课时跟踪检测(九) 平面向量的应用——解析版

课时跟踪检测（九） 平面向量的应用

A 级——学考合格性考试达标练

1．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度为( ) A ．v 1－v 2 B ．v 1＋v 2 C ．|v 1|－|v 2|

D.⎪⎪⎪

⎪v 1v 2

2．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3,2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F 4，则F 4＝( )

A ．(－1，－2)

B ．(1，－2)

C ．(－1,2)

D ．(1,2)

3．如果一架飞机向东飞行200 km ，再向南飞行300 km ，记飞机飞行的路程为s ，位移为a ，那么( )

A ．s ＞|a |

B ．s ＜|a |

C ．s ＝|a |

D ．s 与|a |不能比大小

4．已知两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N ，当它们的夹角为120°时，合力大小为( )

A ．40 N

B ．10 2 N

C ．20 2 N

D ．40 2 N

5．在△ABC 中，若|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→

|，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形

D ．等腰直角三角形

6．一条河宽400 m ，一船从A 出发垂直到达正对岸的B 处，船速为20 km /h ，水速为12 km/h ，则船到达B 处所需时间为________．

7．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上的两点，且|AB |＝5，则AC ―→·CB ―→

＝________. 8．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，OA ―→

＝a －b ，OB ―→＝a ＋b ，若△OAB 是以O 为直角顶点

的等腰直角三角形，则△OAB 的面积为________．

9.如图所示，若D 是△ABC 内的一点，且AB 2－AC 2＝DB 2－DC 2，求证：AD ⊥BC .

10.如图所示，用两根分别长5 2 m 和10 m 的绳子将100 N 的物体吊在水平屋顶AB 上，

平衡后G 点距屋顶的距离恰好为5 m ，求A 处受力的大小．

B 级——面向全国卷高考高分练

1．已知一物体在共点力F 1＝(lg 2，lg 2)，F 2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s ＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W 为( )

A ．lg 2

B ．lg 5

C ．1

D ．2

2．已知△ABC 满足AB ―→2＝AB ―→·AC ―→＋BA ―→·BC ―→＋CA ―→·CB ―→

，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形

D ．钝角三角形

3.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB ―→·AF ―→＝2，则AE ―→·BF ―→

的值是( )

A. 2 B ．2 C ．0 D ．1

4.如图，设P 为△ABC 内一点，且2P A ―→＋2PB ―→＋PC ―→

＝0，则S △ABP ∶S △ABC ＝( ) A.15 B.25 C.14

D.13 5．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为1

2

，则α与β的夹角θ的取值范围是________．

6．四边形ABCD 中，已知AB ―→＝DC ―→

＝(1,1)且BA ―→|BA ―→|＋BC ―→|BC ―→|＝ 2 BD ―→|BD ―→|，则此四边形的

面积等于________．

7．已知四边形ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线．求证：AC ⊥BD .

C级——拓展探索性题目应用练

1.在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图所示)的

东偏南θcos θ＝

2

10，θ∈(0°，90°)方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北

45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断

增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？注：cos(θ－45°)＝4 5

答案

A 级——学考合格性考试达标练

1.解析：选B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v 1＋v

2. 注意速度是有方向和大小的，是一个向量．故选B.

2.解析：选D 由物理知识知F 1＋F 2＋F 3＋F 4＝0，故F 4＝－(F 1＋F 2＋F 3)＝(1,2)．故选D.

3.解析：选A s ＝200＋300＝500(km)，|a |＝2002＋3002＝10013(km)，∴s ＞|a |.故选A.

4.解析：选B 如图，以F 1，F 2为邻边作平行四边形，F 为这两个力的合力．由题意，易知当它们的夹角为90°时，|F |＝2|F 1|＝20 N ，∴|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ．当它们的夹角为120°时，以F 1，F 2为邻边的平行四边形为菱形，此时|F |＝|F 1|＝10 2 N ．故选B.

5.解析：选B 由|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|得|AB ―→＋AC ―→|2＝|AB ―→－AC ―→|2，即AB ―→·AC ―→

＝0，∴AB ―→⊥AC ―→

. ∴∠A ＝90°，即△ABC 为直角三角形．故选B. 6.解析：合速度|v 合|＝ 202－122＝16(km/h)＝

8003(m/min)，∴t ＝400÷800

3

＝1.5(min)． 答案：1.5 min

7.解析：由弦长|AB |＝5，可知∠ACB ＝60°，故AC ―→·CB ―→＝－CA ―→·CB ―→＝－|CA ―→||CB ―→

|cos ∠ACB ＝－5

2.

答案：－5

2

8.解析：由题意，得|a |＝1，又△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，所以OA ―→⊥OB ―→

，|OA ―→|＝|OB ―→|.

由OA ―→⊥OB ―→

得(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝0， 所以|a |＝|b |，由|OA ―→|＝|OB ―→

|得|a －b |＝|a ＋b |， 所以a ·b ＝0，所以|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＝2，

所以|OA ―→|＝|OB ―→

|＝2，所以S △OAB ＝12×2×2＝1.

答案：1

9.证明：设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AD ―→

＝e ， DB ―→＝c ，DC ―→

＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ，

所以a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2.由已知可得a 2－b 2＝c 2－d 2，

所以e ·(c －d )＝0.因为BC ―→＝BD ―→＋DC ―→＝d －c ，所以AD ―→·BC ―→＝e ·(d －c )＝0所以AD ―→

⊥BC ―→

，即AD ⊥BC .