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5.3诱导公式(第一课时)-课件(人教版)
第5章 三角函数
5.3 诱导公式
诱导公式二~四
【导入】如图，设坐标系内任意角α的终边与单位圆交于点P
（1）做P关于原点的对称点Q，以OQ为终边的角β与角α
有什么关系？角β,α的三角函数值之间有什么关系？
（2）如果作P点关于两个横轴和纵轴的对称点R和T，又
会得到什么结论？
【分析】设P
，由对称关系有Q
＝ 23－－ 22×(－1)＝
3－ 2
2 .
答案：(1)A
(2)①－
3 4
②
3－ 2
2
负角化正角，大角化小角，直到化为锐角求值．
诱导公式的应用 【利用诱导公式一~四把任意角的三角函数转化成锐角的三角函数的步骤】
任意负角的 三角函数
用公式一 或公式三
任意正角的 三角函数
用公式一
锐角的 三角函数
用公式二 或公式四
题型一 给角求值问题[经典例题]
例 1 (1)sin43π·cos56π·tan－43π的值是(
)
A.－34 3
3 B.4 3
C．－
3 4
3 D. 4
(2)求下列三角函数式的值：
①sin(－330°)·cos 210°.
② 3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)．
解析：设 β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么 β＋γ＝90°，从而 γ＝90°
－β.于是 sin γ＝sin(90°－β)＝cos β.
因为－270°<α<－90°，所以 143°<β<323°.
由 sin β＝15>0，得 143°<β<180°.
所以 cos β＝－ 1－sin2β＝－ 1－152＝－25 6，
5.3 诱导公式
诱导公式二~四
【导入】如图，设坐标系内任意角α的终边与单位圆交于点P
（1）做P关于原点的对称点Q，以OQ为终边的角β与角α
有什么关系？角β,α的三角函数值之间有什么关系？
（2）如果作P点关于两个横轴和纵轴的对称点R和T，又
会得到什么结论？
【分析】设P
，由对称关系有Q
＝ 23－－ 22×(－1)＝
3－ 2
2 .
答案：(1)A
(2)①－
3 4
②
3－ 2
2
负角化正角，大角化小角，直到化为锐角求值．
诱导公式的应用 【利用诱导公式一~四把任意角的三角函数转化成锐角的三角函数的步骤】
任意负角的 三角函数
用公式一 或公式三
任意正角的 三角函数
用公式一
锐角的 三角函数
用公式二 或公式四
题型一 给角求值问题[经典例题]
例 1 (1)sin43π·cos56π·tan－43π的值是(
)
A.－34 3
3 B.4 3
C．－
3 4
3 D. 4
(2)求下列三角函数式的值：
①sin(－330°)·cos 210°.
② 3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)．
解析：设 β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么 β＋γ＝90°，从而 γ＝90°
－β.于是 sin γ＝sin(90°－β)＝cos β.
因为－270°<α<－90°，所以 143°<β<323°.
由 sin β＝15>0，得 143°<β<180°.
所以 cos β＝－ 1－sin2β＝－ 1－152＝－25 6，
高中数学必修第一册人教A版5.3《诱导公式---第一课时》名师课件
2
；
47
cos
；
6
(3)tan945° .
解析
(1)sin −1200° = sin −4 × 360° + 240° = sin240° = sin 180° + 60° = −sin60° = −
(2)cos
47
6
= cos
11
6
+ 6 = cos
11
6
= cos 2 −
6
6
= cos =
y
y
tan( )
x
x
公式四
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
y
tan
x
探究新知
sin( k 2 ) sin
cos( k 2 ) cos
公式一 tan( k 2 ) tan
= −1.
=
1−2sin70° cos70°
−sin70° +cos70°
=
|cos70° −sin70° |
cos70° −sin70°
=
方法归纳
化简是一种不指明答案的恒等变形，将三角函数式化为
最简形式的标准是相对的，一般是指函数种类最少，项数最
少，函数次数最低，能求出数值的求出数值，分母上不含三
sin(−)+5cos(2+)
3cos(−)−sin(−)
解析
由已知得−sin = 2cos，所以tan = −2.
左边=
sin+5cos
−3cos+sin
5.3诱导公式(第二课时)课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
cos(
π 2
α)
(cosα)sin α(sin α)sin( π α)
sin α tan α ． cos α
2
新 知 探 究 例5 已知sin（53°－α）＝1 ，且－270°＜α＜－90°，求 5 sin（37°＋α）的值．
解：设β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么β＋γ＝90°，从而γ＝90°－β． 于是sin γ＝sin（90°－β）＝cos β．
公式一：tan( 2k ) tan 公式二：cos( ) cos
kz
tan( ) tan
sin( ) sin
sin( ) sin
公式三：cos( ) cos 公式四：cos( ) cos
tan( ) tan
tan( ) tan
s
公式五：
in(
2
) cos
因为－270°＜α＜－90°，所以143°＜β＜ 323°．
由sin β＝1 ＞0，得143°＜β＜ 180°．
5
所以cos β＝
1 sin2 β ＝
1 (1)2 ＝ 2 6 ．
5
5
所以sin（37°＋α）＝sin γ＝ 2 6 ． 5
我还要试
计算或化简：
（1）cos
65π 6
；
（2）sin( 31π ) ； 4
s
公式六：
in(
2
)
cos
cos(2 ) sin
cos(2 ) sin
奇变偶不变，符号看象限.
三角函数的简化过程图：
任意负角的 三角函数
用公式 三或一
任意正角的 三角函数
用公式一
锐角的三角 函数
用公式 二或四或五或六
人教A版第五章5.3诱导公式(一)课件(22张)
所以 sin (α＋75°)＝－ 答案：23 2
1－cos2（α＋75°） ＝－23 2 ，所以 sin(α－105°)＝23 2 .
学习任务三 化简求值(数学运算、逻辑推理)
【典例】1.求值 cos
π 5
＋cos
2π 5
＋cos
3π 5
＋cos
4π 5
＝________．
【解题思维】 观察 角π5 ，25π ，35π ，45π 的余弦 (1)不是特殊角，如何求余弦值 联想 (2)能否转化为特殊角
【解析】选 B.因为 θ∈(0，π)，所以23π －θ∈－π3，23π ， 因为 cos 23π－θ ＝－153 ，所以 sin 23π－θ ＝1123 ， 所以 sin θ＋π3 ＝sin π－23π－θ ＝sin 23π－θ ＝1123 .
解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运 算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化． (3)变形时常常利用角的互补关系．
.
(1)化简 f(α)；(2)若 tan (π－α)＝－2，求 f(α)的值．
sin 【解析】(1)f(α)＝
－α－πcos 5π－αtan 2π－α sin π－αtan －α－π
sin ＝
α－cos α－tan sin α－tan α
α
＝－cos α.
(2)因为 tan (π－α)＝－2，所以 tan α＝2.所以 sin α＝2cos α，又 sin 2 α＋cos 2 α＝1，
sin (－α)＝_－__s_i_n_α_， cos (－α)＝_c_o_s_α_， tan (－α)＝_－__t_a_n_α_
人教A版高中数学必修一《5.3诱导公式》精品课件(共2课时70页)
＝－sin(180°－60°)＝－sin
60°＝－
3 2.
(2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1.
(3)cos1169π＝cos20π－π6＝cos－π6＝cosπ6＝
3 2.
[方法技巧] 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
[微思考] 在△ABC中，你认为sin A与sin(B＋C)，cos A与cos(B＋C)之间有
什么关系？
提示：由A＋B＋C＝π，得A＝π－(B＋C)， 故sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)， cos A＝cos[π－(B＋C)]＝－cos(B＋C)．
(二)基本知能小试
1．判断正误
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝2 3 2.
2．诱导公式三： (1)角－α与角α的终边关于 x 轴对称，如图所示． (2)公式：sin(－α)＝ －sin α ， cos(－α)＝ cos α ， tan(－α)＝ －tan α .
3．诱导公式四： (1)角π－α与角α的终边关于 y 轴对称，如图所示． (2)公式：sin(π－α)＝ sin α ， cos(π－α)＝ －cos α ， tan(π－α)＝ －tan α .
【对点练清】
求下列各式的值：
(1)tan34π＋cos－556π＋sin116π； (2)cos(－120°)sin(－150°)＋tan 855°；
4π 19π 21π (3)sin 3 ·cos 6 ·tan 4 . 解：(1)原式＝tanπ－π4＋cos 556π＋sin2π－π6
＝－tanπ4＋cos4×2π＋76π－sinπ6
诱导公式(一)课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
cos(
π 6
－
α)
＝
3，求 3
4. 已 知
cos( π － α) ＝ 6
3，求 3
cos(5π＋α)－sin2(α－π)的值；
6
6
cos(∵56πc＋os(α5)6π－＋siαn)2＝(αc－osπ6[)π的－值(π6；－α)] ＝－cos(inπ62－(αα－)＝π6)－＝s3i3n，2[－(π6－α)]＝1
sin(π－α)＝sin α，
思考2 诱导公式四有何作用？
cos(π－α)＝－cos α， 答 将第二象限角的三角函数
tan(π－α)＝－tan α.
转化为第一象限角的三角函数.
例如，sin 480°＝ 23，cos 150°＝－ 23，tan 135°＝－1.
思考3 公式一～四都叫做诱导公式，他们分别反映了2kπ＋ α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关 系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？ 答 2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值，等于α的 同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 简 记为“函数名不变，符号看象限”！
探究点一 诱导公式二
思考1 设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α 的终边与角α的终边有什么关系？ 角π＋α的终边与单位
圆的交点P2的坐标如何？
y
π+α
o
答 角π＋α与角α的终边关于原点O对称；P2(－x，－y)
P1
思考2 根据三角函数定义，sin(π＋α) 、cos(π＋α)、tan(π＋α)
(－cos θ)·(－sin θ)
θ＝tan Hale Waihona Puke sin θcos cos θsin θ
诱导公式一【新教材】人教A版高中数学必修第一册优质课件1
第五章 5.3 诱导公式（一）-【新教材】人教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件( 共67张 PPT) 第五章 5.3 诱导公式（一）-【新教材】人教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件( 共67张 PPT)
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高中数学人教A版必修第一册《5.3诱导公式》课件PPT
左边
选用公式
2 cos 1 “1”的代换
1 2 sin2
消公因式
sin cos sin cos
右边
公式一、二
tan 1 tan 1
切化弦，化简
sin cos sin cos
得证 ．
新知探究
例2
求证：
2sin(
3π )cos(
2
π) 2
1
tan(9π
)
1．
1 2sin2 (π+ )
新知探究
例2
求证：
2sin(
3π )cos(
2
π) 2
1
tan(9π
)
1．
1 2sin2 (π+ )
tan(π+ ) 1
追问1 根据所给恒等式，应该采用什么样的证明方法？
由于恒等式两边都含有 k π (k Z) 的形式，因此可以考虑从等式
2 两边分别进行化简．
新知探究
追问2 你能试着分析一下具体的证明过程吗？
2
44
4
4
∴ cos( π ) 1 sin2 ( π ) 1 a2，
4
4
∴ sin(5π ) sin[π ( π )] sin( π ) 1 a2．
4
4
4
归纳小结
问题 通过解决以上的几道题，你觉得在应用诱导公式时 需要注意哪些问题？你有什么收获？
（1）适时地运用诱导公式进行转化； （2）学会分析所给角之间的联系； （3）根据已知条件会选择恰当的诱导公式进行变形．
3
3
3
3
[1 sin2 ( π )]sin( π )
3
3
3 1 3． 42 8
《诱导公式》三角函数课件(第1课时诱导公式二、三、四)-高中数学A版必修一PPT课件
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高中数学人教A版必修第一册《5.3诱导公式》课件共18页
高中数学人教A版必修第一册《5.3诱导 公式》课件
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
▪
29、பைடு நூலகம்猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
18
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
▪
29、பைடு நூலகம்猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
18
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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高中数学人教A版(2019)必修第一册5. 3《诱 导公式 》课件
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课后作业
课后研究
【1】课本对应练习． 【2】请完成本节对应的同步练习．
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课堂作业
例 2 已知 f(α)＝sin（αco－s（3π－）πc－osα（）2πsi－n（α－）πsi－n－αα）＋3π 2 . (1)化简 f(α)；(2)若 α 是第三象限角，且 cosα－3π 2 ＝15，求 f(α)的值.
高中数学人教A版(2019)必修第一册5. 3《诱 导公式 》课件
1）角 与角 的终边有什么关系？三角函数值有何关系？
2）角 与角 的终边有什么关系？三角函数值有何关系？
y
P(x, y)
P(x, y)
o
x
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
y
P(x, y)
o
x
P(x, y)
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
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课程讲解
【问题 1】上节课学习了三角函数的诱导公式二到公式四， 大家还记得是哪几个公式吗？
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高 人中 教数 A版学教人材教《A版 诱(导20公19式)必 》修 PP第 T下一载册15. 3《诱 导公式 》课件
高中数学人教A版(2019)必修第一册5. 3《诱 导公式 》课件
课程讲解
【问题 6】 课堂小结，提高认识
(1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系． (2)这六组诱导公式可归纳为“k·90°±α(k∈Z)”的三角函数值与 α 的三角函数值之 间的关系．当 k 为偶数时得角 α 的同名三角函数值，当 k 为奇数时得角 α 的互余三角函数 值．然后在前面加上一个把角 α 看成锐角时原三角函数值的符号．可简记为“奇变偶不变， 符号看象限”． (3）简述数学的化归思想：数形结合，由特殊到一般，化未知为已知等思想方法．
P2
(
y,
x)
，于是
sin( ) x cos
2
cos( ) y sin
2
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高中数学人教A版(2019)必修第一册5. 3《诱 导公式 》课件
课程讲解
【问题 4】你能总结公式五与六的记忆规律吗？
课程讲解
(1)角 与角 的终边具有什么样的位置关系?
(2)角 与角 的终边上点 P,P 的坐标具有什么关系? 进而角 与角 的三角函数值有什么关系?
y
P(x, y)
o
x
P(x,y)
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
课程讲解
【问题 3】思考： ， 与 的三角函数值之间的关系．
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课后作业
课后研究
【1】课本相关习题；
【2】思考：角 的终边与 有什么关系？它们的三角函数值有何关系？
2
【3】请完成本节对应的同步练习
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诱导公式 第二课时
高 人中 教数 A版学教人材教《A版 诱(导20公19式)必 》修 PP第 T下一载册15. 3《诱 导公式 》课件
课程讲解
【问题 4】 诱导公式的应用研究
角 终边与单位圆交点 P(x, y) ,则 终边与单位圆 2
交点
P1
(
y,
x)
，又2的终边与 Nhomakorabea2
的终边关于
y
轴对
称，故
2
终边与单位圆交点
再见
高中数学人教A版(2019)必修第一册5. 3《诱 导公式 》课件
高 人中 教数 A版学教人材教《A版 诱(导20公19式)必 》修 PP第 T下一载册15. 3《诱 导公式 》课件
课程讲解
【问题 3】能否用已有公式得出
的正弦、余弦
2
与 的正弦、余弦之间的关系式？
sin()sin[()]sin()cos
2
2
2
cos()cos[()]sin()cos
2
2
2
高 人中 教数 A版学教人材教《A版 诱(导20公19式)必 》修 PP第 T下一载册15. 3《诱 导公式 》课件
课程讲解
【问题 2】能画出角 关于直线 y x 对称的角的终边吗？ 与角 关于直线 y x 对称的角怎样表示？
这两个角的终边上点 P1, P2 的坐标具有什么关系?
sin ( ) co s ; 2
co s( ) sin ; 2
tan ( ) co t 2
高 人中 教数 A版学教人材教《A版 诱(导20公19式)必 》修 PP第 T下一载册15. 3《诱 导公式 》课件
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【问题 4】 诱导公式的应用研究
例 1 利用公式求下列三角函数值:
(1) cos 225 ； (2) sin 11 ； (3) sin( 16 )； (4) cos(2040 ).
3
3
例 2 化简：
(1)cos（－siαn（）tπan－（α7）π＋α）；(2)scions（ （1－148400° °＋ －αα） ）· ·csoisn（ （α－－ α1－018800° °） ）.
你能概况公式五与六的研究思路吗？
记忆规律： 的三角函数值，等于 的互余函数值，
2
前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号．
概括：函数名变余，符号看象限．
高中数学人教A版(2019)必修第一册5. 3《诱 导公式 》课件
高中数学人教A版(2019)必修第一册5. 3《诱 导公式 》课件
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人教A版教材《诱导公式》PPT下载1
课堂小结
【问题 5】 课堂小结，提高认识
1）简述数学的化归思想：数形结合，由特殊到一般，化未知为已知等思想方法．
2）三个诱导公式的记忆：函数名不变； 看成锐角，符号看象限．
3）三个诱导公式的作用 4）求任意角的三角函数值的步骤为：负化正，正化小，化到锐角就终了．
【问题 5】 诱导公式的应用研究
例1
(1)求证： sin(3 ) cos;cos(3 ) sin
2
2
sin(2 ) cos( ) cos( ) cos(11 )
（2）化简：
cos(
)sin(3
2
)sin(
2
)sin(9
)
2
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诱导公式 第一课时
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【问题 1】如何将任意角的三角函数求值转化为0~2 角三角函数求值问题？
求 9 角的正弦、余弦、正切值
4
角与 2k (k Z) 的三角函数值为什么相等呢？
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【问题 2】 两个角的终边特殊的对称关系研究： 1）终边关于原点对称
2）终边关于 x 轴对称 3）终边关于 y 轴对称