专题1——利用定积分定义求极限-(1)

专题1——利用定积分定义求极限

对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法：

① 是n →∞时的极限

② 极限运算中含有连加符号1n i =∑

在定积分的定义中，我们把区间[,]a b 平均分成n 个小区间（定积分的定义中是任意分割区间[,]a b ，

我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为

b a n

-（即定义中的i x ∆），这n 个小区间分别为[,]b a a a n -+，[,2]b a b a a a n n --++，[2,3]b a b a a a n n

--++，……，[(2),(1)]b a b a a n a n n n --+-+-，[(1),]b a a n b n

-+-，在定义中每个小区间上任意取的i ξ我们一致取为每个小区间的右端点i b a a i n ξ-=+（也可以取左端点(1)i b a a i n ξ-=+-），那么定义中的1()n i i

i f x ξ=∆∑就变为1

()n i b a b a f a i n n =--+∑，那么1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑⎰。（取左端点时1lim

((1)

)()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+-=∑⎰）

注意：定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n →∞也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时，n →∞就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是1lim

()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n

→∞=--+=∑⎰，而不是01lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n n

λ→=--+=∑⎰。

如()f x 在区间[0,1]上的积分可以表示为1

01

1()lim ()n n i i f x dx f n n →∞==∑⎰——i ξ取每个小区间的右端点，或者

101

11()lim ()n n i i f x dx f n n →∞=-=∑⎰——i ξ取每个小区间的左端点。

举例：求3

41lim n

n i i n →∞=∑ 分析：函数3()f x x =在区间[0,1]上的定积分的定义可以表示为133011lim ()n

n i i x dx n n →∞==⋅∑⎰（这里i ξ取的是每个小区间的右端点），即3

13340111lim ()lim n

n n n i i i i x dx n n n →∞→∞===⋅=∑∑⎰。所以34

13104011lim |44n

n i i x x dx n →∞====∑⎰

对于这个考点的考法应该不会很深（这个方法经常在数学竞赛中用到），给出的极限应该可以化为某个函数在区间[0,1]上的定积分，基于此，遇到这类题时，一定要把给出的极限化为如下形式：

1111lim ()lim ()n

n n n i i i i f f n n n n →∞→∞==⋅=∑∑或者111111lim ()lim ()n n n n i i i i f f n n n n →∞→∞==--⋅=∑∑，只要化为以上的几种形式，那么给出的极限就是函数()f x 在区间[0,1]上的积分，即

1

01111111111()lim ()lim ()lim ()lim ()n

n n n n n n n i i i i i i i i f x dx f f f f n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞====--=⋅==⋅=∑∑∑∑⎰