现代信号处理教程

Q 1 ( n ), H E v1 (n) v1 (k ) 0,


若n k 其它 若n k 其它
Q 2 ( n ), E v 2 (n) v (k ) 0,

H 2

并假设状态的初始值x(0)与v1(n)、v2(n)均不相关， v1(n)与v2(n) 线性独立，即有
Kalman滤波器（续）
根据i和n的不同关系，Kalman滤波问题又可进一步分 为滤 波问题(i=n)、预测问题(i>n)和平滑问题 (1 i n ) 。
具体如下：
Kalman滤波器（续）
三个基本概念
已知 y (1), , y ( n ) , 求 x ( i ) 的估计值。
ˆ (1) i n ( 滤波 )： 已知 y (1), , y ( n ) , 求 y ( n ) ˆ ( 2 ) i ＜ n ( 平滑 )： 已知 y (1), , y ( n ) , 求 y ( i ), ˆ ( 3 ) i n ( 预测 )： 已知 y (1), , y ( n ) , 求 y ( i ), 一步预测：已知 数学符号： i n i n
内 容
最优滤波理论与Wiener滤波器 梯度下降算法 横向LMS自适应滤波器 横向RLS自适应滤波器 自适应格型滤波器 自适应格-梯型滤波器 无限脉冲响应自适应滤波器 盲自适应滤波器 Kalman滤波器 自适应滤波器的应用
自适应滤波器的应用
系统辨识与均衡（如信道估计与均衡； 雷达和声纳波束形成(beamforming); 噪声中信号的检测、跟踪、增强等； 信号或时间序列的自适应预测； 语音和图像的自适应预测编码。
LMS、RLS、Kalman算法比较
（1）计算复杂度： LMS<RLS<Kalman 相差不大 （2）RLS算法是“无激励”状态空间模型
x ( n 1) 1 / 2 x ( n ) y (n) u H (n)x(n) v (n)
下的Kalman滤波算法 （3）收敛速率：
LMS： ( n ) 越大，学习步长越大，收敛越快 RLS： 越大， 遗忘作用越弱，收敛越慢
时变学习速率、时变遗忘因子 0 . 97 ~ 0 . 998
Kalman：无收敛问题，无收敛参数
表1 Kalman滤波算法与RLS滤波算法变量对照表
Kalman算法
参数名称 初始状态向量 状态向量 变 量 变 量 w0
ˆ x 1 ( n ) E x (1)
K (1, 0 ) E
x (1) x (1) x (1) x (1)
H
输入观测向量过程： 观测值＝{y(1),…y(n)} 已知参数： 状态转移矩阵＝F(n+1,n) 观测矩阵=C(n) 过程噪声向量的相关矩阵=Q1(n) 观测噪声向量的相关矩阵=Q2(n)
第四章 自适应信号处理
郑宝玉
内 容
最优滤波理论与Wiener滤波器 梯度下降算法 横向LMS自适应滤波器 横向RLS自适应滤波器 自适应格型滤波器 自适应格-梯型滤波器 无限脉冲响应自适应滤波器 盲自适应滤波器 Kalman滤波器 自适应滤波器的应用
维纳滤波与卡尔曼滤波
)
α ( n ) 可代表 y ( n )
新息过程 (n ) 的相关矩阵定义为
R E ( n )
而 M N 矩阵
def

H
(n)Leabharlann HG ( n ) E x ( n 1) α ( n ) R


1
(n)
称为Kalman增益阵。
ˆ ˆ 若令x 1 ( n ) x n | y (1), , y ( n 1) 是状态向量 x (n ) 的一步预测 向量，并用 e ( n , n 1) 表示预测状态误差向量，即
H
递推计算，其中 M
) M 矩阵 K ( n由下面的递推公式定义：
K ( n ) F ( n , n 1) F ( n , n 1) G ( n ) C ( n ) K ( n , n 1)
ˆ 若定义 x ( n ) 是利用已知的 y (1), , y ( n ) 求得的状态向 量 x ( n ) 的滤波估计，则
2 2
2 v




g (1), K ( 2 ,1); g ( 2 ) K ( 3 , 2 );
Kalman滤波器（续）
结论
Kalman滤波器是一种线性的离散时间有限维系统。
Kalman滤波器的关键性质是：它将使滤波后的状态 误差的相关矩阵的迹最小化。这意味着：Kalman滤 波器使状态向量的线性最小方差估计 Kalman滤波器已重构地解决了大量的控制问题和信 号处理问题
K ( n ) K ( n , n 1) F ( n , n 1) G ( n ) C ( n ) K ( n , n 1)
K ( n 1, n ) F ( n 1, n ) K ( n ) F ( n 1, n ) Q 1 ( n )
H
Kalman滤波器（续）
def
def
ˆ e ( n , n 1) x ( n ) x 1 ( n )
则 M M 矩阵
def
K ( n , n 1) E e ( n , n 1) e ( n , n 1)
H


称为预测状态误差相关矩阵。
预测状态误差相关矩阵可以利用Riccati差分方程
K ( n , n 1)＝ F ( n 1, n ) K ( n ) F ( n 1, n ) Q 1 ( n )
ˆ y (1), , y ( n ) , 求 y ( n ＋1)
ˆ y 1 ( n 1) y ( n ＋1 y (1), , y ( n ) )
Kalman滤波器（续）
新息过程（innovation process）
ˆ α (n) y (n) y1 (n)
称 α ( n )为 y ( n ) 的新息过程向量,简称新息。
例：x (t )是一个时不变的标量随机变量，y ( t ) x ( t ) v ( t ) 为观测 数据，其中 v (t )为白噪声。现用Kalman滤波器自适应估计 x (t )， 即考虑设计Kalman滤波器的问题。
设计过程：(1)构造状态空间方程；(2)设计 x ( n ) 的更新公式
Kalman滤波器（续）
K ( n , n 1) g ( n ) K ( n , n 1) 2 v ˆ ˆ ˆ x ( n 1 ) x ( n ) g ( n ) y ( n ) x ( n ) K ( n 1, n ) K ( n , n 1) 1 g ( n ) g ( n ) K (1, 0 ) E x ( n ) E x (1) P0
性质 1：E α ( n ) y ( k ) 0 （正交）， n k
H


α ( n ) 是不同于 y ( n )的新过程 性质 2：E α ( n ) α ( k ) 0 ， n k , α ( n ) 是个白噪声过程
H


性质 3： y (1)， , y ( n )
α (1), , α ( n ) ( 一一对应关系
抽头权向量的估计
输入向量相关矩阵的逆矩阵
K(n) g(n)
(n )
ˆ s (1) 0
P (n)

1 / 2
Kalman增量
新息 初始条件
k (n)
增量向量
先验估计误差 2 ( (n) E{ (n) } 初始条件

n/2
(n)
*
)
ˆ w (0 ) 0
K(0)

1
P (0 )
维纳滤波
设信号s(k)或s(k)及观测过程x(k)或x(k)是广义平稳的, 且已知 其功率谱或自相关函数的知识, 则基于观测过程x(k)或x(k), 按 线性最小均方误差估计准则, 对信号s(k)或s(k)所作的最优估 计称为维纳滤波。特点: 参数固定, 适用于平稳随机情况下 的最优滤波 , 且实现简单。
x (t ) d x (t ) dt 状态方程 x ( n 1) x ( n ) y ( n ) x ( n ) v ( n ) 观测方程 F ( n 1, n ) 1 C (n) 1 Q 1 (n) 0 Q 2 (n)
2 v
0 x ( n 1) x ( n ) 0
u
自适应滤波器
系统输入
+
y
设备 ( 待测 )
Kalman滤波器
Kalman滤波是Wiener滤波的发展, 它最早用于随机过程的
参数估计, 后来很快在各种最佳滤波器和最佳控制中获得 极其广泛的应用。 Kalman滤波器具有以下特点： 其数学公式用状态空间概念描述。 其解是递推计算的。 它提供了RLS类自适应滤波器的统一框架
Kalman滤波器
Kalman滤波器（续）
Kalman滤波算法(续) 计算：n=1,2,3,…
G ( n ) F ( n 1, n ) K ( n , n 1) C ( n ) C ( n ) K ( n , n 1) C ( n ) Q 2 ( n )
H H


1
ˆ α (n ) y (n ) C (n )x1 (n ) ˆ ˆ x 1 ( n 1) F ( n 1, n ) x 1 ( n ) G ( n ) α ( n )

n/2
RLS算法
参数名称 抽头权向量