2.3 电位2.4电偶极子

当 r ≤a
E dl E2 dl E1 dl
r r a

a

0 a 2 r 2 a 4 r 4 2a 2 [ ] 0 6 20a 2 15
当 r≥a
E dl E1 dl
r r



r
2 0 a3 dr 2 15 0 r
第二章 静电场
2.3 静电场的旋度和静电 场的电位
主要内容



静电场的旋度 静电场的电位 泊松方程 电偶极子
学习目的



掌握电位的求解方法 掌握静电场的旋度方程 掌握电场强度与电位之间的关系 了解电偶极子产生的电场
一、静电场的旋度
B
q E d l 4 0 l eR dl q 2 R 4 0 l dR q 2 R 4 0 RA
r r 2 2
2 r4 r3 r5 4r D2 r 4r dr =40 r 2 dr 40 a 3 5a 0 0 r r3 0 r r 3 于是 D2 0 2 , E2 2 0 3 5a 3 5a
E


电场线 等位面



静电场特性的进一步认识：
（1）静电场的电场线是不可能闭合的 ，而且也不可能相交。 （2）任意两点之间电场强度 E 的线积分与路径无关。真空中的静电场 和重力场一样，它是一种保守场。 （3）已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度，或 者可以通过电位求出电场强度，或者直接根据电荷分布计算电场强度
（1）电位的定义
由
E 0 E
直 角 坐 标 系
称为静电场的标量位函数，又称电位函数
E ex
ey ez x y z
◇ E 在任意方向上的分量 El l ◇ 由此可求得电位的微分
E x x E y y E z z
E dl E dr
r r r
dr 2
方法三：利用解电位方程的方法计算 由于电荷对称分布，因而电位仅仅是坐标r的函数，球外电位满足拉普 拉斯方程 2 0 其解为：

C1 C2 r
当r
0
常数C1由球面上的边界条件确定，在球面r=a上

r zez
r ' a sin cos ex a sin sin ey a cos ez
r r ' a 2 sin 2 ( z a cos ) 2
dS a2 sin d d
1 4π 0

s
r r

0 ' 2
s
ds
1 4π 0
s
C1 q E 0 r 0 0 4πa 2 r a2
q 4π 0
从而有 从而球外电位为
C1

q 4 π 0 r
q
0
球内电位为一常数 4π a
内容小结
1. 静电场的基本方程
s
D dS q
D
E dl 0

q

q l cos 4 0 r 2
取如图所示坐标系，场点 P r, , 的电 位等于两个点电荷电位的叠加

q 1 1 q 1 1 4 0 r r 4 0 r r
2 2
引入电偶极矩p
p ql
得电偶极子的电位

s
a sin ( z a cos )
2 2 2 2
s
a 2 sin d d
s a2 4π 0

0
sin a sin ( z a cos )
2 2
d d

q (r a) 4π 0 r q (r a) 4π 0 a
方法二：使用电场强度的线积分计算。

若取无穷远处的电位为零，则
q 4 0 R
多个点电荷的电位计算：
1 N qi 4π 0 i 1 Ri
R i 为第i个电荷源到P点的距离。 其中：
b.连续分布的电荷源的电位计算
线电荷分布：
1 4π 0

l
R
l
dl
面电荷分布：
1 4π 0

S
R
S
dS
体电荷分布：
D 0，E＝ D
q 0
0
0
ra时，高斯面包围电荷为q，即 q q q D q D ， E ＝ 4 πr 2 0 4 π 0 r 2
求电位可采用以下三种方法来求解。 方法一：使用分布电荷的电位公式计算。

1 4π 0

s
r r
'
s
ds
场点为： 源点为： 面元为：

s
2 r4 8 4r D1 = r 4r dr 40 r 2 dr 0 a3 a 15 0 0
a a 2 2
3 3 2 a 2 a 0 于是 D1 0 , E1 15 r 2 15 0 r 2
当 r ≤a
D
S
2
dS q
2 0 a3 15 0 r
1
四、电偶极子
z
q l
(1 x)
1
2
1 3 1 x x2 .......(1 x 1) 2 8
P r , , r r r
当 r l
1 1 1 2 l cos r r r q 1 1 1 l cos 因此 2 4 0 r r r
RB
1 1 R R A B
RB
q
l
当A、B 两点重合，得
RA
A
E dl 0
l
斯托克斯定理
E 0
真空中静电场的基本方程
q E d S 0 s
E
0
E dl 0
l
E 0
真空中静电场是有源无旋场。
二、静电场的电位
r a时， U 0 r 时， 0
球坐标系下拉普拉斯方程为：
2 1 2 (r )0 r 2 r r
积分得：

C1 C2 r
代入边界条件得： C1 aU 0
C2 0
故：

aU 0 (r a) r
E er
aU er 2 0 r r

1 4π 0


RHale Waihona Puke Baidu
V
dV
三、电场强度 E与电位 之间的关系
E dl
P
E
电场线与等位面一定处处保持垂直。若规定相邻的等位面之间
的电位差保持恒定，那么等位面密集处表明电位变化较快，因而
场强较强。这样，等位面分布的疏密程度也可表示电场强度的强 弱。


0
若空间电荷分布为零，则有
2 0
电 位 的 泊 松 方 程
电位满足的拉普拉斯方程
【例2-6】半径为a的带电导体球面，已知球体电位为U0，球外无电荷，
试计算球外空间的电位及电场强度。
【解】：球外空间的电位满足拉普拉斯方程
2 0( 0)
边界条件为
4. 泊松方程、拉普拉斯方程（真空）
2
0
2 0
作业：P50 2-11、2-14
等三种计算静电场的方法。
中为常数。试计算球内外的电位移矢量和电位函数。 0 D 沿半径方向且大小为r的函数，作一 【解】: 电场具有球对称性， 个与球同心、半径为r的高斯球面，由高斯定理得： 当 r≥a D1 d S q
【例1】 电荷按体密度 r 0 1 r
2
/ a2 分布于半径为a 的球形区域内， 其
【例2】 已知半径为a，带电为q的均匀带电导体球面。求球内 、外的电场和电位分布。
【解】：电场分布有球对称性，且方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面（即球面）。 由高斯定理，通过此高斯面的电通量为

S
D dS D dS D 4 πr 2＝ q, D
S
q
4 πr 2
r≤a时，高斯面内无电荷，
E dl
a
当场点位于球面上或球内时，即r≤a时。因为球内的电场强度为零， 球内是等位体，故
E dl E dr
a a
q 4π 0 r
q 4π 0 r
a
dr 2
q 4π 0 a
q 4π 0 r
当场点位于球面以外时，即r>a时。有

1 p er 1 pr 4π 0 r 2 4π 0 r 3
p e 2cos e sin 3 r 4 0 r
r r l 2rl cos 1 1 1 r r 2 l 2 2rl cos r 1 ( l ) 2 2l cos r r
2. 静电场的电位
3. 电偶极子
l
E 0
E dl
P

q 4 0 R
1 pr 3 4 π 0 r

1 p er 4π 0 r 2
E
p e 2cos e sin 3 r 4 0 r
◇ 电位定义： P点和无穷远处的电位差称为P点的电位。
d El dl E dl
◇ 空间A、B 两点的电位差
E dl
P

B A E dl
A
B
以无穷远处为零电位参考点。
（2）电位的计算
a.点电荷的电位计算
1 qeR q dR d l 4 0 R2 4 0 R2 R R q C 4 0 R
而
电偶极子的电场强度
E
上述结果表明，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度的 大小与距离的三次方成反比。而且两者均与方位角 有关。这些特点 与点电荷显著不同。下图绘出了电偶极子的电场线和等位线的分布。
五、泊松方程、拉普拉斯方程
E
E
0
0
2