函数的极值,最大值与最小值

二、最大值最小值问题
观察与思考： 观察下面的函数在哪些点有可能成为最 大值或最小值点? 怎样求函数的最大值和最小值? M m x1 x2 x3 x4 x5
极值与最值的关系: 闭区间上的连续函数其最大值和最小值 只可能在区间端点及区间内的极值点处取得. 函数在闭区间[a b]上的最大值一定是函 数的所有极大值和函数在区间端点的函数值 中的最大者; 其最小值一定 是函数的所有极 小值和函数在区 间端点的函数值 中的最小者
2 3
解: 所给函数为[0, 3]上的连续函数.
2处f ( x)不存在. 9 1 23 4， f (3) ， f (2) 1， f (0) 1 3 3 所以: f(x)在[0,3]上的最大值为f(2)=1. 2 最小值为 f (0) 1 3 4. 3 f ( x)
例1.求y 3x 8 x 6 x 的极值与极值点. 解: 所给的函数定义域为 (,).
3 2 2 y 12 x 24 x 12 x 12 x( x 1) . 令y 0，得驻点x1 0, x2 1，
4
3
2
y在(,)内存在.
1 0 (1, ) (0, 1) x (,0) y 0 – 0 + + y 非极值 极小0
x ( 1) 1 (1 1) f (x ) 不可导 f(x )
1
0
(1 )

↗
3
↗
0
↘ 33 4
(4)极大值为 f (1)0 极小值为 f (1) 3 4
定理3 (第二充分条件) 设函数f(x)在点x0处 具有二阶导数, 且 f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0, 则
例3. 求函数f(x)(x21)31的极值 21)2 f ( x ) 6 x ( x 解: 令f (x)0 求得驻点x11 x20 x31 f (x)6(x21)(5x21) 因为f (0)60 所以f (x)在x0处取得极 小值 极小值为f(0)0 因为f (1)f (1)0 无法用定理3-8判别 在1的左右邻域内f (x)0 所以f(x)在1处没有极值 同理, f(x)在1处也没极值
(1) 当x x0时, f ( x) 0,当x x0时, f ( x) 0，
则x0为f ( x)的极大值点.
(2) 当x x0时, f ( x) 0,当x x0时, f ( x) 0，
则x0为f ( x)的极小值点.
说明: 对于情形(1)，由判别定理可知, 当 x x0 时, f(x)单调增加, 当 x x0 时, f(x)单调减少, 因此可知x0为f(x)的极大值点. 同理可说明情形(2).
所以 M max{ f (3), f (2), f (1), f (4)} f (4) 142,
m min{ f (3), f (2), f (1), f (4)} f (1) 7.
例5. 工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km A 点到火车站B的距离为100km 欲修一条从工厂到 铁路的公路CD 已知铁路与公路每公里运费之比 为3:5 为使火车站B与工厂C间的运费最省 问D 点应选在何处？ 解: 设ADx(km) B与C间的运费为y 则 y5kCD3kDB (k是某个正数)
第四节 函数的极值和最大、最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题
一、函数的极值
1. 极值的定义 定义 设函数f(x)在x0的某邻域内有定义, 如 果对于该邻域内任何异于x0的x都有 (1) f ( x) f ( x0 ) 成立, 则称 f ( x0 ) 为 f(x)的 极大值, 称 x0为f(x)的极大值点； (2) f ( x) f ( x0 ) 成立, 则称 f ( x0 )为f(x)的 极小值, 称 x0为f(x)的极小值点； 极大值、极小值统称为极值. 极大值 点、极小值点统称为极值点.
x x0 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0, 当 x x0 时, x x x x0 f ( x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) 0, 0, 所以 f ( x0 ) lim x x x x0 x x0
可知x=0为y的极小值点, 极小值为0.
例 2. 例 1 求函数 f (x) (x 4)3 (x 1)2 的极值 解: (1) f(x)在( )内连续 除x1外处 5(x 1) 可导 且 f (x) 3 3 x 1 (2) 令f (x)0 得驻点x1 x1为不可导点 (3) 列表判断
(1)当f ( x0 ) 0时，x0为f ( x)的极大值点， (2)当f ( x0 ) 0时，x0为f ( x)的极小值点.
由 f ( x0 ) 0 知, 存在x0的某邻域, 使 f ( x) 0 ; 故当 x x0 时， 当 x x0时, f ( x) 0 , 由判别法1知 f ( x) 在 x0 取极大值 . 同理证(2).
0
0
使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的 实根)称为函数f(x)的驻点. 思考: 极值点是否一定是驻点? 驻点是 否一定是极值点?
y
o a x1 x2 x3 x4
x5 b
x
3. 极值的判别法 定理2 (第一充分条件) 设函数y=f(x)在点x0 连续, 且在x0的某邻域内可导(点x0可除外). 如果在该邻域内
4
y | x 1 12 16 12 16 0, 可知x1 1为函数的极小值点, 相应的极小 7 值为y | x 1 . y | x 0 12 0, 3
x2 0为函数的极大值点，相应的极大值为 y | x 0 0. y | x 3 48 0, x3 3为函数的极 小值点， 相应极小值为y |x3 45.
(1) 当x x0时, f ( x) 0,当x x0时, f ( x) 0，
则x0为f ( x)的极大值点.
(2) 当x x0时, f ( x) 0,当x x0时, f ( x) 0，
则x0为f ( x)的极小值点.
如果f(x)在x0的两侧保持相同符号, 则x0 不是f(x)的极值点.
特殊情况下的最大值与最小值: 若 f(x)在一区间(有限或无限 开或闭)内可导且 有且只有一个驻点x0 则： 当f(x0)是极大值时 f(x0)就是f(x)在该区间上的 最大值 当f(x0)是极小值时 f(x0)就是f(x)在该区 区间上的最小值
说明
练习题
2 1.设f ( x) 1 ( x 2) ，求f ( x)在[0,3]上的最大 3 值与最小值.
M
m
Biblioteka Baidux1
x2
x3
x4
x5
例4. 求 y 2 x 3x 12 x 14 在 [3,4] 上的最大值与最小值. 2 解: y 6 x 6 x 12 6( x 2)( x 1), 令 y 0, 得驻点 x1 2, x2 1. 因为
3 2
f (3) 23, f (2) 34, f (1) 7, f (4) 142,
M
m
x1
x2
x3
x4
x5
最大值和最小值的求法: (1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导 点 设这些点为x1 x2 xn; (2)计算函数值 f(a) f(x1) f(xn) f(b) ;
(3)判断: 最大者 是函数f(x)在[a b] 上的最大值 最小 者是函数f(x)在[a b]上的最小值
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质. 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或不存在的点上. y x 1 , x4 为极大点
x 2 , x5 为极小点
x3 不是极值点
o a x1 x2 x3 x4 x5 b
x
2. 极值存在的必要条件 定理1 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取 得极值, 那么f (x0)0. 证明: 以f(x0)是极大值来证明. 因为f(x0)是极大值, 故在x0的某邻域内, 对任意的 x x0 都有 f ( x) f ( x0 ), 所以, f ( x) f ( x0 ) 0, 所以 当 x x0 时,
x (0 , ) 2 1 . 8 3.2 1.4 ( x 5.76) 2 2 2 2 2 2 2 2 x 3.2 x 1.8 ( x 3.2 )( x 1.8 ) 令 0 , 得驻点 x 2.4 (0 , )
x
x
x
根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在, 驻点 又唯一, 因此他站在距墙 2.4 m 处看图最清楚 .
即 y 5k 400 x 2 3k (100 x) (0 x100) 100km A B x DB=100x D
20km
CD 400 x 2
C
y 5k 400 x2 3k (100 x) (0x100)
5 x 5 x 由由 0 0得 x 15 y k ( 3 )3 得 x 15 y k ( ) 400 x 400 2x2
由于y|x0400k y|x15380k
其中以y|x15380k为最小
1 y |x 100 500k 1 2 5
因此当AD15km时 运费最省
例6. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上, 它的底边高 于观察者的眼睛1.8 m, 问观察者在距墙多远处看 图才最清楚(视角 最大) ? 1.4 解: 设观察者与墙的距离为x(m), 1.4 1.8 1.8 1 . 8 则 arctan arctan ,
f ( x) f ( x0 ) f ( x) 证: (1) f ( x0 ) lim lim x x0 x x0 x x0 x x0
说明: 当二阶导数易求, 且驻点x0处 的二阶导数 f ( x0 ) 0 时, 利用判定极值 的第二充分条件判定驻点 x0是否为极值 点比较方便. 但当 f (x0)0时 只能用方法1判断.
1 4 ( x 2) 3 , 在x
8 3 2 2. 求y x x 6 x 的极值与极值点. 3 解: 所给的函数定义域为 (,), 3 2 y 4 x 8 x 12 x 4 x( x 1)( x 3). 令y 0得驻点x1 1，x2 0，x3 3. 2 y 12 x 16 x 12.
判定函数极值一般步骤 (1) 求f ( x).
(2) 找出f ( x)的所有驻点和f ( x)不存在的点
x1 , , xk .
(3) 判定每个驻点和导数不存在的点 xi (i 1,2, , k ) 两侧(在xi 较小的邻域内) f ( x) 的符号, 依定理判定xi 是否为f(x)的 极值点.