第五章晶体中电子能带理论习题解答

晶体中电子能带理论

思考题

1. 1. 将布洛赫函数中的调制因子)(r k u 展成付里叶级数, 对于近自由电子, 当电子波矢远离和在布里渊区边界上两种情况下, 此级数有何特点? 在紧束缚模型下, 此级数又有什么特点? [解答] 由布洛赫定理可知, 晶体中电子的波函数

)()(r r k.r k i k u e =ψ,

对比本教科书(5.1)和(5.39)式可得

)(r k u =r

K

K .)(1

m i m

m e a N ∑Ω

.

对于近自由电子, 当电子波矢远离布里渊区边界时, 它的行为与自由电子近似, )(r k u 近似一常数. 因此, )(r k u 的展开式中, 除了)0(a 外, 其它项可忽略.

当电子波矢落在与倒格矢K n 正交的布里渊区边界时, 与布里渊区边界平行的晶面族对布洛赫波产生了强烈的反射, )(r k u 展开式中, 除了)0(a 和)(n a K 两项外, 其它项可忽略. 在紧束缚模型下, 电子在格点R n 附近的几率)(r k ψ2大, 偏离格点R n 的几率)(r k ψ2小. 对于这样的波函数, 其付里叶级数的展式包含若干项. 也就是说, 紧束缚模型下的布洛赫波函数要由若干个平面波来构造.. 2. 2. 布洛赫函数满足

)(n R r +ψ=)(r n k.R ψi e ,

何以见得上式中k 具有波矢的意义? [解答]

人们总可以把布洛赫函数)(r ψ展成付里叶级数

r

K k'h K k r ).()'()(h i h

e a +∑+=ψ,

其中k ’是电子的波矢. 将)(r ψ代入

)(n R r +ψ=)(r n k.R ψi e ,

得到

n k'.R i e =n k.R i e .

其中利用了πp n h 2.=R K (p 是整数), 由上式可知, k =k ’, 即k 具有波矢的意义. 3. 3. 波矢空间与倒格空间有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? [解答]

波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为321 b b b 、、

, 而波矢空间的基矢分别为32N N / / /321b b b 、、

1N , N 1、N 2、N 3分别是沿正格子基矢321 a a a 、、方向晶体的原胞数目.

倒格空间中一个倒格点对应的体积为

*321) (Ω=⨯⋅b b b ,

波矢空间中一个波矢点对应的体积为

N N b N b N b *

332211)(Ω=⨯⋅,

即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N . 由于N 是晶体的原胞数目, 数目巨大, 所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的. 也就是说, 波矢点在倒格空间看是极其稠密的. 因此, 在波矢空间内作求和处理时, 可把波矢空间内的状态点看成是准连续的.

4. 4. 与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电子具有强烈的散射作用？ [解答]

当电子的波矢k 满足关系式

)2(=+⋅n n K

k K

时, 与布里渊区边界平行且垂直于n K 的晶面族对波矢为k 的电子具有强烈的散射作用. 此时, 电子的波矢很大, 波矢的末端落在了布里渊区边界上, k 垂直于布里渊区边界的分量的模等于2/n K .

5. 5. 一维周期势函数的付里叶级数

nx a

i

n

n e

V x V π2)(∑=

中, 指数函数的形式是由什么条件决定的?

[解答]

周期势函数V (x ) 付里叶级数的通式为

x

i n

n n e V x V λ∑=)(

上式必须满足势场的周期性, 即

x

i n

n a i x i n

n a x i n

n n n n n e V x V e e V e V a x V λλλλ∑∑∑====++)()()()(.

显然

1=a i n e λ.

要满足上式, n λ必为倒格矢

n a n πλ2=

.

可见周期势函数V (x )的付里叶级数中指数函数的形式是由其周期性决定的.

6. 6. 对近自由电子, 当波矢k 落在三个布里渊区交界上时, 问波函数可近似由几个平面波来构成? 能量久期方程中的行列式是几阶的? [解答]

设与三个布里渊区边界正交的倒格矢分别为321K ,K ,K , 则321K ,K ,K 都满足

321 ,0)2(K ,K ,K K K k K ==+

⋅n n

n , 且波函数展式

r

K

k K r ).()(1)(m i m

m k e a N +∑=

Ω

ψ

中, 除了含有)( ,)( ,)( ,)0(321K K K a a a a 的项外, 其它项都可忽略, 波函数可近似为

]

)( ,)( ,)( ,)0([1

)().(3).(2).(1.321r K k r K k r K k r k k K K K r +++=

i i i i e a e a e a e a N Ω

ψ.

由本教科书的(5.40)式, 可得

0)()()()()()()0()(233221122=-+-+-+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-K K K K K K k a V a V a V a E m k , 0

)()()()()()(2)0()(3312211221=-+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+K K K K K K K k K a V a V a E m k a V , 0

)()()()(2)()()0()(3322221122=-+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-+-+K K K K k K K K K a V a E m k a V a V , 0

)()(2)()()()()0()(3222231133=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-+-+-+K k K K K K K K K a E m k a V a V a V .

由)( ,)( ,)( ,)0(321K K K a a a a 的系数行列式的值

)(2)

()

()

()()(2)()()

()()(2)()()()()(222231333222122312122132122=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡----⎥⎦⎤

⎢⎣⎡----⎥⎦⎤

⎢⎣⎡----⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-k K K K K K K K k K K K K K K K k K K K K k E m k V V V V E m k V V V V E m k V V V V E m k .

可解出电子的能量. 可见能量久期方程中的行列式是四阶的.

7. 7. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点? [解答]

电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢n K 正交, 则禁带的宽度

)(2n K V E g =,

)(n K V 是周期势场的付里叶级数的系数.

不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交.

8. 8. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 其有效质量何以与真实质量有显著差别? [解答]

晶体中的电子除受外场力的作用外, 还和晶格相互作用. 设外场力为F , 晶格对电子的作用力为F l , 电子的加速度为

)(1

l m F F a +=

.

但F l 的具体形式是难以得知的. 要使上式中不显含F l , 又要保持上式左右恒等, 则只有

F

a *1m =.

显然, 晶格对电子的作用越弱, 有效质量m*与真实质量m 的差别就越小. 相反, 晶格对电子的作用越强, 有效质量m *与真实质量m 的差别就越大. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 与布里渊区边界平行的晶面族对电子的散射作用最强烈. 在晶面族的反射方向上, 各格点的散射波相位相同, 迭加形成很强的反射波. 正因为在布里渊区边界上的电子与晶格的作