函数的极值,最大值与最小值
高等数学《函数的极值与最大、最小值》课件
3) 若 f ( x)在开区间内定义,这时最值不一定存 在 ,有些实际应用问题根据实际可确定问题一 定有解 .
设 f ( x)在开区间内定义且可导, f ( x)在开区间内 有唯一驻点 x0 ,若 f ( x0 )是 f ( x)的极小值(极大值) , 则 f ( x0 )是 f ( x)的最小值 (最大值) .
f (0) 1为极大值 , 即为最大值 .
x 1时, f ( x) f (0) 1 , 即当 x 1时, 有 e x 1 . 1 x
小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤. 利用最大、小值证明不等式
思考题
若 f (a) 是 f ( x) 在[a, b] 上的最大值或最 小值，且 f (a)存在，是否一定有 f (a) 0 ？
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
定理2(第二充分条件)
设 f ( x) 在 x0处具有二阶导数,且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 ,则 (1) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )为 f ( x)的极大值 .
f
( xk ),
f
(a),
f
(b)
}.
min
x[ a ,b ]
f (x)
min{
f ( x1) ,,
f ( xk ),
f (a),
f (b) }.
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
高等数学-第七版-课件-3-6 函数的极值与最大值最小值
o
x
定义 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义， 如果对于去心邻域U0(x0)内的任一x，有 y f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)) 称f(x0)为函数f(x)的一个极大值（极小值） 函数的极大值与极小值统称为函数的极值， 使函数取得极值的点称为极值点 注 极值是一个局部的概念
海岸位于A点南侧40km，是一条东西走向的笔直长堤. 演习中部队先从A出发陆上行军到达海堤，再从海堤处乘舰艇 到达海岛B. 已知陆上行军速度为每小时36km，舰艇速度为
每小时12km.问演习部队在海堤的何处乘舰艇才能使登岛用 y 时最少？ 分析 陆上行军耗时 o 海上行军耗时 A
(0,40)
？ R(x,0) B
x
(140,-60)
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
例4 从边长为a的一张正方形薄铁皮的四角切去 边长为x的四个小正方形，折转四边，作一 个盒子，问x为何值时盒子的容积最大？
例5 某企业以钢材为主要生产材料。设该厂每天的钢材需求量为 R吨，每次订货费为C1元，每天每吨钢材的存贮费为C2元 （其中R、 C1、 C2为常数），并设当存贮量降为零时，能 立即得到补充（在一个订货周期内每天的平均存贮量为订货 量的二分之一）求一个最佳的订货周期，使每天的平均费用 最小？ q(t) Q o T C C0
o
x
定义 设函数f(x)在区间I上有定义，如果存在x0∈I,使得对于区间I内 的任一x，有 f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),则称f(x0)为函数f(x) 在区间I上的最大值(或最小值).
函数的极值与最大值最小值
lim
x x0
f (x) f (x0 ) (x x0 )n
2
(n为正整数)
试讨论 f (x)在 x x0 点的极值问题.
解：由于 lim f (x) f (x0 ) 2 0， xx0 (x x0 )n
则
0，当x U (x0, ) 时，有
f
(x) f (x0 ) (x x0 )n
a 1 当a 1时，则1 e1a 0，a 1 0，于是，f (a) 0； 当a 1时，则1 e1a 0，a 1 0，于是，f (a) 0； 因此，当a 1时，f (a) 0，由第二充分条件可知： f (a) 为极小值.
-11-
例 4 设 f (x)在 x0 的某个邻域内连续，且
切线与直线 y 0 及 x 8所围成的三角形面积最大．
解 如图，设所求切点为 P(x0, y0 ), y
T
则切线PT为：y y0 2x0 (x x0 ),
B
P
y0 x02 ,
oA
Cx
A(
1 2
x0
,
0),
C(8, 0),
B(8, 16x0 x02 )
SABC
1(8 2
1 2 x0 )(16 x0
由极值定义可知：f (x)在 x0 不取得极值.
-13-
二、最大值最小值问题
假定：f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内除有限个点外可导， 且至多有有限个驻点.
讨论：f (x) 在[a,b]上的最大值与最小值的问题.
★ 最值的存在性：
若 f (x)在[a,b] 上连续，则 f (x) 在[a,b]上的最值必定存在.
如：y x3，y x0 0， 但 x 0 不是极值点.
【注 2】函数的极值点只可能是驻点或导数不存在的点.
函数的极值与最大值最小值
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ′(x0)=0. •驻点 使导数f ′(x)为零的点(方程f ′(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点. 观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值
x1 x2
x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续, 且在(a, x0)∪(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f ′(x)>0, 在(x0, b)内f ′(x)<0, 那么函数f(x) 在x0处取得极大值; (2)如果在(a, x0)内f ′(x)<0, 在(x0, b)内f ′(x)>0, 那么函数f(x) 在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f ′(x)的符号相同, 那么函数f(x) 在x0处没有极值.
1 2 所以当b= d 时, 抗弯截面模量 W 最大, 这时 h = d . 3 3
讨论：
函数f(x)=x4, g(x)=x3在点x=0是否有极值？ >>>
例2 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值. 解 f ′(x)=6x(x2−1)2. 令f ′(x)=0, 求得驻点x1=−1, x2=0, x3=1. f ′′(x)=6(x2−1)(5x2−1). 因为f ′′(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. 因为f ′′(−1)=f ′′(1)=0, 所以用定理3无法判别. 因为在−1的左右邻域内f ′(x)<0, 所以f(x)在−1处没有极值. 同理, f(x)在1处也没有极值.
函数的极值与最大、最小值
例如
x =1 为极大值点 ,
f (1)=2是极大值;
x =2 为极小值点 ,
f (1)=2是极小值.
例如
x =0为极小值点 ,
f (0)=0是极小值.
注意:
函数的极值是函数的局部性质.
x1 , x4 , x6 为极小值点,
x2 , x5 为极大值点,
二、最大与最小值问题
第十节 函数的极值与最大、最小值
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一、函数的极值及其求法
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一、函数的极值及其求法 1.函数极值的定义
设 f(x) 在区间 (a,b) 内有定义 , x0 (a,b) ,
若对任意的 xU(x0, ) (a,b) 且 x x0 , 有
练习题答案
第二充分条件;
(注意使用条件)
注意最值与极值的区别.
最值是整体概念而极值是局部概念.
实际问题求最值的步骤.
利用最大、小值证明不等式
则:
1
且
2
当 n 为偶数时,x = x0 为极值点 , 且
3
x = x0 为极小值点 ;
4
= x0 为极大值点 .
5
当 n 为奇数时,
6
= x0 不是极值点 .
7
但点 (x0 , f (x0 ) ) 是曲线 y=f(x)的拐点 .
最大值, 最小值的特殊情形:
1)如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)
3)对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出 的可疑点是否为最大值点或最小值点 .
例3 三角形 ABC 的底为 a , 高为 h ,求内接
5.3.2函数的极值与最大(小)值课件(人教版)
高中数学
探究新知
问题4 最大（小）值与极值有什么区分和联系？
最大（小）值与极值的区分是：
1.极值是函数的局部性质，最大（小）值是函数
的整体性质；
高中数学
探究新知
2.函数的极大(小)值可以有多个，而最大(小)值
是唯一的；
高中数学
探究新知
3.函数的极大值不一定大于极小值，极小值不
一定小于极大值，而最大值一定大于最小值(常值函
解: 函数定义域为(∞，+∞).
1
3
因为 f(x)= x34x+4，所以f′(x)=x24=(x+2)(x2).
令 f′(x)=0，解得x=2或x=2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示
高中数学
知识应用
x (∞，2) 2
f′(x)
+
0
f(x) 单调递增
(2，2)
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值
（maximum value）.
高中数学
探究新知
问题1 函数的最大值与最小值的定义是什么？
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在
实数m满足：
(1)∀x∈I，都有f(x)≥m；
(2)∃x0∈I，使得f(x0)=m．
那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值
0
+
f(x) 单调递减 0 单调递增
所以，当x=1时，f(x)取得最小值.
1
所以f(x)≥f(1)=0. 即 1+lnx≥0.
1
所以当x>0时，1 ≤lnx.
高中数学
知识应用
小结 求函数在某区间上的最大（小）值，
函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题
一、函数的极值及其求法
极值定义 设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
如果对 x U ( x0 ) ,有 f ( x ) f ( x0 ) ( 或 f ( x ) f ( x0 ) ),
求函数 f ( x ) x 2 3 x 2 在 [3,4] 上的 例3 最大值与最小值 .
解: 显然
一定取得最大值与最小值.
f ( x) ( x 2)( x 1)
又
x 1, x 2为不可导点
x [3,1] [2,4] x (1,2).
x 2 3 x 2, f ( x) 2 x 3 x 2,
2 5
0 0.33
2 ( 5 , )
其极大值为 是极大点，
是极小点， 其极小值为
确定函数极值点和极值的步骤
(1) 确定函数定义域 , 并求导数 f ( x );
(2) 求出 f ( x ) 的全部驻点与不可导点;
(3)驻点和不可导点将定义域区间分成若干个区间， 列表考察导函数在各个区间内的符号，以便确定该点
x 最大(小)值若在区间内部取得,则它一定是极大(小)值. o a x1 x2 x3x4 b x 2 , x4 为极小值点
费马( Fermat )引理
设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
若 (1) f ( x)在 x0 点可导
则 f ( x0 ) 0.
(2) f ( x)在 x0 点取得极大值或极小值
点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成的三角形
函数的极值与最大值最小值
(
)
3
(
检查
x
f
¢
0
)
(
)
2
(
的根
求驻点，即方程
=
¢
x
f
);
(
)
1
(
x
f
¢
求导数
.
)
4
(
求极值
例1
求函数 的极值.
解
得驻点
在
的左右两侧附近，
因此 不是极值.
在
点左侧，当 时，
2.9 函数的极值与最大值最小值
讨论蛋白质含量随积温变化的情况.
解 单位土地面积上黑麦草的蛋白质含量的比例为 此函数导数的计算比较复杂，作近似计算 §2.9 函数的极值与最大值最小值
取
令
得w = 683，是最大值点，
此时收获得到的蛋白质数量最多；
令
得w =493，是增长曲线的拐点，
此时是蛋白质数量增加最快的阶段.
只有一个驻点，而最大值一定存在，此驻点就是最大值点，
即当产量为300件时，总利润最大，为25000元.
L(300)=25000，
§2.9 函数的极值与最大值最小值
例6
河北沧州地区种植黑麦草作为饲料，单位土地面积上黑麦草的干物质积累量m是积温w的函数，
而随着植物的生长，干物质中的蛋白质含量 的比例逐渐下降，经验公式为
极值,
定理1
（必要条件）
证明略. (费马引理)
导数等于零的点称为函数的驻点.
§2.9 函数的极值与最大值最小值
例如，
注
① 可导函数的极值点一定是驻点，但反过来驻点不一定是极值点；
② 导数不存在的点也可能是极值点.
函数的极值,最大值与最小值
(1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导
点 设这些点为x1 x2 xn; (2)计算函数值 f(a) f(x1) f(xn) f(b) ;
(3)判断: 最大者 M 是函数f(x)在[a b]
上的最大值 最小
小值 极小值为f(0)0 因为f (1)f (1)0 无法用定理3-8判别
在1的左右邻域内f (x)0 所以f(x)在1处没有极值 同理, f(x)在1处也没极值
二、最大值最小值问题
观察与思考： 观察下面的函数在哪些点有可能成为最
大值或最小值点? 怎样求函数的最大值和最小值?
M
m
x1 x2 x3 x4 x5
思考: 极值点是o a x1 x2 x3 x4 x5 b x
3. 极值的判别法
定理2 (第一充分条件) 设函数y=f(x)在点x0 连续, 且在x0的某邻域内可导(点x0可除外). 如果在该邻域内
(1)当x x0时,f (x) 0,当x x0时,f (x) 0，
x x0
xx0 x x0
由 f (x0 ) 0知,存在x0的某邻域, 使
故当 x x0 时，f (x) 0; 当x x0时, f (x) 0,
由判别法1知 f (x)在 x0 取极大值. 同理证(2).
说明: 当二阶导数易求, 且驻点x0处
的二阶导数 f (x0 ) 0 时, 利用判定极值
2. 极值存在的必要条件
定理1 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取 得极值, 那么f (x0)0.
证明: 以f(x0)是极大值来证明.
因为f(x0)是极大值, 故在x0的某邻域内,
对任意的 x x0 都有 f (x) f (x0 ), 所以,
当 x x0时,
极值与最值
y 1 x2
1
P ( x,1 x
1
A
2
)
所求三角形的面积为
1 x2 1 2 ( x 2 1)2 S ( x) ( x 1) ( x 0) 2 2x 4x
o
x
1 x2 1 2 ( x 2 1)2 S ( x) ( x 1) ( x 0) 2 2x 4x
解 设房租为每月 x元，
x 180 套， 租出去的房子有 50 10
每月总收入为
x 180 R( x ) ( x 20) 50 10
x R( x ) ( x 20) 68 10 x 1 70 x R( x ) 68 ( x 20) 5 10 10
第五节 函数的极值与 最大值最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题
一、函数的极值及其求法
定义:
在其中当
(1) 则称 称 (2) 为
时,
的极大值点 ,
为函数的极大值 ;
则称
称
为
的极小值点 ,
为函数的极小值 .
极大值点与极小值点统称为极值点 .
例如 , 函数 f ( x) 2 x 3 9 x 2 12 x 3 为极大值点, 是极大值
x1 0 , x2 1, x3 2
(9) 4 2 12 81 96 0
故函数在 x x 2 取最小值 0 ; 0在 x 1及 5 取最大值 5. 2 0 9 x 12 2
R( x ) 0
x 350 （唯一驻点）
故每月每套租金为350元时收入最高。
350 最大收入为 R( x ) ( 350 20) 68 10 10890 (元)
函数的极大(小)值和最大(小)值
§2-6 函数的极大(小)值和最大(小)值1.函数的极大(小)值 一个函数在它有定义的区间上可能没有最大(小)值，但它在某个部分区间上可能会有最大(小)值，即局部最大值或局部最小值.函数的局部最大值或局部最小值，又称为函数的极大值或极小值.具体地说，设函数)(x f 在点),(0b a x ∈连续.若有足够小的正数δ，使)||0()()(00δ<-<<x x x f x f (图2-21) 则称函数)(x f 在点0x 取到极大值)(0x f ，并称点0x 为函数)(x f 的极大值点.同理，使 )||0()()(11δ<-<>x x x f x f (图2-21) 则称函数)(x f 在点1x 取到极小值)(1x f ，并称点1x 为函数)(x f 的极小值点.函数的极大值和极小值统称为函数的极值，而函数的极大值点和极小值点统称为函数的极值点. 因为函数的极值是函数在小范围内的最大值或最小值，根据定理2-1，我们就有下面的结论：若函数()f x 在某区间内的点0x 处取到极值且有导数'0()f x ，则'=0()0f x .因此，0()0f x '=是可微函数．．．．在点0x 取到极值的必要条件,但它不是可微函数取到极值的充分条．．．．．．．．．．．．．．．．件．! 例如函数3)(x x f =，尽管有0)0(='f ，但0不是它的极值点(图2-22).以后，就把使0()0f x '=的点0x 称为函数)(x f 的驻点(可能不是极值点．．．．．．．).需要指出，不能把上面的结论简单说成“函数取到极值的必要条件”.例如，函数()f x x =(图2-23)，它在点0有极小值(也是最小值)，可是它在点0没有导数.因此，函数在区间内部的极值点只可能是它的驻点或没有导数的点.它们合在一起称为函数的临界点.一般情形下，求连续函数)(x f 在开区间),(b a 内的极值时，一般步骤是：第一步，求出)(x f 在区间),(b a 内的所有临界点(即驻点或没有导数的点)；第二步，对于每一个临界点，再用下面的判别法验证它是否为极值点；第三步，求出函数在极值点处的函数值(即函数的极大值或极小值).判别法Ⅰ 设0x 为连续函数)(x f 在区间),(b a 内的临界点(驻点或没有导数的点).若有足够小的正数δ，使(见图2-24)⑴)(x f 在),(00x x δ-内是增大的且在),(00δ+x x 内又是减小的，则)(0x f 是极大值； 图2-23x图2-21[或] [或]⑵)(x f 在),(00x x δ-内是减小的且在),(00δ+x x 内又是增大的，则)(0x f 是极小值；[或0)(<'x f ] [或0)(>'x f ]⑶)(x f 在),(00δδ+-x x 内是增大的或是减小的，则)(0x f 不是极值.当0x 为函数)(x f 的驻点且0)(0≠''x f 时，就用下面的判别法Ⅱ.判别法Ⅱ 设0x 为函数)(x f 在区间),(b a 内的驻点[即0)(0='x f ].若有二阶导数0)(0≠''x f ，则⑴ 当0)(0<''x f 时，)(0x f 是极大值； ⑵ 当0)(0>''x f 时，)(0x f 是极小值.[当0)(0=''x f 时，函数)(x f 在点0x 是否取到极值，需要做进一步的讨论]证 根据例22（§2-5），则有222200000011()()()()()()()()22f x h f x f x h f x h o h f x f x h o h '''''+=+++=++于是得 20001()()[()(1)]2f x h f x f x o h ''+-=+ 因为0)(0≠''x f ，所以当||h 足够小时，)]1()([0o x f +''与)(0x f ''同符号.因此，有正数δ，使当0||h δ<≤时，0()f x h +0()f x -=000,()00,()0f x f x ''<<⎧⎨''>>⎩ 这就是要证的结论.例23 求函数1323-+=x x y 的极值.解 2363(2)y x x x x '=+=+，666(1)y x x ''=+=+由0='y 得驻点122,0x x =-=.因为2060,60x x y y =-=''''=-<=>，所以31)2(3)2(232=--+-=-=x y 是极大值； 01x y ==-是极小值.【注】若函数()f x 在点0x 没有导数或二阶导数0()0f x ''=，就去用上面的判别法Ⅰ.2.函数的最大(小)值(又称为绝对极值) 函数的最大(小)值是指函数在定义域或定义域中某个区间上的最大(小)值.求连续函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最大值和最小值时，方法更简单：第一步，先求出)(x f 在开区间),(b a 内的临界点；并求出)(x f 在所有临界点上的函数值.(1) 0图2-24 (2)(3)第二步，把以上函数值与区间端点上的函数值)(a f 和)(b f 放在一起做比较，其中最大者就是函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最大值，最小者就是函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最小值.非闭区间上的连续函数可能没有最大值或最小值.在这种情形下，就要根据具体问题，经过分析后才能确定某个函数值是最大值或最小值.例如，⑴ 函数)(x f 在区间),[b a 上增大(减小)时，)(a f 就是最小值(最大值)；⑵ 函数)(x f 在区间],(b a 上增大(减小)时，)(b f 就是最大值(最小值)；⑶ 设有点),(b a c ∈. 若函数)(x f 在区间],(c a 上增大且又在区间),[b c 上减小，则)(c f 就是最大值；若函数)(x f 在区间],(c a 上减小且又在区间),[b c 上增大，则)(c f 就是最小值.例24 证明不等式：)0(1e >+>x x x .证 令)0()1(e )(≥+-=x x x f x ，则)(x f 在),0[+∞上是连续函数.因为)0(01e )(>>-='x x f x [即函数()f x 是增函数]所以(0)0f =是最小值.因此，()0(0)f x x >>，即)0(1e >+>x x x .例25 证明：函数)10()(<<-=αααx x x f 在区间),0(+∞内有最大值α-=1)1(f . 由此再证明近代数学中著名的赫尔窦(H ölder)不等式:11110,0,0,0;1p q ab a b a b p q p qp q ⎛⎫≤+>>>>+= ⎪⎝⎭ 证 由0)1()(11=-=-='--αααααx x x f 得驻点1=x . 因为 当10<<x 时， 0)1()(1>-='-ααx x f [即)(x f 增大]，当+∞<<x 1时， 0)1()(1<-='-ααx x f [即)(x f 减小]，所以α-=1)1(f 是最大值.其次，令q p b a x p ==-,1α，则111qp p p p p q p q q q a a a f ab a b b b p b p --⎛⎫⎛⎫=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 而根据上述结论，即α-≤1)(x f ，则得不等式111(1)11q p q p aba b f p p q α---≤=-=-= 两端同乘q b ，并注意1=-p q q ，则得要证的不等式q p b qa p ab 11+≤. 在非闭区间上求一个函数的最大(小)值问题，常常出现在实际应用问题中.解这类问题时，首先需要根据问题本身，运用几何学或物理学或其他有关科学中的知识，列出“目标函数”(即要求它的最大值或最小值的函数)的函数式.这样，问题就变成求目标函数的最大值或最小值.例如， “当矩形周长l 为定值时，它的长和宽为何值时面积最大？”或“当矩形面积S 为定值时，它的长和宽为何值时周长最小？”设矩形的一边长为x ，则前一个问题的目标函数就是(矩形面积)()2l S x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 02l x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ 而后一个问题的目标函数就是(矩形周长)()2S l x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ )0(+∞<<x 这样，问题就变成求函数)(x S 的最大值或求函数)(x l 的最小值.例26 设有闭合电路如图2-25. 它由电动势E 、内阻r 和纯电阻负载E 所构成.若E 和r 是已知常数，问负载R 为何值时，电流的电功率最大？解 根据电学的知识，闭合电路中电流的电功率为R I P 2=(I 为电流强度)而根据闭合电路的欧姆定律，电流强度R r E I +=. 因此，电功率为 22)(R r R E P += (自变量为R ) 由0='P ，即由0)()()()(2)(324222=+-=++⋅-+⋅='R r R r E R r R r R E R r E P 得r R =. 因此，当负载r R =(内阻)时，电功率取到最大值r E P 4/2=.例27 由材料力学的知识，横截面为矩形的横梁的强度是2h x k =ε(k 为比例系数，x 为矩形的宽，h 为矩形的高)今要将一根横截面直径为d 的圆木，切成横截面为矩形且有最大强度的横梁，那么矩形的高与宽之比应该是多少？解 如图2-26，因为222x d h -=，所以22()(0)kx d x x d ε=-<<.令0='x ε，即22222()2(3)0x k d x x k d x ε'=--=-=⎡⎤⎣⎦ 则得驻点x d=根据实际问题的提法，当矩形的宽/x d =强度ε取到最大值.此时，因为d dd x d h 32)3(2222=-=-= 所以2/=x h .图2-26在实际工作中，技术人员是按下面的几何方法设计的：把圆木的横截面(圆)的直径AB 分成三等份(如图2-27)，再分别自分点C 和D 向相反方向作直径AB 的垂线，交圆周后做成图中那样的矩形.这个矩形的长边与短边的比值就是2.例28 已知某工厂生产x 件产品的成本为21()2500020040C x x x =++(元) 问：⑴ 要使平均成本最小，应生产多少件产品？ ⑵ 若产品以每件500元售出，要获得最大利润，应生产多少件产品？最大利润是多少? 解 ⑴ 平均成本为x x x x C x C 40120025000)()(++==(元/件) 让040125000)(2=+-='x x C ，则得1000=x (件).因此，生产1000件产品时平均成本最小. ⑵ 售出x 件产品时，收入为x 500(元)，而利润为=)(x L (收入)x 500-(成本))40120025000(500)(2x x x x C ++-= 212500030040x x =-+- 让020300)(=-='x x L ，则得6000=x (件).因此，生产6000件产品并全部售出时，获得的利润最大.最大利润为900000)6000(=L (元). 习 题1.求下列函数的极值(极大值或极小值)：求连续函数在定义区间内的极值时，应先找出导数等于零的点（驻点）和没有导数的点，然后按上面指出的判别法，去判别函数在这些点上是否取到极大值或极小值.⑴x x x f -=3)(； ⑵242)(x x x f -=； ⑶122)(2-+-=x x x x f ；⑷()f x x = ⑸x x x f -=e )(； ⑹x x x f ln )(=； ⑺x x x f -+=e )1()(3； ⑻3231)1()(x x x f -=.答案：⑴max minf f ⎛= ⎝；⑵1)1(,0)0(m in m ax -=±=f f ； ⑶2)2(,2)0(m in m ax =-=f f ；⑷min 34f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；⑸1m ax e )1(-=f ；⑹12m in e 2)e (---=f ；⑺2m ax e 27)2(-=f ；⑻max min 1(1)03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 2.求下列函数在指出区间上的最大值和最小值：⑴];2,2[,1823-+--=x x x y ⑵];1,1[,15-++=x x y⑶];2,1[,13--=x x y ⑷511,,1;12y x x ⎡⎤=-⎢⎥++⎣⎦ ⑸211,1,12x y x +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦. 答案：⑴;11,27203-⑵;1,3-⑶;443,23-⑷;31,1532⑸0,2242-. 3.设n a a a <<< 21. 当x 为何值时，函数∑=-=ni i a x x f 12)()(取最小值？答案：n a a a x n +++=21(算术平均值). 4.设.0>a 求函数||11||11)(a x x x f -+++=的最大值. 提示：把区间),(+∞-∞分成三个区间(,0),(0,),(,)a a -∞+∞. 答案：21a a++. 5.证明下面的不等式： ⑴ );01(2)1ln(2<<--<+x x x x ⑵ 12ln 1(0);21x x x ⎛⎫+>> ⎪+⎝⎭ ⑶ );0(arctan 33><<-x x x x x ⑷ 1e 1(0)x x x -≥>. 6.设有方程033=+-c x x (c 为常数).问：当c满足什么条件时，方程有:⑴三个实根，⑵两个实根，⑶一个实根？ [提示：分别研究下图⑴，⑵，⑶]答案：⑴22<<-c ；⑵2±=c ；⑶2-<c 或2>c .7.在什么条件下，方程()300x px q pq ++=≠有：⑴一个实根，⑵三个实根？提示：参考上一题的做法. 答案：⑴042723>+q p ；⑵042723<+q p . 8.确定下列各方程实根的个数，并指出只含有一个实根的区间：⑵ 第6题图⑴ 0109623=-+-x x x ； ⑵ 020********=-+--x x x x ；⑶ )0(ln ≠=k kx x ； ⑷2e (0)x ax a =>.答案：⑴一个实根，在)5,4(内；⑵两个实根，32,1221<<-<<-x x ；⑶当0<k 时有一个实根，在)1,0(内；当1e0-<<k 时有两个实根，+∞<<<<21e ,e 1x x ； 当1e -=k 时有一个实根e =x ；当1e ->k 时没有实根.⑷当4e 02<<a 时有一个实根，在)0,(-∞内；当4e 2>a 时有三个实根， 1230,02,2x x x -∞<<<<<<+∞.9.设有二阶导数)(a f ''. 证明：⑴ 若函数)(x f 在点a 取到极大值，则0)(≤''a f ；⑵ 若函数)(x f 在点a 取到极小值，则0)(≥''a f .10.设函数21()22sin (0),(0)2f x x x f x ⎛⎫=-+≠= ⎪⎝⎭. 证明：)(x f 有最大值2)0(=f ，但)(x f 在点0的左旁附近不是增大的，而且在点0的右旁附近不是减小的(这说明判别法Ⅰ中的条件不是必要的).11.应用题 ⑴设两正数x 与y 的和等于常数a (a y x =+).求)0,0(>>n m y x n m 的最大值.⑵设两正数x 与y 的乘积等于常数a (a xy =).求)0,0(>>+n m y x n m 的最小值.⑶在有一定体积的所有正圆柱体中，当底圆半径与高之比为何值时，它有最小的表面积？⑷用薄钢板做一个容积为定值v 的无盖圆柱形桶.假若不计钢板厚度和剪裁时的损耗，问桶底半径r 与高h 各为多少时，用料最省？⑸从半径为R 的圆上切掉一个扇形后，把余下部分卷成一个漏斗.问余下部分扇形的圆心角θ为何值时，卷成漏斗的容积最大？第11⑸题图⑵ ⑴ 第11⑹题图x⑹(反射定律) 如图示，由点A 经点B ，再到点C . 证明：当入射角α等于反射角β时，折线ABC 的长度最短.⑺一商家销售某种商品的价格为x p 2.07-=(万元/T)，其中x 为销售量(单位:T)；商品的成本为13+=x C (万元).（i ）若每销售一吨商品，政府要征税t 万元，求商家获最大利润时的销售量；（ii ）t 为何值时，政府税收的总额最大？答案：⑴n m n m n m n m n m a +++)(；⑵n m n m mn n m a n m +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1)(；⑶1∶2；⑷r h ==⑸2θ=弧度)；⑺（i ）t x 5.210-=；（ii ）2=t .。
函数的极值与最大值最小值
函数的极值与最大值最小值在数学中，对于一个给定的函数，我们常常关心它的极值以及最大值和最小值。
这些概念在微积分中扮演着重要的角色，不仅在数学理论中有着深刻的意义，也在实际问题中有着广泛的应用。
1. 极值的定义极值是指函数在某个区间内取得的局部最大值或最小值。
具体来说，设函数f(x)在区间I上有定义，若存在$x_0 \\in I$，使得对任意$x\\in I$，有$f(x)\\leqf(x_0)$或者$f(x) \\geq f(x_0)$，则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的一个极大值或极小值。
2. 求极值的方法常见求函数极值的方法有：•导数法：通过求函数的导数（一阶导数或高阶导数）来找到函数的驻点，然后通过二阶导数的符号来判断是极大值还是极小值。
•边界法：求出函数在区间端点处的函数值，以及在可能的间断点处的函数值，然后比较这些值来确定最大值和最小值。
•微分中值定理：借助中值定理的思想，将函数f(x)在区间I上的极值归结为函数导数在该区间上的零点问题。
3. 最大值与最小值与极值类似，函数的最大值和最小值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。
最大值可以是有限值，也可以是无穷大；最小值也可以是有限值，也可以是负无穷。
4. 求最大值最小值的方法确定函数的最大值和最小值，主要采用以下方法：•导数法：同样利用导数的性质来判断函数的最大值和最小值，这一点与求极值的方法类似。
•二次型法：当函数为二次函数时，可以通过完全平方的方式将其转化为标准形式，进而求得最值。
•辅助线法：有时候在求最值的过程中，通过引入一条辅助线，并考虑其和原函数之间的关系，来得到最值的情况。
5. 总结函数的极值和最值是微积分中一个重要的概念，通过对函数的极值和最值进行研究，我们可以更好地理解函数的性质，优化问题和实际问题也经常涉及到函数的极值和最值。
因此，熟练掌握求解函数极值和最值的方法是数学学习中的关键一环。
函数的极值与最大值最小值
∴ f (x) 在 x = ±1处没有极值. 说明 极值的判别法 (定理2 ~ 定理4) 都是充分的. 当这些充分条件不满足时，不能说明极值不存在. 无极值的判断 ① 无可疑极值点的函数必无极值；
② 单调函数无极值； ③ 无定义的点一定不是极值点.
2 x2 的极值. 例5 求函数 f ( x) 2 (1 x)
① 求出 f (x) 在 (a , b) 内的驻点 x1 , x2 , 及不可导点 xm1 , xm2 ,
, xn ;
, xm
② 计算 f ( xi ) (i 1,2, , n) 及 f (a) , f (b) ; ③ 比较大小.
最大值：
M max f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ), f (a), f (b) , f ( xn ), f (a), f (b)
所以，极大值为 f (1) 10 , 极小值为 f (3) 22 .
例4 求函数 f ( x) ( x 2 1)3 1 的极值. 解
f ( x) 6 x ( x 2 1) 2 , f ( x) 6( x 2 1)(5 x 2 1)
令 f ( x) 0, 得驻点 x1 0, x2 1, x3 1
L( x ) R ( x ) C ( x ) ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
那么生产多少件产品时，利润函数 L(x) 最大？ 解题思路
① 根据题意建立数学模型，即写出利润函数；
② 对利润函数求最值.
例7 已知某厂生产 x 件产品的成本为 1 2 C ( x) 25000 200 x x (元). 40 若产品以每件 500 元售出，要使利润最大，应生产 多少件产品？
1 2 解 利润函数为 L( x) 25000 300 x x 40
3.5函数的极值与最大值最小值
'' ' f ( x ) 0 的驻点用第一充分条件判定 f ( x ) 不存在的点和 5、在
'
小结
极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小
值,极小值可能大于极大值.
驻点和不可导点统称为临界点. 函数的极值必在临界点取得.
f (4) 6(4) 6 18 0,
故有极大值 f ( 4) 60,
f (2) 6 2 6 18 0,
故有极小值 f (2) 48.
f ( x ) x 3 3 x 2 24 x 20 图形如下
y
60 y f ( x )
2 f ( x ) 3 x 6x 9 解: 3( x 1)( x 3), x (, ), 令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
x
f ( x )
f ( x)
( ,1) 1
( 1, 3)
3
0
极 小 值
当 x 2 时，f ( x ) 0;
y
1
y 1 ( x 2)
2 3
当 x 2 时， f ( x ) 0,
o
1
2 3
x
f (2) 1为 f ( x ) 的极大值.
求函数的极值点和极值的步骤：
1、确定函数的定义域；
2、求 f ( x ) 和 f '' ( x )
定理3(第二充分条件)
设 f ( x )在 x0 处具有二阶导数,
且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 , 那末
§3-5 极值与最值
一、函数的极值 定义:设f (x) 在某邻域U (x0)内有定义, 对于U (x0)中的任一点x ,
若 (1) f (x) < f (x0), 若 (2) f (x) > f (x0),
则称 x0 为函数 f (x)的极大值点, 称 f (x0)为函数 f (x)的极大值 ;
(最值可能在区间端点处取得，而在端点处不能取得极值)
y
x1 , x4 为极大值点
x 2 , x5 为极小值点
O a x1 x2 x3 x4 x5 b x x3 不是极值点
2
根据费马引理，有以下定理：
定理1 (极值的必要条件) 设f (x)在点 x0 处可导, 且在x0 处取得极值, 则 说明:
(1) 逆定理不一定成立. 驻点可能是极值点，也可能不是.
f (2) 34; f (1) 7;
f (4) 142;
比较得 最大值 f (4) 142，
最小值 f (1) 7.
11
例4. 在数 1, 2, 3 3, , n n, 中求出最大值和最小值. Nhomakorabea1
解: 设 f ( x) x x ( x 1)
则
f ( x)
(e
1 x
的驻点唯一，则该驻点就是最值点。
14
例6.生产产品 x 千件的成本是 C( x) x3 6x2 15x , 售出该产品 x 千件的收入是 R( x) 9x ,
问产量多少时利润最大?
解: 售出 x 千件产品的利润为
L( x) R( x) C( x) x3 6x2 6x
求出的可疑点是否为最大值点或最小值点 .
10
例3 求y 2x3 3x2 12x 14 在[-3,4]上的最大值与最小值.
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m
x1
x2
x3
x4
x5
例4. 求 y 2 x 3x 12 x 14 在 [3,4] 上的最大值与最小值. 2 解: y 6 x 6 x 12 6( x 2)( x 1), 令 y 0, 得驻点 x1 2, x2 1. 因为
3 2
f (3) 23, f (2) 34, f (1) 7, f (4) 142,
(1) 当x x0时, f ( x) 0,当x x0时, f ( x) 0，
则x0为f ( x)的极大值点.
(2) 当x x0时, f ( x) 0,当x x0时, f ( x) 0，
则x0为f ( x)的极小值点.
如果f(x)在x0的两侧保持相同符号, 则x0 不是f(x)的极值点.
x x0 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0, 当 x x0 时, x x x x0 f ( x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) 0, 0, 所以 f ( x0 ) lim x x x x0 x x0
(1) 当x x0时, f ( x) 0,当x x0时, f ( x) 0，
则x0为f ( x)的极大值点.
(2) 当x x0时, f ( x) 0,当x x0时, f ( x) 0，
则x0为f ( x)的极小值点.
说明: 对于情形(1)，由判别定理可知, 当 x x0 时, f(x)单调增加, 当 x x0 时, f(x)单调减少, 因此可知x0为f(x)的极大值点. 同理可说明情形(2).
特殊情况下的最大值与最小值: 若 f(x)在一区间(有限或无限 开或闭)内可导且 有且只有一个驻点x0 则： 当f(x0)是极大值时 f(x0)就是f(x)在该区间上的 最大值 当f(x0)是极小值时 f(x0)就是f(x)在该区 区间上的最小值
说明
练习题
2 1.设f ( x) 1 ( x 2) ，求f ( x)在[0,3]上的最大 3 值与最小值.
判定函数极值一般步骤 (1) 求f ( x).
(2) 找出f ( x)的所有驻点和f ( x)不存在的点
x1 , , xk .
(3) 判定每个驻点和导数不存在的点 xi (i 1,2, , k ) 两侧(在xi 较小的邻域内) f ( x) 的符号, 依定理判定xi 是否为f(x)的 极值点.
M
m
x1
x2
x3
x4
x5
最大值和最小值的求法: (1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导 点 设这些点为x1 x2 xn; (2)计算函数值 f(a) f(x1) f(xn) f(b) ;
(3)判断: 最大者 是函数f(x)在[a b] 上的最大值 最小 者是函数f(x)在[a b]上的最小值
x ( 1) 1 (1 1) f (x ) 不可导 f(x )
1
0
(1 )
↗3Leabharlann ↗0↘ 33 4
(4)极大值为 f (1)0 极小值为 f (1) 3 4
定理3 (第二充分条件) 设函数f(x)在点x0处 具有二阶导数, 且 f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0, 则
1 4 ( x 2) 3 , 在x
8 3 2 2. 求y x x 6 x 的极值与极值点. 3 解: 所给的函数定义域为 (,), 3 2 y 4 x 8 x 12 x 4 x( x 1)( x 3). 令y 0得驻点x1 1，x2 0，x3 3. 2 y 12 x 16 x 12.
可知x=0为y的极小值点, 极小值为0.
例 2. 例 1 求函数 f (x) (x 4)3 (x 1)2 的极值 解: (1) f(x)在( )内连续 除x1外处 5(x 1) 可导 且 f (x) 3 3 x 1 (2) 令f (x)0 得驻点x1 x1为不可导点 (3) 列表判断
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质. 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或不存在的点上. y x 1 , x4 为极大点
x 2 , x5 为极小点
x3 不是极值点
o a x1 x2 x3 x4 x5 b
x
2. 极值存在的必要条件 定理1 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取 得极值, 那么f (x0)0. 证明: 以f(x0)是极大值来证明. 因为f(x0)是极大值, 故在x0的某邻域内, 对任意的 x x0 都有 f ( x) f ( x0 ), 所以, f ( x) f ( x0 ) 0, 所以 当 x x0 时,
4
y | x 1 12 16 12 16 0, 可知x1 1为函数的极小值点, 相应的极小 7 值为y | x 1 . y | x 0 12 0, 3
x2 0为函数的极大值点，相应的极大值为 y | x 0 0. y | x 3 48 0, x3 3为函数的极 小值点， 相应极小值为y |x3 45.
0
0
使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的 实根)称为函数f(x)的驻点. 思考: 极值点是否一定是驻点? 驻点是 否一定是极值点?
y
o a x1 x2 x3 x4
x5 b
x
3. 极值的判别法 定理2 (第一充分条件) 设函数y=f(x)在点x0 连续, 且在x0的某邻域内可导(点x0可除外). 如果在该邻域内
由于y|x0400k y|x15380k
其中以y|x15380k为最小
1 y |x 100 500k 1 2 5
因此当AD15km时 运费最省
例6. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上, 它的底边高 于观察者的眼睛1.8 m, 问观察者在距墙多远处看 图才最清楚(视角 最大) ? 1.4 解: 设观察者与墙的距离为x(m), 1.4 1.8 1.8 1 . 8 则 arctan arctan ,
f ( x) f ( x0 ) f ( x) 证: (1) f ( x0 ) lim lim x x0 x x0 x x0 x x0
说明: 当二阶导数易求, 且驻点x0处 的二阶导数 f ( x0 ) 0 时, 利用判定极值 的第二充分条件判定驻点 x0是否为极值 点比较方便. 但当 f (x0)0时 只能用方法1判断.
2 3
解: 所给函数为[0, 3]上的连续函数.
2处f ( x)不存在. 9 1 23 4， f (3) ， f (2) 1， f (0) 1 3 3 所以: f(x)在[0,3]上的最大值为f(2)=1. 2 最小值为 f (0) 1 3 4. 3 f ( x)
第四节 函数的极值和最大、最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题
一、函数的极值
1. 极值的定义 定义 设函数f(x)在x0的某邻域内有定义, 如 果对于该邻域内任何异于x0的x都有 (1) f ( x) f ( x0 ) 成立, 则称 f ( x0 ) 为 f(x)的 极大值, 称 x0为f(x)的极大值点； (2) f ( x) f ( x0 ) 成立, 则称 f ( x0 )为f(x)的 极小值, 称 x0为f(x)的极小值点； 极大值、极小值统称为极值. 极大值 点、极小值点统称为极值点.
例3. 求函数f(x)(x21)31的极值 21)2 f ( x ) 6 x ( x 解: 令f (x)0 求得驻点x11 x20 x31 f (x)6(x21)(5x21) 因为f (0)60 所以f (x)在x0处取得极 小值 极小值为f(0)0 因为f (1)f (1)0 无法用定理3-8判别 在1的左右邻域内f (x)0 所以f(x)在1处没有极值 同理, f(x)在1处也没极值
所以 M max{ f (3), f (2), f (1), f (4)} f (4) 142,
m min{ f (3), f (2), f (1), f (4)} f (1) 7.
例5. 工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km A 点到火车站B的距离为100km 欲修一条从工厂到 铁路的公路CD 已知铁路与公路每公里运费之比 为3:5 为使火车站B与工厂C间的运费最省 问D 点应选在何处？ 解: 设ADx(km) B与C间的运费为y 则 y5kCD3kDB (k是某个正数)
(1)当f ( x0 ) 0时，x0为f ( x)的极大值点， (2)当f ( x0 ) 0时，x0为f ( x)的极小值点.
由 f ( x0 ) 0 知, 存在x0的某邻域, 使 f ( x) 0 ; 故当 x x0 时， 当 x x0时, f ( x) 0 , 由判别法1知 f ( x) 在 x0 取极大值 . 同理证(2).
即 y 5k 400 x 2 3k (100 x) (0 x100) 100km A B x DB=100x D
20km
CD 400 x 2
C
y 5k 400 x2 3k (100 x) (0x100)
5 x 5 x 由由 0 0得 x 15 y k ( 3 )3 得 x 15 y k ( ) 400 x 400 2x2
二、最大值最小值问题
观察与思考： 观察下面的函数在哪些点有可能成为最 大值或最小值点? 怎样求函数的最大值和最小值? M m x1 x2 x3 x4 x5
极值与最值的关系: 闭区间上的连续函数其最大值和最小值 只可能在区间端点及区间内的极值点处取得. 函数在闭区间[a b]上的最大值一定是函 数的所有极大值和函数在区间端点的函数值 中的最大者; 其最小值一定 是函数的所有极 小值和函数在区 间端点的函数值 中的最小者