2020-2021学年人教A版数学选修2-1课时分层作业：1.1 命题

课时分层作业(一) 命题

(建议用时：60分钟)

一、选择题

1．下列语句中是命题的是()

A．周期函数的和是周期函数吗？

B．sin 45°＝1

C．x2＋2x－1>0

D．x2＋y2＝0

B[对于A，是疑问句，不是命题；对于C，D，不能判断真假，不是命题；对于B，是陈述句且能判断真假，是命题．]

2．给出下列命题：

①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；

②若a，b都是正实数，则a＋b≥2ab；

③若x2>x，则x>1；

④函数y＝x3是指数函数．

其中假命题的个数为()

A．1B．2

C．3 D．4

C[①中，显然l∥m或l与m重合，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x2>x，得x<0或x>1，所以③是假命题；④中，函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，④是假命题．故选C．]

3．命题“垂直于同一个平面的两条直线平行”的条件是()

A．两条直线

B．一个平面

C．垂直

D．两条直线垂直于同一个平面

D[命题的条件是“两条直线垂直于同一个平面”．]

4．下列四个命题中，真命题是()

A ．a ＞b ，c ＞d ⇒ac ＞bd

B ．a ＜b ⇒a 2＜b 2

C ．1a ＜1b ⇒a ＞b

D ．a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ＞b －d

D [可以通过举反例的方法说明A 、B 、C 为假命题．]

5．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )

A ．4

B ．2

C ．0

D ．－3

C [由题意知，Δ＝a 2－4<0，故a ＝0符合题意．]

二、填空题

6．命题“函数y ＝2x ＋1是增函数”的条件是________，结论是________，它是________命题(填“真”或“假”)．

[答案] 函数y ＝2x ＋1 y 是增函数 真

7．将命题“奇函数的定义域和图象均关于原点对称”，改写为“若p ，则q ”的形式为________．

若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图象均关于原点对称 [命题若p ，则q 的形式为“若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图象均关于原点对称”．]

8．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②函数y ＝a x ＋1是指数函数吗？③正方形既是矩形又是菱形；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5＞0；⑥作AB ∥A ′B ′．其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．

①③⑤ ③⑤ [①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是真命题，由正方形定义可知；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为x 2＋4x ＋5＝(x ＋2)2＋1＞0恒成立，所以是真命题；⑥该语句是祈使句，不是命题．]

三、解答题

9．判断下列语句中哪些是命题？哪些不是命题？

(1)2＋22是有理数；

(2)1＋1>2；

(3)2100是个大数；

(4)968能被11整除；

(5)非典型性肺炎是怎样传播的？

[解](1)(2)(4)均是命题；(3)(5)不是命题．因为(1)(2)(4)都可以判断真假，且为陈述句；(3)中的“大数”是一个模糊的概念，无法判断其真假，所以不是命题；

(5)中的语句是疑问句，所以不是命题．

10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．

(1)体对角线相等的四棱柱是长方体；

(2)能被10整除的数既能被2整除又能被5整除；

(3)正弦值相等的两个角的终边相同．

[解](1)若四棱柱的体对角线相等，则这个四棱柱是长方体．该命题是假命题．

(2)若一个数能被10整除，则这个数既能被2整除又能被5整除．该命题为真命题．

(3)若两个角的正弦值相等，则这两个角的终边相同．该命题为假命题．

1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是() A．红豆生南国B．春来发几枝

C．愿君多采撷D．此物最相思

A[“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A．]

2．命题“第二象限角的余弦值小于0”的条件是()

A．余弦值B．第二象限

C．一个角是第二象限角D．没有条件

C[原命题可改写为若一个角是第二象限角，则它的余弦值小于0，故选C．] 3．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：

①若a·b＝a·c，则b＝c；

②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；

③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°．

其中真命题的序号为________．

② [①若a ·b ＝a ·c ，则a ·(b －c )＝0，

因此b ＝c 不正确；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，

a ∥

b ，则－2k －6＝0，即k ＝－3，正确；

③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△AOB 为等边

三角形，因此，a 与a ＋b 的夹角为30°，③不正确，故选②．]

4．已知a ，b 为实数，且ab ≠0，则下列命题是真命题的是________(填序号)． ①若a ＞0，b ＞0，则a ＋b 2≥ab ； ②若a ＋b 2≥ab ，则a ＞0，b ＞0；

③若a ≠b ，则a ＋b 2＞ab ；

④若a ＋b 2＞ab ，则a ≠b ．

①④ [①中，由基本不等式可得：若a ＞0，b ＞0，则a ＋b 2≥ab ，正确；②

中，当a ＝b ＝0时，满足a ＋b 2≥ab ，但不满足a ＞0，b ＞0，错误；③中，若a ，

b 都为正数时成立，否则不成立，错误；④中，由a ＋b 2＞ab ，平方得(a －b )2＞0，

虽然a ≠b ，正确，故填①④．]

5．已知p ：5x －1＞a ，q ：x ＞1，请确定实数a 的取值范围，使得(1)“若p ，则q ”为真命题；(2)“若q ，则p ”为真命题．

[解] (1)命题“若p ，则q ”即为“若x ＞1＋a 5，则x ＞1”，由命题为真命题

可知1＋a 5≥1，解得a ≥4，故实数a 的取值范围为[4，＋∞)．

(2)命题“若q ，则p ”即为“若x ＞1，则x ＞1＋a 5”，由命题为真命题可知1＋a 5

≤1，解得a ≤4，故实数a 的取值范围为(－∞，4]．