一元二次方根与系数的关系

一元二次方根与系数的关系

一、单选题

1．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝2，x2＝4，则m+n 的值是（）

A．﹣10B．10C．﹣6D．2

2．若方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值为（）

A．3B．﹣3C．11D．﹣11

3．若m，n满足m2+5m﹣3＝0，n2+5n﹣3＝0，且m≠n．则的值为（）A．B．﹣C．﹣D．

4．若已知a，b是方程x2－2x－1＝0的两个根，则a2＋a＋3b的值是().．

A．7B．－5C．7D．－2

二、填空题

5．已知m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两实数根，则＝_____．

6．若关于x的一元二次方程x2+2x+a2﹣3＝0有一根是0，则另一根是_____．

7．若方程x2+（m2﹣1）x+1+m＝0的两根互为相反数，则m＝______

8．已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的两个实数根为x1，x2，若x12＋x22＝4，则m的值为____．

三、解答题

9．已知x1、x2是方程x2－4x＋2＝0的两根，求：

(1)＋；

(2)(x1－x2)2的值．

10．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．

（2）是否存在实数k，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．D

【解析】

【分析】

根据“一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝2，x2＝4”，结合根与系数的关系，分别列出关于m和n的一元一次不等式，求出m和n的值，代入m+n即可得到答案．【详解】

解：根据题意得：

x1+x2＝﹣m＝2+4，

解得：m＝﹣6，

x1•x2＝n＝2×4，

解得：n＝8，

m+n＝﹣6+8＝2，

故选：D．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系，正确掌握根与系数的关系是解决问题的关键．

2．C

【解析】

【分析】

根据根与系数的关系得到，再变形

，然后利用整体思想进行计算．

【详解】

解：根据题意得，

．故选：C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则

3．D

【解析】

【分析】

根据题意可得：m、n可看作方程x2+5x﹣3＝0，根据根与系数的关系得到，，再变形，然后利用整体思想计算．

【详解】

∵m，n满足m2+5m﹣3＝0，n2+5n﹣3＝0，且m≠n，

∴m、n可看作方程x2+5x﹣3＝0，

∴m+n＝﹣5，mn＝﹣3，

所以

故选：D．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式是解决本题的关键.

4．A

【解析】

【分析】

根据一元二次方程根与系数的关系与系数的关系，即韦达定理进行作答.

【详解】

由韦达定理，即＋＝＝.且a为方程的一个根，即a2－2a－1＝0,得到a2＝2a＋1.所以，a2＋a＋3b＝3a＋3b＋1＝3(a＋b)＋1＝32＋1＝7.所以，答案选A.

【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系与系数的关系，即韦达定理的运用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系与系数的关系，即韦达定理是本题解题关键.

5．4

【解析】

【分析】

先由根与系数的关系求出m•n及m+n的值，再把化为的形式代入进行计算即可．【详解】

∵m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两实数根，

∴m+n＝﹣4，m•n＝﹣1，

∴＝＝-

＝4．

-

故答案为4．

【点睛】

本题考查的是根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．

6．-2

【解析】

【分析】

利用根与系数的关系可求得答案．

【详解】

解：设方程的另一根为x，则由根与系数的关系可得0+x=-2，

∴x=-2，即方程的另一根为x=-2，

故答案为：-2．

【点睛】

本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于-是解题的关键．

7．﹣1

【解析】

【分析】

根据“方程x2+（m2﹣1）x+1+m＝0 的两根互为相反数”，利用一元二次方程根与系数的关系，列出关于m 的等式，解之，再把m 的值代入原方程，找出符合题意的m 的值即可．【详解】

∵方程x2+（m2﹣1）x+1+m＝0 的两根互为相反数，

∴1﹣m2＝0，

解得：m＝1 或﹣1，

把m＝1代入原方程得：

x2+2＝0，

该方程无解，

∴m＝1不合题意，舍去，

把m＝﹣1代入原方程得：

x2＝0，

解得：x1＝x2＝0，（符合题意），

∴m＝﹣1，

故答案为：﹣1．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程两根之和，两个之积与系数之间的关系式解题的关键．若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：，.

8．﹣1或﹣3

【解析】

【分析】

利用根与系数的关系可以得到代数式，再把所求代数式利用完全平方公式变形，结合前面的等式即可求解．

【详解】

∵这个方程的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2=﹣（m+3），x1•x2=m+1，而x12+x22=4，∴（x1+x2）2﹣2x

•x2=4，∴（m+3）2﹣2m﹣2=4，∴m2+6m+9﹣2m﹣6=0，m2+4m+3=0，解得：m=﹣1 1

或﹣3．∵△=（m+3）2﹣4（m+1）= m2+6m+9﹣4m﹣4= m2+2m+5=（m+1）2+4＞0，∴m=

﹣1或﹣3．

故答案为：﹣1或﹣3．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，关键是利用根与系数的关系和完全平方公式将代数式变形分析．

9．（1）2；（2）8.

【解析】

【分析】

根据一元二次方程根与系数的关系可得x1＋x2＝4，x1x2＝2，代入（1）（2）式