工程力学第16章

置（图16-10(c)），其初动能为 T1

1 2
mv 2， 末 动 能 为 E2=0 。 弹
簧的初变形为静变形δ1=mg/k，末变形δ2=δ1+δ。 作用在平台上
的力有重力W和弹性力F，平台由静平衡位置运动到最大下沉
位置, 两力所做的功为
W
mg

k 2
12


2 2

mg
MvC2
（16-10）
式中，M=∑mi,是刚体的质量。上式表明，刚体平动的动能等 于刚体的质量与其质心速度平方乘积的一半。
第16章 动能定理 图16-8
第16章 动能定理 2. 定轴转动刚体的动能
设刚体绕固定轴z转动，某瞬时角速度为ω，如图16-8所示。 刚体内任一质点的质量为mi，离z轴的距离为ri，速度为vi=riω，
解 当鼓轮从静止开始转过转角φ时，角速度为ω；重物 沿斜面移动距离s=rφ，速度为v=rω。该物体系统的初动能为
E1 0
第16章 动能定理 图16-11
第16章 动能定理
T2

1 2
m2
v
2

1 2
W
M2 Fdx
M1
2 1

k xdx

Hale Waihona Puke k 2(2 1


2 2
)
（16-5）
式中δ 1和δ 2分别为弹簧在位置M1和M2的变形量。上式表明，
弹性力的功等于弹簧的刚度系数与其始末位置变形的平方之差
乘积的一半，与质点运动所经过的路径无关。当初变形δ 1大于 末变形δ 2时， 弹性力的功为正; 反之为负。
1
2
m1vi22

1 2
mi vi21

Wi(e)
Wi(i)
第16章 动能定理
由式（16-9）知，上式等号左边两项分别为质点系在某一段路 程中末了和起始位置的动能E2和E1 ，于是上式又可写为
T2 T1 W (e) W (i)
（16-14）
上式表明，质点系在某一段路程上起始位置和末了位置的动能

FT2 )
D 2
(1.6 0.8) 103 0.5 200N m 2
当带轮转过两圈时，其转角为
2 2πrad 12.56rad
因此带轮两侧的拉力所做的功为
W M o 200 12.56 2.512 103 J
第16章 动能定理 图16-7
第16章 动能定理
做的功称为元功，
W F cos ds Fτds
式中，α是力F与曲线上点M处切线方向的夹角，Fτ是力F在切
线方向的投影。这样，当质点M从M1运动到M2时，力F所做的
总功为
W
M2 M1
Fτ ds

M2 F cos ds
M1
（16-2）
第16章 动能定理 图16-2
第16章 动能定理
将上式两端同乘以路程微段ds，再进行积分可得
M2
M1
FR
cos

ds

M2 M1
F1
cos
1

ds

M2 M1
F2
cos 2

ds

M2 M1
Fn
cos n

ds
即
W W1 W2 Wn
第16章 动能定理
例16-1 原长为 2，l 刚度系数为k的弹簧，与长为l，质量为 m的均质体OA连接，直立于铅垂面内，如图16-6所示。当OA杆 受到常力矩M作用，求杆由铅直位置绕轴O转到水平位置时， 各力所做的功及合力的功。
W F cos s
（16-1）
第16章 动能定理
由上式可见，力的功无方向意义，是代数量。当α<90°时， 功为正值，质点的运动效果增强；当α>90°时， 功为负值，质 点的运动效果减弱；当α=90°时，力与质点的位移方向垂直， 力不做功。
在国际单位制中，功的单位是牛·米（N·m），也称焦 ［耳］（J），即 1 J=1 N·m。
的改变量，等于作用于质点系上的全部力在同一路程上所做的
功。
必须注意，一般情况下，质点系内各质点之间的距离是可 变的，故内力所做的功的总和不一定等于零。例如, 内燃机中 燃气膨胀对活塞的推力是内力，该内力做正功，使汽车的动能 增加；机器中轴与轴承之间的相互摩擦力也是内力， 但其所 做的功是负功。
第16章 动能定理
W WG WF WM
1 mgl 0.17kl2 1 Mπ
2
2
第16章 动能定理
例16-2 带轮两侧的拉力分别为FT1=1.6kN和FT2=0.8kN，如图 16-7所示。已知带轮的直径D=0.5m，试求带轮两侧的拉力在轮 子转过两圈所做的功。
解：作用于带轮上的转矩为
Mo

(FT1
即变力在某一曲线路程上所做的功，等于这个力的切向分 量沿这段曲线路程的积分。
式（16-2）可用直角坐标系的解析式来表达， 即
W

M2 M1
( Fx dx

Fy
dy

Fz
dz)
（16-3）
第16章 动能定理
16.1.3
1.
重为G的质点，沿任意轨迹曲线由M1点运动到M2点（图 16-3），重力G
W M2 Gdz z2 Gdz Gh （16-4）

k 2
12
1
2
1 k 2
2
第16章 动能定理
由动能定理， 有
0 1 mv2 1 k 2
2
2
所以
v
m 5 k
30 18 103
0.204m
弹簧的最大变形为δ max=δ 2=δ 1+δ ，其最大受力为
Fmax k1 mg k
第16章 动能定理 图16-4
第16章 动能定理 3. 定轴转动刚体上作用力的功
设有一力 F 作用于绕轴Oz转动的刚体的点M上，如图16-5
所示。现将力F分解为Fτ、Fr、Fz，可见轴向力Fz和径向力Fr不 做功，只有切向力Fτ做功。设力F的作用点到转轴的距离为r， 当刚体转过微转角dφ时，力F的作用点走过的微弧长ds=rdφ，
第16章 动能定理 图16-10
第16章 动能定理 例16-3 平台的质量m=30kg，固连在刚度系数k=18kN/m 的弹簧上。现从静平衡位置给平台向下的初速度v=5 m/s，如图 16-10(a)所示。设平台作平动，求平台由此位置下沉的最大距 离δ以及弹簧的最大受力。
解 弹簧由静平衡位置（图16-10(b)）运动到最大下沉位
30 9.8 18 103 0.204 3970 N 3.97kN
第16章 动能定理
例16-4 如图16-11所示，绞车的鼓轮可视为均质圆柱体， 已知其质量为m1，半径为r1，绕中心O轴转动。绳索的一端卷 绕在鼓轮上，另一端系有一质量为m2的重物。鼓轮在不变力偶 矩M的作用下，通过绳索牵引重物沿倾角为θ的光滑斜面上升。 设开始时物体系统静止，不计各处摩擦，试求当鼓轮转过转角 φ后的角速度ω和角加速度α。
成，任取质点系中一个质点，其质量为mi，速度为vi，应用质
点动能定理，
1 2
mi vi22

1 2
mi vi21
Wi(e)
Wi(i)
式中，W(e)i和W(i)i分别表示作用在所取质点上所有外力和内力
的功，因为对于质点来说，作用在每个质点上的力有外力和内
力之分。 对质点系中每个质点都写出上式并相加， 得
M1
z1
式中h=z1-z2，即为质点在运动过程中重心位置的高度差。上式
表明，重力所做的功等于质点的重量与其重心始末位置高度差 的乘积，而与质点运动的路径无关。若质点下降，重力做正功； 若质点上升， 重力做负功。
第16章 动能定理 图16-3
第16章 动能定理 2. 弹性力的功
设弹簧一端固定，另一端与质点M相连，弹簧原长为l0，
第16章 动能定理
第16章 动能定理
16.1 功 16.2 动能 16.3 动能定理 16.4 功率和效率 思考题 习题
第16章 动能定理
16.1 功 的概念
16.1.1
设有一大小和方向都不变的常力F作用于质点上，使其沿 直线由M1运动到M2，如图16-1所示。若力与位移方向夹角为α， 力的作用点移动的距离为s，则定义常力在这一段路程上所做 的功为此力在运动方向的投影与该力作用点移动的路程的乘积， 用W表示， 即
第16章 动能定理 图16-1
第16章 动能定理
16.1.2 变力的功
所谓变力, 就是作用于质点上的力的大小和方向均随作用
点位置的移动而变化的力。设质点M在变力F作用下沿曲线运动，
如图16-2所示。在曲线上取一微小弧段ds，在微小弧段上的力
F可视为常力，同时微小弧段ds也可视为直线段，力F在ds上所
质点系内各质点的动能的总和称为质点系的动能。设质点 系中任意一质点的质量为mi，某瞬时速度为vi，则质点系的动
T
1 2
mi
vi2
（16-9）
第16章 动能定理 16.2.3
1.
刚体在平动时，同一瞬时各点的速度相同并等于质心速度 vC，
T
1 2
mi vi2

1 2
mi vi2

1 2
力F的元功为
W F rd
由力对轴之矩知Fτr=Mz，当刚体从转角φ1到φ2时，力F所做
的功为
W