高等数学复习提纲(第二学期)
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9. 旋转曲面和柱面的方程 10. 曲线的一般方程，曲线在坐标面上的投影 11. 两平面之间的夹角，两直线之间的夹角，平面与直线之间的夹角。 请过一遍下面的习题，注意一定要自己动手作. 习题 8-2，第 1、3、10 题 习题 8-3，第 5、6、9 题 习题 8-4，第 4 题 习题 8-5，第 1,、3 题 习题 8-6，第 1、2、3、4、5 题
设向量 a (ax , a y , az ), b (bx , by , bz ), 则 a 与 b 的向量积 a b 定义如下：
a b 的模为以 a , b 为边的平行四边形的面积，即 | a b || a || b | sin ，其中 为 a 与 b 的夹角。
高等数学复习提纲（第二学期）
亲爱的小朋友们，大学是新的起点，是人生最美好、最珍贵的年华。要满怀虔诚地、十分认真地过每一天。学会虔 诚与认真，一生都当如此。其实多年后回顾大学生活，自己是否曾经奋斗过最为紧要，要处理好生活与学习的关系， 无论学习还是生活，都必须有底线。
第八章：向量代数与空间解析几何
1. 向量的模、向量的单位化（p5）
dz z du z dv z dw 。 dt u dt v dt w dt
注意：一元函数的导数用 d ，多元函数的偏导数用 。 4.3 设 z f (u , v), u ( x, y ), v ( x, y ), 则复合函数 z f (( x, y ), ( x, y )) 关于 x 和 y 的偏导数
方向 T ((t0 ), (t0 ), (t0 )) 。根据“点向式”， M 点的切线方程为
x (t0 ) y (t0 ) z (t0 ) 。根据“点 (t0 ) (t0 ) (t0 )
法式”， M 点的法平面方程为 (t0 )( x (t0 )) (t0 )( y (t0 )) (t0 )( z (t0 )) 0 。 注意 p94，例 4
z z u z v z z u z v , 。 x u x v x y u y v y
4.4 设 z f (u , v, w), u ( x, y ), v ( x, y ), w ( x, y ) 则复合函数 z f (( x, y ), ( x, y ), w( x, y )) 关于 x 和 y 的偏导 数
z z dx dy 。注意 p73 例 1,2。 x y
dz z du z dv 。 dt u dt v dt
4.2 设 z f (u , v, w), u (t ), v (t ), w (t ) 则复合函数 z f ((t ), (t ), (t )) 关于 t 的导数
（3）
特别地， x, y, z 轴方向的单位向量分别为 i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1) ，设向量 a 与 x, y, z 轴的夹角分别为
, , 。由(3)式可得
a a i cos x | a || i | | a |
z z u z z u z v , 。 x u x y u y v y
注意：p79 例 1,2,3。 5. 隐函数求导，注意 p83 定理 1 及其 p85 定理 2 的证明。过一遍习题 9-5，第 1,2,3,4 题。 6. 曲面的切平面与法线方程 设曲面 的方程为 F ( x, y, z ) 0 ，则曲面上一点 M ( x0 , y0 , z0 ) 处的法向量为
1 在直角坐标下化为○ f ( x, y, z )dxdydz ，并根据 的特点进一步化为累次积分。
ay a j cos | a || j | | a |
a a k cos z 。 | a || k | | a |
（4）
习惯上，称 , , 为向量 a 的方向角， cos , cos , cos 为方向余弦。 3. 向量积的定义与计算
D
2. 二重积分的计算：
二重积分 f ( x, y )d
D
在直角坐标下化为 f ( x, y )dxdy ，并根据 D 的特点进一步化为累次积分。
D
在极坐标下化为 f ( cos , sin )d d ，并根据 D1 的特点进一步化为累次积分。
D1
注意 p141-143,例 1,2,3. P148 中例 6。二重积分的计算非常重要，需要作大量的练习来强化，请过一遍习题 10-2 中第 2,4,6,9,10,13,14 题。 3．三重积分的计算 三重积分 f ( x, y , z )dv
6. 平面的“一般”方程：一般的， x, y, z 的一次方程 Ax By Cz D 0 表示平面，且 x, y, z 的系数所构成的向
量 n ( A, B, C ) 为所表示平面的法向量。
7. 直线的一般方程 设平面 1 的方程为 A1 x B1 y C1 z D1 0 ，平面 2 的方程为 A2 x B2 y C2 z D2 0 ，如果两平面不平行， 则交线方程为
L( x, y, ) f x ( x, y ) x ( x, y ) 0 x L( x, y, ) f y ( x, y ) y ( x, y ) 0 y L( x, y, ) ( x, y ) 0
第九章：多元函数微分法及其应用
1. 二元函数的极限
xy , x2 y2 0 2 2 设 f ( x, y ) x y ，讨论极限 lim f ( x, y ) 是否存在。 x 0 2 2 0 y 0 , x y 0
注意：p59 例 5，p61 例 7，p62 例 8. 2. 偏导数与高阶偏导数的定义、记号及其计算，请精读教材 p63-p69, 重点掌握偏导数与高阶偏导数的计算。 3. 全微分 设 z f ( x, y ), ( x, y ) D R 2 ，则 z 的全微分 dz 4. 多元复合函数的导数 4.1 设 z f (u, v), u (t ), v (t ), 则复合函数 z f ((t ), (t )) 关于 t 的导数
2 2 ay az2 ，与 a 同方向的单位向量 设向量 a (ax , a y , az ) R 3 ，则 a 的模 | a | ax
1 1 ea a (ax , a y , az ) 。 |a| |a|
2. 数量积 p14, 两向量之间的夹角 p16, 方向角，方向余弦
a y az a a b a b x . bx by bz
5. 平面的“点法式”方程
平面 过点 M ( x0 , y0 , z0 ) 且以 n ( A, B, C ) 为法向量，则该平面的方程为 A( x x0 ) B ( y y0 ) C ( z z0 ) 0 。
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )) 。
根据“点法式”， M 点处的切平面方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0 。
求解以上方程组即得可能的极值点，注意习题 9-8 第 2,3,4,5 题。
第十章：重积分
1. 二重积分的几何意义 联系定积分的几何意义，二重积分 f ( x, y )d 表示以曲面 z f ( x, y ) 为顶、区域 D 为底的曲顶柱体的体积。由此
D
d 表示平面区域 D 的面积。要求了解 p35-36 中二重积分的性质。
z z u z v z w z z u z v z w , 。 x u x v x w x y u y v y w y
4.5 设 z f 来自百度文库u, v), u ( x, y ), v ( y ), 则复合函数 z f (( x, y ), ( y )) 关于 x 和 y 的偏导数
a b 的方向垂直于 a , b 所确定的平面，具体按右手螺旋法则来确定。
由以上定义可知， a b b a ， a a 0 ，注意 0 表示零向量。 a b 可由如下的三阶行列式来计算
i a b ax bx j ay by k a az y by bz
az ax i bz bx
az ax j bx bz
ay k。 by
4. 两个主要的充要条件：设向量 a (ax , a y , az ), b (bx , by , bz ), 则有 a b a b 0 ax bx a y by az bz 0.
7.拉格朗日乘数法 求 z f ( x, y ) 在条件 ( x, y ) 0 下可能的极值点的步骤
Step1 构造辅助函数 L( x, y , ) f ( x, y ) ( x, y )
Step2 求辅助函数 L( x, y , ) 关于 x, y, 的偏导数并令其为零，构造方程组
A1 x B1 y C1 z D1 0 A2 x B2 y C2 z D2 0
（5）式称为直线的一般方程。 8. 直线的“点向式”方程
（5）
x x0 y y0 z z0 直线 l 过点 M ( x0 , y0 , z0 ) 且方向矢量 S ( m, n, l ) ，则 l 的方程为 。 m n l
根据“点向式”， M 点处的法线方程为
x x0 y y0 z z0 。 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
注意 p99 例 6,例 7。 6. 空间曲线的切线和法平面
x (t ) 设曲线 L 的参数方程为 y (t ), t ，参数值 t0 对应曲线上的点 M ((t0 ), (t0 ), (t0 )) 。则 M 点处的切线 z (t )
（1）
设向量 a (ax , a y , az ), b (bx , by , bz ), 则 a 与 b 的数量积 a b | a || b | cos ax bx a y by az bz
（2）
其中 为 a 与 b 的夹角。由（2）式可得 ax bx a y by az bz a b cos 。 2 2 2 | a || b | ax a y az2 bx2 by bz2
设向量 a (ax , a y , az ), b (bx , by , bz ), 则 a 与 b 的向量积 a b 定义如下：
a b 的模为以 a , b 为边的平行四边形的面积，即 | a b || a || b | sin ，其中 为 a 与 b 的夹角。
高等数学复习提纲（第二学期）
亲爱的小朋友们，大学是新的起点，是人生最美好、最珍贵的年华。要满怀虔诚地、十分认真地过每一天。学会虔 诚与认真，一生都当如此。其实多年后回顾大学生活，自己是否曾经奋斗过最为紧要，要处理好生活与学习的关系， 无论学习还是生活，都必须有底线。
第八章：向量代数与空间解析几何
1. 向量的模、向量的单位化（p5）
dz z du z dv z dw 。 dt u dt v dt w dt
注意：一元函数的导数用 d ，多元函数的偏导数用 。 4.3 设 z f (u , v), u ( x, y ), v ( x, y ), 则复合函数 z f (( x, y ), ( x, y )) 关于 x 和 y 的偏导数
方向 T ((t0 ), (t0 ), (t0 )) 。根据“点向式”， M 点的切线方程为
x (t0 ) y (t0 ) z (t0 ) 。根据“点 (t0 ) (t0 ) (t0 )
法式”， M 点的法平面方程为 (t0 )( x (t0 )) (t0 )( y (t0 )) (t0 )( z (t0 )) 0 。 注意 p94，例 4
z z u z v z z u z v , 。 x u x v x y u y v y
4.4 设 z f (u , v, w), u ( x, y ), v ( x, y ), w ( x, y ) 则复合函数 z f (( x, y ), ( x, y ), w( x, y )) 关于 x 和 y 的偏导 数
z z dx dy 。注意 p73 例 1,2。 x y
dz z du z dv 。 dt u dt v dt
4.2 设 z f (u , v, w), u (t ), v (t ), w (t ) 则复合函数 z f ((t ), (t ), (t )) 关于 t 的导数
（3）
特别地， x, y, z 轴方向的单位向量分别为 i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1) ，设向量 a 与 x, y, z 轴的夹角分别为
, , 。由(3)式可得
a a i cos x | a || i | | a |
z z u z z u z v , 。 x u x y u y v y
注意：p79 例 1,2,3。 5. 隐函数求导，注意 p83 定理 1 及其 p85 定理 2 的证明。过一遍习题 9-5，第 1,2,3,4 题。 6. 曲面的切平面与法线方程 设曲面 的方程为 F ( x, y, z ) 0 ，则曲面上一点 M ( x0 , y0 , z0 ) 处的法向量为
1 在直角坐标下化为○ f ( x, y, z )dxdydz ，并根据 的特点进一步化为累次积分。
ay a j cos | a || j | | a |
a a k cos z 。 | a || k | | a |
（4）
习惯上，称 , , 为向量 a 的方向角， cos , cos , cos 为方向余弦。 3. 向量积的定义与计算
D
2. 二重积分的计算：
二重积分 f ( x, y )d
D
在直角坐标下化为 f ( x, y )dxdy ，并根据 D 的特点进一步化为累次积分。
D
在极坐标下化为 f ( cos , sin )d d ，并根据 D1 的特点进一步化为累次积分。
D1
注意 p141-143,例 1,2,3. P148 中例 6。二重积分的计算非常重要，需要作大量的练习来强化，请过一遍习题 10-2 中第 2,4,6,9,10,13,14 题。 3．三重积分的计算 三重积分 f ( x, y , z )dv
6. 平面的“一般”方程：一般的， x, y, z 的一次方程 Ax By Cz D 0 表示平面，且 x, y, z 的系数所构成的向
量 n ( A, B, C ) 为所表示平面的法向量。
7. 直线的一般方程 设平面 1 的方程为 A1 x B1 y C1 z D1 0 ，平面 2 的方程为 A2 x B2 y C2 z D2 0 ，如果两平面不平行， 则交线方程为
L( x, y, ) f x ( x, y ) x ( x, y ) 0 x L( x, y, ) f y ( x, y ) y ( x, y ) 0 y L( x, y, ) ( x, y ) 0
第九章：多元函数微分法及其应用
1. 二元函数的极限
xy , x2 y2 0 2 2 设 f ( x, y ) x y ，讨论极限 lim f ( x, y ) 是否存在。 x 0 2 2 0 y 0 , x y 0
注意：p59 例 5，p61 例 7，p62 例 8. 2. 偏导数与高阶偏导数的定义、记号及其计算，请精读教材 p63-p69, 重点掌握偏导数与高阶偏导数的计算。 3. 全微分 设 z f ( x, y ), ( x, y ) D R 2 ，则 z 的全微分 dz 4. 多元复合函数的导数 4.1 设 z f (u, v), u (t ), v (t ), 则复合函数 z f ((t ), (t )) 关于 t 的导数
2 2 ay az2 ，与 a 同方向的单位向量 设向量 a (ax , a y , az ) R 3 ，则 a 的模 | a | ax
1 1 ea a (ax , a y , az ) 。 |a| |a|
2. 数量积 p14, 两向量之间的夹角 p16, 方向角，方向余弦
a y az a a b a b x . bx by bz
5. 平面的“点法式”方程
平面 过点 M ( x0 , y0 , z0 ) 且以 n ( A, B, C ) 为法向量，则该平面的方程为 A( x x0 ) B ( y y0 ) C ( z z0 ) 0 。
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )) 。
根据“点法式”， M 点处的切平面方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0 。
求解以上方程组即得可能的极值点，注意习题 9-8 第 2,3,4,5 题。
第十章：重积分
1. 二重积分的几何意义 联系定积分的几何意义，二重积分 f ( x, y )d 表示以曲面 z f ( x, y ) 为顶、区域 D 为底的曲顶柱体的体积。由此
D
d 表示平面区域 D 的面积。要求了解 p35-36 中二重积分的性质。
z z u z v z w z z u z v z w , 。 x u x v x w x y u y v y w y
4.5 设 z f 来自百度文库u, v), u ( x, y ), v ( y ), 则复合函数 z f (( x, y ), ( y )) 关于 x 和 y 的偏导数
a b 的方向垂直于 a , b 所确定的平面，具体按右手螺旋法则来确定。
由以上定义可知， a b b a ， a a 0 ，注意 0 表示零向量。 a b 可由如下的三阶行列式来计算
i a b ax bx j ay by k a az y by bz
az ax i bz bx
az ax j bx bz
ay k。 by
4. 两个主要的充要条件：设向量 a (ax , a y , az ), b (bx , by , bz ), 则有 a b a b 0 ax bx a y by az bz 0.
7.拉格朗日乘数法 求 z f ( x, y ) 在条件 ( x, y ) 0 下可能的极值点的步骤
Step1 构造辅助函数 L( x, y , ) f ( x, y ) ( x, y )
Step2 求辅助函数 L( x, y , ) 关于 x, y, 的偏导数并令其为零，构造方程组
A1 x B1 y C1 z D1 0 A2 x B2 y C2 z D2 0
（5）式称为直线的一般方程。 8. 直线的“点向式”方程
（5）
x x0 y y0 z z0 直线 l 过点 M ( x0 , y0 , z0 ) 且方向矢量 S ( m, n, l ) ，则 l 的方程为 。 m n l
根据“点向式”， M 点处的法线方程为
x x0 y y0 z z0 。 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
注意 p99 例 6,例 7。 6. 空间曲线的切线和法平面
x (t ) 设曲线 L 的参数方程为 y (t ), t ，参数值 t0 对应曲线上的点 M ((t0 ), (t0 ), (t0 )) 。则 M 点处的切线 z (t )
（1）
设向量 a (ax , a y , az ), b (bx , by , bz ), 则 a 与 b 的数量积 a b | a || b | cos ax bx a y by az bz
（2）
其中 为 a 与 b 的夹角。由（2）式可得 ax bx a y by az bz a b cos 。 2 2 2 | a || b | ax a y az2 bx2 by bz2