初中数学三角函数难题

1．已知等边△ABC 内接于⊙O，点D 是⊙O 上任意一点，则sin∠ADB 的值为（）

A．1 B．C．D．

2．在Rt△ABC 中，∠C=90°，BD 是△ABC 的角平分线，将△BCD 沿着直线BD 折叠，点C落在点C1处，如果AB=5，AC=4，那么sin∠ADC1的值是3．观察下列等式

根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）= ．

4．有四个命题：

①若45°cosa；②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；

③已知x1，x2是关于x 的方程2x2+px+p+1=0 的两根，则x1+x2+x1x2 的值是负数；④某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过 2 小时它由 1 个分裂为16 个．

其中正确命题的序号是（注：把所有正确命题的序号都填上）．5．如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y 轴上点C 反射后经过点B（1，0），则光线从点A 到点 B 经过的路径长为．

①sin30°

=

②sin45°

=

cos60°=

cos45°=

cos30°=

6．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC：AC=3：4，则cosA=

度．

7．如果α 是锐角，且sin2α 十cos235°=1，那么α 8．因

为cos30°= ，cos210°=﹣，所以cos210°=cos（180°+30°）=﹣cos30°

因为cos45°= ，cos225°=﹣，所以cos225°=cos（180°+45°）=﹣cos45°﹣；

猜想：一般地，当 a 为锐角时，有cos（180°+a）=﹣cosa，由此可知

cos240°

的值等于．

9．在△ABC 中，已知sinA= ，cosB= ，则∠C= ．

10．在△ABC 中，（tanC﹣1）2+| ﹣2cosB|=0，则∠A= ．

11．若α、β 均为锐角，则以下有4 个命题：①若sinα

②若α+β=90°，则sinα=cosβ；③存在一个角α，使sinα=1.02；④tanα=

．其中正确命题的序号是．（多填或错填得0 分，少填的酌情给

分）

12．附加题：如图，在Rt△ABC 中，BC、AC、AB 三边的长分别为a、b、c，则

sinA= ，cosA= ，tanA= ．我们不难发现：sin260°+cos260°=1，…试探求

sinA、

cosA、tanA 之间存在的一般关系，并说明理由．

13．对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°﹣α），cosα=﹣cos（180°﹣α）

1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；

（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B 是这个三角形的两个顶点，

sinA，cosB 是方程4x2﹣mx﹣1=0 的两个不相等的实数根，求m 的值及∠A 和∠B 的大小．

14．如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4 ，∠B=45°．动点M 从 B 点出发沿线段BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1 个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t

秒．

1）求BC 的长；

2）当MN∥AB时，求t的值；

3）试探究：t 为何值时，△MNC 为等腰三角形．

15．如图，从热气球C 上测得两建筑物A、B 底部的俯角分别为30°和60 度．如果这时气球的高度CD 为90 米．且点A、D、B 在同一直线上，求建筑物A、B 间的距离．

16．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B 船在A 船的正东方向，且两船保持20 海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在 A 的东北方向，B 的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船 C 与船 B 的距离是多少．（结果保留根号

1．已知等边△ABC 内接于⊙O，点D 是⊙O 上任意一点，则sin∠ADB 的值为（）

A．1 B．C．D．

【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB=60°．

∵∠ADB 与∠ACB 是同弧所对的圆周角，

∴∠ADB=60°．

∴sin∠ADB=sin60°=

故选C．

2．（2013•崇明县一模）在Rt△ABC 中，∠C=90°，BD 是△ABC 的角平分线，将△BCD 沿着直线BD 折叠，点C 落在点C1 处，如果AB=5，AC=4，那么sin∠ADC1 的值是．

【解答】解：∵∠C=90°，BD 是△ABC 的角平分线，

∵将△BCD 沿着直线BD 折叠，∴C1 点恰好在斜边AB 上，

∴∠DC1A=90°，∴∠ADC1=∠ABC，∵AB=5，AC=4，

∴sin∠ADC1= ．

故答案为：．

3．（ 2012•衡阳）观察下列等式

根据上述规律，计算 sin 2a+sin 2（90°﹣a ）= 1 ． 【解答】解：由题意得，sin 230°+sin 2（90°﹣30°）=1； sin 245°+sin 2（90°﹣45°）=1；

sin 260°+sin 2（90°﹣60°）=1；

故可得 sin 2a+sin 2（90°﹣a ）=1．

故答案为：1．

4．（ 2010•防城港）有四个命题：

① 若 45°cosa ； ②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；

③ 已知 x 1，x 2是关于 x 的方程 2x 2+px+p+1=0 的两根，则 x 1+x 2+x 1x 2 的值是负数； ④某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过 2 小时它由 1 个分裂为 16 个．

其中正确命题的序号是 ①④ （注：把所有正确命题的序号都填上）． 【解答】解：①因为 sin45°=cos45°= ，再结合锐角三角函数的变化规律，故 此选项正确； ②不一定能够判定两个三角形全等，故此选项错误； ③根据根与系数的关系，得 x 1+x 2=﹣ ，x 1x 2= ．

① sin30°

=

② sin45°

=

cos60°= cos45°= cos30°=