数列基础知识归纳.docx

必修 5数列础知识归纳

数列的定义

数列的概念数列的分类

数列的性质

等差数列与等比数列的概念

等差数列与等比数列等差数列与等比数列的性质

等差数列与等比数列的基本运算数列

倒序相加

错位相减

数列的求和

裂项相消

其他方法

数列应用

一、数列的有关概念：

1．数列的定：按一定次序排列的一列数叫做数列．

(1)数列中的每个数都叫个数列的．作 a n，在数列第一个位置的叫第 1 ( 或首 ) ，在第二个

位置的叫第 2 ，⋯，序号 n 的叫第 n ( 也叫通 ) ，作a n．

(2)数列的一般形式： a1，a2， a3，⋯， a n，⋯，作 { a n} ．

2．通公式的定：如果数列{ a n} 的第 n 与 n 之的关系可以用一个公式表示，那么个公式就叫个数列的通公式．

f ( n) 表示数列的通公式；

明： (1) { a } 表示数列， a 表示数列中的第 n ， a =

n n n

(2) 同一个数列的通公式的形式不一定唯一．例如，= (1)n=1,n2k 1；

(k Z)

a n

1,n2k

(3)不是每个数列都有通公式．例如， 1，，，，⋯．

(4)从函数点看，数列上是定域正整数集N*( 或它的有限子集) 的函数

f n，当自量 n 从

1开始依次取的一系列函数f(1)，f(2)，f(3)，⋯，f( )n ，其象是一群孤立的点．

n，⋯．通常用 a n来代替 f

( )( )

3．数列的分：

(1)按数列数是有限是无限分：有数列和无数列；

(2)按数列与之的大小关系分：数列 ( 增数列、减数列 ) 、常数列和数列．

4．推公式的定：如果已知数列{ a n} 的第 1 ( 或前几 ) ，且任一 a n与它的前一

a 1 (或前几)的关系可以用一个公式来表示，那么个公式就叫做个数列的

n

推公式．

．数列a n的前 n 和的定： S n a1a2a3⋯a n n a k称数列a n的前 n 和．要{=+++={

5}+}

k1

理解 S n与 a n之的关系．

6．等差数列的定：

一般地，如果一个数列从第 2 起，每一与它的前一的差等于同一个常数，那么

．．．．．．个数列就叫等差数列，个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示．即： { a n} 等比数列 a n + 1 a n = d 2 a n + 1 = a n + a n + 2 a n = kn + b S n = An2 + Bn．

7．等比数列的定：

一般地，如果一个数列从第 2 起，每一与它的前一的比等于同一个常数，那么

．．．．．．个数列就叫做等比数列，个常数叫做等比数列的公比．公比通常用字母q 表示 ( q

0) ，即： { a n } 等比数列a n + 1：a n = q ( q0)2a n a n 2 ．

a n 1

注意条件“从第 2 起”、“常数” q．由定可知：等比数列的公比和都不零．

二、等差、等比数列的性：AP等比数列GP

等差数列((

)

a n = a1q n1 ( a1)

通公式a n =a1 + ( n1)d0 ， q0)

n(a1a n )n(n 1) d na1 , q1,

前 n 和S n na1S n a1 (1 q n )

1.

221q, q

a n a m n m d①a n

①=+ (=a m q n m

)

②m + n = s + t ， a m + a n = a s②m + n = s + t ， a m a n = a s

+ a t a t

性③S m， S2m S m， S3m S2m，⋯成③S m，S2m S m， S3m S2m，⋯成 GP

AP( q 1 或 m不偶数 )

④a k， a k + m，a k +2m，⋯成AP，d④a k，a k + m， a k + 2m，⋯成 GP，q= q m

= md

注： 1．等差 ( 等比 ) 数列 { a n } 的任意等距离的构成的数列仍等差( 等比 ) 数列．d，a

．三个数成等差的法： a d， a，a

+d；四个数成等差的法：a3d，a

2

+ d，

a + 3d； a q，a，aq；四个数成等比的法： a q3，a q，aq，aq3

．三个数成等比的法：

(

3///什么？ )

4．{ a n} 等差数列，c a n( c > 0)是等比数列．是等差数列．

．b n

} (b n> 0) 是等比数列， {log c b n} (c> 0且 c1)

5 {d，a

n是常数列；

．公差 d 的等差数列

{a n中，若 d，{a n是增数列；若

6d，}> 0}= 0{}若< 0a n是减数列．

{}

7．等比数列 { a n} 中，若公比 q，

(1)当 a1 > 0， q > 1或 a1 < 0， 0 < q < 1增数列；(2)当 a1 < 0， q > 1

或a1 > 0 ，0 < q < 1 减数列；

(3)当q < 0数列；(4)当q = 1常数列．8．等差数列前 n 和最的求法：

(1) a 1 > 0 ， d < 0 ， S n有最大； a1 < 0 ， d > 0 ， S n有最小．

(2)S n最的求法：

①若已知 S n，可用二次函数最的求法( nN*) ；

②若已知 a n， S n取最 n 的 ( n N*) 可如下确定： S n最大a

n

( 或 S n最

a n 10

小a

n

0 ) ．

a n 10