伪度量空间的紧致性分析
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第３ ２卷
第 ２期
数 学 理 论 与 应 用
ＭＡＴＨＥＭＡＴ ＣＡＬ Ｔ ＯＲＹ Ｉ ＨＥ ＡＮＤ ＡＰＰ Ｉ ＡＴ１ ＬＣ ０ＮＳ
Ｖ０ ． ２ Ｎｏ ２ １３ ．
２１ ０ ２年 ６月
Ｊ ｎ ０１ ｕ ．２ ２
伪 度 量 空 间 的紧 致性 分 析
王小 娟
（ 疆机 电职 业技 术 学院 ， 新 鸟鲁木 齐，３０ １ ８０ １wk.baidu.com）
由 ［ ］ ｄ Ａ， １ ， （ ）为 的连 续 函数 ．
定 子 的 径 ：（） ｆ， ｔ 义 集 直 为 ｄＡ ： ０Ａ＝ ， ｐ
０≤ ｄ ，）≤ ｄ ， ）＋ｄ ，） ＝０ （ （ Ｙ （ ， ，
于是 是 （ ｄ 上的等价关系． ，）
依 将 分类 ， 导 可ｉ 商空间 Ｘ’＝Ｘ Ｒ 记 上的等价类为 ， ／， 定义
ｄ’ ’ Ｙ ）＝ｄ ｘ ｙ 则 有 ： （ ，‘ （ ，）， ｉ ‘ ’ Ｙ ）＝０ ’＝Ｙ ）ｄ （ ， ‘ ‘；
Ａ ｓｒｃ Ｏ ｏ ｐｃ ｐｅｄ ｂｔａ ｔ ｎａｃｍ ａｔ ｓｕｏ— ｍ ｔｃｓａｅ（ ｅ ｐｃ Ｘ，ｄ ， ｅｓｍ ｒ ｅ ｅｒ ｅａｔ ｏｃ ｓ ｎ ｆｔ ｏ ｐｃ ｉ ｒ ） ｗ ｕ ｍａ ｚｄｔ ｅ ｖｎ ｎｌ ｉ ｓｏ ｅｃｍ ａｔ ｉ ｈ ｌ ｃ ｕｏ ｈ
则称 ｄ为伪距 离 （ｓｕｏ— ｉａｃ ）称 （ ｄ ｐｅｄ ｄｓ ｎｅ ， Ｘ，）为伪 度量 空 （ｓｕｏ—ｍ ｔｃｓａｅ ， ａ ｘＹ ｔ ｐｅｄ ｅ ｉ ｐｃ） 称 （ ，） ｒ
收稿 日期 ：０ ２年 ３月 ２ ２１ ０日
４ ８
数学理论 与应用
为 从 到 Ｙ的距离 ，Ｖ Ｙ∈Ｘ，由伪 度量定 义 ， ， 有结论 ：
２ 伪 度 量 与伪 度 量 空 间
先叙述一下伪度量空间中的距离及伪度量． 设 ≠ ， Ｘ×Ｘ上的实值函数 ， ｄＸ×Ｘ— Ｒ． ｄ ｄ为 即 ： 若 满足 ：
１ ｄ ， ＝０， ∈Ｘ ； ） （ ） Ｖ
２ （ ， ）≤ ａ ｘ ｚ ）ａ ｘ Ｙ （ ，）＋ｄ ｙ ｚ ， ， ， ∈Ｘ． （ ，） Ｖｘ ｙ
摘 要 在 紧的伪度 量空间 （ ｄ Ｘ，）上 ， 讨论 了 Ｘ的任 意开覆 盖存在 Ｌｂｓｖ 数这一 问题 ， ｅ ｅｇｅ 总结 了实空间和拓
伪度量 度量 紧致 开覆 盖
扑 空间中紧致性 的相 关结论 ， 并在伪度量 空间中作 了一 些简单 的推 广应 用．
关键词
Ａｎａｙ ｉ ｆｔ ｅ Ｐｓ ｕ ｏ —ｍ ｅｒｃ Ｓ ａ ｅ ｏ ｍ ｐ ｃ ｏ ｅ ｔｅ ｌ ｓｓｏ ｈ ｅ ｄ — ｔ ｉ ｐ ｃ ｆＣｏ ａ ｔＰｒ ｐ ｒｉｓ
１ 引言
数 学分 析 中 的极 限理 论 的精髓 是有 限覆 盖定 理 ， 指 出闭 区 间 ［ ，］的 任意 开覆 盖 存 在 它 口ｂ
有限子覆盖． 在闭区间上定义的连续 函数必有界 ， 且能取得最值 ； 闭区间上的连续函数必一致
连续 等 ． 本文 就这 些性 质在 伪度 量空 间 中简单 推广应 用 ， 主要 结论见 命题 ３ ６、． 、 ８
ＷａｇＸａｊａ ｎ ｉｏ ｎ ｕ
（ ｉ ｉｎ ｓｔ ｅｏ ｅｈｎｃ ｎ ｌ ｔ ｎｃ ｅｈ ｏ ｇ ，Ｕｕ ｑ Ｘｎｉ ｇ８０ １ ） Ｘ ｎ ａｇＩ ｔｕ ｆ ｃ ａｉ ａｄＥｅ ｒ ｉ Ｔ ｃ ｎｌ ｙ ｒｍ ｉ ｉｊ ｎ ３ ０ ｊ ｎ ｉｔ Ｍ ｓ ｃｏ ｓ ｏ ａ １
事实上 ， ｄ （ ， ） ＝０则 ｄ ｘＹ 若 ’ ’Ｙ （ ，）＝０ 即 。 ＝Ｙ ， ‘
若 ’＝Ｙ ， ｄ ，）＝０ 于是 ｄ （ 。Ｙ ）＝０ ’则 （ Ｙ ， ‘ ， ．
ｉ ｄ （ ，‘ ｉ ’ 。 Ｙ ）≤ ｄ （ ，’ ） ’ ’ ）＋ｄ’ Ｙ ，’ ， ’ Ｙ ，‘∈Ｘ’ （ ‘ｚ ） Ｖ ， ’ ． 事实 上 ， ‘ ， ）＝ｄ ， ）≤ ｄ ，）＋ｄ ｙ ： ＝ｄ ’ ｚ ）＋ｄ’ Ｙ ） ｄ（ Ｙ （ Ｙ （ ｚ （ ，） （ ，’ （ ， ‘ 于是 ｒ 是度量 空 间．
ｐ ｏ ｅ ｔ ｓ ｏ ｅ ｅ ａ ｏ ｏ ｏ ｉ ａ ｐ ｃ ｎ ｔ ｃ ｓ ａ ｅ ｉ ｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ｎ ｄ ｄ ｓ ｕ ｓ ｄ ｔ ｅ ｃ ｍｐ ｃ ｒ ｐ ｒｉｓ ｏ ｅ ｒ ｐ ｒｉ ｆｇ ｎ ｒ ｌｔｐ ｌ ｇｃ ｌ ｓ ａ ｅ ａ ｄ ｍｅｒ ｐ ｃ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ，ａ ｉ ｓｅ ｈ ｏ ａ ｔｐ ｏ ｅ ｔ ｆｔ ｅ ｉ ｃ ｅ ｈ ｐｅｄ ｓ ｕ ｏ—ｍｅｉ ｐ ｃ ． ｔ ｓ ａ ｅ ｃ Ｋｅ ｒ ｓ Ｃｏ ａ ｔＰ ｏ ｅ ｔ Ｍｅｒ Ｐ ｅ ｄ ｙ ｗｏ ｄ ｍｐ ｃ ｒ ｐ ｒ ｙ ｔｃ ｉ ｓ ｕ ｏ—Ｍｅ ｉ Ｏｐ ｎ ｏ ｅ ｎ ｔ ｃ ｅ ｃｖ ｒ ｇ ｉ
命题 １ 度量空间总是某个伪度量空间的商空间， 度量空间可 以看作伪度量空间的一个
特例．
证： （ ｄ 设 ，）是 伪度 量空 间 ， 定义 关 系 Ｒ为 ：
ｉ ∈Ｘ，Ｒ ）Ｖ ｘ ｘ；
＝ｄ ，）＝０ 有 （ Ｙ ．则
ｉ ， Ｘ， ｘ ｙ 则 有 ｙ ｘ； ｉ ）Ｖ Ｙ∈ 若 Ｒ， Ｒ ｉ） ｘ ｙ ｙｚ 必有 ｘｚ． ｉ 若 Ｒ ，Ｒ ， ｉ Ｒ 事实 上 ， ｄ ｙｚ 由 （ ，）＝０可 得 ｄ ｚＹ （，）＝０ 再 由 ｄ ｘ Ｙ ， （ ，）＝０及 伪度 量公理 ２ 可得 ）
设 ｒ＞０ 记 Ｂ ｘｒ ， （， ）＝ ｛： （ ，）＜ｒ 为 以 为心 ， 为半径的开球 ， ｓ ｘ ｒ ｙｄ ｘＹ ｝ ｒ 称 （ ，）＝ ｛ ： ） ， ｄ Ｙ （ ，）≤ｒ 为以 为心 ， 为半径的闭球． ｝ ｒ 定义点 到子集 Ａ的距离为 ： （ ，）＝ｉ ｛ （ ，））∈Ａ ． ｄ Ａ ｎ ａｘＹ ： ｆ ， ｝
第 ２期
数 学 理 论 与 应 用
ＭＡＴＨＥＭＡＴ ＣＡＬ Ｔ ＯＲＹ Ｉ ＨＥ ＡＮＤ ＡＰＰ Ｉ ＡＴ１ ＬＣ ０ＮＳ
Ｖ０ ． ２ Ｎｏ ２ １３ ．
２１ ０ ２年 ６月
Ｊ ｎ ０１ ｕ ．２ ２
伪 度 量 空 间 的紧 致性 分 析
王小 娟
（ 疆机 电职 业技 术 学院 ， 新 鸟鲁木 齐，３０ １ ８０ １wk.baidu.com）
由 ［ ］ ｄ Ａ， １ ， （ ）为 的连 续 函数 ．
定 子 的 径 ：（） ｆ， ｔ 义 集 直 为 ｄＡ ： ０Ａ＝ ， ｐ
０≤ ｄ ，）≤ ｄ ， ）＋ｄ ，） ＝０ （ （ Ｙ （ ， ，
于是 是 （ ｄ 上的等价关系． ，）
依 将 分类 ， 导 可ｉ 商空间 Ｘ’＝Ｘ Ｒ 记 上的等价类为 ， ／， 定义
ｄ’ ’ Ｙ ）＝ｄ ｘ ｙ 则 有 ： （ ，‘ （ ，）， ｉ ‘ ’ Ｙ ）＝０ ’＝Ｙ ）ｄ （ ， ‘ ‘；
Ａ ｓｒｃ Ｏ ｏ ｐｃ ｐｅｄ ｂｔａ ｔ ｎａｃｍ ａｔ ｓｕｏ— ｍ ｔｃｓａｅ（ ｅ ｐｃ Ｘ，ｄ ， ｅｓｍ ｒ ｅ ｅｒ ｅａｔ ｏｃ ｓ ｎ ｆｔ ｏ ｐｃ ｉ ｒ ） ｗ ｕ ｍａ ｚｄｔ ｅ ｖｎ ｎｌ ｉ ｓｏ ｅｃｍ ａｔ ｉ ｈ ｌ ｃ ｕｏ ｈ
则称 ｄ为伪距 离 （ｓｕｏ— ｉａｃ ）称 （ ｄ ｐｅｄ ｄｓ ｎｅ ， Ｘ，）为伪 度量 空 （ｓｕｏ—ｍ ｔｃｓａｅ ， ａ ｘＹ ｔ ｐｅｄ ｅ ｉ ｐｃ） 称 （ ，） ｒ
收稿 日期 ：０ ２年 ３月 ２ ２１ ０日
４ ８
数学理论 与应用
为 从 到 Ｙ的距离 ，Ｖ Ｙ∈Ｘ，由伪 度量定 义 ， ， 有结论 ：
２ 伪 度 量 与伪 度 量 空 间
先叙述一下伪度量空间中的距离及伪度量． 设 ≠ ， Ｘ×Ｘ上的实值函数 ， ｄＸ×Ｘ— Ｒ． ｄ ｄ为 即 ： 若 满足 ：
１ ｄ ， ＝０， ∈Ｘ ； ） （ ） Ｖ
２ （ ， ）≤ ａ ｘ ｚ ）ａ ｘ Ｙ （ ，）＋ｄ ｙ ｚ ， ， ， ∈Ｘ． （ ，） Ｖｘ ｙ
摘 要 在 紧的伪度 量空间 （ ｄ Ｘ，）上 ， 讨论 了 Ｘ的任 意开覆 盖存在 Ｌｂｓｖ 数这一 问题 ， ｅ ｅｇｅ 总结 了实空间和拓
伪度量 度量 紧致 开覆 盖
扑 空间中紧致性 的相 关结论 ， 并在伪度量 空间中作 了一 些简单 的推 广应 用．
关键词
Ａｎａｙ ｉ ｆｔ ｅ Ｐｓ ｕ ｏ —ｍ ｅｒｃ Ｓ ａ ｅ ｏ ｍ ｐ ｃ ｏ ｅ ｔｅ ｌ ｓｓｏ ｈ ｅ ｄ — ｔ ｉ ｐ ｃ ｆＣｏ ａ ｔＰｒ ｐ ｒｉｓ
１ 引言
数 学分 析 中 的极 限理 论 的精髓 是有 限覆 盖定 理 ， 指 出闭 区 间 ［ ，］的 任意 开覆 盖 存 在 它 口ｂ
有限子覆盖． 在闭区间上定义的连续 函数必有界 ， 且能取得最值 ； 闭区间上的连续函数必一致
连续 等 ． 本文 就这 些性 质在 伪度 量空 间 中简单 推广应 用 ， 主要 结论见 命题 ３ ６、． 、 ８
ＷａｇＸａｊａ ｎ ｉｏ ｎ ｕ
（ ｉ ｉｎ ｓｔ ｅｏ ｅｈｎｃ ｎ ｌ ｔ ｎｃ ｅｈ ｏ ｇ ，Ｕｕ ｑ Ｘｎｉ ｇ８０ １ ） Ｘ ｎ ａｇＩ ｔｕ ｆ ｃ ａｉ ａｄＥｅ ｒ ｉ Ｔ ｃ ｎｌ ｙ ｒｍ ｉ ｉｊ ｎ ３ ０ ｊ ｎ ｉｔ Ｍ ｓ ｃｏ ｓ ｏ ａ １
事实上 ， ｄ （ ， ） ＝０则 ｄ ｘＹ 若 ’ ’Ｙ （ ，）＝０ 即 。 ＝Ｙ ， ‘
若 ’＝Ｙ ， ｄ ，）＝０ 于是 ｄ （ 。Ｙ ）＝０ ’则 （ Ｙ ， ‘ ， ．
ｉ ｄ （ ，‘ ｉ ’ 。 Ｙ ）≤ ｄ （ ，’ ） ’ ’ ）＋ｄ’ Ｙ ，’ ， ’ Ｙ ，‘∈Ｘ’ （ ‘ｚ ） Ｖ ， ’ ． 事实 上 ， ‘ ， ）＝ｄ ， ）≤ ｄ ，）＋ｄ ｙ ： ＝ｄ ’ ｚ ）＋ｄ’ Ｙ ） ｄ（ Ｙ （ Ｙ （ ｚ （ ，） （ ，’ （ ， ‘ 于是 ｒ 是度量 空 间．
ｐ ｏ ｅ ｔ ｓ ｏ ｅ ｅ ａ ｏ ｏ ｏ ｉ ａ ｐ ｃ ｎ ｔ ｃ ｓ ａ ｅ ｉ ｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ｎ ｄ ｄ ｓ ｕ ｓ ｄ ｔ ｅ ｃ ｍｐ ｃ ｒ ｐ ｒｉｓ ｏ ｅ ｒ ｐ ｒｉ ｆｇ ｎ ｒ ｌｔｐ ｌ ｇｃ ｌ ｓ ａ ｅ ａ ｄ ｍｅｒ ｐ ｃ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ，ａ ｉ ｓｅ ｈ ｏ ａ ｔｐ ｏ ｅ ｔ ｆｔ ｅ ｉ ｃ ｅ ｈ ｐｅｄ ｓ ｕ ｏ—ｍｅｉ ｐ ｃ ． ｔ ｓ ａ ｅ ｃ Ｋｅ ｒ ｓ Ｃｏ ａ ｔＰ ｏ ｅ ｔ Ｍｅｒ Ｐ ｅ ｄ ｙ ｗｏ ｄ ｍｐ ｃ ｒ ｐ ｒ ｙ ｔｃ ｉ ｓ ｕ ｏ—Ｍｅ ｉ Ｏｐ ｎ ｏ ｅ ｎ ｔ ｃ ｅ ｃｖ ｒ ｇ ｉ
命题 １ 度量空间总是某个伪度量空间的商空间， 度量空间可 以看作伪度量空间的一个
特例．
证： （ ｄ 设 ，）是 伪度 量空 间 ， 定义 关 系 Ｒ为 ：
ｉ ∈Ｘ，Ｒ ）Ｖ ｘ ｘ；
＝ｄ ，）＝０ 有 （ Ｙ ．则
ｉ ， Ｘ， ｘ ｙ 则 有 ｙ ｘ； ｉ ）Ｖ Ｙ∈ 若 Ｒ， Ｒ ｉ） ｘ ｙ ｙｚ 必有 ｘｚ． ｉ 若 Ｒ ，Ｒ ， ｉ Ｒ 事实 上 ， ｄ ｙｚ 由 （ ，）＝０可 得 ｄ ｚＹ （，）＝０ 再 由 ｄ ｘ Ｙ ， （ ，）＝０及 伪度 量公理 ２ 可得 ）
设 ｒ＞０ 记 Ｂ ｘｒ ， （， ）＝ ｛： （ ，）＜ｒ 为 以 为心 ， 为半径的开球 ， ｓ ｘ ｒ ｙｄ ｘＹ ｝ ｒ 称 （ ，）＝ ｛ ： ） ， ｄ Ｙ （ ，）≤ｒ 为以 为心 ， 为半径的闭球． ｝ ｒ 定义点 到子集 Ａ的距离为 ： （ ，）＝ｉ ｛ （ ，））∈Ａ ． ｄ Ａ ｎ ａｘＹ ： ｆ ， ｝