2016-2017学年第一学期线代(本三2017.1)标准答案

河北科技大学理工学院2016——2017学年第1学期

《线性代数》期末考试标准答案(A/B )

年级__ 16级 __ 考试班级__ 统考__（2017.01）_

一 填空题(每小题3分，共30分)

(A ) 1、T

(2,0,1,7)．2、3003⎛

⎫ ⎪⎝⎭

． 3、1

01101101-⎛⎫ ⎪- ⎪-⎝

⎭． 4、1010

10001A -⎛⎫

⎪= ⎪-⎝⎭．5、-1．6、0abc ≠．7、-2．8、T T (1,3,5,7)(1,2,3,4)()k k +∈¡（不唯一）

．9、1n -．10、4． (B ) 1、T

(2,0,1,6)．2、2002⎛

⎫ ⎪

⎝⎭

． 3、111000111-⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭

． 4、1

00010101A -⎛⎫

⎪= ⎪-⎝⎭

．5、1．6、0abc =．7、-4．8、T T (0,2,4,6)(1,2,3,4)()k k +∈¡（不唯一）．9、1n -．10、2． 二 选择题(每小题4分，共20分) CDAAB (B 卷：DBCCA) 三 计算题 (共44分)

1. (本小题11分) 解 由2AB A B =+知

(2)A E B A -=. ………………………3分

因为

110110(2,)011011101101A E A ---⎛⎫ ⎪-=--- ⎪---⎝⎭1

0011~0

1010100

1110-⎛⎫

⎪- ⎪-⎝

⎭

， ………6分 故011101.110B -⎛⎫

⎪=- ⎪-⎝⎭

…………………………2分

2. (本小题11分) 解 因为

12341

2102

531(,,,)22020

1

11αααα⎛⎫ ⎪-=

⎪ ⎪-⎝⎭~10120

1110

0000000-⎛⎫ ⎪

- ⎪

⎪

⎝⎭

， ………5分

故1234(,,,)2R αααα=，12,αα为此向量组的一个最大无关组，且

321ααα=-，4122ααα=-. ……………6分

3.(本小题11分) 解 增广矩阵

1 1

1 1 01

01110

1 2 2 101 2 2 1(,)0122100 0 0 03 2

1

1

100 0

0A β---⎛⎫⎛⎫ ⎪

⎪

=

⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝

⎭

⎝

⎭

:． ……………7分 故通解为

T T T 12(1,2,1,0)(1,2,0,1)(1,1,0,0)x c c =-+-+-12(,)c c ∈¡．…………4分

4.(本小题11分) 解 矩阵A 的特征多项式

2121

00(1)(1)000λλA λE λλλλλ

λ

----=-=-=---，

故A 的特征值为120λλ==，31λ=. …………4分

对于特征值120λλ==，因

1210000000A E -⎛⎫

⎪-= ⎪⎝⎭

，

得T 1(2,1,0)ξ=-，T 2(1,0,1)ξ=. …………3分

对于特征值31λ=，因

0 2101001 00010 01000A E -⎛⎫

⎛⎫

⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭

⎝⎭

:

， 得T 3(1,0,0)ξ=. …………2分

令123211(,,)100010P ξξξ-⎛⎫ ⎪== ⎪⎝⎭，则P 可逆且1

001P AP Λ-⎛⎫

⎪== ⎪⎝⎭

. ………2分

四 证明题(共6分) 证明 (仅供参考) 由题意，1A b η=，2A b η=. …………1分

设

11212()0k k ηηη+-=. …………1分 上式两端左乘以A 得110k A η=，即10k b =. 因0b ≠，故10k =. ……………2分

这时，212()0k ηη-=.由12ηη≠得20k =.故112,ηηη-线性无关. ………2分