质点系角动量

o
r
r
m

p
p
o
* 质点对某参考点的角动量反映质点绕该参 考点旋转运动的强弱。
*必须指明参考点，角动量才有实际意义。
5
角动量 转动 惯量
角动量 变化率 力矩
角动量 定理
角动量守 恒定律
空间旋转 对称性
刚体定轴转动定律
大到星系，小到基本粒子都有旋转运动； 微观粒子的角动量具有量子化特征； 角动量遵守守恒定律，与空间旋转对称性相对应。
6
质点系角动量
系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和
p L Li ri pi ri mi vi 1 i i r1 i ri rc ri 有'：对质心 rc vi vc vi 无'：对参考点 o
ex i i i
质点系角动量守恒定律
注意：①是矢量和守恒 ② (ri Fi ) 0 与 Fi 0 相互独立！
i
例1 猴子“抓”菠萝（等重） 猴爬绳能缩短与菠萝的距离吗？ 对猴子＋菠萝，对轮心： ) r Fi 0 ( ri Ti RT，反向
z L
r
x
o
m y
v
L r p r mv 大小 L rmv sin L 的方向符合右手法则
角动量单位：kg· m2· s- 1
L
v

r
4
设m作直线运动 以o为参考点：L 0 以o为参考点：L 0 若r、p大小相同，则： p ，L
m1
(不爬)
m2
(爬 )
m1= m2 把小孩看成质点， 以滑轮中心为“固定点”，
对“m1+m2 + 轻绳 + 滑轮”系统：
外力：
条件： M 外 0
m1 g , m2 g , N
所以角动量守恒 设两小孩
分别以
N R
0
速度上升。 v1,v2
R 0
设角动量以指向纸内为正。
12
质点的角动量定理
dL M dt
L
p
o
r
m
作用于质点的合外力对参考点 O 的力 矩，等于质点对该点 O 的角动量随时间的 变化率.
13
dL M dt
t1 M dt L2 L1 t2 冲量矩 M dt
t2
t1
对同一参考点O，质点所受的冲量矩 等于质点角动量的增量．——质点的角动 量定理
R 0
m2 g
m1 g
m1
v1 r1 r ∥
r ∥
r2
v2
m2
N R
0
R 0
R 0
L1 r1 P1 m1r1 v1 m1 ( R r11 ) v1 m1 R v1 （指向纸内） L m Rv 1 1 1 L2 r2 P2 m 2 r2 v 2 m 2 ( R r11 ) v 2 m 2 R v 2 （指向纸外） L2 m2 Rv 2
2 3
由题设条件积分上式

L
0
LdL m gR
2
3


0
cos d
12
得 L mR (2 g sin )
32
L mR
2
2g 12 ( sin ) R
19
例2 一质量为 m 的登月飞船，在离月 球表面高度 h 处绕月球作圆周运动．飞船采 用如下登月方式：当飞船位于点 A 时，它向 外侧短时间喷射出粒子流，使飞船与月球相 切地到达点 B , 且OA 与 OB 垂直．飞船所 喷气体相对飞船的速度为 u 1.00104 m s1 试问：登月飞船在登月过程中所需消耗燃料 的质量 m是多少?
C

由于该系统质心速度为零，所以，系统总动量为零， 系统有机械运动，总动量却为零？ 说明不宜使用动量来量度转动物体的机械运动量。
*引入与动量 p 对应的角量 L ——角动量（动量矩）
动量对参考点（或轴）求矩
3
质点的角动量
质量为 m 的质点以 速度 v 在空间运动，某 时对 O 的位矢为 r ，质 点对参考点O的角动量
20
解 设飞船在点 A 的速度 v0 , 月球质 量 mM ,由万有引力和 牛顿定律
2 0
vB
R
B
vA
v0
v
O A
u
v mM m G m h 2 ( R h) Rh mM g G 2 2 R R g 12 1 v0 ( ) 1 612 m s Rh
i
i
r
T
二者获得相等相反的角动量； 而动量相同！ Fi 0!
i
27
例2 轻质杆，端部固结一小球，另一小球以水 平速度碰杆中部，碰撞时间极短，后粘合。 已知：m1,m2 v0 l 求ω o 解： 选 m1 (含杆 ) m2 v
0
碰撞时重力和轴力都通过 o，对o力矩为零,故L守恒
质点(系)的角动量定理与角 动量守恒定律
1
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
质点运动
p mv
0, p 0
pi
0, p 0




pj
2
问题：将一绕通过质心的固定轴转动的圆 盘视为一个质点系，系统总动量为多少？
p总 MvC 0
M
24
1 mM m 1 mM m 2 2 mv A G mvB G 2 Rh 2 R mM mM 2 2 2G 即 v A vB 2G Rh R
vA 1 615 m s
2 A
1
于是 v (v v ) 而 (m)u mv
2 12 0
100 m s

L rc ri mi vi rc mi vi ri mi vc vi
i i i
pp i p i 2 cr i r2 mi ri
rc mi vi ri mi vc ri mi vi
d mr c dt 1 掠面： d S r ( r d ) 2 d S 1 2 d L
2
dθ 日
dS
开普勒第二定律： 万有引力定律得出 的依据之一（表明 r 常量 它是有心力！）。 16 d t 2 d t 2m
例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平 面内. 一质量为 m 的小 球穿在圆环上, 并可在 圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的 水平面上)，然后从 A 点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦力略 去不计．求小球滑到点 B 时对环心 O 的角 动量和角速度．
内 i i内 i i j i ij
总角动量
L Li
i
dL M dt
外
i i M M (r f ) 0 （为什么？）
质点系的 （对同一定点） 角动量定理 内力矩不改变系统的总角动量 26
Li c 二. 若 M (r F ) 0 ，则 i
【解】对小球, 实际 受力为 T , mg 在木板参考系中列“牛” 方程，还需加上惯性力
F惯 mg
T mg F惯 ma
mg
g
v
T mg
T mg mg ma T ma T ----向心力
22
质量 m' 在 A 点和 B 点只受有心力作用 , 角动量守恒
mv0 ( R h) mvB R 1 vB ( R h)v0 R 1 709 m s
飞船在 A点喷出气体后，在到达月球的 过程中，机械能守恒
1 mM m 1 mM m 2 2 mv A G mvB G 2 Rh 2 R
i i i
7
由
M mi
i
i
vc
mivi
i
第一项： rc mi vi rc Mvc
M
rc
mi ri
i
M
0
即将质点系全部质量集中于质心处的一个质点上， 该质点对参考点的角动量
描述质点系整体绕参考点的旋转运动： L轨道
第二项：
14
质点的角动量守恒定律
当
M 0，L
dL M dt
恒矢量
当质点所受对参考点Ｏ的合力矩为 零时，质点对该参考点Ｏ的角动量为一 恒矢量．——质点的角动量守恒定律
15
◆角动量守恒和开普勒第二定律
行星矢径的掠面速度=常量 行星受引力运动，对引力中心的角动量： v L r mv rmv r
1
m mv u 120 kg
25
质点系的角动量守恒定律
质点系的角动量定理
d Li dL d （ Li） dt dt i i dt （M i 外 M i内） M 外 M内 i M外 Mi外 ( ri Fi )
11
质点角动量推导
大小： r F rF sin Fd
方向：服从右手螺旋法则
dL r F dt
F
o
r
d

m
力矩
对参考点的力矩
定义： M r F
大小： Fd Fr sin 方向： 垂直于r 和F组成的平面 服从右手螺旋法则
ri mi vc mi ri vc Mrc vc 0
i i
质心对自己的位矢8
第三项： ri mi vi 各质点相对于质心角动量的矢量和
i
反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点的选择无关，
描述系统的内禀性质： L 自旋 于是 L rc Mv c ri mi vi L轨道 L 自旋
i
矢量 与固定点无关
与内力无关 守恒条件 Fi 0 i 如： F
Fi 0
i
i
矢量
与固定点有关
守恒条件 r F 0
i i i
与内力无关
F
ri Fi 0
思考：只有内力作用的质点系 守恒情况如何？ 本章结束
29
习题讨论
质点运动&牛顿力学
第1题.已知:两根竖直导轨上有一块木板,一个单 摆 悬挂 在木板上的小钉上。现使单摆摆动起来, 在小球未达其摆动最高点的某时刻移开支撑物, 让 木块自由下落(假设木板很重, 木板与导轨间 忽略摩擦,虽有小球摆动,仍认为木板以自由落体 加速度下落)。问:小球相对于木板 作什么运动?
a
----向心加速度
结论:小球相对木板作匀速率圆周运动！ （小球相对地面的运动是匀速率圆周运动 与自由落体运动的叠加）
第2题. 两个同样重的小孩，各抓着跨过滑轮 的轻绳的一端如图，他们起初都不动，然后 右边的小孩用力向上爬绳，另一个小孩仍抓 住绳子不动。忽略滑轮的质量和轴的摩擦。 问：百度文库一个小孩先到达滑轮？ 【解】 设滑轮半径为R，两小孩 的质量分别为m1、m2，
i
L自旋
L轨道
L
L轨道
L自旋
9
角动量 转动 惯量
角动量 变化率 力矩
角动量 定理
角动量守 恒定律
空间旋转 对称性
刚体定轴转动定律
大到星系，小到基本粒子都有旋转运动； 微观粒子的角动量具有量子化特征； 角动量遵守守恒定律，与空间旋转对称性相对应。
10
角动量的时间变化率 力矩
dp dL Lrp F， ？ dt dt dL d dp dr (r p) r p dt dt dt dt dL dp dr v，v p 0 r rF dt dt dt
l l l m2v0 lm1l m2 2 2 2
m2
l
m
1
2m 2 v 0 4m1 m2 l
存在水平轴力 由结果验算！
思考：对m1＋m2 为什么不用水平动量守恒？ 28
质点系动量与角动量对比： 动量
p m v
i i
i
角动量 L r p
i i
17
解 小球受力 P 、FN 作用, FN 的力矩为
零，重力矩垂直纸面向里
M mgRcos
由质点的角动量定理
dL mgR cos dt
dL mgRcos dt
18
考虑到 d dt , L mR v mR
2
得LdL m gR cosθ dθ