数学物理方程_ 复习

复 习
题型一、根据物理过程写出相应的定解问题。

习题一、1，2， 例1、长度为 l 的弦左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面；初始位移为(),x ϕ初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题。

解 这是弦的自由振动，其位移函数(,)u x t 满足
2,tt xx u a u = 其中2T
a ρ
=
.由于左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，所以
(0,0)0,
(0,)sin 0,0,x x u Tu t A t t ω=+=>
因此 sin (0,),0.x A t
u t t T
ω=-
≥ 又右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面，所以 (,)(,)0,x Tu l t ku l t --= 即 (,)(,)0.x Tu l t ku l t +=
而初始条件为 0
(),().t t
t u
x u x ϕψ====
因此，相应的定解问题为
200,0,0,sin (0,),(,)(,)0,0.(),().
tt xx x
x t t t u a u x l t A t u t Tu l t ku l t t T u x u x ωϕψ==⎧=<<>⎪
⎪
=-+=≥⎨⎪
==⎪⎩
例2、一长为 l 的均匀细杆，侧面绝热，一端放入0o C 水中，另一端裹以石棉，杆的初始温度为(),x ϕ 试写出杆的温度分布函数所满足的定解问题。

题型二、求特征值问题。

例3、求下列特征值问题的特征值和特征函数.
（1）''()()0,(0)()0X x X x X X l λ⎧+=⎨
==⎩（2）''()()0,'(0)()0X x X x X X l λ⎧+=⎨
==⎩
（3）''()()0,(0)'()0
X x X x X X l λ⎧+=⎨
==⎩（4）''()()0,'(0)'()0
X x X x X X l λ⎧+=⎨
==⎩
（4）''()()0,()(2)θλθθθπΦ+Φ=⎧⎨Φ=Φ+⎩
题型三、用分离变量法求齐次方程齐次边界条件的定解问题。

第二章第一节、例2；第二节；第三节
习题二、1，2，3，4，5，6，7 习题二、13，17 习题二、18
例4、写出求解
010
10,01,01(1)0,(2)(1),0(3)
xx yy x x y y u u x y u u u x x u ====⎧+=<<<<⎪⎪
==⎨⎪=-=⎪⎩ 的全过程（计算Fourier 系数时，只要求写出表达式，不计算出具体数据）。

解 令(),()()u x y X x Y y =，代入方程（1）中，得
()''()0,Y y Y y λ-=
（4） ()()0.X x X x λ''+=
（5）
由条件（2），得 (0)(1)0X X ==
（6）
求解固有值问题（5）（6），得固有值与固有函数分别为
()2
k k λπ=， ()sin ,1,2,
k k X x B k x k π=
=
将k λ代入方程（4），得 ()()2
''()0,Y y k Y y π-= 从而得
()k y k y k k k Y y C e D e ππ-=+
于是得满足齐次方程（1）与齐次边界条件（2）的一组特解
(,)()sin .k y k y k k k u x y C e D e k x πππ-=+
由于方程（1）与条件（2）都是齐次的，因此
1
(,)()sin k y k y k k k u x y C e D e k x πππ∞
-==+∑
仍满足（1）与（2），由条件（3），得
1
()sin (1),k
k k C
D k x x x π∞
=+=-∑
1
()sin 0k k k
k
k C e D e
k x ππ
π∞
-=+=∑
于是
02(1)sin ,0.l
k k k k k k C D x x k xdx C e D e l
πππ-+=
-+=⎰
题型四、特征函数法。

第二章第四节 习题二、8，9，22
题型五、分离变量法中非齐次边界条件的处理。

习题二、8，9，10，11，15 §2.5 例1
例5、求下列定解问题的解：
2000
22sin cos ,0,0,
3,6,43(1),sin tt xx x x l t t t x x u a u x l t l l u u x x u u l l πππ====⎧⎪=+<<>⎪
⎪
==⎨⎪
⎪=+=⎪⎩
例6、求下列定解问题的解：
2000224sin cos ,0,0,
0,,
,()tt xx x x l t t t x x u a u x l t l l u u B B u x u
x l x l ππ====⎧⎪=+<<>⎪
⎪==⎨⎪
⎪==-⎪⎩
题型六、利用波动方程的通解解题。

例7、求解波动方程的Goursat （古沙）问题
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧====+=-),
(),(,002x u x u u a u at x at x xx tt ψϕ 其中)0()0(ψϕ=，ϕ与ψ是充分光滑的函数。

例8、证明方程
22
222
111x u x u
x h x a h t
⎡⎤∂∂∂⎛⎫⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（h 为大于零的常数） 的通解为
[]1
()(),u F x at G x at h x
=
-++- 其中,F G 是二次连续可微的任意函数。

题型七 积分变换法
第73页例1. 第75页例2.
例9、用积分变换法求解问题
200,0,0,0,0,,
t xx x x x t u a u hu x t u u u
b →+∞==⎧=->>⎪
=→⎨⎪=⎩ 其中h 是正常数，b 是常数。

（附1
：1
10;[1].L e k L p p
-⎡
⎤=≥=⎢⎥⎣⎦
2：若[]()(),L f t F p =则e ()().at
L f t F p a ⎡⎤=-⎣⎦）
解 在方程两边关于t 作Lap lace 变换，且记[(,)](,)L u x t U x p =，则
22
2
(,)
()(,).d U x p a
p h U x p b dx -+=- 解之得
12(,).b
U x p C e
C p h
=++
+ 在边界条件两边关于t 作Lap lace 变换，则
0(,)0,x U x p == lim 0x x U →∞
=
由lim 0x x U →∞
=，得20,C = 又由0(,)0,x U x p ==得1,b
C p h
=-
+ 所以
(,)(1).b
U x p e
p h
=-+
对上式两边取逆变换，得
11
(,)[][]b b u x t L L e
p h p h --=-++
＝ht ht be be ---
例10、用积分变换法求解问题
200,0,0,,lim()0,.
t xx x x t u a u x t u b u x u x =→∞
=⎧=>>⎪⎪
=-=⎨⎪=⎪⎩
题型八 求非齐次方程初值问题的解
习题三、2、求下列初值问题的解
0sin ,,0
0,sin tt xx t t t u u t x x t u u x ===--∞<<+∞>⎧⎪⎨
==⎪⎩ 解 根据迭加原理，原定解问题可分解为
（Ⅰ）00,,0,
0,sin .
tt xx t t t u u x R t u u x ===∈>⎧⎪⎨==⎪⎩
与 （Ⅱ）0
0sin ,,0,
0,0.tt xx t t t u u t x x R t u u ===-∈>⎧⎪⎨==⎪⎩
由D ’Alembert 公式知问题（Ⅰ）的解
()11,sin 2
x t
x t u x t d ξξ+-=
⎰ 问题（Ⅱ）的求解可转化为先求问题
,,,
0,sin tt xx t t t w w x R t w w x
ττττ===∈>⎧⎪⎨
==⎪⎩
即 00,,0,
|0,|sin ,
t t xx t t t w w x R t w w x τ'''''=='=∈>⎧⎨==⎩
其中t t τ'=-. 由D ’Alembert 公式得
()()
11sin sin 22x t x t x t x t w d d a τττξξτξξ'++-'----==-⎰⎰
根据齐次化原理，知（Ⅱ）的解
()()()
201,sin 2t x t x t u x t d d a
τττξξτ+---=-
⎰⎰ 因此，原问题的解为
()()()
12
0,11sin sin 22
x t t x t x t x t u x t u u d d d ττξξτξξτ
++----=+=-⎰⎰⎰
例11、求下列初值问题的解
2
0sin ,,0
cos ,tt xx t t t u a u x x t u x u x ==⎧=--∞<<+∞>⎪⎨
==⎪⎩ 解 根据迭加原理，原定解问题可分解为
（Ⅰ）2
0,,0,
cos ,.tt xx t t t u a u x R t u x u x ==⎧=∈>⎪⎨==⎪⎩
与 （Ⅱ）200sin ,,0,
0,0.
tt xx t t t u a u x x R t u u ==⎧=-∈>⎪⎨==⎪⎩
由D ’Alembert 公式知问题（Ⅰ）的解 ()()()111,cos cos 22x at
x at u x t x at x at d a ξξ+-=++-+⎡⎤⎣⎦⎰ 问题（Ⅱ）的求解可转化为先求问题
2
,,,
0,sin tt xx t t t w a w x R t w w x τ
ττ==⎧=∈>⎪⎨
==-⎪⎩ 即 200,,0,
|0,|sin ,
t t xx t t t w a w x R t w w x '''''=='⎧=∈>⎪⎨==-⎪⎩
其中t t τ'=-. 由D ’Alembert 公式得
()
()
11sin sin 22x at x a t x at x a t w d d a a ττξξξξ'++-'----==-⎰⎰
根据齐次化原理，知（Ⅱ）的解
()()()
201,sin 2t x a t x a t u x t d d a
ττξξτ+---=-
⎰⎰ 因此，原问题的解为
()()()()()
12
0,111cos cos sin 222x at t x a t x at x a t u x t u u x at x at d d d a a
ττξξξξτ++----=+=++-+-⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰。