简单的线性规划求最优解
简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题(附答案)简单的线性规划问题[学习目标]知识点一线性规划中的基本概念知识点二线性规划问题1．目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－ab x＋zb，在y轴上的截距是zb，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(4)答：写出答案．知识点三简单线性规划问题的实际应用1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一求线性目标函数的最值例1 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1答案 B 解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧ y ＝2，x －y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11.跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．答案 (1)D (2)1解析 (1)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x ＋y ，即y ＝－3x ＋z 过点(0,1)时z 取最小值1.题型二 非线性目标函数的最值问题例2 设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，求 (1)x 2＋y 2的最小值；(2)y x 的最大值．解 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC ，(1)令u ＝x 2＋y 2，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点的距离的平方．过原点向直线x ＋2y －4＝0作垂线y ＝2x ，则垂足为⎩⎨⎧x ＋2y －4＝0，y ＝2x 的解，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫45，85， 又由⎩⎨⎧ x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32， 所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC |＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝132，所以，x 2＋y 2的最小值为134.(2)令v ＝yx ，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点相连的直线l 的斜率为v ，即v ＝y －0x －0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点C 时，v 最大，由(1)知C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，32，所以v max ＝32，所以y x 的最大值为32.跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．答案10解析画出可行域(如图所示)．(x＋3)2＋y2即点A(－3,0)与可行域内点(x，y)之间距离的平方．显然AC长度最小，∴AC2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x＋3)2＋y2的最小值为10.题型三线性规划的实际应用例3某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？ 解 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，z＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值， 最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800， 即该公司可获得的最大利润是2 800元． 反思与感悟 线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解． 跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？ 解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.由⎩⎨⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2007，2007. 由⎩⎨⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎨⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752.所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752，O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752，但注意到x ∈N *，y ∈N *，故取⎩⎨⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．1．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( ) A ．－1 B ．1 C.32D ．22．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z ＝10x＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．953．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．一、选择题1．若点(x, y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域， 则2x －y 的最小值为()A ．－6B ．－2C ．0D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43D ．43．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－∞，0]C ．[－1，＋∞)D ．[－1,1)4．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．05．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，x ＋by ＋c ≤0，目标函数z＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c 的值分别为( )A ．－1,4B ．－1，－3C ．－2，－1D ．－1，－26．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1二、填空题7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x＋2y 的取值范围是________．8．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)． 9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y 给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．10．满足|x |＋|y |≤2的点(x ，y )中整点(横纵坐标都是整数)有________个．11．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________． 三、解答题12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，目标函数z ＝2x －y ，求z 的最大值和最小值．13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，求a 的取值范围．14．某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1．答案 B解析如图，当y＝2x经过且只经过x＋y－3＝0和x＝m的交点时，m取到最大值，此时，即(m,2m)在直线x ＋y－3＝0上，则m＝1.2．答案 C解析该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x ，y ∈N *，计算区域内与⎝⎛⎭⎪⎪⎫112，92最近的点为(5,4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.3．答案 12解析实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方，故z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.课时精练答案一、选择题1．答案 A解析画出可行域，如图所示，解得A(－2,2)，设z＝2x－y，把z＝2x－y变形为y＝2x－z，则直线经过点A时z取得最小值；所以z min＝2×(－2)－2＝－6，故选A.2．答案 D解析作出可行域，如图所示．联立⎩⎨⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2.当目标函数z ＝3x －y 移到(2,2)时，z ＝3x －y 有最大值4. 3．答案 D解析 作出可行域，如图所示，y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1,1)．4．答案 C解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选C.5．答案 D解析由题意知，直线x＋by＋c＝0经过直线2x ＋y＝7与直线x＋y＝4的交点，且经过直线2x ＋y＝1和直线x＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，∴⎩⎨⎧ 3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝－2.6．答案 D解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D.二、填空题 7．答案 [2,6]解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2,0)时，有最小值2，过点B (2,2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2,6]．8．答案 [3,8] 解析 作出不等式组⎩⎨⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈[3,8]． 9．答案 4解析 由线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.10．答案13解析 |x |＋|y |≤2可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2 (x ≥0，y ≥0)，x －y ≤2 (x ≥0，y ＜0)，－x ＋y ≤2 (x ＜0，y ≥0)，－x －y ≤2 (x ＜0，y ＜0)，作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，容易得到整点个数为13个． 11．答案 21解析 作出可行域(如图)，即△ABC 所围区域(包括边界)，其顶点为A (1,3)，B (7,9)，C(3,1)方法一∵可行域内的点都在直线x＋2y－4＝0上方，∴x＋2y－4＞0，则目标函数等价于z＝x＋2y－4，易得当直线z＝x＋2y－4在点B(7,9)处，目标函数取得最大值z max＝21.方法二z＝|x＋2y－4|＝|x＋2y－4|5·5，令P(x，y)为可行域内一动点，定直线x＋2y－4＝0，则z＝5d，其中d为P(x，y)到直线x＋2y－4＝0的距离．由图可知，区域内的点B与直线的距离最大，故d的最大值为|7＋2×9－4|5＝215.故目标函数z max＝215·5＝21.三、解答题12．解z＝2x－y可化为y＝2x－z，z的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z取得最大值和最小值时，应是直线在y轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：2x－y＝0平行的直线系l，经上下平移，可得：当l移动到l1，即经过点A(5,2)时，z max＝2×5－2＝8.当l移动到l2，即过点C(1,4.4)时，z min＝2×1－4.4＝－2.4.13．解先画出可行域，如图所示，y＝a x必须过图中阴影部分或其边界．∵A(2,9)，∴9＝a2，∴a＝3.∵a＞1，∴1＜a≤3.14．解由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x张，可获得利润z元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤90，2x ≤600，z ＝80x ，x ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900，x ≤300，x ≥0⇒0≤x ≤300. 所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)， 即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元．(2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤90，1·y ≤600，z ＝120y ，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450，y ≤600，y ≥0⇒0≤y ≤450. 所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)， 即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．(3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图)．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0. 把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600，解得，点M 的坐标为(100,400)．所以当x＝100，y＝400时，z max＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．。
线性规划的定义及解题方法
线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。
它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。
线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。
本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。
一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。
它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。
通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。
在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。
这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。
例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。
这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。
二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。
决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。
3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。
例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。
4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。
它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。
简单的线性规划(第二课时)最优解、整数解
简单的线性规划(第2课时)最优解、整数解（邓开印）教学目的；1.了解简单的线性规划问题.2.了解线性规划的意义.3.会用图解法解决简单的线性规划问题教学重点：用图解法解决简单的线性规划问题.教学难点：准确求得线性规划问题的最优解、整数解教学方法：讲练结合教学设计：一、复习1：作不等式组表示的平面区域503x yx yx-+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩并求2x y+的最大值和最小值二、线性规划的概念1：线性目标函数：z ax by=+2：线性约束条件：不等式组3：在线性约束条件下的平面区域内求线性目标函数：z ax by=+的最大值和最小值叫线性规划。
4：可行解：满足线性约束条件的所有解（,x y）叫线性规划的可行解5：可行域：线性规划的可行解组成的平面区域6：最优解：在线性约束条件下的平面区域内求线性目标函数：z ax by=+的最大值和最小值叫线性规划的最优解。
三、及时巩固练习1：在约束条件503x yx yx-+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩下，()12x y+求的最大值最小值。
（2）求2x y+取最大值和最小值的整数解.(方法:格点法)（3）求33yx++取最大值和最小值的整数解.(方法:格点法).三：线性规划应用题1:课本67P例32: 课本68P例4(方法:格点法)四、练习：70P1、2五、作业：71p习题7.4 2、4、5六:课后小结通过本节学习，要掌握用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z=0，画出直线l0.即基本目标函数3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.。
线性规划问题的四种求解方法
可画出直线
l0
:y
=-
2 3
x
,
把直线
l0
向右上方
平移 , 当经过可行域上点 B 时 , 直线的截距最
大 .此时 z = 12x +18y 取最大值 .解方程组
z =6x +3y +5[ 300 -(x +y)] +5(200 -x ) +9(450 -y)+6(100 +x +y)=2 x -5y +
解 设每天生产甲 、乙产品的件数分别是
维生素 B (单位 / 千克) 800 400 500
成本(单位 / 千克) 11 9 4
某食物营养所想用 x 千克甲种食物 , y 千 克乙种食物 , z 千克丙种食物配成 100 千克混合 物 , 并使混合物至少含有 56000 单位维生素 A 和 63000 单位维生素 B
问题的最优解具有十分重要的现实意义 .现介
二 、等值线法
绍几种求解线性规划问题的最优解的策略 .
所谓等值线是指直线上任一点的坐标(x ,
一 、截距法
y )都使 F(x , y)=Ax +By 取等值C 的直线l :
例 1 某厂需从国外引进两种机器 .第一 Ax +By = C(A 、B 不同时为零).通过比较等
7150 作出以上不等式组所表示的平面区域即可
x +2y 4x +y
=13得 =24
B(5 , 4).故当
x
=5, y
=4
行域 .令 z = 0 , 则可画出 直线 l 0 :2x -5y + 7150 =0 .画出一组与 l 0 平行的等值线 , 比较等
线性目标函数最优解的求解方法
线性目标函数最优解的求解方法线性规划中寻求最优解是解析几何的重点，也是难点。
现就如何利用可行域寻求最优解的常见方法作些探讨.一、 平移直线法平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等.例1变量x 、y 满足下列条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0,0............2432...........3692..............122y x ③y x ②y x ①y x 则使z=3x+2y 的值最小的（x ，y ）是（ ）A ． ( 4.5 ,3 )B ． ( 3,6 )C ． ( 9, 2 )D ． ( 6, 4 ) 解析：作出约束条件的可行域（如图），由z=3x+2y 知223zx y +-=,于是作一系列与直线x y 23-=平行的直线，当直线223zx y +-=过图中的B 点时，2z取得最小值。
于是由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+6336922432y x y x y x ，从而知当⎩⎨⎧==63y x 时，z=3x+2y 取得最小值。
故选B 。
评析：解决线性规划中的最值问题的关键是：作出可行域，找出最优解。
二、代入检验法通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性.于是在有关选择题的线性规划中的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解。
例2，已知x 、y 满足约束条件：⎩⎨⎧≤+≤+3623242y x y x ，则Z=10x+15y 的最大值为（）A 195B 200C 210D 220解：解程组⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+963623242y x y x y x 从而代入Z=10x+15y 可得Z max =195,故选A 。
评析：代入检验法在涉及最优解为近似解或整格解的问题时，是一种行之有效的方法，具有其它方法不可替代的作用.三、 比较斜率法 平移法的缺陷在于，当可行域的顶点数较多时，不易直观地判断出哪个或哪几个顶点的坐标是最优解.这时若进一步考虑直线斜率的大小，则可以确定出最优解.例3 某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t 需耗A 种矿石10t 、B 种矿石5t 、煤4t ；生产乙种产品1t 需耗A 种矿石4t 、B 种矿石4t 、煤9t.每1t 甲种产品的利润是600元，每1t 乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300t 、B 种矿石不超过200t 、煤不超过360t .甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t ），能使利润总额达到最大？解：设生产甲、乙两种产品分别为xt 、yt ，利润总额为z 元，那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,0360942004515025y x y x y x y x 且Z=600x+1000y 作出约束条件所表示的平面区域（如左图），即可行域. 作直线l ：600x+1000y=0,即直线l ：3x+5y=0.因为94534525-<-<-<-，即k EN <k MN <k l <k FN ，所以把直线l 向上方移至m 的位置，直线经过可行域上的点M ，此时Z=600x+1000y 取最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+3609420045x x y x 得M 的坐标x=29360=12.3，y=291000=34.5，代入计算得Z max =291216000． 答：应生产甲产品约12.3t,乙产品34.5t ，能使利润总额达到最大.评析：这是高中新教材第二册上册第七章，“简单的线性规划”一节中的例3（P62～63）,确定了直线斜率的大小，实质是确定了直线在向上平移的过程中，在经过可行域X 围内时，即可确定最优解。
29知识讲解_简单的线性规划问题_提高
直线的斜率来判断.
对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域
内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解，最优解一般在可行域的定点处取得，若要求最
优整解，则必须满足 x，y 均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然
后将整点分别代入目标函数验证选出最优整解.上述求整点最优解的方法可归纳为三步：
2m 1 2m 1
2m 1 2m 1
是最优解，代入目标函数得 4 2m 2 ，解得 m=1， 2m 1 2m 1
故选 C．
例 3 . 已知| 2 x － y ＋ m | ＜ 3 表示的平面区域包含点（ 0 , 0 ） 和（ － 1 , 1 ）， 则 m 的取值范围是 （ ）
A.（ -3,6） B.（ 0,6） C.（ 0,3） D.（ -3,3）
则目标函数等价于 z x 2 y 4
易得当直线 z x 2 y 4 在点 B(7,9) 处，目标函数取得最大值
为 zmax 21 .
x 2y 4
【方法二】 z x 2 y 4
5
5
令 P(x, y) 为可行域内一动点、定直线 x 2 y 4 0 ，
则 z 5 | PH | ，其中| PH | 为 P(x, y) 到直线 x 2 y 4 0 的距离
1】设变量
x、y
满足约束条件
x
y
1
，则目标函数
z＝2x＋3y
的
2x y 3
最小值为
A．6
B．7
C．8
D．23
【答案】B
【解析】约束条件
x y 3
x
y
1
，表示的平面区域如图
简单的线性规划问题
简单的线性规划问题例1：求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x解：不等式组所表示的平面区域如图所示：例2：若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1x ＋y ≥0x －y －2≤0，求目标函数z ＝x －2y 的最大值[解析] 先作出可行域如图．作直线x－2y＝0在可行域内平移，当x－2y－z＝0在y轴上的截距最小时z值最大．当移至A(1，－1)时，z max＝1－2×(－1)＝3，1.在平面直角坐标系中，若点(3t－2，t)在直线x－2y＋4＝0的下方，则t的取值范围是( C)A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－2，＋∞) D．(0,2) [解析]∵点O(0,0)使x－2y＋4>0成立，且点O在直线下方，故点(3t －2，t )在直线x －2y ＋4＝0的下方⇔3t －2－2t ＋4>0，∴t >－2.[点评] 可用B 值判断法来求解，若B>0，令d ＝B (Ax 0＋By 0＋C )，则d >0⇔点P (x 0，y 0)在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方；d <0⇔点P (x 0，y 0)在直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方．2．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z ＝2x ＋y的最大值为( C )A ．－2B ．4C ．6D ．8 [解析]3.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，y ≥1，则z ＝2x －y 的最大值为( C )A．－1 B．0 C．3 D．4[解析]作出可行域如图，作直线l0：2x－y＝0，平移l0当平移到经过点A(2,1)时，z max＝3.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z＝3x －y 的最大值为( D )A ．－4 B ．0 C.43D ．4[解析]该线性约束条件所代表的平面区域如图，易解得A (1,3)，B (1，53)，C (2,2)，由z ＝3x －y 得y ＝3x －z ，由图可知当x ＝2，y ＝2时，z 取得最大值，即z 最大＝3×2－2＝4.故选D.5．已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y －x ≥0，x ≥0.目标函数z ＝ax ＋y只在点(1,1)处取最小值，则有( D ) A ．a >1 B ．a >－1 C ．a <1D ．a <－1[解析] 作出可行域如图阴影部分所示．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .只在点(1,1)处z 取得最小值，则斜率－a >1，故a <－1，故选D.6．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为( C )A ．0<a <13B ．a ≥13C ．a >13D ．0<a <12[解析] 作出可行域如图，∵目标函数z ＝x ＋ay 恰好在点A (2,2)处取得最大值，故－1a>－3，∴a >13.★7.若2x ＋4y <4，则点(x ，y )必在( D )A ．直线x ＋y －2＝0的左下方B ．直线x ＋y －2＝0的右上方C ．直线x ＋2y －2＝0的右上方D ．直线x ＋2y －2＝0的左下方 [解析] ∵2x ＋4y ≥22x ＋2y ，由条件2x ＋4y <4知， 22x ＋2y <4，∴x ＋2y <2，即x ＋2y －2<0，故选D. ★8．设O 为坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，若点N (x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，2x ＋y －12≤0，x ≥1，则使OM →·ON →取得最大值的点N 的个数是( D )A ．1 B ．2 C ．3D ．无数个[分析] 点N (x ，y )在不等式表示的平面区域之内，U ＝OM →·ON →为x ，y 的一次表达式，则问题即是当点N 在平面区域内变化时，求U 取到最大值时，点N 的个数．[解析] 如图所示，可行域为图中阴影部分，而OM →·ON →＝2x ＋y ，所以目标函数为z ＝2x ＋y ，作出直线l ：2x ＋y ＝0，显然它与直线2x ＋y －12＝0平行，平移直线l 到直线2x ＋y－12＝0的位置时目标函数取得最大值，故2x ＋y －12＝0上每一点都能使目标函数取得最大值，故选D.9．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤3，x ＋2y －2≥0，所表示的平面区域为S ，若A 、B为区域S 内的两个动点，则|AB |的最大值为(B)A ．25 B.13 C ．3 D. 5[解析] 在直角坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形观察不难得知，位于该平面区域内的两个动点中，其间的距离最远的两个点是(0,3)与(2,0)，因此|AB |的最大值是13，选B.10.若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( B )A ．－1 B ．1 C.32D ．2[解析] 本题考查了不等式组所表示的平面区域及数形结合思想解决问题的能力．由约束条件作出其可行域，如图由图可知当直线x ＝m 过点P 时，m 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y －3＝0，得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴P (1,2)，此时x ＝m ＝1.[点评] 对于可行域中含有参数的情形，不妨先取特殊值来帮助分析思路．★11.设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －10≤0，x －2y ＋8≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为(A) A.256 B.83 C.113D ．4[解析] 由可行域可得，当x ＝4，y ＝6时，目标函数z ＝ax ＋by 取得最大值，∴4a ＋6b ＝12，即a 3＋b2＝1，∴2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·(a 3＋b 2)＝136＋b a ＋a b ≥136＋2＝256，故选A.12．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥0，y ≤4.表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( D )A ．(0,1) B ．(1,2) C ．[2,4] D ．[2，＋∞)[解析] 作出可行区域，如图，由题可知点(2，a 2)应在点(2,4)的上方或与其重合，故a 2≥4，∴a ≥2或a ≤－2，又a >0且a ≠1，∴a ≥2.★13．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1，所表示的平面区域的面积为( B ) A. 2 B.32 C.322D ．2[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1，的图形如图．解得：A (0,1) D (0，－1) B (－1，－2) C (12，－12)S △ABC ＝12×|AD |×|x C －x B |＝12×2×(12＋1)＝32，故选B.★14．已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 值为(A) A. 3 B.32C. 2 D ．4[解析]由题可知，当x＝0时，z＝kx＋y＝y，因此要使目标函数z＝kx＋y(k>0)取得最大值，则相应直线经过题中的平面区域内的点时，相应直线在y轴上的截距最大．由目标函数z＝kx＋y(k>0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kx＋y＝0的倾斜角为120°，于是有－k＝tan120°＝－3，k＝3，选A.★15．在直角坐标系xOy中，已知△AOB的三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0,2x＋3y＝30，则△AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为(B )A ．95 B ．91C ．88D ．75 [解析]由2x ＋3y ＝30知，y ＝0时，0≤x ≤15，有16个；y ＝1时，0≤x ≤13；y ＝2时，0≤x ≤12； y ＝3时，0≤x ≤10；y ＝4时，0≤x ≤9； y ＝5时，0≤x ≤7；y ＝6时，0≤x ≤6； y ＝7时，0≤x ≤4；y ＝8时，0≤x ≤3； y ＝9时，0≤x ≤1，y ＝10时，x ＝0.∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个．16．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，x ≤a ，表示的平面区域S 的面积为4，点P (x ，y )∈S ，则z ＝2x ＋y 的最大值为___6_____．[解析]由题意知⎩⎪⎨⎪⎧12×2a×a ＝4，a >0，∴a ＝2，易得z ＝2x ＋y 的最大值为6.★17.若由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n ，x －3y ≥0，y ≥0，(n >0)确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x 轴上，则实数m ＝__－33.[解析] 根据题意，三角形的外接圆圆心在x 轴上， ∴OA 为外接圆的直径，∴直线x ＝my ＋n 与x －3y ＝0垂直， ∴1m ×13＝－1，即m ＝－33.18．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则目标函数z ＝4x＋y 的最大值为_11_____[解析]如图，满足条件的可行域为三角形区域(图中阴影部分)，故z＝4x＋y在P(2,3)处取得最大值，最大值为11.19．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：a b(万吨)c(百万元)A 50%1 322(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为___15_____(百万元)．[解析] 设需购买A 矿石x 万吨，B 矿石y 万吨，则根据题意得到约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，目标函数为z ＝3x ＋6y ，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取得最小值，最小值为：z min ＝3×1＋6×2＝15.1百吨需要资金2百万元，需场地2百平方米，可获利润3百万元；投资生产B 产品时，每生产1百米需要资金3百万元，需场地1百平方米，可获利润2百万元．现该单位有可使用资金14百万元，场地9百平方米，如果利用这些资金和场地用来生产A 、B 两种产品，那么分别生产A 、B 两种产品各多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？[解析] 设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百米，共获得利润S 百万元，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤14，2x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0，目标函数为S ＝3x ＋2y .作出可行域如图，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝9，2x ＋3y ＝14，解得直线2x ＋y ＝9和2x ＋3y ＝14的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫134，52，平移直线y ＝－32x ＋S2，当它经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫134，52时，直线y ＝－32x ＋S 2在y 轴上截距S 2最大，S 也最大．此时，S ＝3×134＋2×52＝14.75.因此，生产A 产品3.25百吨，生产B 产品2.5百米，可获得最大利润，最大利润为1475万元★21.北京某商厦计划同时出售新款空调和洗衣机，由于这两种产品的市场需求量大，供不应求，因此该商厦要根据实际情况（如成本、工资）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，通过调查，得到这两种产品的有关数据如下表：试问：怎样确定两种产品的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润刘多少？正解：设空调、洗衣机的月供应量分别为x 、y ，总利润是p ，那么满足条件： .9600,942223023960)2(3)23(31:8226386)22()3()2()23(2220:)2()5(30230:)1()4(86)3(0,0)2(110105)1(3002030元的最大值是时即当此时当且仅当解之得得由得由p y x y x y x p y x y x p n m n m n m yx y n m x n m y x n y x m p y x y x yx p y x y x y x ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+=+≤≤∴+++=∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+=+∴+=++++++=≤+≤≤+≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=≥≥≤+≤+10．某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资每份由金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资每份由金融投资40万元，房地产投资30万元组成．已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元．若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，那么这两种组合投资各应注入多少份，才能使一年获利总额最多？[解析] 设稳健型投资x 份，进取型投资y 份，利润总额为z (单位：10万元，则目标函数为z ＝x ＋1.5y (单位：10万元)，线性约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋40y ≤160，30x ＋30y ≤180，x ≥0，y ≥0x ∈N ，y ∈N，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0x ∈N ，y ∈N，作出可行域如图，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，x ＋y ＝6，得交点M (4,2)，作直线l 0：x ＋1.5y ＝0，平移l 0，当平移后的直线过点M 时，z 取最大值：z max ＝(4＋3)×10万元＝70万元．答：稳健型投资4份，进取型投资2份，才能使一年获利总额最多.(理)(2012·辽宁文，9)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55 [答案] D[解析] 本题考查线性规划的知识．作出可行域如图所示：令z ＝2x ＋3y ，则y ＝－23x ＋13z . 要使z 取得最大值，需直线y ＝－23x ＋13z 在y 轴上的截距最大，移动l 0：y ＝－23x 当l 0过点C (5,15)时，z 取最大值z max ＝55.解线性规划问题，准确作出可行域是关键，同时还要注意目标函数z ＝2x ＋3y 与z ＝2x －3y 最优解是不同的．13．(文)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3t ，B 原料2t ；生产每吨乙产品要用A 原料1t ，B 原料3t ，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13t，B原料不超过18t.那么该企业可获得最大利润是( )A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元[答案] D [解析] 设生产甲、乙两种产品分别为x t ，y t ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，获利润ω＝5x ＋3y ，画出可行域如图，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝13，2x ＋3y ＝18，解得A (3,4)．∵－3<－53<－23， ∴当直线5x ＋3y ＝ω经过A 点时，ωmax ＝27.(理)(2011·四川文，10)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10t 的甲型卡车和7辆载重量为6t 的乙型卡车，某天需送往A 地至少72t 的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润z＝( ) A．4650元B．4700元C ．4900元D ．5000元[答案] C [解析] 设该公司派甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋6y ≥72，2x ＋y ≤19，x ＋y ≤12，0≤x ≤8，x ∈N 0≤y ≤7，y ∈N 利润z ＝450x ＋350y ，可行域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝19，x ＋y ＝12，得A (7,5)．当直线350y ＋450x ＝z 过A (7,5)时z 取最大值，∴z max ＝450×7＋350×5＝4900(元)．故选C.．(理)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x，y为何值时，z＝xP甲＋yP乙最大，最大值是多少？[解析] (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ P 甲－P 乙＝0.251－P 甲＝P 乙－0.05， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ P 甲＝0.65，P 乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P 甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P 乙＝0.4.(2)依题意得x 、y 应满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋8y ≤32，20x ＋5y ≤55，x ≥0，y ≥0，且z ＝0.65x ＋0.4y .作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．作直线l ：0.65x ＋0.4y ＝0即13x ＋8y ＝0，把直线l 向上方平移到l 1的位置时，直线经过可行域内的点M ，且l 1与原点的距离最大，此时z 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝8，4x ＋y ＝11，得x ＝2，y ＝3.故M 的坐标为(2,3)，所以z 的最大值为z max ＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.16．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5min ，生产一个骑兵需7min ，生产一个伞兵需4min ，已知总生产时间不超过10h.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？[解析] (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.(2)约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋7y ＋4100－x －y ≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z .整理得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z .目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300，如图所示，作出可行域．初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以W max ＝550(元)．答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．2．已知a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，M ＝2a ＋2b ，则M 的整数部分是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] B[解析] ∵a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，∴0<a <1，设t ＝2a ，则t ∈(1,2)，M ＝2a ＋2b ＝2a ＋21－a ＝t ＋2t≥22，等号在t ＝2时成立，又t ＝1或2时，M ＝3，∴22≤M <3，故选B.3．(2011·湖北高考)直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个[答案] B[解析] 直线2x ＋y －10＝0与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示，故直线与此区域的公共点只有1个，选B.4．(2011·黄山期末)设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0，所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10] C ．[2,9] D ．[10，9][答案] C[解析] 作出不等式表示的平面区域如图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19＝0，x －y ＋8＝0，得A (1,9)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19＝0，2x ＋y －14＝0，得B (3,8)，当函数y ＝a x 过点A 时，a ＝9，过点B 时，a ＝2，∴要使y ＝a x 的图象经过区域M ，应有2≤a ≤9.5．(2012·河南洛阳市模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥3x ，x ＋ay ≤7，其中a >1，若目标函数z ＝x ＋y 的最大值为4，则a的值为________．[答案] 2 [解析]作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．∵y ＝－x ＋z ，∴欲使z 最大，只需使直线y ＝－x ＋z 的纵截距最大，∵a >1，∴直线x ＋ay ＝7的斜率大于－1，故当直线y ＝－x ＋z 经过直线y ＝3x 与直线x ＋ay ＝7的交点(71＋3a ，211＋3a )时，目标函数z 取得最大值，最大值为281＋3a .由题意得281＋3a＝4，解得a ＝2.6．(2012·太原部分重点中学联考)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≥0，2x －y －6≤0，x ＋y －k －2≥0，且x 2＋y 2的最小值为m ，当9≤m ≤25时，实数k 的取值范围是( )A ．(17－2,5)B ．[17－2,5]C ．(17－2,5]D ．(0,5][答案] B [解析]不等式组表示的可行域如图中的阴影部分，x 2＋y 2的最小值m 即为|OA |2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0x ＋y －k －2＝0，得A (k ＋32，k ＋12)．由题知9≤(k ＋32)2＋(k ＋12)2≤25，解得17－2≤k ≤5.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当平移到经过平面区域内的点(3,0)时，相应的直线在x 轴上的截距最大，此时z ＝2x ＋y 取得最大值，最大值是6，故选C.8．某人有楼房一幢，室内面积共计180m 2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积18m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积15m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？[解析] 设隔出大房间x 间，小房间y 间时收益为z 元， 则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧18x ＋15y ≤180，1000x ＋600y ≤8000，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈Z ，且z ＝200x ＋150y .约束条件可化简为： ⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ≤60，5x ＋3y ≤40，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈Z .可行域为如图所示的阴影部分(含边界)作直线l ：200x ＋150y ＝0，即直线l ：4x ＋3y ＝0把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过点B ，且与原点的距离最大，此时z ＝200x ＋150y 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ＝60，5x ＋3y ＝40，得到B (207，607)．由于点B 的坐标不是整数，而最优解(x ，y )中的x ，y 必须都是整数，所以，可行域内的点B (207，607)不是最优解，通过检验，当经过的整点是(0,12)和(3,8)时，z取最大值1800元．于是，隔出小房间12间，或大房间3间、小房间8间，可以获得最大收益．[点评] 当所求解问题的结果是整数，而最优解不是整数时，可取最优解附近的整点检验，找出符合题意的整数最优解．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
3.3.2简单线性规划(1_2)--上课用
y-x=0
5
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性， 1 O
1 A(2,-1)
5
x
y+1=0
B(-1,-1)
-1
x+y-1=0
x - y 0 1 、 画出x y - 1 0区域 y y 1 0
使 式中，的x、y满足约束条件：
3 z z y x , 为直线3x 5 y z 0 5 5 5 的纵截距
5 x 3 y 15 y x 1 x 5 y 3
5x+3y=15 y y=x+1
5
B(3/2,5/2)
1
X-5y=3 x
O
-1
1
5
A(-2,-1)
B.z=5x+3y D.z=3x+5y
答案:A
第31页
高考题练习：
x y≥2, 1.(2009 浙江)若实数x, y满足不等式组 2 x y≤4, x y≥0, 则2x 3y的最小值是 ________ .
答案:4
第32页
解析:作出可行域如下图. 作直线l:2x+3y=0,平移l,当l过点A(2,0)时,2x+3y有最小值4.
D.5
z=5×1+0=5.
答案:D
第34页
则z x 2y的最大值为
A.4 答案:B B.3 C.2
y≤1, 3.(2010 全国Ⅰ若变量 ) x、y满足约束条件 x y≥0, x y 2≤0,
高中数学 同步教学 简单的线性规划问题
x (1)
2
率的 2 倍,
因为 kQA= 7 ,kQB= 3 ,所以 z 的取值范围是[ 3 , 7 ].
48
42
方法技巧 与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数 的最值问题的求解,一般要结合给定代数式的几何意义来完成.
常 见 代 数 式 的 几 何 意 义 :(1) x2 y2 表 示 点 (x,y) 与 原 点 (0,0) 的 距
4.给定下列命题:在线性规划中,
①最优解指的是使目标函数取得最大值的变量x或y的值;
②最优解指的是目标函数的最大值或最小值;
③最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域;
④最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
其中正确命题的序号是
.
解析:因为最优解是使目标函数取得最大值或最小值的可行解,即满足 线性约束条件的解(x,y),它是一个有序实数对,所以①②③均错,④正确. 故填④. 答案:④
变式探究:在本例的约束条件下,求z=x2+y2+2x的最大值与最小值.
解:z=x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1 表示可行域内任意一点(x,y)与点 D(-1,0)距离的平方减去 1,
如图所示,过 D 作 AB 的垂线 DP,垂足为 P,所以|DP|= | 1 0 4 | = 5 = 5 2 ,
(2)简单线性规划问题的解法 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,用图解法求最优解的步骤 可概括为“画、移、求、答”,即: ① 画 : 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 画 出 可 行 域 和 直 线 ax+by=0( 目 标 函 数 为 z=ax+by); ②移:平行移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或最小值的点; ③求:求出使z取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z的最大值或 最小值; ④答:给出正确答案.
简单线性规划的理论知识
•B
O
x 4y 3 0
•A
3x 5y 25 0
x
A(5,2) B(1,1) zmin 211 3
zmax 25 2 12
2x+y=0
问题： 设z=2x-y，式中变量x，y满足下列条件
x 4 y 3 3x 5y 25 x 1 求z的最大值和最小值.
3.求出最优解所对应点的坐标，代入z中，即得目标函 数的最大值和最小值.
线性规划的可行域一定是凸形，其最优解一定 在顶点处出现，因此，在找最优解或检验时， 可将顶点的坐标代入目标函数计算
课堂练习：
1、解下列线性规划问题： 求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满
足下列条件：
y x x y 1 y 1
2、解下列线性规划问题： 求z=3x+y的最大值，使式中x、y满足下
列条件：
2x 3y 24
xy
y 6
7
x 0
y 0
解决线性规划问题的图解法的一般步骤：
1.由线性约束条件画出可行域； 2.令z＝0，再利用平移法找到最优解所对应的点；
z 2x y表示一组平行直线
2x-y=0
y x 1
C
•B
O
x 4y 3 0
•A
3x 5y 25 0
x
A(5,2) C(1, 22)
5 22 12 zmin 21 5 5
zmax 25 2 10
1、已知x,y满足条件： x-y+3≥0 x+y-5≤0 2x-y-4≤0 x ≥0 y ≥0
求z=x+2y的最大值。 解 ： 画 出 满 足 x,y 的 条 件 所表示的区域，即五边 形OABCD（如图）
3.3.2简单的线性规划问题2
[规范作答] 设需截第一种钢板 x 张，第二种钢板 y 张． 2x＋y≥15， x＋2y≥18， 可得 x＋3y≥27， x≥0，y≥0.
且 x、y 都是整数，
求目标函数 z＝x＋y 取最小值时的 x、y.2 分 作可行域如图所示，6 分
18 x＝ 5 ， x ＋ 3 y ＝ 27 ， ∵ ∴ 2x＋y＝15， y＝39， 5 平移直线
18 39 ∴A 5 ， 5
18 39 z＝x＋y，可知直线经过点 5 ， 5 ，此时
x＋y
18 39 57 18 39 ＝5， 但 5 与 5 都不是整数， 所以可行域内的点 A 5 ， 5 不
是最优解.8 分
方法一：平移求解法 首先在可行域内打网格，其次描出
下取得最大值时的最优解只有一个， 则实数 a
的取值范围是________． 解析：
x＋y－3≥0 作出线性约束条件2x－y≤0 y≤a
表示的平面
区域， 如图中阴影部分所示．
• 因为取得最大值时的最优解只有一个，所以目 标函数对应的直线与平面区域的边界线不平行， 根据图形及直线的斜率，可得实数 a的取值范 围是[2，＋∞)． • 答案： [2，＋∞)
∴A′(3,3)是最优解． 所以，甲、乙两种药片各用 3 片配餐最好．
•
已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x －y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,1) 处取得最大值，则a的取值范围为________．
• 由题目可获取以下主要信息： • ①可行域已知； • ②目标函数z＝ax＋y(a＞0)仅在(3,1)处取得最大 值． • 解答本题可先画出可行域，利用数形结合求解．
• 1 ． 用图解法解决线性目标函数的最优解问题的 一般步骤 • (1)画：根据线性约束条件，在直角坐标系中，把 可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可 以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大 的平面区域． • (2)移：运用数形结合的思想，把线性目标函数看 成直线系，把目标函数表示的直线平行移动，最 先通过或最后通过的顶点便是所需要的点． • (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的 最大值和最小值．
线性规划中的最优解求解
线性规划中的最优解求解线性规划是一种在运筹学和数学中广泛应用的数学建模技术，通过确定一组线性约束条件下的最优解，以实现目标最大化或最小化。
最优解是指在满足给定约束条件的前提下，能使目标函数达到最优值的解。
在线性规划问题中，最优解的求解有多种方法。
本文将介绍线性规划中的两种主要方法：图解法和单纯形法。
一、图解法图解法是一种简单直观的方法，适用于只有两个变量的问题。
它通过在平面坐标系上画出约束条件的图形，找到可行域（满足所有约束条件的解集），并在可行域内寻找使目标函数达到最优值的点。
具体步骤如下：1. 绘制坐标系，并画出约束条件的直线或曲线。
每个约束条件都会限制变量的取值范围，在平面上形成一条直线或曲线。
2. 标出可行域。
根据所有约束条件的交集，确定满足所有约束条件的解的集合，即可行域。
可行域通常是一个多边形区域。
3. 确定目标函数。
根据问题的要求确定目标函数，并将其表示为直线或曲线。
4. 在可行域内寻找最优解。
通过平行于目标函数的线，将其移动至与可行域相切，并找到使目标函数取得最优值的点。
图解法的优点是简单易懂，能够提供初步的解决方案。
然而，对于复杂问题和具有多个变量的大规模问题，图解法可能不适用。
二、单纯形法单纯形法是一种基于矩阵运算的高效方法，适用于多变量和大规模问题。
它通过不断进行迭代计算，寻找最优解。
具体步骤如下：1. 将线性规划问题转化为标准形式。
标准形式要求目标函数为最小化问题，并且所有约束条件均为等式形式。
如果原问题不符合标准形式，可以进行线性变换进行转化。
2. 构建初始单纯形表。
将原问题的线性规划模型表示为矩阵形式，并构建单纯形表，包括目标函数系数、基变量和非基变量等信息。
3. 迭代计算。
根据单纯形表中的信息，进行迭代计算，通过选择合适的主元（即最大系数法则）和更新各个单元的值，逐步接近最优解。
4. 判断终止条件。
在每一次迭代计算后，判断是否满足终止条件，即目标函数是否达到最优解。
简单的线性规划整点最优解
0
使z=2x+y取得最大值的可行解为 (2,-1) ，
1
且最大值为 3 ；
y=-1
(-1,-1)
2x+y=0
使z=2x+y取得最小值的可行解 (-1,-1) ，
x
(2,-1)
且最小值为 -3 ；
这两个最值都叫做问题的 最优解。
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例题分析
例1:某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需消
耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1吨需消 耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600 元,每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的 计划中要求消耗A种矿石不超过300t、消耗B种矿石不超过 200t、消耗煤不超过360t.甲、乙两种产品应各生产多少(精 确到0.1t),能使利润总额达到最大?
3.在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即打网 络、找整点、平移直线、找出整数最优解
解线性规划应用问题的一般步骤：
1）理清题意，列出表格： 2）设好变元并列出不等式组和目标函数 3）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； 4）在可行域内求目标函数的最优解 5)还原成实际问题 (准确作图，准确计算)
甲产品 xt
（1t）
10 5 4
600
乙产品 yt 资源限额
（1t）
（t）
4
300
4
200
9
360
1000
设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元
把题中限制条件进行转化：
10x+4y≤300
5x+4y≤200 4x+9y≤360
x≥0
y ≥0
线性规划求最值(详细)
其中P( x, y), M (1,0) 2 2 由图知 PM 1的最小值 AM 1
解：z （x 1) y 1 PM 1
2
2
补：x y OP
2 2
2
zmin 2 1 1
2
A P( x, y)
O
其中P( x, y)
2
B
由图知 OP 的最小值 d
z=2x+y
可行解： 满足约束条件的解(x,y) 即不等式组的解 可行域: 可行解组成的集合 （阴影部分） A(5,2),B(1,1) 最优解： 使目标函数取得最值的可行解 y x=1 2x+y=ｚ 线性规划问题： 可行域 线性目标函数在线性约 最优解 束条件下的最值 的问题
o
1 x-4y+3=0
A（5，2）
(1)求z x y 10y 25最小值
x y20 (2) x，y满足 x y 4 0 2x y 5 0 2 2
2 2
2 y 1 ( 2)求 的范围 x 1
x y20 C
M
(1)解：z x （y - 5） PM
其中P( x, y), M (0,5)
(1)画区域
（2）z 2 x 3 y化为y x 3 2 z 3 表示斜率为 ，纵截距为 的一组平行线 3 3
x 2 y 8 （4）解方程组 得点A(4,2) 4 x 16
(3)直线过点 A 时纵截距最大，此时z最大,过点 O 时z最小
zmax 2 4 3 6 14 Zmin 0 注：斜率越大， 倾斜角越大
2
由图知 PM 最小值 d 2
2
A
N
高中数学：简单的线性规划 调整最优解
y
B
(1 , 2)
A (2 , 4)
x y 6
y x yA 3
(2 , 4)
B
(1, 2)
x y 1
0C (1 , 0)
x
x y 1
（ 图2 ）
0C
(1, 0)
x
复习引入: 若实数x , y满足 3xx45yy235,求z=2x+y的取值范围. y x 1
（1）画出不等式组所表示的平面区域； x=1
（ 2 ） 设 z=2x+y, 则 式 中 变量x,y满足的二元一次 不 等 式 组 叫 做 x,y
的 线性约束条件；
z=2x+y 叫做 线性目标函数 ；
满足 线性约束条件 的解(x,y)都 叫做可行解；
= 41
• • •
••••
• •
••o••
• •
• • •
• • •
•4
x
•••• •
••• －4•
3.某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180吨支援物资
的任务,该公司有8辆载重量为6吨的A型卡车和4辆载重量为10吨的
B型卡车,有10名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4
次,B型卡车3次,每辆卡车每天往返的成本费A型卡车为320元,B型
5
-1
l2
A
x-4y+3=0
•
3x+5y-25=0
56 7
x
同理,当直线取最小截距时,z有最大值
zmax 5 2 2 1
变题：若改为求z=3x+5y的最大值、最小值呢？
解：不等式组表示的平 面区域如图所示：
作斜率为 3 的直线
5
简单线性规划问题
② 174xx174
y y
6 6
x0
y 0
4 7
3 7
2 7
1 7
0
1 2 3 4 5 6x
7 7 7 7 77
14x 7 y 6 7x 7 y 5
7x 14 y 6
y 设z=28x+21y，求z的最小值。 第一步：点（x，y）在此
6
平面区域内运动时，如何
0满使.001足 目..010⑤5⑥47线 标如x可xx最上性 函行优题0x约 数y00域.中解.1.01束 取④0：的：74005：可yy条得zy=行件最⑤⑥200解80可最的大...00x如0：行优66为求餐x+解值7上25域解成并（或1题：：71y人且即中最x,,y设的花小y：）：计费值74，最出17的时7叫4x少符x可,xz可的合xmy行i1n行7营医7解4y解yy00养生。1。6配要566
练习：课本91页练习第一题的第一小题：
求 z 2x y 的最大值，使 x, y
满足约束条件：x
y
y
x
1
③②平作移图目，标由函二数元的一图次象不，等求式出组最表优示解的；平面区域作出可行域；
y 1
①寻找线性约束条件，线性目标函数；
y x+y = 1
y=x
②作图，由二元一次1不等式组表示的平面区域作出可行域；
少kg?
整理数据，列表得：
食物 碳水化合物 蛋白质
脂肪
（千克） （千克） （千克） （千克）
A B 最少摄入量
0.105 0.105 0.075
0.07 0.14 0.06
0.14 0.07 0.06
高中数学：简单线性规划(1)-可行域上的最优解
14
解线性规划应用问题的一般步骤：
1）理清题意,列出表格：
2）设好变元并列出不等式组和目标函数
3）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；
画出线性约束条件所表示的可行域,画图力保准确；
4）在可行域内求目标函数的最优解 法1：移－在线性目标函数所表示的一组平行线中,利用平移的方 法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线； 法2：算－线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处 取得,也可能在边界处取得（当两顶点的目标函数值相等时最优解 落在一条边界线段上）。此法可弥补作图不准的局限。 5)还原成实际问题 (准确作图,准确计算)
x 1
时,求z的最大值和最小值.
3
思考：还可以运用怎样的方法得到目标函数
的最大、最小值？
点的可目以y标通函过数比值较大可小行得域到边。界顶
x 4 y 3 1.先作出3x 5 y 25
x 1
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00)
C C: (1.00, 4.40)
5
x-4y+3=0
所 表 示 的 区 域. 2.作直线l0 : 2x y 0
3.作 一 组 与 直 线l 0 平 行 的 直线l : 2x y t, t R
A B
直线L越往右平移,t 随之增大.
O1
x 以经过点A(5,2)的
5
3x+5y-25=0
直线所对应的t值
x=1
最大;经过点B(1,1)
2x+y=300
A 125
O
300x+900y=112500
C x+2y=250
150 B 250
答案：当x=0,y=0时,z=300x+900y有最小值0.
图解法求解简单线性规划问题
y x=1
C
在该平面区域上
问题 1：ｘ有无最大(小)值？ 问题２：ｙ有无最大(小)值？ 问题３：2ｘ+ｙ有无最大(小)值？
B
o
A
第2页/共10页
x-4y=-3
3x+5y=25
x
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件
求ｚ的最大值和最小值。
y x=1
x-4y≤-3 3x+5y≤25，
可行域：所有可行解组成的集合。 最优解：使目标函数达到最大值
y
或 最小值 的可 行 解。
C
设Z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ
x-4y≤-3
满足下列条件 3x+5y≤25 ，
B
x≥1
o
x-4y=-3
Ａ
3x+5y=25
x
求ｚ的最大值和最小值。 第5页－3
例1：设z＝2x－y,式中变量x、y满足下列条件 3x+5y≤25
x≥1
C
B
o
x-4y=-3
Ａ
3x+5y=25
x
第3页/共10页
x-4y≤-3
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件 3x+5y≤25 ，
求ｚ的最大值和最小值。
x≥1
问题 1: 将z＝2ｘ+ｙ变形?
ｙ＝-2ｘ+ z
问题 2: z几何意义是__斜__率__为__-2_的__直__线__在__y_轴__上__的__截__距___。
有关概念
约束条件：由ｘ、ｙ的不等式（方程）构成的不等式组。
线性约束条件：约束条件中均为关于x、y的一次不等式或方程。
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教你如何做出最佳选择
——简单的线性规划求最优解
在线性约束条件下，求线性目标函数最值问题，称为“线性规划”。
目标函数),(y x f z =取得最值时，变量y x ,的对应解),(y x 称为最优解。
若Z y x ∈,时，z 取得最值，称),(y x 为最优整数解，简称整解。
点),(y x 的横、纵坐标都是整数，称为整点。
求最优整解问题出现在高中数学新教材中，常见的实际应用题型有两种，（1）给出一定数量的人力、物力资源，问怎样安排能使完成的任务量最大，收益最大；
（2）给出一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务投入的人力、物力最小。
因为研究的对象是人、物等个体，故y x ,往往是整数，较y x ,不是整数时求解困难，所以这是一个应用数学知识解决实际问题的新难点，加之教材介绍较为笼统简略，对教师和学生的理解掌握造成了一定的困难，针对这一问题，总结两种寻找最优整解的方法与大家探讨。
这两种求解方法分别是：调整优值法(简称调值法)、枚举整点法(简称枚举法)。
调值法是先求非整点最优解，再借助不定方程，调整最优解，最后筛选出最优解；枚举法，因为取得最值的整点分布在可行域内，可从y x ,中选取系数的绝对值较大的一个对其逐一取值，以此为标准分类讨论，取得另一变量的最值，代入目标函数，比较函数值大小，找到最优解。
下面通过几个典型例题，介绍一下这几种方法的具体运用。
例1（调整优值法）要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
今需A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
解析：设需要第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，钢板总数z 张，则
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈≥+≥+≥+N
y N x y x y x y x ,27
3182152 目标函数 z x y =+ 作出可行域如图所示，作出直线0x y +=。
作出一组平行直线x y t +=（其中t 为参数）。
其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线 273=+y x 和
直线 152=+y x 的交点1839(,)55A ，直线方程为5
57=+y x 。
由于185和395
都不是整数，而最优解(),x y 中，,x y 必须都是整数，所以，可行域内点1839(,)55
A 不是最优解。
经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），且与原点距离最近的直线是12x y +=。
经过的整点是B （3，9）和C(4，8)，它们是最优解。
故要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张。
两种方法都最少要截两种钢板共12张。
点评：在解线性规划问题时，常有一些实际问题需要变量取整数解时才有实际意义，而当可行域中的最优解不是整数解时，需作出可行域的整点作出判断。
当直接观察比较困难时，应对可能的情况进行检验。
线性规划整数解问题的一般处理方法是：若区域“顶点”处恰为整点，那么它的最优解在“顶点”处取得（在包括边界的情况下）；若区域的“顶点”不是整数点也不包括边界时，可以先算出目标函数z 的值，在可行域内适当放缩目标函数的值，使他为整数，且与z 最接近，在这条对应的直线，取可行域内的整点。
如果没有整点，继续放缩，直至取到整点为止。
这种
方法称为调整优值法。
也可以通过画出网格，平移直线，运用图解法求得。
例2(枚举法) 某人有楼房一栋，室内面积共180 2m ,拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18 2m ，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元，小房间每间面积为15 2m ，可住旅客3名，每名游客每天住宿费为50元，装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元，如果他只能筹款8000元用于装修，且假设游客能住满客房，它隔出大房间和小房间各多少间会获得最大收益？最大收益是多少？
解：设隔出大、小房间分别为x 间，y 间，收益为f 元，
则200150f x y =+，其中,x y 满足6560534000
x y x y x y ì+?ïïïï+?ïíï³ïïï³ïî 如图所示，由图解法易得200150f x y =+，过点2060,77
骣÷ç÷ç÷ç桫时，目标函数f 取得最大值。
但,x y 必须是整数，还需在可行区域内找出使目标函数f 取得最大值的整点。
显然目标函数f 取得最大值的整点一定是分布在可行区域的右上侧，则利用枚举法即可求出整点最优值。
这些整点有：(0, 12), (1, 10),(2, 9), (3, 8), (4, 6), (5, 5), (6, 3), (7,1 ), (8, 0)，分别代入200150f x y =+。
逐一验证，当取整点(0, 12)或(3, 8)时，获得最大收益。
所以获得最大收益有两种方案：I ．只隔出小房间12间。
II ．隔出大房间3间，小房间8间，最大收益均为1800元。
注：如果把装修考虑在内，则选择第一方案好。
枚举整点法的主要步骤是验算-筛选，而优值调整法更注重推理计算。
它们的共同步骤是：1. 建模(审题、设元、列式)，2.
求解（画图、移线、求解），
3.检验（还原）。
总之，对于线性规划实际应用题，应采用数形结合的思想来分析、解答，各种方法各有利弊，在使用时要根据题设条件选用适当的方法解答。