 错误.故选AC.10.ABD 不妨令的两个根为，因此A 正确；，故B 正确；复数在复平面上对应的点在第一象限或者第四象限，故C 错误；由于，故D 正确.故选ABD.11.ABD 因为分别是的中点，所以，又平面平面，则平面，故A 正确；因为平面，所以平面，即，又，且111ABC A B C -2h ABC V R 2sin60a R =R =m 22ππ3R m a m =22π3h a m =h m ==,BA GH M ,AB DC N AM BN ==AP EF AP BA =⋅max min ())16AP BA AM BA AP BA AN BA ⋅=⋅=⋅=⋅=-- AP EF ⋅ 16⎡--⎣a∥b ()()1,2,2,25,,1a m m b m m =-=- λa b λ=()()()1,2,225,,m m m m λλλ-=-()125,2,2,m m m m λλλ⎧-=-⎪=⎨⎪=⎩3,2,m λ=⎧⎨=⎩a b ⊥ 0a b ⋅=()()2125220m m m --++=a == 15m =a 2250x x -+=1212i,12i z z =+=-12z z ==()()1112i 12i 5z z =+-=1z 2111112222221z z z z zz z z z z ⎛⎫⋅⋅=== ⎪⋅⎝⎭,D E 11,BC AC DE ∥AB DE ⊄11,ABB A AB ⊂11ABB A DE ∥11ABB A 1AC ⊥111A B C 1AC ⊥ABC 1AC BC ⊥AB BC ⊥平面，则平面，即，又，且平面，则平面，故B 正确；由于为中点，且，因此是等腰直角三角形，是的中点，则，故C 错误；连接，由于，易知平面，则，因此平面与平面的夹角为，由于，因此，则，因此，故D 正确.故选ABD.因为，所以.由题意可得，则点到平面的距离.14. 由三角形面积公式可得，故，故，因为，所以，解得或0，因为为锐角三角形，所以，由正弦定理得，其中，因为为锐角三角形，所以，故，所以11,,AC AB A AB AC ⋂=⊂1ABC BC ⊥1ABC AD BC ⊥1AD BC ⊥11,,BC BC B BC BC ⋂=⊂1BCC AD ⊥1BCC D 1BC 11,AD BC AC AB ⊥⊥1ABC V E 1AC π4ADE ∠=1AB 1111111,AC A B B C A B ⊥⊥11A B ⊥11AB C 111A B AB ⊥11ABB A 111A B C 11AB C ∠π6BAC ∠=AB 111AC C =11π3AB C ∠=2221||21421272a b a b a b +=++⋅=++⨯⨯⨯=a b += ()3,0,1PA =- ()2,2,1P αd 5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭1sin 2S bc A =222221sin (),1sin 22b c a a bc A b c A bc+-=+--=11sin cos 2A A -=22sin cos 1A A +=221sin 1sin 12A A ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭4sin 5A =ABC V 4143sin ,cos 15255A A ==-⨯=22222sin sin 22sin sin B C b c b cB C bc c b ++==+sin sin cos cos sin 43sin sin 5tan 5c C A B A B b B B B +===+ABC V π2C <π2A B +>ππcos 341643,tan tan ,0,,22sin 45tan 155tan 5A B A B A A B B ⎛⎫⎛⎫>->-==∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令，则为对勾函数，在上单调递减，在上单调递增，则，又，因为，所以，则.15.（1）证明：连交于，因为为中点，所以是中位线，所以，又因为平面平面，所以平面；（2）解：点为线段的中点，连接，由于为中点，则，即，四边形为平行四边形，因此平面平面，则平面.16.解：（1）由频率分布直方图知，解得.最高小矩形底边中点横坐标即为众数，可得众数为.平均数21.（2）设棉花纤维的长度的分位数为，所以，解得.17.（1）证明：不妨设，则，所以，所以，即，35,53⎛⎫ ⎪⎝⎭35,53c t b ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭()2g t t t =+35⎛ ⎝53⎫⎪⎭min ()g t g===31035956543,5351535315g g ⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭59431515>max 59()15g t =222sin sin 259sin sin 15B C b c B C c b +⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭BD AC O E PD EO BPD V EO ∥PB EO ⊂,AEC PB ⊄AEC PB ∥AEC G PC ,FG EG ,E G ,PD PC 12EG CD ∥EG AF ∥AEGF FG ∥,AE FG ⊄,AEC AE ⊂AEC FG ∥AEC ()0.010.020.050.060.010.0151a ++++++⨯=0.04a =()202522.5mm 2+=7.50.0512.50.117.50.2522.50.327.50.232.50.0537.50.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()75mm ;75%mm x 300.10.20.255x-+⨯=()26.25mm x =12AA =2,AB AC BC ===222AC AB BC +=AC AB ⊥1111AC A B ⊥在直三棱柱中，平面，又平面，所以，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，所以，，所以，所以，易得平面的一个法向量为，又，又平面，所以平面；（2）解：因为，所以，设平面的一个法向量为，所以令，解得，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角的大小为，所以即直线与平面18.（1）证明：由题意知为等边三角形，所以，又，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：取的中点，连接，所以，又，所以，又平面平面，平面平面平面，111ABC A B C -1AA ⊥111A B C 1111,AC A B ⊂111A B C 111111,AA A B AA AC ⊥⊥1A 11111,,A A A B AC ,,x y z ()()()10,0,0,2,0,0,1,0,0A A E ()()12,0,2,0,2,0C B ()1,1,1D ()0,1,1ED =ABC ()12,0,0A A =()()12,0,00,1,10A A DE ⋅=⋅=DE ⊄ABC DE ∥ABC ()10,0,2C ()()111,0,2,1,2,0EC EB =-=-11EB C (),,n x y z = 1120,20,n EC x z n EB x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩2x =1,1y z ==11EB C ()2,1,1n =DE 11EB C θsin cos ,n ED n ED n EDθ⋅====⋅DE 11EB C BCD V 24AB BD ==AB∥DC 60ABD ∠= ABD V 2222212cos 42242122AD AB BD AB BD ABD ∠=+-⋅=+-⨯⨯⨯=222AD BD AB +=AD BD ⊥,,,PB AD PB BD B PB BD ⊥⋂=⊂PBD AD ⊥PBD AD ⊂ABCD PBD ⊥ABCD BD O ,PO CO OC BD ⊥PB PD =PO BD ⊥PBD ⊥ABCD PBD ⋂,ABCD BD PO =⊂PBD则平面，即是三棱锥的高.因为点满足，所以得.又平面，所以.以点为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.所以，，所以，设平面的一个法向量为，所以令，解得，所以平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，则令，解得，所以平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角的大小为，所以，即平面与平面.19.解：（1）因为，所以由正弦定理可得，所以，PO ⊥ABCD PO P ABD -F 2CF FP = 22121233392F ABD P ABD ABD V V S PO PO --==⨯⋅=⨯⨯⨯=V 3PO =OC ⊂ABCD PO OC ⊥O ,,OB OC OP ,,x y z ()()()1,,1,0,0,A B C --()()1,0,0,0,0,3,2D P F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2,BF DB ⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭()()()2,0,0,0,,1,0,3AD DP == PAD ()111,,n x y z =1110,30,n AD n DP x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 13x =110,1y z ==-PAD ()3,0,1n =-BDF ()222,,m x y z = 222220,20,m BF x y z m DB x ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅==⎩ 26y =220,x z ==BDF (0,6,m = DBF PAD θcos cos ,n m n m n m θ⋅====⋅ DBF PAD cos cos cos A B C a b c +=+cos cos cos sin sin sin A B C A B C+=+sin cos sin cos cos sin cos sin A B A C A B A C +=+所以，所以，因为，所以，即，又，所以；（2）（1）因为，所以，又，所以.如图，设，则在中，由正弦定理，得，所以在中，由正弦定理，得，所以因为，所以，故当，即时，；（2）假设存在实常数，对于所有满足题意的，都有立，即都有，由题意，所以对于所有满足题意的成立，故有从而，sin cos cos sin cos sinsin cos A B A B A C A C -=-()()sin sin A B C A -=-ππππ,,,2222A B C A ⎛⎫⎛⎫-∈--∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B C A -=-2A B C =+πA B C ++=π3A =2c b ≠π2B =π,3A a ==2,4c b ==π,0,3QBC x x ∠⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦QBC V ()sin sin BQ BC C C x =+π6BQ = ⎪⎝⎭ABP V πsin sin 3BP BA A x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭π3BP = ⎪⎝⎭1π33sin ππ26ππ4sin sin 2cos 2cos 6326S BP BQ x x x ∴=⋅===⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2π20,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π22x =π4x =(min 32S ==,k θ,αβ()sin2sin22cos k k αβαβ++=-+()()()2sin cos 2cos k k αβαβαβ+-+=-+παβθ+=-()()2sin cos 0k k θαβ--+=,αβsin 0,0,k k θ-=⎧⎪⎨=⎪⎩k =sin θ=因为，所以π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦π,3k θ==。
吉林省长春市十一高中等三校2024-2025学年高一上学期第三学程数学考试卷含解析
2024——2025学年度上学期三校联考高一数学试题（答案在最后）本试卷分客观题和主观题两部分，共19题，共150分，共4页．考试时间为120分钟．考试结束后，只交答题卡．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.将315-化为弧度制，正确的是（）A.3π4-B.7π4-C.45π-D.5π3-【答案】B 【解析】【分析】根据弧度制和角度制的互化公式，即可求解.【详解】7π3153151804π-=-⨯=-.故选：B2.已知集合{}02A x x =<<，{}213B x x =+<，则A B = （）A.{}01x x <<B.{}12x x <<C.{}0x x > D.{}2x x <【答案】A 【解析】【分析】解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B ⋂.【详解】因为{}{}2131B x x x x =+<=<，{}02A x x =<<，则{}01A B x x ⋂=<<.故选：A.3.命题.“230,1x x x ∃<+>”的否定是（）A.230,1x x x ∀≥+≤B.230,1x x x ∀<+≤ C.230,1x x x ∃<+≤ D.230,1x x x ∃≥+≤【答案】B 【解析】【分析】利用特称命题的否定形式回答即可.【详解】根据特称命题的否定形式可知命题.“230,1x x x ∃<+>”的否定是“230,1x x x ∀<+≤”.故选：B4.已知函数(31)64f x x +=-，且()8f m =，则m =（）A.2B.7C.25D.44【答案】B 【解析】【分析】利用配凑法可得函数()f x 的解析式为()26f x x =-，进而代入求解即可.【详解】由函数(31)64f x x +=-，可得(31)2(31)6f x x +=+-，可知函数()f x 的解析式为()26f x x =-，则()268f m m =-=，解得7m =.故选：B.5.在2h 内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加：停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q 随时间t 变化的图象是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减即可得出．【详解】在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A ，D ，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．排除B ．能反映血液中药物含量Q 随时间t 变化的图象是C ．故选：C ．6.已知函数()()342,1log ,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A.()4,4- B.[)4,4- C.(,4)-∞- D.{}4-【答案】B 【解析】【分析】根据分段函数值域，以及对数函数在区间上的值域，夹逼出一次函数在区间上的值域与(),0-∞的关系，列出关于a 的不等式求解即可.【详解】当1x ≥时，()3log f x x =单调递增，又()10f =，故()f x 在[)1,+∞上的值域为[)0,+∞，又()f x 在R 上的值域为R ，故(),0-∞是()f x 在(),1-∞上的值域的子集；又当<1时，()()42f x a x a =-+；当4a =时()8f x =，显然不满足题意；当4a >时，()f x 在(),1-∞上单调递减，故()f x 在(),1-∞上的值域为()4,a ++∞不满足题意；当4a <时，()f x 在(),1-∞上单调递增，故()f x 在(),1-∞上的值域为(),4a -∞+，若满足题意，则40a +≥，即4a ≥-，故[)4,4a ∈-.综上所述，a 的取值范围为[)4,4-.故选：B.7.已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在[)0,+∞上单调递减，满足212(log )(log )2(3)f a f a f -≤，则实数a 的取值范围为（）A.10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.(]0,8 D.[)8,+∞【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得2(log )(3)f a f ≤，利用单调性解不等式结合对数运算即可求解【详解】函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在[)0,+∞上单调递减，所以()f x 在R 上是减函数，212(log )(log )2(3)f a f a f -≤，即22(log )(log )2(3)f a f a f +≤，所以2(log )(3)f a f ≤，所以322l o 2og 3l g a ≥=，所以8a ≥，即实数a 的取值范围为[)8,+∞.故选：D .8.已知0a >，R b ∈，若关于x 的不等式()()2280ax x bx -+-≥在()0,∞+上恒成立，则6b a+的最小值是（）A.4B.C.8D.【答案】C 【解析】【分析】结合一次函数与二次函数的图象性质，由不等式可得两函数有共同零点2a ，由此得2a是方程280x bx +-=的根，可得,a b 的关系，消b 再利用基本不等式求解最值可得.【详解】设()()22,8f x ax g x x bx =-=+-，又0a >，所以()f x 在0,+∞单调递增，当20x a <<时，()0f x <；当2x a>时，()0f x >，由()g x 图象开口向上，()08g =-，可知方程=0有一正根一负根，即函数()g x 在0,+∞有且仅有一个零点，且为异号零点；由题意知()()0f x g x ≥，则当20x a <<时，()0g x ≤；当2x a>时，()0g x ≥，所以2a 是方程280x bx +-=的根，则24280b a a +-=，即24b a a=-，且0a >，所以6264448b a a a a a a +=-+=+≥=，当且仅当44a a =，即12a b =⎧⎨=⎩时，等号成立，则6b a+的最小值是8，故选：C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3-，则不等式20cx bx a -+<的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭B.若函数()f x 的定义域是[]2,3-，则函数()1f x -的定义域是[]1,4-C.函数()f x =的单调递增区间为1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.已知实数a ，b 满足32a b -≤+≤-，14a b ≤-≤，则3a +b 的取值范围是[]5,0-【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，由不等式20ax bx c ++>的解集，得到,,a b c 的关系，代入不等式20cx bx a -+<求解即可；对于B ，由函数()f x 的定义域求函数()1f x -的定义域；对于C ，结合函数定义域，求复合函数的单调递增区间；对于D ，利用同向不等式相加，求3a b +的取值范围.【详解】对于A ，关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3-，则有02323a b a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩，得06a b a c a<⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，不等式20cx bx a -+<，即260ax ax a -++<，得2610x x --<，解得1132x -<<，所以不等式20cx bx a -+<的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，A 选项正确；对于B ，若函数()f x 的定义域是[]2,3-，则函数()1f x -中，有213x -≤-≤，解得14x -≤≤，即函数()1f x -的定义域是[]1,4-，B 选项正确；对于C ，函数223y x x =--在1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，又函数()f x =的定义域为(]3,1,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭，所以函数()f x =单调递增区间为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，C 选项错误；对于D ，已知32a b -≤+≤-，则有6224a b -≤+≤-，与14a b ≤-≤两式相加，得530a b -≤+≤，即3a b +的取值范围是[]5,0-，D 选项正确.故选：ABD.10.定义{},min ,,a a ba b b a b <⎧=⎨≥⎩，设(){}min ,1f x x x =+，则（）A.()f x 有最大值，无最小值B.当()0,≤x f x 的最大值为12C.不等式()12f x ≤的解集为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.()f x 的单调递增区间为()0,1【答案】BC 【解析】【分析】作出函数图象，根据图象逐项判断即可.【详解】作出函数(){}min ,1f x x x =+的图象，如图实线部分，对于A ，根据图象，可得()f x 无最大值，无最小值，故A 错误；对于B ，根据图象得，当0x ≤时，()f x 的最大值为12，故B 正确；对于C ，由12x ≤，解得1122x -≤≤，结合图象，得不等式()12f x ≤的解集为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故C 正确；对于D ，由图象得，()f x 的单调递增区间为[)1,,0,2∞∞⎛⎤--+ ⎥⎝⎦，故D 错误.故选：BC.11.已知3515a b ==，则下列结论正确的是（）A.lg lg a b >B.a b ab+= C.1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.49a b +>【答案】ABD 【解析】【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC ，利用基本不等式即可判断D.【详解】由题可得33log 15log 310a =>=>，55log 15log 510b =>=>，1515110log 3log 5a b∴<=<=，即110a b <<，所以0a b >>，对于A ，因为0a b >>，所以lg lg a b >，故A 正确；对于B ，15151511log 3log 5log 151a b+=+==Q，a b ab ∴+=，故B 正确；对于C ，因为0a b >>，所以1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ，因为0a b >>，111a b+=，所以()11444559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4b aa b=，即2a b =时等号成立，这与已知35a b =矛盾，所以49a b +>，故D 正确.故选：ABD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知01a <<，若关于x 的方程||4320x a a +-=有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是__________.【答案】20,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】将方程化为||32,014x a a a -+=<<，方程解的个数即为函数||x y a =图象与直线324a y -+=的交点个数，从而可解出实数a 的取值范围.【详解】把原方程化为||32,014x a a a -+=<<，画出函数||x y a =图象与直线324a y -+=，依题意，它们有两个不同交点，如图，于是32014a -+<<，解得2233-<<a ，故所求实数a 的取值范围为20,3⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：20,.3⎛⎫ ⎪⎝⎭13.已知幂函数()af x x =的图象过点13,9⎛⎫ ⎪⎝⎭，若()()215f t f +<，则实数t 的取值范围是________．【答案】()(),32,-∞-⋃+∞【解析】【分析】先将点代入求出a 的值，再根据幂函数的单调性和奇偶性求解即可.【详解】由幂函数()af x x =的图象过点13,9⎛⎫ ⎪⎝⎭，得139a=，解得2a =-，则()221f x x x-==，定义域为()(),00,-∞+∞ ．由()()21()f x f x x -==-可得()f x 为偶函数．由幂函数的单调性可知，函数()21f x x=在()0,∞+上单调递减．所以()()215f t f +<等价于215t +>，等价于2(21)25t +>，解得3t <-或2t >．所以实数t 的取值范围是()(),32,-∞-⋃+∞．故答案为：()(),32,-∞-⋃+∞．14.若正实数,x y 满足24x y +=，不等式212131m m x y +>++有解，则m 的取值范围是____________.【答案】4,(1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由基本不等式的乘“1”法得到不等号后面的最小值，由一元二次不等式的解法求解即可；【详解】由已知可得()216x y ++=，所以()()4121211114212241166163y x x y x y x y x y 骣轾骣+琪轾犏琪+=+×++=+++³+=臌琪琪犏琪+++桫臌桫，当且仅当()41124y x x y x y ⎧+=⎪+⎨⎪+=⎩即312x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，所以不等式212131m m x y +>++有解即不等式21433m m +>有解，即()()3410m m +->，解得43m <-或1m >，所以m 的取值范围4,(1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故答案为：4,(1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.四、解答题15.对于集合A ，B ，我们把集合(){},,a b a A b B ∈∈记作A B ⨯．例如，{}1,2A =，{}3,4B =；则有()()()(){}1,3,1,4,2,3,2,4A B ⨯=，()()()(){}3,1,3,2,4,1,4,2B A ⨯=，()()()(){}1,1,1,2,2,1,2,2A A ⨯=，()()()(){}3,3,3,4,4,3,4,4B B ⨯=，据此，试回答下列问题．（1）已知{}C a =，{}1,2,3D =，求C D ⨯；（2）已知()(){}1,2,2,2A B ⨯=，求集合A ，B ；（3）A 有3个元素，B 有4个元素，试确定A B ⨯有几个元素．【答案】（1）()()(){},1,,2,,3a a a （2）{}{}1,2,2A B ==（3）12【解析】【分析】根据A B ⨯的定义求解即可.【小问1详解】因为{}C a =，{}1,2,3D =，根据已知有：()()(){},1,,2,,3C D a a a ⨯=.【小问2详解】因为()(){}1,2,2,2A B ⨯=，所以{}{}1,2,2A B ==.【小问3详解】从以上解题过程中可以看出，A B ⨯中元素的个数与集合A 和集合B 中的元素个数有关，即集合A 中的任何一个元素与集合B 中的一个元素对应后，得到A B ⨯中的一个新元素.若集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则A B ⨯中有m n ⨯个元素，故A 有3个元素，B 有4个元素，A B ⨯中有3412⨯=个元素.16.已知()f x 是定义在[-4，4]上的奇函数，当[0,4]x ∈时，()24x x f x =-．（1）求()f x 在[4-，0）上的解析式；（2）若存在[2,1]x ∈--，使得不等式()2x mf x ≤成立，求m 的取值范围．【答案】（1）()f x 在[4-，0）上的解析式为()42xxf x --=-（2）[1,)+∞【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义求解析式；（2）不等式用分离参数法变形，转化为求函数的最值，然后得参数范围．【小问1详解】当[4,0)x ∈-时，(0,4]x -∈，所以()24x x f x ---=-，又()()f x f x -=-，所以()42x x f x --=-，所以()f x 在[4-，0）上的解析式为()42xx f x --=-；【小问2详解】由（1）知，[2,1]x ∈--时，()42x x f x --=-，所以()422xxx m f x --=-≤可整理得112xm ⎛⎫≥⎪⎝⎭- ，令1()12xg x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据指数函数单调性可得，1()12xg x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为减函数，因为存在[2,1]x ∈--，使得不等式()2xmf x ≤成立，等价于()≥mg x 在[2,1]x ∈--上有解，所以，只需min ()(1)1m g x g ≥=-=，所以实数m 的取值范围是[1,)+∞．17.某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的利润y （万元）与投资额x （万元）成正比，其关系如图（1）所示；B 产品的利润y （万元）与投资额x （万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示．（1）分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资额的函数；（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（精确到1万元）？【答案】（1）1()(0)4f x x x =，()0)g x x = ；（2）当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元，企业获得最大利润约为4万元．【解析】【分析】（1）由已知给出的函数模型设出解析式，代入已知数据即可算出结果；（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入(10)x -万元，设企业的利润为y 万元，则有()(10)(010)y f x g x x =+- ，再利用换元法转化为求二次函数在给定区间上的最值问题即可求解．【小问1详解】设投资额为x 万元，A 产品的利润为()f x 万元，B 产品的利润为()g x 万元，由题设1()f x k x =，()g x k =，由图可知f （1）14=，所以114k =，又g （4）52=，所以254k =，所以1()(0)4f x x x =，()0)g x x = ；【小问2详解】设A 产品投入x 万元，则B 产品投入(10)x -万元，设企业的利润为y 万元，1()(10)4y f x g x x =+-=，(010)x，t =，则221051565(444216t y t t -=+=--+，(0t ，所以当52=t 时，6516max y =，此时251510() 3.7524x =-==，所以当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元，企业获得最大利润为6516万元，约为4万元．18.已知函数()()log 1a f x x a =>，关于x 的不等式()1f x <的解集为(),m n ，且103m n +=.（1）求a 的值；（2）是否存在实数λ，使函数()()()2123,,93g x f x f x x λ⎡⎤⎡⎤=-+∈⎣⎦⎢⎥⎣⎦的最小值为34？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）3a =（2）138λ=-或32【解析】【分析】（1）先根据()1f x <，求出不等式的解，结合103n m +=可得a 的值；（2）利用换元法，把函数()g x 转化为二次函数，结合二次函数区间最值法求解.【小问1详解】由log 1a x <可得1log 1a x -<<，又1a >，所以1x a a <<，又因为()1f x <的解集为(),m n ，所以1,n a m a==，因为103n m +=，所以1103a a +=，即()()231033130a a a a -+=--=，解得3a =或13a =，因为1a >，所以3a =；【小问2详解】由（1）可得()()2331log 2log 3,,93g x x x x λ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦，令31log ,,93t x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则[]1,2t ∈-，设()[]223,1,2h t t t t λ=-+∈-，①当1λ≤-时，()h t 在[]1,2-上单调递增，则()()min 31424h t h λ=-=+=，解得138λ=-，符合要求；②当12λ-<<时，()h t 在[]1,λ-上单调递减，在[],2λ上单调递增，()()22min 3234h t h λλλ==-+=，解得32λ=±，又12λ-<<，故32λ=；③当2λ≥时，()h t 在[]1,2-上单调递减，()()min 324434h t h λ==-+=，解得25216λ=<，不合题意；综上所述，存在实数138λ=-或32符合题意.19.取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的定理．该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数()f x ，在其定义域内存在一点0x ，使得()2f x x =，则称0x 为函数()f x 的一个“不动点”．若()()00f f x x =，则称0x 为()f x 的“稳定点”．将函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即，(){}A x f x x==，()(){}B x f f x x ==．已知函数()()21f x mx m x n =-++．（1）当1m =，2n =时，求函数()f x 的不动点；（2）若对于任意1,04n ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求实数m 的取值范围；（3）若1m =时，且A B =≠∅，求实数n 的取值范围．【答案】（1）1,2为函数()f x 的不动点（2）()()(),41,00,m ∈-∞-⋃-⋃+∞（3）59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）求出方程()f x x =的解后可得不动点；（2）根据()f x x =的判别式恒正可得关于,m n 恒成立的不等式，结合1,04n ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可求m 的取值范围；（3）记()y f x =，则A B =≠∅即210x x n -+-=无解或其解为12x =，故可求n 的取值范围.【小问1详解】当1m =，2n =时，()222f x x x =-+，设0x 为不动点，因此200022x x x -+=，解得01x =或02x =，所以1,2为函数()f x 的不动点；【小问2详解】因为()f x 恒有两个不动点，即()21mx m x n x -++=恒有两个不等实根，整理为()220mx m x n -++=，所以0m ≠且()2240m mn ∆=+->恒成立，令()2444g n mn m m =-+++，所以()10400g g ⎧⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪>⎩，所以22540440m m m m ⎧++>⎨++>⎩，解得4m <-或1m >-，又0m ≠，所以()()(),41,00,m ∈-∞-⋃-⋃+∞；【小问3详解】1m =时，()22f x x x n =-+，因为A ≠∅，所以22x x n x -+=有实根，所以940n ∆=-≥，即94n ≤，记()y f x =，则关于x 的方程()()f f x x =的解为方程组2222y x x nx y y n⎧=-+⎨=-+⎩的解x 的值，两式相减可得()()10x y x y -+-=，因为A B =，即要使()f x x =与()f y x =有相同的解，则0x y -=与()()10x y x y -+-=的x 的解集相同，所以方程10x y +-=无解或其解为12x =，所以()()21410n ∆=---≤，即54n ≥，综上5944n ≤≤，所以实数n 的取值范围是59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】思路点睛：对于集合中的新定义问题，应该将集合等式蕴含的意义合理转化，如题设中A B =≠∅即为方程的无解或有两个等根.。
吉林省长春三校2024-2025学年高一(上)联考数学试卷(含答案)
吉林省长春三校2024-2025学年高一（上）联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将−315°化为弧度制，正确的是( ) A. −5π3B. −5π4C. −7π4D. π42.已知集合A ={x|0<x <2}，B ={x|2x +1<3}，则A ∩B =( ) A. {x|0<x <1}B. {x|1<x <2}C. {x|x >0}D. {x|x <2}3.命题“∃x <0，x 2+1>x 3”的否定是( ) A. ∀x ≥0，x 2+1≤x 3 B. ∀x <0，x 2+1≤x 3 C. ∃x <0，x 2+1≤x 3D. ∃x ≥0，x 2+1≤x 34.已知函数f(3x +1)=6x −4，且f(m)=8，则m =( ) A. 2B. 7C. 25D. 445.在2ℎ内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q 随时间t 变化的图象是( )A. B.C. D.6.已知函数f(x)={(4−a)x +2a,x <1log 3x,x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A. (−4,4)B. [−4,4)C. (−∞,−4]D. {−4}7.已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，且在[0,+∞)上单调递减，满足f(log 2a)−f(log 12a)≤2f(3)，则实数a 的取值范围为( ) A. (0,18)B. [18,8]C. (0,8]D. [8,+∞)8.已知a >0，b ∈R ，若关于x 的不等式(ax −2)(x 2+bx −8)≥0在(0,+∞)上恒成立，则b +6a 的最小值是( )A. 4B. 4√ 2C. 8D. 8√ 2二、多选题：本题共3小题，共18分。
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高一期末三校联考
数学试卷
总分：100分 时量：120分钟 元月17日
一．选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求，请将所选答案填在答题卷中对应位置。
1．集合}3|{<∈+x N x 的另一种表示法是（ ）
A ．{0，1，2，3}
B ．{1，2，3} C. {0，1，2} D. {1，2}
2．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A ．x y = B. x y 3= C. ||lg x y = D.3
1x y = 3．已知方程x x -=2lg 的解为0x ，则下列说法正确的是（ ）
A ．)1,0(0∈x B. )2,1(0∈x C. )3,2(0∈x D. ]1,0[∈x
A 经过三个点确定一个平面
B 经过两条相交直线确定一个平面
C 四边形确定一个平面
D 两两相交且共点的三条直线确定一个平面
5.直线013=+-y x 的倾斜角是( )
A. ︒30
B. ︒60
C. ︒120
D. ︒135
6. 圆C 04221=-+x y x 和C o y y x =++4222的位置关系( )
A. 外切
B. 相离
C. 内切
D.相交
7.利用斜二测画法得到
①.三角形的直观图是三角形 ②.平行四边形的直观图是平行四边形
③.矩形的直观图是矩形 ④.圆的直观图是圆
以上结论正确的是( )
A. ①②
B. ③④
C. ①
D. ①④
8.对于函数)(x f 定义域中任意的)(,2121x x x x ≠有如下结论
① )()()(2121x f x f x x f ⋅=+ ② )()()(2121x f x f x x f +=⋅
③ 0)()(2121>--x x x f x f ④ 2
)()()2(2121x f x f x x f +<+ 当x x f )21
()(=时,上述结论中正确的序号是( )
A. ①②
B. ①④
C. ②③
D. ③④
二.填空题:本大题7小题,每小题4分,共28分,把答案填在答题卷中对应题号后的横线上.
9.函数43lg -=x y 的定义域_________________
10.经过点(1,2)且与两坐标轴截距相等的直线方程为________________
11.若l b a ,,是两两异面的直线,a 与b 所成的角是︒30,l 与a ,l 与b 所成的角都是θ,则θ的取值范围是_______________
12.若},,0{},,1{2b a a a b a +=,则20112011b a +的值为______________
13.已知函数)]5([2{)(+-=x f f x x f 10
10<≥x x 其中N x ∈,则=)8(f _____________ 14.全集V=},|),{(R y x y x ∈ 集合}12010
2013|
),{(=--=x y y x M ,}3|),{(+≠=x y y x N ,则)()(N C M C V V ⋂等于_______________ 15.一个棱长为6cm 的密封正方体盒子中放一个半径为1cm 的小球,无论怎样摇动盒子,则小球在盒子中不能到达的空间的体积为________________
三.解答题(本大题共6小题,共48分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(本小题6分)已知集合Ⅴ={0,1,2,3,4,5,6} A={0,1,2,3} B={},2|A k k x x ∈=, 求 ⑴ B A ⋂ ⑵ （ B A C V ⋃)
17.(本小题6分)已知直线,02:1=-+y ax l 01)43(:2=---y x a l 且21//l l ,求以N(1,1)为圆心,并且与2l 相切的圆的方程.
18.(本小题8分)某投资公司投资甲乙两个项目所获得的利润分别是M(亿元)和N(亿元),它们与投资额t (亿元)的关系有经验公式:t N t M 6
1,31== ,今该公司将3亿元投资这个项
目,若设甲项目投资x 亿元,投资这两个项目所获得的总利润为y 亿元.
⑴写出y 关于x 的函数表达式；
⑵求总利润y 的最大值.
19.(本小题10分)四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是正方形,E,F 分别为AC 和PB 上的点,它的直观图,正视图,侧视图.如图所示,
(1) 求EF 与平面ABCD 所成角的大小；
(2) 求二面角B-PA-C 的大小；
(3) 求三棱锥C-BEF 的体积。
20.(本小题8分)已知对任意R y x ∈.,都有t
y f x f y x f -+=+)()()(
(t 为常数)并且当0>x 时,t x f <)(
⑴ 求证:)(x f 是R 上的减函数；
⑵ 若4)4(--=t f , 解关于m 的不等式02)(2>+-m m f 。
21.(本小题10分)如图正方体ABCD D C B A -1111中,EF 与异面直线AC, D A 1都垂直相交 ⑴ 求异面直线EF 与C B 1所成的角；
⑵ 求证:EF ⊥面AC B 1；
⑶ 求证:EF//面D D BB 11。
湖南省下学期高一期末三校联考
数学答题卷
一. 选择题(8×3′=24′)
填空题(7×4′=28)
9．().34∞+ 10. 02=-y x 03=-+y x
11.[15°.90°] 12. -1
13. 9 14.{(.)} 15.56-3)(3
40cm π
三.解答题
16.解: B={0,2,4,6}
}2,0{=⋂∴B A
}6,5,4{=A C v
}6,5,4,2,0{=⋃∴B A C v
17.解:21//l l
a k -=1 432-=a k
21k k = 21b b ≠
43-=-∴a a
1=∴a
01:2=++y x l
又2l 与圆相切 2311|
111|22=+++=r
∴所求圆的方程为:29)1()1(22=-+-y x
18.解:1)根据题意.得 )3(6131x x y -+= ]3.0[∈x
2)令t x = ]3.0[∈t
则2t x = )3(6
1312t t y -+=
]4)1([612+--=t ]3.0[∈t
∴当1=t ,即1=x 时,
y 有最大值为3
2
答:总利润的最大值是32亿元
19.解:1) 45°
2) 45=∠BAC °
3) 38
=-BEC F V
20.解:证1) 设 21x x <
)()()()(111212x f x x x f x f x f -+-=- )()()(1112x f t x f x x f --+-=
t x x f --=)(12 012>-x x t x x f <-∴)(12 )()(12x f x f <∴
)(x f ∴是R 上的减函数
2) t t f f f --=-+=4)2()2()4( 2)2(-=∴f
由)2(2)(2f m m f =->-
得 22<-m m
解之得:原不等式解集为}21:{<<-m m
21.解: 1) 90°
2) ⎪⎭
⎪⎬⎫
=⋂⊥⊥C AC C B AC EF C B EF 11 ⊥∴EF 面AC B
1
3)易证⊥1BD 面C AB 1
又 ⊥EF 面AC B 1
EF D B //1∴ ⊂1BD 面11B BDD
//EF 面11B BDD。