弦长公式及其运用

弦长公式在职业高中数学解题中的应用

邹志勇

摘要：直线与圆锥曲线的位置关系是平面解析几何中的一个重要内容之一，而弦长公式的应用是其中的一个重要知识点，也是高考的热点，如何培养学生的创新思维，找到求解弦长的有效方法，在数学教学中显得尤为重要。

关键词：弦长、弦长公式、弦长公式的应用。

与“求弦长”有关的知识点在职高数学教学中经常遇到，而弦长公式是求弦长的最快捷方法之一，在实际应用中，如何让学生灵活地应用弦长公式求弦长在解题中显得至关重要。

一、弦长：这里指的是直线与圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相交所截的线段。

二、弦长公式：这里指的是弦长计算公式，弦长公式有好几个，而这里所要讲的是简化后的弦长公式（Ｌ＝ a k ∆

+21 ）

（1）弦长公式的推导

设直线y=kx+t 与圆锥曲线相交于A （1x ，1y ） B （2x ，2y ）两点。则弦长为AB ,把y=kx+t 代入圆锥曲线方程消去y 化简整理得到一个关于x 的一元二次方程 2x α+bx+c=0 （α≠0）

则1x +2x =－a b ，1x 2x =a

c ∴ AB =212212)()(y y x x -+-=[]212212)()()(t kx t kx x x +-++-

=2122))(1(x x k -+=)1(2k +212214)(x x x x -+

=)1(2k + a c a b ⋅--4)(2=)1(2k + 224a

ac b -=a k ∆+21 ∴ 弦长公式为 =a

k ∆+21 （其中k 表示直线的斜率，△=2b -4ac ，α表示一元二次方程中2

x 的系数）

（2）弦长公式的应用

①直线与圆相交时，弦长公式的应用举例。

例1：已知直线y=2x-5与圆x 2+y 2=25相交于A ，B 两点，求AB

解：把y=2x-5代入x 2+y 2=25化简得x 2—4x=0 ∴ k=2 α=1 △= 2)4(--4×1×0=16

∴ AB =a k ∆+21=1

16212+=45 ②直线与椭圆相交时，弦长公式的应用

例2：已知直线y=x+2与椭圆9

2

x +2y =1相交于A ，B 两点，求AB 解：把y=x+2代入9

2

x + y 2=1化简得10x 2+36x+27=0 ∴ AB =a k ∆+21=10

27104361122⨯⨯-+=536 ③直线与双曲线相交时，弦长公式的应用

例3：已知直线y=x-2与双曲线2

x —22

y =1化简得2x +4x-6=0 ∴ AB =a k ∆+21=1

)6(1441122-⨯⨯-+=45 ④直线与抛物线相交时，弦长公式的应用

例4：已知直线y=2x+m 与抛物线y 2 =4x 相交于Ａ，Ｂ两点，若AB ＝３5，求ｍ的值 解：把ｙ＝2x+m 代入y 2 =4x 化简得42x +（4m —4）x ＋2

m =0

∵ AB =35 ∴ 4

44)44(212

22m m ⨯⨯--+=35 解得m =—4

弦长公式的推导是一个难点，如果弄清了公式的来龙去脉，定能加深对公式的理解和记忆，弦长公式是一个实用性很强的公式，如果能够灵活地应用弦公式，在解题中往往能取到事半功倍的效果。