平面图形分析
平面图形尺寸分析画图
6 25
尺寸基准
不标作图 得出的线段 的长度。
(R3)
30
?
§1-4 平面图形的尺寸分析及绘图
参考尺寸
四、平面图形的尺寸标注
尺寸标注示例4 中心为基准；
注已知线段的定形尺寸和定位尺寸；
按圆周分布的圆其 定位尺寸注直径
注出连接线段的定形尺寸。
R6 Φ24
Φ12 3×Φ6
§1-4 平面图形的尺寸分析及绘图
作图 基准
§1-4 平面图形的尺寸分析及绘图
三、平面图形的画图步骤
画平面图形的举例：
作图 基准
§1-4 平面图形的尺寸分析及绘图
四、平面图形的尺寸标注
标注尺寸的基本要求：
正确：符合国家标准有关规定； 齐全：不遗漏、不重复； 清晰：数字清晰，便于查找。
标注尺寸的一般步骤：
1.分析图形，选定尺寸基准； 2.确定线段类型； 3.注出已知线段的定形尺寸和定位尺寸； 4.注出中间线段的定形尺寸和一个定位尺寸； 5.注出连接线段的定形尺寸。
2×Φ15 75
§1-4 平面图形的尺寸分析及绘图
一、平面图形的尺寸分析
2.基准
▪ 定义：标注尺寸的起点
对于平面图形有 X、Y 两个方向。
▪ 常做基准的几何要素
对称图形的对称线；
较大圆的 “+ ”字中心线；
较长的直线。
35
18
§1-4 平面图形的尺寸分析及绘图
2×Φ15 75
20 60
基准 基准
二、平面图形的线段分析
四、平面图形的尺寸标注
同一平面图形,可有不同的尺寸标注形式, 但组成线段的
性质有所差异,画图的顺序也不同。
R15
平面图形的尺寸分析和作图方法
平面图形的尺寸分析和作图方法平面图形的尺寸分析平面图形的线段分析与作图步骤平面图形的尺寸标注平面图形的尺寸分析平面图形上的尺寸按其所起作用可分为定形尺寸和定位尺寸两种。
定形尺寸确定平面图形形状大小的尺寸称定形尺寸，如直线的长度、圆和圆弧的直径和半径、角度的大小等。
平面图形的尺寸分析平面图形上的尺寸按其所起作用可分为定形尺寸和定位尺寸两种。
定位尺寸确定平面图形上点、线段间相对位置的尺寸称定位尺寸。
尺寸基准标注定位尺寸的起点。
铅垂方向尺寸基准水平方向尺寸基准平面图形中常用对称中心线、圆或圆弧的中心线、重要的轮廓线以及图形的底边线作尺寸基准。
平面图形的线段分析平面图形上的线段分为已知线段、中间线段、连接线段。
已知线段根据图上所给尺寸可以直接画出的圆、圆弧或直线。
中间线段除图上所注尺寸外，还需根据一个连接关系才能画出的线段。
连接线段需要依靠与之相邻的两个连接关系才能画出的线段。
平面图形的作图步骤画平面图形时，须先画出所有已知线段，然后画中间线段，最后画连接线段。
平面图形的作图步骤画平面图形时，须先画出所有已知线段，然后画中间线段，最后画连接线段。
平面图形的尺寸标注标注尺寸要求正确、完整、清晰。
正确：是指尺寸注写符合国家标准的相关规定，尺寸数值不能写错和出现矛盾。
完整：尺寸标注完全，不遗漏，不重复。
清晰：是指尺寸的位置要安排在图形的明显处，标注清楚，布局整齐。
平面图形的尺寸标注标注尺寸步骤确定尺寸基准铅垂方向尺寸基准水平方向尺寸基准平面图形的尺寸标注标注尺寸步骤确定尺寸基准分析线段，确定线段性质分别标注已知线段、中间线段、连接线段的尺寸。
小结平面图形的尺寸分析平面图形的线段分析与作图步骤平面图形的尺寸标注。
浅谈平面图形的尺寸分析及画法
浅谈平面图形的尺寸分析及画法摘要：一张图样不仅要有一组视图和全部尺寸来表达机器零件的形状和大小，同时还应有一些相应的技术要求来保证机器的设计要求和工作性能。
图样上的这一组视图是由一些封闭的平面图形组成，那么要画好图样必须画好平面图形。
关键词：图样尺寸技术要求设计要求定性尺寸定位尺寸基准Abstract: a design should not only have a set of views and full size to express machine parts shape and size, but also have some corresponding technical requirements to ensure that the machine design requirements and work performance. Drawing on this set of views by some closed plane figure composition, then to draw the pattern must be drawn graphic.Key words: the pattern size technical requirements to design qualitative dimension positioning dimension standard图形是设计、制造、使用和维修机器过程中的一项主要技术资料，是零件加工和机器装配过程中具有指导性的技术文件。
因此，一张图样不仅要有一组视图和全部尺寸来表达机器零件的形状和大小，同时还应有一些相应的技术要求来保证机器的设计要求和工作性能。
图样上的这一组视图往往是由一些封闭的平面图形组成，那么要画好图样必须画好平面图形。
平面图形都是由各种线段（直线段、曲线段）连接而成，线段的长短，形状和位置是由图形的尺寸所决定。
1.3尺规绘图8—平面图形的分析与作图(手柄)
教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图复习回顾圆弧连接的三种情况以及步骤看到直线,就平移R遇到圆弧,就加减R外切相加,内切相减评论回答导入新课目标图。
(1)提出问题(2)介绍概念(1)思考(2)看书讲授新课一、平面图形的分析（一）尺寸分析定形尺寸：指定形状的尺寸定位尺寸：指确定各组成部分之间相对位置的尺寸（二）线段分析分析结果：线段类型定形尺寸定位尺寸已知线段已知已知2个中间线段已知已知1个连接线段已知未知(1)大屏幕(2)讲解、启发(1)认真观察(2)听讲定形尺寸：Φ20，Φ5，15，R15，R50，R10，Φ32定位尺寸：8，75已知线段：Φ5，R15，R10中间线段：R50连接线段：R12注意：有些尺寸既有定形尺寸的功能，又有定位尺寸的作用。
讲授新课二、手柄分析1、根据图形大小选择比例和图纸幅面。
2、分析平面图形中哪些是已知线段，哪些是连接线段，以及所给定的连接条件。
3、根据各组成部分的尺寸关系确定作图基准，定位线。
4、依次画已知线段，中间线段和连接线段。
5、将图线加粗加深。
6、标注尺寸。
（3）引导学生分析手柄图中的尺寸属于哪种，在学生中展开分组竞赛，分析线段类型。
培养学生的自主分析能力和竞争能力。
(3)思考(4)回答(5)认真观察(6)同步作图(7)观察、思考(8)讨论(9)听讲。
—平面图形分析与画法
1—4平面图形的分析与画法在平面图形中，有些线段可以根据所给定的尺寸直接画出；而有些线段则需利用线段连接关系，找出潜在的补充条件才能画出。
要处理好这方面的问题，就必须首先对平面图形中各尺寸的作用、各线段的性质，以及它们间的相互关系进行分析，在此基础上才能确定正确的画图步骤及正确、完整地标注尺寸。
现以图1-42所示的“转动导架”轮廓图为例，介绍平面图形的分析与画法。
一、平面图形的尺寸分析平面图形的尺寸分析，主要是分析图中尺寸的基准和各尺寸的作用，以确定画图时所需要的尺寸数量，并根据图中所注的尺寸，来确定画图的先后顺序。
（一）尺寸基准标注尺寸的起点称为尺寸基准。
平面图形中有水平和垂直两个方向的尺寸基准。
通常将对称图形的对称线、较大圆的对称中心线及主要轮廓线等作为尺寸基准。
当图形在某个方向上存在多个尺寸基准时，应以一个为主（称为主要基准），其余的则为辅（称为辅助基准）。
如图1-42中注有R12长圆形的一对称中心线分别为该平面图形水平和垂直方向的尺寸基准（主要基准），也是画图时必须首先画出的一对主要基准线。
（二）尺寸的作用及其分类平面图形中的尺寸，按其作用可分为定位尺寸和定形尺寸两类。
1．定位尺寸用以确定平面图形中各线段（或线框）间相对位置的尺寸，称为定位尺寸。
如图1一42中的20, 40, 44、15°、45、15等均属定位尺寸。
2．定形尺寸用以确定平面图形中各线段（或线框）形状大小的尺寸，称为定形尽寸，如直线段的长度、圆及圆弧的直径或半径、角度的大小等。
在图1—42中除上述的定位尺寸外，其余的尺寸均属定形尺寸。
应该说明的是，有时某些尺寸既是定位尺寸，又是定形尺寸（如图1一42中的两R12圆弧中心距40和图形中左上方的倾斜尺寸44）。
尺寸基准也只有在确定线段间的相对位置时才有意义。
定位尺寸也是图形某一方向尺寸的主要基准与辅助基准间相互联系的尺寸。
二、平面图形的线段分析确定平面图形中任一线段（或线框）一般需要三个条件（两个定位条件，一个定形条件）。
平面图形的尺寸分析、线段分析、画图步骤(制图课件)
尺寸基准就是标注尺寸的起点。对平面图形来说，常用的基准是对称图形的对称线、圆 的中心线或较长的直线等。
二、平面图形的线段分析
平面图形中的线段，根据其尺寸是否齐全可分为已知线段、中间线段和连接线段三类。
1、已知线段
有齐全的定形尺寸和定位尺寸的线段。
2、中间线段
有定形尺寸和一个定位尺寸的线段称为中间线段，另一个定位尺寸可根据与相 邻已知线段的几何关系求出。
总目录
项目一 制图基本知识与技能 项目二 投影法的基本知识 项目三 点、直线 面的投影 项目四 基本体的投影 项目五 截交线和相贯线 项目六 组合体 项目七 轴测投影 项目八 机件的常用表达法 项目九 建筑图的识读 项目十 识图综合训练 项目十一 计算机绘图
子目录
使用
3、连接线段
有定形尺寸，而无定位尺寸的线段称为连接线段，可根据其与两端相邻的已知 线段的连接关系求出。
三、平面图形的画图步骤
平面图形的绘制，应在进行线段分析的基础上，先画 出已知线段，再画出中间线段，最后画出连接线段。
三、平面图形的画图步骤
具体绘图过程见微课
制图基本知识与技能 3.平面图形的画法
4.尺规作图的步骤
1.3 平面图形的画法
一、平面图形的尺寸分析
平面图形中的尺寸可以分为定形尺寸和定位尺寸两大类。
1、定形尺寸
确定平面图形中几何元素大小的尺寸称为定形尺寸，如直线的长度，圆弧的半径等等。
2、定位尺寸
确定几何元素位置的尺寸称为定位尺寸，如圆心的尺寸位置，直线与中心线的距离尺寸 等等。
基本平面图形知识
基本平面图形一、知识讲解考点1：线段、射线、直线1．直线的性质(1)两条直线相交，只有1个交点．(2)经过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条直线2．线段的性质: 所有连接两点的线中，线段最短，即：两点之间线段最短．3．线段的中点把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点．如图，点M将线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点.A B当点M到引用源。
AB；反过来，如果点M在线段AB上，且有这样的数量关系式，那么点M就是线段AB的中点.1．角的有关概念角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．射线端点叫做角的顶点，两条射线是角的两边．从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫做这个角的平分线.易错点:当一个顶点处有两个以上的角时，不能用顶点字母表示法来表示角.(举例) 2．角的单位与换算1°＝60′，1′＝60″，1周角＝2平角＝4直角．考点3 度、分、秒的换算1、角的单位及意义角的单位: 度、分、秒．意义：①把一个平角180等分，每一份就是一度的角，记作1°；②把一度的角60等分，每一份就是一分的角，记作1′；③把一分的角60等分，每一份就是一秒的角，记作1″.2、度、分、秒的进率及换算方法度、分、秒的进率是60.即1°＝60′，1′＝60″，1°＝60′＝3 600″. 易错点:(1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同；(2)角的度数的换算有两种方法：①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′，1′＝60″；②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1″＝⎝ ⎛⎭⎪⎫160′，1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫160°，用除法 3、钟面角1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12=30°．2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． 3）钟面上的路程问题分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60=6°时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60=0.5°． 4、角的和、差、倍、分（1）∠AOB 是∠AOC 和∠BOC 的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC ．∠AOC 是∠AOB 和∠BOC 的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC ．（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 5、锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小 （1）平角：角的两边成一条直线时，这个角叫平角。
平面与立体图形的比较与分析
汇报人：XX
2024年X月
目录
第1章 简介 第2章 平面图形与立体图形的构成 第3章 平面与立体图形的比较 第4章 平面与立体图形的应用 第5章 平面与立体图形的创意表现 第6章 总结与展望 第7章 结束
● 01
第一章 简介
简介
平面与立体图形是几 何学中的基本概念。 平面图形是二维的， 只有长和宽，而立体 图形是三维的，具有 长度、宽度和高度。 它们在几何学中起着 重要作用。
立体图形构成
立体图形
由面构成
每一个面
具有特定的面积 和方向
面
组成各种体积形 状
平面图形的性质
01 边界特征
可以是封闭的或开放的
02 计算
通过计算可以得出周长和面积
03
立体图形的性质
立体图形具有体积，可以是封闭的或开放的。每 一个面都有特定的面积和方向。通过计算可以得 出立体图形的表面积和体积。立体图形在空间中 具有三维特性，包含长度、宽度和高度。
应用扩展
随着科学技术的不断 进步，平面与立体图 形在虚拟现实、数字 艺术等领域有着广泛 的应用。通过利用计 算机技术，我们可以 实现更加复杂的平面 和立体效果，为用户 带来更加全面的体验。
● 07
第7章 结束
平面与立体图形的比较与分 析
在几何学中，平面和立体图形是两个重要的概念。 平面是一个没有厚度的二维空间，而立体图形是 一个有三个维度的空间。它们在形状、体积、表 面积等方面都有着明显的区别。本章将从不同的 角度比较和分析平面与立体图形，展示它们各自 的特点和应用。
可视性
立体图形更具立 体感，呈现更真
实的视觉效果
材料
立体图形需要考 虑材料的质感及 使用，而平面图 形仅需平面表现
基本平面图形
B
·
C
O
A D
射线 OA绕点O 旋转，当终点位置OC和起始位置 OA 成一直线时，所成的角叫做平角；继续旋转，回到起始 位置 OA 时，所成的角叫做周角。
12.如图所示，点C是线段AB上一点，AC<CB,M、N分别是AB、CB 的中点，AC=8，NB = 5，求线段MN 的长是_____.
4
1.解：∵M、N 分别是AB、CB 的中点
∴NB =
1 BC，MB =
2
∵NB =5，∴BC =10
1
(AC+BC)=9
2
∴MN=MB－NB=9－5 = 4
1 AB
选择题：
1.下列语句正确的是（ ）
A.两条直线相交，组成的图形叫做角
D
B.两条有公共端点的线段组成的图形叫角
C.两条有公共点的射线组成的图形叫角
D.从同一点引出的两条射线组成的图形叫角
2.下列说法正确的是（ ） A.平角是一条直线 B.一条射线是一个周角 C.两条射线组成的图形叫做角 D.两边成一直线的角是平角
2.角的定义二： 角可以看成是一条射线绕着它的
端点从一个位置旋转到另一个位置所形成 的图形。射线旋转时经过的平面部分叫角 的内部。
12.点方位: ∠1.北偏东60° ∠2.北偏西30° ∠3.西偏南60° ∠4.南偏东45° ∠5.东偏南45°
北
2
1
西
3
4 南
东 5
还记得成语“四面八方”吗？八个方向是不够用的，方位角是我们日常 生活中经常碰到的问题，比如北偏东30 º。
工程制图与识图1-5：平面图形的分析与画法
1. 5.2平面图形的线段分析
1．已知线段
根据给出的尺寸可以直接画出的线段称为已知线段。即这个线段的定形尺寸 和定位尺寸都完整。 如图中，如图1-24所示左边由尺寸25和Φ20确定的直线，先绘制已知线段。
2．中间线段
有定形尺寸，缺少一个定位尺寸，需要依靠两端相切或相接的条件才能画出的线 段称为中间线段。 如图中R60的圆弧是中间线段（也称为中间弧）。
图1-25 平面图形的画图步骤
1. 5.3平面图形的画法
4）整理全图，仔细检查无误后加深图线，标注尺寸，如图1-25f所示。
图1-25 平面图形的画图步骤
小结与作业
• 可选作业：《工程制图与识图习题集》 P5:1-5
图线型式的掌握是制图学习的基础 制图学习中始终要执行国家标准
2．选定比例，画底稿。先画平面图形的对称线、中心线或基线，在顺次画 出已知线段、中间线段、连接线段。 3．画尺寸线和尺寸界线，并校核修正底稿，清理图面。
4．按规定线型加深，写尺寸数字，再次校核修正。
例：抄绘图1-24所示平面图形:
1. 5.3平面图形的画法
1）画基准线和已知线段。根据各个基本的定位尺寸画定位线，以确定平面图形 上的位置和构成平面图形的各基本图线的相对位置。如图1-25a所示，先画出水 平和垂直方向的基准线，并根据Φ20、25、R20、R10画出已知线段。
3．连接线段
只有定形尺寸而没有定位尺寸的线段。图1-24所示圆弧R40的圆心定位尺寸均未给出， 是连接线段。连接线段需要用与两侧相邻线段的连接条件来绘制，前面介绍的圆弧 连接方法是常用方法。
1. 5.3平面图形的画法
1．首先对平面图形进行尺寸分析和线段分析， 找出尺寸基准和圆弧 连接的线段，拟定作图顺序。
平面图形的性质分析
平面图形的性质分析引言：平面图形是我们数学学科的基础，也是日常生活中经常遇到的对象。
通过对平面图形的性质分析，我们可以更好地理解它们的特点和关系，进而运用到实际问题中。
本文将从几何形状、边界特征、对称性以及其他相关性质等方面进行分析和讨论。
一、几何形状的性质分析1.1 直线和曲线直线是最简单的平面图形，具有无限延伸的特点。
曲线则有各种各样的形态，如圆、椭圆、抛物线和双曲线等。
它们的性质不同，但都有共同的特点，比如曲率、切线和法线等。
1.2 多边形多边形是由若干条线段连接而成的封闭图形，有三角形、四边形、五边形等。
不同类型的多边形有不同的性质，如角度和边长等。
此外，还有一些特殊的多边形，如正多边形和等腰三角形，它们具有特殊的对称性和边长关系。
1.3 圆形圆形是由一个固定点到平面上任意一点的距离相等的点的集合。
圆形的性质有很多，如半径、直径、弧长和面积等。
此外，还有一些与圆相关的概念，如切线、切点和切圆等，它们的性质也是我们需要了解的。
二、边界特征的性质分析2.1 边长边长是指多边形的边的长度。
在分析平面图形的性质时，边长是一个重要的指标。
通过比较边长的大小和关系，我们可以判断图形的形状和特征，比如等腰三角形的边长相等、正方形的四边边长相等等。
2.2 周长周长是指多边形的边长之和。
它是一个图形的外部特征，可以用来衡量图形的大小。
通过计算周长，我们可以比较不同图形的大小，进而分析它们的相对关系。
2.3 弧长弧长是指圆形的弧的长度。
在分析圆形的性质时，弧长是一个重要的指标。
通过计算弧长，我们可以比较不同弧的长度，进而分析它们的相对大小和关系。
三、对称性的性质分析3.1 线对称线对称是指图形相对于某条直线对称。
线对称的性质有很多，如对称轴、对称中心和对称图形等。
通过分析线对称的性质，我们可以判断图形的对称性和特征，进而运用到实际问题中。
3.2 点对称点对称是指图形相对于某个点对称。
点对称的性质有很多，如对称中心、对称轴和对称图形等。
数学分析10.1平面图形的面积
第十章 定积分的应用 1 平面图形的面积公式1：连续曲线y=f(x)(≥0)，以及直线x=a, x=b(a<b)和x 轴所围曲边梯形面积为：A=⎰b a f(x )dx=⎰ba y dx.若f(x)在[a,b]变号，则所围图形的面积为：A=⎰b a |f(x )|dx=⎰ba |y |dx.公式2：上下两条连续曲线y=f 2(x)与y=f 1(x)以及两条直线x=a 与x=b(a<b)所围的平面图形面积为：A=⎰ba 12(x )]-f (x )[f dx.例1：求由抛物线y 2=x 与直线x-2y-3=0所围图形的面积A. 解法一：A 等同于由抛物线y=x 2与直线y=2x+3所围图形的面积. 解方程组：⎩⎨⎧=+= x y 32x y 2，得⎩⎨⎧==9y 3x , ⎩⎨⎧=-=1y 1x . ∴A=⎰-+312)x -3(2x dx=[32-(-1)2]+3[3-(-1)]-3(-1)-333=332. 解法二：如图，图形被x=1分为左右两部分， A 左=⎰--10)]x (x [dx=3⎰10x dx=34. A 右=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-9123-x x dx=312-9233-41-922+21)-(93⨯=328. A= A 左+ A 右=34+328=332.公式3：设曲线C 为参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]，在[α,β]上y(t)连续，x(t)连续且可微且x ’(t)≠0(类似地可讨论y(t)连续可微且y ’(t)≠0的情形). 记a=x(α), b=x(β), (a ≠b)，则由曲线C 及直线x=a, x=b 和x 轴所围的图形，其面积计算公式为：A=⎰'βα(t)x )t (y dt.例2：求由摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost) (a>0)的一拱与x 轴所围平面图形的面积.解：摆线的一拱可取t ∈[0,2π]，又x ’=a(1-cost)， ∴A=⎰-2π022)t cos 1(a dt=3πa 2.公式4：若参数方程所表示的曲线是封闭的，即有x(α)=x(β), y(α)=y(β)， 且在(α,β)内曲线自身不再相交，则由曲线自身所围图形面积为： A=⎰'βα(t)dt x )t (y 或A=⎰'βα(t)dt y )t (x .例3：求椭圆22a x +22by =1所围的面积.解：化为参数方程：x=asint, y=bcost, t ∈[0,2π], 又x ’=acost ， ∴A=⎰2π02tdt abcos =πab.公式5：设曲线C 为极坐标方程r=r(θ), θ∈[α,β]，且r(θ)在[α,β]上连续, β-α≤2π.由曲线C 与两条射线θ=α, θ=β所围成的平面图形，通常也称为扇形，此扇形的面积为：A=⎰βα2d θ)θ(r 21. 证：如图，对区间[α,β]作任意分割T ：α=θ0<θ1<…<θn-1<θn =β， 射线θ=θi (i=1,2,…,n-1)把扇形分成n 个小扇形.∵r(θ)在[α,β]上连续，∴当T 很小时，在每一个△i =[θi-1, θi ]上r(θ)的值变化也很小，任取ξi ∈△i ，便有r(θ)≈r(ξi ), θ∈△i , i=1,2,…,n.这时，第i 个小扇形的面积△A i ≈21r 2(ξi)△θi , ∴A ≈∑=n1i 21r 2(ξi )△θi .当T →0时，两边取极限，就有A=⎰βα2d θ)θ(r 21.例3：求双纽线r 2=a 2cos2θ所围平面图形的面积. 解：如图，∵r 2≥0，∴θ∈[-4π,4π]∪[43π,45π]，由图形的对称性可得： A=4·⎰4π02θdθ2cos a 21=a 2 sin2θ|4π0=a 2 .习题1、求由抛物线y=x 2与y=2-x 2所围图形的面积.解：求得两曲线交点为(-1,1), (1,1). ∴所围图形的面积为： A=⎰-1122)x -x -(2dx=38.2、求曲线y=|lnx|与直线x=101, x=10, y=0所围图形的面积. 解：所围图形的面积为： A=⎰10101|lnx |dx=-⎰1101lnx dx+⎰101lnx dx =-(xlnx|1101-⎰1101x dlnx)+ xlnx|101+⎰101x dlnx=-(101ln10-109)+10ln10-9=1099ln10-1081.3、抛物线y 2=2x 把圆x 2+y 2=8分成两部分，求这两部分面积之比. 解：问题等同于抛物线y=21x 2把圆x 2+y 2=8分成两部分，求面积比. 它们的交点为(2,2),(-2,2). 记两部分的面积为A 1,A 2，则A 1=⎰--2222)x 21x -8(dx=8⎰-4π4π2θcos d θ-38=2π+34；A 2=8π-A 1=6π-34.∴21A A =34-6π34+2π=2 -9π2 +3π.4、求内摆线x=acos 3t, y=asin 3t (a>0)所围图形的面积. 解：如图，所围图形面积为： A=4⎰'2π033dt |)t t(asin cos a |=12a2⎰2π024tdttsin cos=12a 2⎰2π024tdt tsin cos =83πa 2.5、求心形线r=a(1+cos θ) (a>0)所围图形的面积. 解法一：根据心形线的对称性，得A=2·⎰+π022d θ)θcos 1(a 21=a 2⎰++π02d θ)θcos θcos 21(=23πa 2.解法二：化为参数方程：x=a(1+cos θ)cos θ, y=a(1+cos θ)sin θ, θ∈[0,2π]， A=|⎰'++2π0d θ]θsin )θcos θ[a(1cos )θcos a(1| =a 2|⎰-+2π0234θ)dθθsin cos θcos 2θcos (2|=23πa 2.6、求三叶形曲线r=asin3θ (a>0)所围图形的面积.解：根根三叶形曲线的形态特点，所围图形由相同的三部分组成，即 A=3⎰32π3π223θsin a 21d θ=⎰32π3π223θsin a 21d3θ=4πa 2.7、求曲线a x +by =1 (a,b>0)与坐标轴所围图形的面积. 解：曲线与x 轴的交点为(a,0)，∴所围图形的面积为： A=b ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a0a x a x 21dx=6ab.8、求曲线x=t-t 3, y=1-t 4所围图形的面积.解：当t=-1,1时，x=0,y=0，∴曲线在t ∈[-1,1]围成封闭图形，即 A=|⎰'-11-43)t -)(1t t (dt|=4|⎰-11-46)t t (dt|=3516.9、求二曲线r=sin θ与r=3cos θ所围公共部分的面积. 解法一：化为圆的方程：x 2+(y-21)2=41, (x-23)2+y 2=43. 它们的交点为O(0,0)与P(43,43)，∴所围公共部分的面积为： A=⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎪⎭⎫ ⎝⎛-4302223y 4321-y 41dy=⎰-6π2π2t cos 41dt+⎰3π02t cos 43dt -833 =323+12π+3233+8π-833=245π-43. 解法二：由sin θ=3cos θ, 得tan θ=3，∴二曲线相交于θ=3π.A=⎰3π02θsin 21d θ+⎰2π3π2θcos 23d θ=-)1(cos2θ413π0-⎰d θ+⎰+2π3π1)(cos2θ43d θ =-163+12π+8π-1633=245π-43.(参考解法)如图：求得P(43,43) S 阴=S P OO 1扇形+S P OO 2扇形-S P OO 1∆ -S P OO 2∆ =3πOO 12+6πOO 22-21·43·OO 1-21·43·OO 2=12π+8π-163-1633=245π-43.10、求两椭圆22a x +22b y =1与22b x +22ay =1(a>b>0)所围公共部分的面积.解：两椭圆在第一象限的交点为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2222b a abb a ab ，. 根据图形的对称性，可得：A=8⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22baab022x a x 1b dx=4abarcsin 22b a b +-2222b a b 4a +.。
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图1―5 推荐使用的标题栏格式
1.1.2 比例（GB/T14690—93）
比例是图中图形与实物相应要素的线性尺寸之比。 表 1―2 给出了国家标准所规定的绘制工程图样优先选 用的比例。
表1―2 比例
为了反映机件的真实大小，应尽量采用原值比例
（ 1∶1 ）。当机件过大或过小时，可分别采用缩小或 放大的比例。无论是缩小还是放大，在标注尺寸时，
1.1.1 图纸幅面及格式（GB/T14689—93）
1. 图纸幅面 由图纸的长边和短边尺寸所确定的图纸大小为图 纸幅面。在绘制图样时，应优先采用表 1―1 中所规定 的基本幅面尺寸。
表1―1 基本幅面尺寸及周边尺寸
2. 图框格式
表示一张图幅大小的框线，称为图纸的边框线， 用细实线绘制。在边框线里面，根据不同的周边尺寸， 用粗实线绘制图框线。需要装订的图样，其图框格式 如图 1―1 所示。不需装订的图样，其图框格式如图 1―2所示。
图1―13 斜度
图1―14 锥度
1.3.3 圆弧连接
工程上的一些构件或零件，其几何形状一般是由 具有规则或光滑的轮廓所构成。这种光滑的构件，大 都是由曲线和直线、曲线和曲线光滑连接而成，在工 程制图中，称之为圆弧连接，其连接的关键在于相切， 连接点在切点上。
掌握圆弧连接的画法是画图的基本技能之一，要
表1―4 图线的画法
பைடு நூலகம்
1.1.5 尺寸标注
1.标注尺寸的基本规则 图样中的视图只能表示机体的形状，只有标注了 尺寸后才能反映出机体的大小。在标注尺寸时，必须 遵守国家标准，才能使图样完整、清晰。标注尺寸的 基本规则如下： (1）机体的真实大小应以图样中所标注的尺寸数值 为依据，与图形的大小及绘图的准确度无关。
图1―1 需要装订边的图框格式
图1―2 不需要装订边的图框格式
3. 标题栏的方位与格式
所有的图样都应有标题栏，标题栏一般画在图纸 的右下角，如图1―1和图1-2所示的方位配置；也可按 图 1―3 所示的方位配置。标题栏中的文字方向应与读 图方向一致。
图1―3 标题栏的另一种方位配置
图1―4 标题栏的标准格式
3.字体书写示例
1.1.4图线
1. 图线的名称、型式、宽度及主要用途 国标中对各种图线的画法及应用作出了明确的规 定，列于表1―3。
表1―3 图线的型式及应用
2. 图线的画法
在同一图样中，同类图线的宽度应基本保持一致， 虚线、细实线、双点划线的线段长度和间隔，也应各 自大致相等。 具体绘制图样时，其注意事项可参考表1―4。
2.汉字
字体高度用 h 来表示，其公称尺寸序列 1.8 ， 2.5 ， 3.5，5，7，10，14，20mm。高度大于20mm的字体其 尺寸按2 比率递增，字体的高度代表字体的号数（如10 号字h=10mm）。字母分为A型和B型，A型字体d=h/14， B 型字体 d=h/10 （ d 为笔划宽度）。在同一图样中应采 用同一型号的字体，字体和数字可写成斜体或直体， 斜体字体向右倾斜与水平方向成75度。
。
图1―6为同一机件采用不同比例所画出的图形：
图1―6 图样的不同比例
1.1.3 字体（GB/T14691-93）
1.字体书写的基本规定 工程图样中，除了图形外，还要用汉字、数字、 字母等来标注尺寸和说明设计、制造、装配时的各项 要求。在图样中书写汉字、数字、字母时，必须做到：
字体工整、笔划清楚、间隔均匀、排列整齐。
1.3 几何作图
工程图样都是由一些直线、圆、圆弧和其它曲线 组合而成。为此必须掌握它们的基本作图方法，做到 作图熟练、准确、工整。 1.3.1 等分圆周作内接正多边形 利用基本的绘图工具可作出不同的正多边形，其
作图方法和步骤见表1―7。
表1―7 圆内接正多边形
1.3.2 斜度和锥度
斜度是指一直线（或平面）对另一直线（或平面） 的倾斜程度，其大小用两直线（或平面）间夹角的正 切值来表示，工程制图中常用 1∶n 的形式来表示。斜 度的定义、符号及标注见图1―13。 锥度是指正圆锥的底圆直径与其高度之比，工程 制图中常用 1∶n 的形式来表示。锥度的定义、符号及 标注见图1―14。
(2）图样中的尺寸以毫米为计量单位，不需标出尺
寸单位的代号或名称，如果采用其它计量单位时，则 必须注明相应单位的代号或名称，如米（ m ）、厘米
（cm）、度（°）等。
(3）图样中所标注的尺寸，为该图样所示机体的最 后完工尺寸，否则应另加说明。 (4）机体中每一要素的尺寸，一般只标注一次，并 应标注在反映该要素最清晰的视图处。
做到圆弧连接准确、光滑，必须掌握圆弧连接的方法 和步骤。其作图步骤归纳如下：
(1）求出连接圆弧的圆心。
(2）确定切点的位置。 (3）画出所连接的圆弧。 各种圆弧连接的作图方法和步骤见表1―8。
表1―8 圆弧连接的作图方法和步骤
1.3.4 非圆曲线——椭圆
椭圆是工程中常见的非圆曲线，画椭圆时常用几 段圆弧连接而成来代替理论上的椭圆，这样作图简便， 形状也与椭圆大致相似。图1―15介绍了已知长短轴用 四心圆法作近似椭圆。
第1章 制图的基本知识和技能
1.1 技术制图的有关规定 1.2 绘图工具及其使用 1.3 几何作图 1.4 平面图形分析
1.1 技术制图的有关规定
工程图样是工程技术界的共同语言，为了便于进行 技术交流和指导生产，必须有一个统一的规定。为此， 我国在1959年颁布了国家标准《机械制图》，对图样作 了统一的规定。之后，国家标准又作了几次修订。因此， 每个工程技术人员必须了解和掌握这些规定。
图1―15 用四心圆法作近似椭圆
1.4 平面图形分析
平面图形是由几何图形和一些线段组成。分析平 面图形是根据图形形状和尺寸来分析各几何图形和线 段的形状、大小和它们的相对位置，从而可帮助画图、 读图。 1.4.1 平面图形的尺寸分析
2. 尺寸的组成与注法
组成尺寸有四个要素，它包括尺寸数字、尺寸线、 箭头、尺寸界线，其标注方法见表1―5。
1.2 绘图工具及其使用
常用的绘图工具有图板、丁字尺、三角板、圆规、 分规、铅笔等。正确地掌握和使用绘图工具和仪器， 可提高绘图速度，保证绘图质量。常用工具及使用见 表1―6。
表1―6 常用的绘图工具