第六章不等式

第六章不等式

考纲要求：

1. 理解不等式的性质，掌握代数式大小的比较方法.

2. 掌握比较法，综合法证明简单的不等式，掌握两个正数的自述平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单地运用.

3. 掌握一些简单的不等式解法.

第一节不等式的性质

1. 实数的大小顺序与运算性质之间的关系

（1）a bu a -b 0;

⑵ a ：： b = a - b ：： 0;

（3. a b a b = 0.

2. 不等式的性质.

（1）（对称性）a b= b ：： a;

（2）（传递性）a b, b c= a c;

（3）（同加性）a b= a c b c; a ：： b二 a c ：： b c .

十a > b

（同向不等式的相加法则）丿二a+c>b+d.

c > d

严a > b

（异向不等式的相减法则）丿na-CAb-d

c < d

「二- a >b a >b

（4）（同乘性）丿n ac^bc；丿n acvbc

c >0 c c 0

（同向不等式的相乘法则）产> >n ac>bc

a d > 0

（乘方法则）a b 0= a n b n

（倒数法则）妙>0=

> b a b

（5）（开方法则）a b 0=.n a n b

11 ba

例1若一：：：一：::0,则下列不等式①a ab;②| a | | b |;③a ：：： b;④一•一2中，正

a b a b

确的不等式有（

）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D.4个

例2如果a1,a2/ ,a8为各项均大于零的等差数列，且公差d =0,则（）

A. ao a4a5

B. ao ::: a4a s

C. a1 a8 a4 a s 例3若实数x,y满足/ -y+1兰0,则卫的取值范围是

x > 0 x

A. (0,1)

B. (0,1]

C.(1/: = )

D. a〔a8 = a4a5

( )

D.[1,

2 2

例4已知二次函数y 二f(x)的图象过原点,且1 < f(-1)乞2, 3乞f (1)乞4,求f (―2) 的范围•

【解】法一：二次函数y = f (x)的图象过原点，可设f(x) =ax 2 - bx

由1空f (—1)乞2,3乞f (1)乞4得1空a — b 空2,3乞a b 乞4 f(-2) =4a -2b =m(a -b)

n(a -b)

m n = 4

,m=3,n= 1 八 f (—2) =3(a —b)+(a —b)

-m n = -2

又 1 _ a -b _ 2,3 _a b _4

所以 6 乞3(a -b) (a -b)乞10 ,即6 乞 f(-2)叮0

法二：由题意可设 f (x)二 ax 2 bx , f ⑴=a b, f (-1) = a -b

1 1 a [f(1) f(-1)],b [f ⑴ - f(-1)]

2 2 .f(-2) =4a -2b =3f (-1) f(1)

而 1 < f (一1)乞 2,3 乞 f (1)乞 4 .6 乞 3(a -b) (a —b) <10

例5设x 1, x 2是区间D 上的任 f (X 1 X 2 .. f (X 1) f (X 2)

f(

2八 成立,则称函数

f (x) =x

—在区间(0,：：)上下凸. X

【证明】f(X i )f (X 2)

-f(

x 1 x 2 2

X i

意两点，若 二f (x)在区间

函数y = f (x)满足 D 上下凸.证明函数

1 1 x

2 x 1 x 2 x 1 x 1 x 2

2 、

-(一1 2 )

2 x 1

x 2

2 2

(X i -X 2)2 0

x x 2 2x-! x 2 (x-! x 2)

2(丄丄)2

2 x 1 x 2

课后练习二十六

1.若 x y 0 , a :: 0, ay • 0 ,则 x - y 的值为 （

）

A.大于0

B.等于0

C.小于0

D.符号不能确定

2.下列命题正确的是

1 1 C.

a ■. b

a b

(

) — 2 2 —

A. ac bc= a b

B. a b = a b

D.

、a ：：：、.

:::b 3.若 a ：： 0,「1 ：： b ::: 0,则

(

)

2 2

A. a ab ab

B. ab ab a 2

C. ab b ab

D. 2

ab ab a

4.已知x y - z ，且x ，y ，z_ 0 ,则下列不等式中成立的是

(

) A. xy yz B. xz yz C. xy xz

D .x|yL z|y |

5.已知a ::: b . 0，则下列不等式一疋成立的是

(

)

2

1 1 A. a :: ab

B. 0

b a

C.|a|：：：|b|

D 1 a

1 b .()；:：()

2 2

6.已知a,b 满足0 ：：： a ：：： b ：：： 1，则下列不等式中不成立的是

(

)

A. a a

::: b b B. a a ::: b a b b C. b :: a D .b b :：: b a

7.已知c 1, x =

1 - c , y f 'c -€c -1，则x, y 之间的大小关系是 (

)

A. x y

B. x = y

C. x y

D.不能确定

8. 下列四个不等式 ：①a < 0 ： b ;②b - a ： 0 ;③b ：：： 0 ：：： a ;④0 ：：： b ：：： a ,其中能使

1 1

-c-成立的充分条件有 ______________ .

a b

9. 已知 -1 ：：：2a ：：： 0, A =1 • a 2, B =1 - a 2, C — , D —,则代 B,C, D 按从小到

1 + a 1 — a

大的顺序排列起来是 __________________ . 10. 已知a 2, b 2,试比较a b 与ab 的大小.