6.4+平面电磁波的能量传递

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第六章平面电磁波的传播

第六章平面电磁波的传播习题6.1已知自由空间中均匀平面电磁波的电场： y e x t E )210cos(37.738ππ-⨯=V/m ，求（1）电磁波的频率，速度，波长，相位常数，以及传播方向。

（2）该电磁波的磁场表达式。

（3）该电磁波的坡印廷矢量和坡印廷矢量的平均值。

题意分析：已知均匀平面电磁波的一个场量求解另一个场量，以及相关的参数，这是均匀平面波问题中经常遇到的问题。

求解问题的关键在于牢记均匀平面电磁波场量表达形式的基本特点，场矢量方向和波的传播方向之间的关系以及相关公式。

解：（1）求电磁波的频率，速度，波长，相位常数，以及传播方向沿x 轴正方向传播的电磁波的电场强度瞬时表达式为：y y y e x t E E )c o s (2φβω+-=电场表达式的特点有：电磁波角频率 8103⨯=πω （rad/s ）由f πω2=，可以得到电磁波的频率为： 8105.12⨯==πωf （Hz ）电磁波在自由空间的传播速度8103⨯==c v （m/s ）电磁波的波长λ满足式 fv vT ==λ 2105.110388=⨯⨯==∴f v λ（m ）相位常数： πβ2= （rad/m ）分析电磁波的传播方向：方法一：直接判断法比较均匀平面电磁波的电场表达式可以看出，均匀平面电磁波的电场表达式中x π2项前面的符号为“-”，该电磁波是沿x 轴正方向传播的电磁波。

方法二：分析法电场表达式是时间t 和坐标x 的函数，若要使E为不变的常矢量，就应使组合变量（x t ππ21038-⨯）在t 和x 变化时为一定值。

即，当时间变量t 变为t t ∆+，位置变量x 变为x x ∆+时，有下式成立：)(2)(103210388x x t t x t ∆+-∆+⨯=-⨯ππππ 由上式可得： t x ∆⨯=∆ππ21038这说明在电磁波的传播过程中，随着时间的增加（0>∆t ），使电场保持定值的点的坐标也在增加（0>∆x ），所以电磁波的传播方向是由近及远，沿x 轴正方向逐步远离原点。

6平面电磁波的传播

同理(2)两边取旋度，再代入(4)、(1)式，得
电磁波动方程
对于 E 或 H 的分量，用统一的标量符号 r ,t 表示，即将原问题转化成标量方程问题 2 2 2 0
t t
2 E E 2 E 2 0 t t
7.1.2 平面电磁波
在电磁波传播过程中某一时刻 t，E 或 H 相位相同的点构成的空间面称为等相
面或等波阵面。
等相面为平面的电磁波即平面电磁波。等相面上每一点 E 相同， H 也相同的平面电磁波：均匀平面电磁波。

设定直角坐标系，均匀平面电磁波的波阵面平行于yoz面，波阵面上E 或值处处相等，与坐 H 标 y 和 z 无关。即或仅仅是 t 和 x 的函数。 H E
(3)将 E y x ,t 代入⑥式
E y x

z
H z t
均匀平面波的传播特点：
x ,t 、H z x , t 沿 x 轴的正向行波：入射波； (1) E y
x ,t 、H z x , t 沿 x 轴的反向行波：反射波。 Ey
（2）波的传播速率
v 1

Cr r来自C n仅与媒质参数有关 C = 3×108 m/s n 为介质的折射率，n > 1，电磁波在理想介质中的传播速率小于在自由空间中的传播速率。
6.1电磁波动方程和平面电磁波
以波动形式存在的电磁场即电磁波。电磁波指电磁场的交互变化和伴随有电磁能量的传播。在空间电磁波不需借助任何媒质就能传播。
6.1.1 一般电磁波动方程
设空间为各向同性、线性、均匀媒质：ε、μ、γ，ρ= 0， E H E ………………(1) H 0 t

6平面电磁波的传播

x E y Z0 x H
z
为常数,则 E 和 H 同相。设初相角为，有瞬时值
E x，t 2 E y sin t x ey H x，t 2H zsint x ez
电场和磁场既是时间，又是空间坐标的周期函数。
均匀平面波的传播特点：
x ,t 、H z x , t 沿 x 轴的正向行波：入射波； (1) E y
x ,t 、H z x , t 沿 x 轴的反向行波：反射波。 Ey
（2）波的传播速率
v 1

C
r r

C n
仅与媒质参数有关 C = 3×108 m/s n 为介质的折射率，n > 1，电磁波在理想介质中的传播速率小于在自由空间中的传播速率。
t
， γ
(2) E 、 H 和波的传播方向三者相互垂直，且满足右手螺旋法则。 eE 、eH和 ev 分别表示 E 、 H 的方向和电磁波的传播方向，有
ev eE eH eE eH ev eH ev eE

同理(2)两边取旋度，再代入(4)、(1)式，得
电磁波动方程
对于 E 或 H 的分量，用统一的标量符号 r ,t 表示，即将原问题转化成标量方程问题 2 2 2 0
t t
2 E E 2 E 2 0 t t
H E t
J 0
………………(3)
………………(2)
E 0 ………………(4)
(1)式两端求旋度，将(2)式代入 H H 2 H 2 H H E E E t E t t 2 t 2 代入(3)式得 H H 2 H 2 0 t t

《平面电磁波》PPT课件

w E
1

B
2
2. 电磁场的能流密度平面电磁波的能流密度
2 S EH E n E E n 1 S wn vwn wv
v为电磁波在介质中的相速。由于能量密度和能流密度是场强的二次式，不能把场强的复数表示直接代入。
计算和S的瞬时值时，应把实数表示代入，得
E ( x, t ) E0 e
i kx t
其中x表示坐标原点到某等相位面的距离，kx即为
传播这一距离所对应的相位差。
对于任意方向传播的平面波
令 k 表示一个矢量，其大小
为 k ，方向沿平面波的传播
方向。则任意一点 P 与原点
之间的相位差应为kx’，即
kx kx cos k x
真空中
值如图所示．随着时间的推移，整个波形向x轴方向的移动速度为
vc
r r
四、电磁波的能量和能流
1. 电磁场的能量密度
1 1 2 1 2 w E D H B E B 2 2
对于平面电磁波情形
E
2
1

2
B
2
所以平面电磁波中，电场能量和磁场能量相等，有
it
， g (t ) g 0e
it i
是f(t)和 g(t)的相位差. fg对一周期的平均值为
fg 2

2

0
dtf0 cos t g 0 cost
1 1 f 0 g 0 cos Re f * g 2 2 式中f *表示f的复共轭，Re表示实数部分。由此，
所以，一般情况下的平面表示式为
E(x, t ) E0ei k x t

[工学]6第六章平面电磁波的传播

x Ex Ey
H x 0
t
结论
平面电磁波的传播
ez
0

E y x
ez

Ez x
ey

H t
Ez
磁场只有
Hx C 0
横向分量
均匀平面电磁波的电场和磁场没有和波传播方向一致的分量，只有垂直于传播方向的分量，称为横电磁波（TEM 波)。
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第六章
平面电磁波的传播

2 H j H 2 H 0

2 E j E 2 E 0
正弦稳态方程
2. 均匀平面波（Uniform Plane Wave）
电磁波传播过程中，对应每一时刻t，空间电磁场具有相同相位的点构成等相位面（波阵面）。等相位面为平面的电磁波称为平面电磁波，等相位面上每一点的场量均相同的平面电磁波称为均匀平面电磁波。
第六章
平面电磁波的传播
④ 传播的功率为
S (x,t) 2EH cos2 (t βx θ1)
S _ ( x, t) 2EH cos2 (t βx θ2 )
—

S

Ey
H
* z

(Ey
e jβx

E
y
e
jβx
)

(
H
z
e jβx

H
z
e jβx )*
Sav

Re(E y

Hz)

(
E
y
2
Z0

E
y
2

6-正弦均匀平面电磁波的传播

5
特性参数
波速
v 1

c
1
相位常数
k

v
0 0
3 108 m / s
Ex ( z, t ) Em cost kz
H y ( z, t )
Em
0 0 120 377 0 周期、频率 T 2 f 1 T 2
第6章正弦平面电磁波的传播
6.1 正弦均匀平面电磁波 6.2 平面电磁波在无限大理想介质中的传播 6.3 平面电磁波在无限大导电媒质中的传播 6.4 平面电磁波的极化 6.5 平面电磁波在有界媒质中的传播 ——垂直入射 6.6 平面电磁波在有界媒质中的传播 ——斜入射
1
6.1 均匀平面电磁波
等相面：波源经同一传播时间场量所到达的点形成的面叫做波阵面，相位相等，又称为等相位面。等幅面：幅度相等的面，又称为均匀波。平面波：等相面为平面的波。均匀平面波：场矢量只沿着传播方向变化，在与传播方向垂直的无限大平面内，场矢量的方向、振幅和相位保持不变。 TEM波(Transverse Electromagnetic Wave)
2
E
H
S
eS eE eH
z
9
入射波电场
E ( z)e E x x
2 E 0 E
2
波动方程 2 E 2 1 j E 0 d 2 Ex 2 Ex 0 1 j 2 dz 复传播常数
1
c 1 j
c c
复介电常数
x
1
1

入射波电场 Ex E0 e z e j z

第六章(修改)平面电磁波

导电媒质中的均匀平面波
正弦电磁波的波动方程复数形式为 & & d 2 Ey d 2Hz 2 2 & 2 & & =k E = ( jωµγ − ω µε )Ey = k Hz y , 2 2 dx dx 式中
γ k = ( jω ) µ( ε + ) = ( jω )2 µε ′ , jω
2
γ ε ′ = ε( 1 + ) jωε
传播常数，式中 k = jω µε = jβ ——传播常数，传播常数
β = ω / v ——波数、相位常数( rad / m ），波数、相位常数( 波数
λ = 2π / β
——波长（m）。波长（波长
其解
& &+ &− Ey = Ey e− jβx + Ey e jβx ,
& & & HZ = H z+e− jβx + H z−e jβx
——
复介电常数
用 k = α + jβ 和 ε ′ 分别替换理想介质中的 k 和 ε ，
& & & = E +e−kx + E −ekx = E +e−αxe− jβx + E −eαxe jβx & Ey & y y y y
& = H + e −αx e − jβx + H − eαx e jβx & Hz & z z
2 2
电磁波动方程
6.1.2 均匀平面波均匀平面波条件：均匀平面波条件：
∂ ∂ =0 , =0 ∂y ∂z
E = E(x, t), H = H(x, t)

平面电磁波的能量传递

t V 2
2
(E H)dS
S
V Jc EdV
单位时间体积V中电磁能量的减少量
单位时间流出体积表面的电磁能量
欧姆功率损耗
可见：(E H) 为单位面积上的功率密度。
令： S E H ——坡印廷矢量：流出单位面积的功率密度。
3、坡印廷矢量
S E H ——流出单位面积的功率密度。
（1）瞬时坡印廷矢量
上式两边在给定的体积V内积分：
t
(1 E2 1 H 2)dV
V2
2
(E H)dV
V
V E JcdV
由高斯定律得： (E H)dV (E H) dS
V
S
(1E2 1 H2)dV
t V 2
2
(E H)dS
S
V E JcdV
——坡印廷定理
坡印廷定理：
(1 E2 1 H 2)dV
H 1.5cos(109t 5y)aˆ A/m x
H 1 . 5 e j5 y aˆ A / m x
(7) 媒质中的平均功率密度是
S av
1 2
Re[E
H *]
H * 1 . 5 e j 5 y aˆx
Sav
1 2
3771.5[aˆz
aˆx]
282.75aˆ
y
W/m2
A/m
小结：
6.4 平面电磁波的能量传递
1、平面波的能量 2、坡印廷定理 3、坡印廷矢量
1、均匀平面波的能量
电场能量密度:
we
1 2
E2
磁场能量密度:
wm
1 2
H 2
电磁场中任意体积V 内储存的总电磁能量为：
W

大学物理第6章讲义平面电磁波

求：传播速度和波长；
波的频率；磁场强度；平均坡印廷矢量。
解：自由空间中，波以光速传播，所以
vp 3108(m/s)
波长为 2k6213(m)
2021/3/18
17
[例6-1]（续）
波的频率为
fc31 /1380918090(M 0 )Hz
电场强度的复振E幅矢 ax6量 0ej6z
磁H 场 1 0 a z E 强 1 12 a 度 z a 0 x 6e 0 j6 z a y 0 .5 e j6 z
vp
c n
电磁波在自由空间中传播的速度等于光速。
n rr 称为媒质的折射率(index of refraction)。
如果媒质中的相速与频率无关，这种媒质称为非色散媒质，否则称为色散媒质。均匀、线性各向同性无耗媒质一定是非色散媒质。
2021/3/18
10
(3) 波长与相位常数
在任意给定时刻，平面波波形随距离z按正弦规律变化。
t 表示随时间变化部分；
kz表示随空间距离变化部分；
0 表示场在 z=0、t=0的状态，称为初相位。
2021/3/18
7
(1)行波(traveling wave)
可见：均匀平面波在空间任意观察点处，其场强是以角频
率随时间按正弦规律变化。
在空间某点z=z0处电场随时间变化曲线
在任一固定时刻电场随距离变化曲线
+z轴方向传播的均匀平面波
2021/3/18
-z轴方向传播的均匀平面波
6
4. 均匀平面波的基本概念
如果电介质区无限延伸，则电场矢量可一般地表示为 EaxE0ejkz
时域表达式为 E x z ,t E 0co t k s z0

电磁波的电磁能量与能量传递

电磁波的电磁能量与能量传递电磁波是一种由电场和磁场交替变化而产生的能量传递方式。

在物理学中，电磁波是一种由振荡的电子产生的能量形式，它能够在真空和各种介质中传播。

电磁波的能量传递是通过电场和磁场之间的相互作用实现的。

首先，我们来了解一下电磁波的基本概念。

电磁波由电场和磁场组成，它们是相互垂直并且相互作用的。

电场是由带电粒子产生的力场，而磁场是由运动带电粒子产生的力场。

当电子振荡时，它们会产生电场和磁场的变化，从而形成电磁波。

电磁波的能量传递是通过电场和磁场之间的相互作用实现的。

当电磁波传播时，电场和磁场会相互作用，从而传递能量。

具体来说，当电磁波通过介质传播时，电场会使介质中的电子发生振动，而磁场则会影响介质中的磁性材料。

这种相互作用导致了能量的传递。

电磁波的能量传递可以通过不同的介质实现。

在真空中，电磁波的传播速度是光速，它们可以在真空中传播无阻碍。

在介质中，电磁波的传播速度会减小，因为介质中的原子和分子会干扰电磁波的传播。

然而，无论是在真空中还是在介质中，电磁波的能量传递都是通过电场和磁场之间的相互作用实现的。

电磁波的能量传递还可以通过辐射实现。

辐射是指电磁波向外传播的过程。

当电磁波遇到物体时，它们可以被吸收、反射或者折射。

当电磁波被物体吸收时，它们的能量会被转化为物体的内能。

当电磁波被物体反射时，它们的能量会被传回到空间中。

当电磁波被物体折射时，它们的传播方向会发生改变。

除了辐射，电磁波的能量传递还可以通过感应实现。

感应是指电磁波的电场和磁场对物体产生的电流和磁场的影响。

当电磁波的电场和磁场与导体相互作用时，会在导体中产生电流和磁场。

这种感应现象可以用于无线电、雷达和电磁波传感器等应用中。

总之，电磁波的能量传递是通过电场和磁场之间的相互作用实现的。

无论是在真空中还是在介质中，电磁波都能够传播并传递能量。

电磁波的能量传递可以通过辐射和感应实现，同时也可以通过吸收、反射和折射等方式影响物体。

电磁波的能量传递是一种重要的物理现象，它在科学研究和技术应用中都起着重要的作用。

平面电磁波的传播

(b) E iH (c) H 0
个独立。由旋度的散度为0可知， (b)(c)、(d)(a)。这是单色波E、B
(d ) H iE 表达式特点引起的。
2E 2E 0; 2B 2B 0 (2) 2E k2E 0; 2B k2B 0; k 2 2 (2)
k 称为波矢量，得到（齐次）亥姆霍兹(Helmholtz)方程(2)’。亥姆霍兹方程是一定频率下电磁波的基本方程，其解E(x)、B(x)代表电磁波场强在空间中的分布情况，每一种可能的形式称为一种波模。
(1)代入波动方程： 2E 2E 0; 2B 2B 0 (2)
(1)代入自由空间麦克斯韦方程：
D 0, E B ; B 0, H D
t
t
E 0, E iH , H 0, H iE
(a) E 0
注意：对于单色波，0时，麦克斯
韦方程的4个方程不相互独立，只有2
电磁波的传播
平面电磁波、电磁波的反射和折射、导体中的电磁波、谐振腔和波导
电磁波的基本知识
➢ 前两章讨论了静止电荷的静电场和恒定电流的磁场，其场强E或磁感强度B 在空间虽然可逐点变化，但在任一点不随时间变化；电场和磁场可单独地分别处理，它们之间不存在相互联系。 ➢ 本章进一步讨论随时间变化的电场与磁场，以及它们之间的相互联系、电磁场的传播。麦克斯韦在总结前人工作的基础上，提出了著名的电磁场理论（经典电磁场理论），指出变化电场和变化磁场形成了统一的电磁场，预言电磁场能以波动的形式在空间传播，称为电磁波；并得到电磁波在真空中传播的速度等于光速，从而断定光在本质上就是一种电磁波。后来，赫兹用振荡电路产生了电磁波，使麦克斯韦的学说得到了实验证明，为电学和光学奠定了统一的基础。因此，麦克斯韦的经典电磁场理论是人类对电磁规律的历史性总结，是19世纪物理学发展的最辉煌成就，是物理学发展史上一个重要的里程碑。

工程电磁场之六平面电磁波的传播解析

Ey Ey e kx Ey ek x Ey e j x Ey e j x
j x j x
1 Hz Hz e H z e ( E y e j x E y e j x ) Z0 2 —波数、相位常数 ( phase constant)rad/m ，
H x 式 (4) 0 t
E 0
Η x C1 0 （无恒定场存在）常数c1在波动问题中无意义通常取为0 Εx 0 Ε x D1 (t ) x
E x E0
γ － t e ε
Ex 式 (1) Ex 0 解得 t
由于一般介质中
由于电场、磁场的x分量都为零故沿波传播方向ห้องสมุดไป่ตู้无场的分量，称之为 TEM 波返回上页（横电磁波）。
第六章
第6章平面电磁波的传播
Plane Wave Propagation
平面电磁波的传播
序电磁波动方程及均匀平面波
理想介质中的均匀平面波导电媒质中的均匀平面波平面波的极化平面波的反射与折射平面电磁波的正入射、驻波
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第六章
6.0 序 Introduction
平面电磁波的传播
第六章
平面电磁波的传播
电磁场基本方程组
电磁波动方程
理想介质中均匀平面波
导电媒质中均匀平面波
均匀平面电磁波的传播特性正弦电磁波的传播特性平面电磁波的斜入射平面电磁波的正入射·驻波
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图 6.0 平面电磁波知识结构
第六章
平面电磁波的传播
本章要求
掌握均匀平面电磁波在理想介质和导电媒质中的传播特性及基本规律。了解均匀平面电磁波在工程中的应用。掌握均匀平面电磁波斜入射时的传播特性，重点掌握均匀平面电磁波正入射时的传播特性。

《平面电磁波》课件

信道：无线通信的信道模型，包括自由空间信道、多径信道、衰落信道等
添加标题
信号处理：无线通信的信号处理技术，包括信号检测、信号估计、信号解调等
无线通信系统组成与工作原理
发射机：产生电磁波信号接收机：接收电磁波信号天线：发射和接收电磁波信号
调制解调器：对信号进行调制和解调
信道：传输电磁波信号的媒介
折射传播：电磁波在不同介质中传播时发生折射
散射传播：电磁波在遇到不均匀介质时发生散射
传播速度
电磁波在真空中的传播速度为光速，约为300,000公里/秒
电磁波在空气中的传播速度略低于光速，约为299,792公里/秒
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
在不同介质中，电磁波的传播速度会因介质的性质和密度而变化
吸收影响因素：频率、波长、介质性质等
吸收应用：电磁波吸收材料、电磁屏蔽等
散射与吸收的应用
通信领域：无线通信、卫星通信等雷达技术：雷达探测、雷达成像等医疗领域：微波治疗、电磁波治疗等军事领域：电磁武器、电磁干扰等
平面电磁波的干涉与衍射
干涉现象
干涉现象：当两个或多个电磁波相遇时，会产生干涉现
《平面电磁波》PPT课件
汇报人：PPT
单击输入目录标题平面电磁波的基本概念平面电磁波的传播平面电磁波的反射与折射平面电磁波的散射与吸收平面电磁波的干涉与衍射
添加章节标题
平面电磁波的基本概念
定义与性质
平面电磁波：在空间中传播的电磁波，其电场和磁场相互垂直，且与传播方向垂直性质：具有波长、频率、相位、振幅等基本物理量传播速度：与光速相同，约为3x10^8米/秒应用：广泛应用于通信、雷达、遥感等领域

第六章平面电磁波-

方程组（6-17）与理想介质中的麦克斯韦方程组
相比较，仅有与 ~的区别，因此我们只要将~取代
上一节方程中的，即可得有损耗媒质中的平面波的
解。
E E x e j m x e x E y e j m y e y e z
（6-20a）
H
1
ez
E
其中 j ~
（6-20b）（6-20c）
值是
w e(z,t)1 2E x 2(z,t)E y 2(z,t)
w m ( z , t ) 1 2 H x 2 ( z , t ) H y 2 ( z , t ) 1 2E x 2 ( z , t ) /E y 2 ( z , t ) w e ( z , t )
说明: 空间任一点任一时刻电场能量密度等于磁场能量密度。
(3)为简单起见，我们考察电场的一个分量 E x ，
由式（6-7）可写出其瞬时值表达式
E x (z ,t) E xc mo t k s ( zx )（6-10）
t称为时间相位，k z称为空间相位， x 是 z 0处在
时刻的初始相位。空间相位相同的点所组成的曲面
称为等相位面(plane of constant phase)、波前或
x
E
O
z
y H
图6-1 理想介质中均匀平面波的传播
等相位面传播的速度称为相速（phase speed）。等相位面方程为 tkzx const，由此可得
dtkdz=0，故相速为
dz 1
vp
dt
k
在真空中电磁波的相速
（6-11）
vp
1
00
1
3180(m/s)
41 0 73161 0 9
可见，电磁波在真空中的相速等于真空中的光速。

平面电磁波

注：式中E0+和E0- 为待定系数（由边界条件确定）。
说明：通解的实数表达式为：
Ex ( z, t ) Re[ E0e jkz E0e jkz e jt ]
E0 cos(t kz) E0 cos(t kz)
第六章平面电磁波Ex ( z) E0e jkz E0e jkz（6-10）
平面电磁波的斜入射平面电磁波的正入射·驻波
第六章平面电磁波
本章要求
掌握均匀平面电磁波在理想介质和导电媒质中的传播特性及基本规律。了解均匀平面电磁波在工程中的应用。掌握均匀平面电磁波正入射时的传播特性，了解均匀平面电磁波斜入射时的传播特性。
第六章平面电磁波
几个基本概念
电磁波：脱离场源后在空间传播的电磁场。
E0e jkz )
第六章平面电磁波
即： H ey (H0e jkz H0e jkz ) （6-11）
式中：
E0
H
0
E0
H
0
k
η具有阻抗的量纲，单位为欧姆(Ω)，它的值与媒质参数有关，因此它被称为媒质的波阻抗(或本征阻抗)。
真空中：
0
1
36
109 F
/
m
;
0 4 107 H / m
正弦均匀平面电磁波的等相位面方程为:
t kz 0 const. （常数）
相速：正弦均匀平面电磁波等相位面的位置随时间的变化率称相速。
等相位面方程两边对时间求导得： x
k dz 0
dt
z
vp
dz dt
k
1
y
关于波的相速的进一步说明：
图6-3理想介质中均匀平面电磁波的电场和磁场空间
分布
r

六章平面电磁波-精品

第六章平面电磁波图 6-4 向k方向传播的均匀平面电磁波
第六章平面电磁波式中cosα、cosβ、cosγ是e′z在直角坐标系oxyz中的方向余弦。这样式(6-21)中的相位因子为
k'zkz'er(excoa seyco sezco)k sr
krkxxkyykzz
第六章平面电磁波
H

j(E0e
jkz)

j (e

jkzE0
e
jkz
E0)

j

e
j（ kz
jk）ez
E0
j（

jk）ez E0ejkz

k
ez

E
( E 0 e j) k e z j k E 0 z e j k E 0 z ( j ) e z k E 0 e jk 0
H E j E H j H H 0 E 0
(6-22a)
第六章平面电磁波
式(6-22a)可以写为
Hjj EjcE
其中：
c j1j
波动方程：
2E 2E 0
第六章平面电磁波
解： (1)
vp
1
c 3 10 8 10 8 m / s
r r
9
v p 1m f
k 2 rad / m vp
u r 120 1 40

0 r
9
第六章平面电磁波 (2)
Ex(z,t)f(zv)t
由麦克斯韦方程式 ex
ey
ez
E

B

平面波能量公式

平面波能量公式1. 平面波的基本概念。

- 平面波是一种在空间中传播的波，其波阵面（等相位面）为平面。

在理想的均匀、各向同性介质中，平面波的传播具有特定的规律。

- 对于平面电磁波，其能量密度w由电场能量密度w_e和磁场能量密度w_m 组成。

- 电场能量密度w_e=(1)/(2)ε E^2，其中ε是介质的介电常数，E是电场强度。

- 磁场能量密度w_m = (1)/(2)μ H^2，其中μ是介质的磁导率，H是磁场强度。

- 在真空中，ε=ε_0，μ = μ_0，并且对于平面电磁波有E = cB（c=(1)/(√(ε_0μ_0))是真空中的光速，B=μ_0H），可以证明w_e = w_m。

- 所以平面电磁波的能量密度w=w_e + w_m=ε E^2=μ H^2。

- 平面波的能流密度（坡印廷矢量）→S=→E×→H，其大小S = EH，在真空中S=(1)/(μ_0)E× B，能流密度表示单位时间内通过垂直于传播方向单位面积的能量。

3. 推导过程（以真空中平面电磁波为例）- 从麦克斯韦方程组出发：- 在真空中∇×→E=-(∂→B)/(∂ t)，∇×→H=(∂→D)/(∂ t)（其中→D=ε_0→E，→B=μ_0→H）。

- 对于沿z方向传播的平面电磁波，→E = E_0cos(ω t - kz)x，→H=H_0cos(ω t - kz)ŷ（这里假设电场沿x方向，磁场沿y方向，它们相互垂直且都垂直于传播方向z）。

- 计算电场能量密度w_e=(1)/(2)ε_0 E^2，将→E表达式代入可得w_e=(1)/(2)ε_0E_0^2cos^2(ω t - kz)。

- 同理，计算磁场能量密度w_m=(1)/(2)μ_0H^2，由于E = cB和c=(1)/(√(ε_0μ_0))，可得H=(E)/(μ_0c)，将→E表达式代入可得到w_m=(1)/(2)μ_0H_0^2cos^2(ω t - kz)，并且可以证明w_e = w_m。

6.4+平面电磁波的能量传递

3、坡印廷矢量
S E H ——流出单位面积的功率密度。
（1）瞬时坡印廷矢量
电磁场的瞬时形式为： E Em cos(t kz e )
H Hm cos(t kz m )
S EH
Em Hm cos(t kz e ) cos(t kz m )
1 2
Em
Hm[cos(e
m
)
cos(2t
(E H ) E Jc
上式两边在给定的体积V内积分：
t
(1 E2 1 H 2)dV
V2
2
(E H )dV
V
V E JcdV
由高斯定律得： (E H)dV (E H) dS
V
S
(1 E2 1 H 2)dV
t V 2
2
(E H) dS
S
V E JcdV
6.4 平面电磁波的能量传递
1、平面波的能量 2、坡印廷定理 3、坡印廷矢量
1、均匀平面波的能量
电场能量密度:
we
1
2
E2
磁场能量密度:
wm
1 2
H 2
电磁场中任意体积V 内储存的总电磁能量为：
W
V (we
wm )dV
(1 E2
V2
1 H 2 )dV
2
2、坡印廷定理
设空间某点的电磁能量密度随时间的变化率为：
H 1.5e j5yaˆx A/m
(7) 媒质中的平均功率密度是
Sav
1 Re[E H *] 2
H * 1.5ej5 yaˆx
Sav
1 2
377 1.5[aˆz
aˆx ]
282.75aˆy
W/m2
A/m

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(E H ) E Jc
上式两边在给定的体积V内积分：
t
(1 E2 1 H 2)dV
V2
2
(E H )dV
V
V E JcdV
由高斯定律得： (E H)dV (E H) dS
V
S
(1 E2 1 H 2)dV
t V 2
2
(E H) dS
S
V E JcdV
6.4 平面电磁波的能量传递
1、平面波的能量 2、坡印廷定理 3、坡印廷矢量
1、均匀平面波的能量
电场能量密度:
we
1
2
E2
磁场能量密度:
wm
1 2
H 2
电磁场中任意体积V 内储存的总电磁能量为：
W
V (we
wm )dV
(1 E2
V2
1 H 2 )dV
2
2、坡印廷定理
设空间某点的电磁能量密度随时间的变化率为：
(1 E2 1 H 2 ) E E H H E E H H
t 2
2
t
t
t
t
由麦克斯韦方程:
E
H
E
Jc
E
E t
H E H H
t
可得：
t
(
1 2
E2
1 2
H
2
)
E
H
E
Jc
H
E
运用矢量恒等式： E H H E (E H)
t
(
1 2
E
2
1 2
H
2
)
E
H
E
J
c
H
E
——坡印廷定理
坡印廷定理：
(1 E2 1 H 2)dV
t V 2
2
(E H ) dS
S
V Jc EdV
单位时间体积V中电磁能量的减少量
单位时间流出体积表面的电磁能量
欧姆功率损耗
可见：(E H ) 为单位面积上的功率密度。
令： S E H ——坡印廷矢量：流出单位面积的功率密度。
2π 2π m 1.257 m
k5
(5) 根据均匀平面波的电场强度和磁场强度的关系，可得
H
aˆy
1
E
1.5cos(109t
5y)aˆx
A/m
(6) 电场强度和磁场强度的复数形式为
E 377 cos(109t 5y)aˆz V/m
E 377e j5yaˆz V/m
H 1.5cos(109t 5y)aˆx A/m
3、坡印廷矢量
S E H ——流出单位面积的功率密度。
（1）瞬时坡印廷矢量
电磁场的瞬时形式为： E Em cos(t kz e )
H Hm cos(t kz m )
S EH
Em Hm cos(t kz e ) cos(t kz m )
1 2
Em
Hm[cos(e
m
)
cos(2t
H 1.5e j5yaˆx A/m
(7) 媒质中的平均功率密度是
Sav
1 Re[E H *] 2
H * 1.5ej5 yaˆx
Sav
1 2
377 1.5[aˆz
aˆx ]
282.75aˆy
W/
A/m
小结：
1、平面波的能量 2、坡印廷定理 3、坡印廷矢量
2kz
e
m
)]
（2）平均坡印廷矢量
Sav
1 T
T
Sdt
0
1 T
T 0
1 2
Em
H m [cos(e
m
)
cos(2t
2kz
e
m
)]dt
1 2
Em
Hm
cos(e
m
)
电磁场的复数形式为： E Eme jkzeje
H Hme jkzejm
Sav
1 2
Re(E
H*)
1 2
Em
Hm
cos(e
m
)
式中： H* 表示 H 的共轭。H * Hmejkze jm
例1: 在介质 ( 0, r0) 中沿y方向传播的均匀平面波电场
强度为： E 377 cos(109t 5y)aˆzV/m
求： (1)相对介电常数； (2)传播速度； (3)本质阻抗； (4)波长； (5)磁场强度； (6)电场强度和磁场强度的复数表示形式； (7)波的平均功率密度。
解: (1)相对介电常数
已知电场强度: E 377 cos(109t 5y)aˆzV/m
可知: 109 rad/s, k 5 rad/m
k 00r
r
251018 00
251018
(3108)2
2.25
(2)传播速度为
vp
k
109 5
m/s
2 108
m/s
(3)本质阻抗为 (4)波长为
0 120π 251.33 r0 2.25

6.4+平面电磁波的能量传递

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